2025中考数学二轮复习：几何图形的翻折变换问题（解析版）

专题06几何图形的翻折变换问题

I苗嗅概述

几何图形中的翻折变换在中考压轴题中考查比例较高，翻折变换本质上是考查轴对称的相关知识知识，

在解决有关翻折问题的压轴题时，需要注意三点：

（1）掌握轴对称的有关性质：

①关于直线对称的两个图形是全等图形.

②如果两个图形关于某直线对称，对称轴是对应点连线的垂直平分线.

③两个图形关于某直线对称，如果它们对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上.

④如果两个图形的对应点连线被同一直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称.

（2）掌握折叠图形的性质，例如折叠图形是矩形，那么在解决折叠问题时，就需要结合矩形的性质和轴对

称的性质。

（3）折叠问题中求解线段的长度，一般要借助勾股定理，列出方程进行求解。

真题精析

例孽1

布

（2022•贵州贵阳•统考中考真题）小红根据学习轴对称的经验，对线段之间、角之间的关系进行了拓展探究.

如图，在，ABCD中，AN为5C边上的高，—==m,点M在AD边上，且=点E是线段A"上

AN

任意一点，连接BE,将.ABE沿BE翻折得FBL；.

尸

A2EMk（F）\pAIE/\LMpAMD

\

NBCNBcNBC

图①图②备用图

⑴问题解决：

使点尸与点M重合，则金丝=_____;

如图①，当/胡。=60。，将一ME沿BE翻折后,

（2）问题探究:

如图②，当440=45。，将沿BE翻折后，使EF〃BM,求NABE的度数，并求出此时加的最小值;

⑶拓展延伸：

当/54。=30。，将.ABE沿BE翻折后，若EF2AD,且AE=MD,根据题意在备用图中画出图形，并求

出冽的值.

聊瓯

(1)根据等边三角形的性质，平行四边形的性质可得驾=当=—j—,根据特殊角的三角函数值即

ANANcos/BAN

可求解；

(2)根据折叠的性质即可求得/4匹=/歹项=；(180。+45。)=112.5。，由三角形内角和定理可得

ZABE=180°-ZAEB-ZBAE=22.5°,根据点M在AT＞边上，当AD=AM时，加取得最小值，最小值为

AM\

-----=2；

AN

(3)连接尸版，设,AN=a,则AB=2a,NB=y/3AN=^3a,在RtZXFBM中，FB=AB=BM,延长FE

交NC于点G,在中，EMTFMZ-EF，=,8/_(道—1"=(g+l)a,进而根据

AD=AE+EM+MD,即可求解.

［答案与解析】

【答案】⑴38;⑵ZABE=22.5。,加=2；(3)作图见解析，36-1

3

【详解】(1)BA=BM,ZBAD=60。

ABM是等边三角形，

:.AB=AM=BM

四边形ABCD是平行四边形，

.-.AD//BC,

ZABN=ZBAM=60°,

AN为BC边上的高，

.AMAB11

"'AN~^N~cosZBAN~~^3~~T，

^2

(2)ZBAD=45°,BA=BM,

二是等腰直角三角形,

/.ZMBC=ZAMB=45°,

EF//BM,

ZFEM=ZAMB=45°,

ZAEB=/FEB=1(180°+45°)=112.5°,

AD//NC9

:.NBAE=ZABN=45。，

ZABE=180°-ZAEB-ZBAE=22.5°,

An1

菽—3是等腰直角三角形，AN为底边上的高，则.=

点M在边上,

当仞=3时，优取得最小值，最小值为黑=2

(3)如图，连接EM,

ZBAD=30°,则ZABN=30。，

设4V=a,贝!]AB=2a,NB=^AN=®,

折叠，

*e-FB=AB=2a,

EF-LAD,

ZAEB=ZFEB=1(180°+90°)=135°,

ZEAB=ZBAD=30°f

ZAB石=180。—30。—135。=15。，

/.Zz4BF=30°,

AB=BM,ZBAD=30°9

:.ZABM=120°,

.ZMBC=ZAMB=30°9

...ZFBM=120°-ZABF=90°,

在RtaFBM中，FB=AB=BM,

FM=V2FB=2缶，

延长FE交NC于点G,如图，

:.EG±GB,

AEBG=ZABE+ZABN=15°+30°=45°,

GB=EG=a9

NB=岛,

:.AE=EF=MD-l)a，

在RSEFAf中,EMAFM2-EF?=河—/=(6+1',

:.AD=AE+EM+MD=2AE+EM=2^-lja+^+^a=(3yl3-^a,

m=-----=35/3—1.

AN

总结与点拨

本题考查了轴对称的性质，特殊角的三角函数值，解直角三角形，勾股定理，三角形内角和定理，含30度

角的直角三角形的性质，平行四边形的性质，等边三角形的性质，综合运用以上知识是解题的关键.

（2022•黑龙江绥化•统考中考真题）我们可以通过面积运算的方法，得到等腰三角形底边上的任意一点到两

腰的距离之和与一腰上的高之间的数量关系，并利用这个关系解决相关问题.

(1)如图一，在等腰；ABC中，AB=AC,2c边上有一点。，过点。作DESAB于E,DFJ.AC于F,过

点C作CG_LAB于G.利用面积证明：DE+DF=CG.

⑵如图二，将矩形ABCD沿着EF折叠，使点A与点C重合，点2落在胡处，点G为折痕E尸上一点，过

点G作GAf_LFC于M,GNLBC于N.若BC=8,BE=3,求GM+GV的长.

ADAF

(3)如图三，在四边形ABC。中，E为线段BC上的一点，EA±AB,EDLCD,连接8D,且/「=一二，

CDDE

BC=后,CD=3,BD=6,求ED+E4的长.

(1)根据题意，利用等面积法SAABC=SAABD+SAACD，根据等腰么BC中，AB^AC,即可得到结论；

(2)根据题中条件，利用折叠性质得到NAFE=NCFE,结合矩形ABCD中A£>〃BC得到NAFE=ZFEC,

从而有NCFE=NFEC,从而确定AEFC是等腰三角形，从而利用(1)中的结论得到GM+GN=FH,结合

勾股定理及矩形性质即可得到结论；

AD4r

(3)延长胡、CD交于F,连接所，过点8作3G_LFC于G,根据次=—,EA±AB,EDVCD,得

CDDE

到AABC是等腰三角形,从而由(1)知即+£4=3G,在RtABCG中，8G=7BC2-CG2=J(何飞+蛾,

在RtABDG中,BD=6,BG=《Blf-DC2=4&-£，联立方程J(后丫-(3+无1=BG='6?-炉求解得

x=l,从而得到结论.

【答案与解析】

【答案】⑴证明见解析；(2)4；⑶后

【详解】(1)证明：连接4。，如图所示:

在等腰中，＞1B=AC,BC边上有一点，过点。作Z)E上AB于E,1AC于尸，过点C作CG,AS

于G,

■•■由S^c=S^BD+SMCDn^ABCG=^ABED+~ACFD,

：.DE+DF=CG；

(2)解：连接CG,过点尸作切于H,如图所示：

在矩形ABC。中，AD〃BC,则NAFE=NFEC,

NCFE=NFEC,即AEFC是等腰三角形，

在等腰AEFC中，R7=EC,所边上有一点G,过点G作GM_LbC于M,GN，BC于N,过点尸作FH，BC

于H,由(1)可得GM+GN=FH,

在R/AABE中，?B90?,BE=3,AE=EC=BC-BE=8-3=5,则AB=QAE°—BE。—3?=4,

在四边形ABHF中，NB=/BAF=NFHB=90。,则四边形ABHF为矩形,

:.FH=AB=4,BPGM+GN=FH=AB=4；

(3)解：延长胡、CD交于F,连接跖，过点8作3GL/C于G,

在四边形ABC。中，£为线段3C上的一点，EA±AB,EDVCD,则NB4E=NCD石=90。，

bABAE

又五=五'

AABEADC£,

:.ZABE=ZC,即AABC是等腰三角形，

由（1）可得即+E4=3G,

设G£>=x,

NEDC=NBGC=90。,BC=5,CD=3,

在&ABCG中,BGNBG-CG。=J（庖『-（3+4,

在HABDG中,BD=6,BG^BD1-DG2=飞6-£，

，（后,-（3+无y=BG=yj62-x2,解得x=l,

经检验，x=l是方程的解用符合题意，

:.BG=^62-]2=A/35»即即+£4=反?=屈・

，侬与碰

本题考查几何综合，涉及到等腰三角形的判定与性质、等面积求线段关系、折叠的性质、勾股定理求线段

长、相似三角形的判定与性质等知识点，读懂题意，掌握（1）中的证明过程与结论并运用到其他情境中是

解决问题的关键.

卅礴膜UK题

1.（2022・湖北武汉•校考三模）（1）如图1,在正方形ABCD中，E是。上一动点，将正方形沿着班折

叠，点C落在点尸处，连接CF,并延长C尸交AD于点G.求证：4BCE望CDG；

(2)在(1)的条件下，如图2,延长所交AD边于点若芸=：,求黑的值；

BC3DH

(3)如图3,四边形ABC。为矩形，同样沿着BE折叠，连接C/,延长CF,成分别交AD于G,H两点,

•(直接写出结果)

GDAGHGHD

【答案】(1)见解析；(2)(3)晅

74

【分析】⑴根据AAS证明三角形全等即可；

(2)如图2中，连接根据“尸+正2=£>"2+£>£■],求出DE即可解决问题；

(3)如图3中，连接HE.由空，"■="，可以设AB=3x,3C=4x,£>H=4租,HG=5〃?，根据相似三角形

BC4GH5

的判定和性质可得CE=12根，则DE=CD-CE=3x-12zn,利用勾股定理构建方程求解即可.

【详解】⑴证明：如图1中，

AGD

△BEE是由3CE折叠得到,

:.BEVCF,

:.ZECF+ZBEC=90°,

四边形ABCD是正方形，

:.ZD=ZBCE=90°,

ZECF+ZCGD=90°,

:.ABEC=Z.CGD,

在；BCE和CDG中,

NBCE=ND

<ZBEC=ZCGDf

BC=CD

.△BCEgCDGCAAS)；

(2)解：如图2中，连接EH.

，D

QVBCE\CDG,

CE=DG,

由折叠可知BC=BF,CE=FE,

.\ZBCF=ZBFC,

四边形ABCQ是正方形，

:.AD//BC,BC=CD,

:./BCG=/HGF,

ZBFC=ZHFG,

:.ZHFG=ZHGFf

HF=HG,

CE2

BC3

设C£=2%，则3。=。。=3%,万石=。石=2%,

.e.DE=CD—CE=x,

设HF=HG=a,

DH=DG—HG=2x—a,

「•由折叠可知ZBFE=Z.BCE=90°,

.\ZEFH=90°,

:.HF2+FE2=DH2^DE2^

2+(2x)2=(2x-a)2+x2，

.“=4a或0(舍弃)，

DH=lx—a=7。，

GH_a_1

一加一五一于

(3)解：如图3中，连接

设AB=CD=3x,BC=4x,DH=4m,HG=5m,

由(2)知7iF=〃G=5M,

DG=9m,

由折叠可知

ZECF-^-ZBEC=90°,

NZ)=90。，

:.NECF+NCGD=9。。,

,\ZBEC=ZCGD,

ZBCE=ZD=9Q09

/.CDGs,BCE,

DGCDAB_3

9m_3

••~~~=一,

CE4

CE=12m=FE,

..DE=3x—12m,

ZD=ZHFE=90°

/.HF2+FE2=DH2+DE2，

/.(5m)2+(12m)2=(4m)2+(3x—12m)2,

x=4加+VITm或4m(舍弃),

DE=3x-12m=12m+3\/17m-12m=3y[vim,

.D£_3厉m_#7

,EC-12/n-4-

2.（2022.福建宁德•统考二模）在YABCD中，点E是BC的中点，点尸在上.将四边形A8EP沿EF

折叠，得到四边形AB'EF.

（1）利用图1,求证：B'C//EF；

（2）如图2,连接B。，若AB=5&,BD=17,ZABD45°,当点3,落在8。上时，求EF的长；

（3）如图3,当点H恰好落在线段O上时，求证：直线A的与直线C。重合.

85

【答案】（1）见解析；（2）12；（3）见解析

【分析】（1）利用折叠的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，平行线判定定理，也可以运用折叠

的性质，构造三角形中位线定理证明.

（2）设匹与2。相交于点O.运用勾股定理，三角函数，中位线定理求解即可.

（3）运用经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，证明即可.

【详解】（1）解：（1）证法一：由折叠的性质可知：B'E=BE,ZBEF=ZB'EF.

2

是8C的中点,

EC=BE=B'E.

1800-ZB'EC

ZEB'C=ZECB'=

2

：.ZB'EF=ZEB'C.

B'C//EF.

证法二：设EF与班'相交于点G.

由折叠的性质可知：G是的中点.

，GE是△BB'C的中位线.

B'C//GE.

即B'C//EF.

⑵设EF与3。相交于点0.由折叠的性质可知：。是的中点，NBOE=NB'OE=90°.

由（1）得？C〃£F.

ZDB'C=ZB'OE=90°.

•/四边形ABCD是平行四边形，

:•若DC=AB=，N_BDC=NAB_D=45°.

/.B'D=DC-cosZBDC=5y/2x—=5,B'C=DC-sinZBDC=5.

2

B'B=BD-B'D=17-5=12.

在Rt^BB'C中，由勾股定理得BC=ylBB'2+B'C2=45?+12?=13.

是8C的中点，。是39的中点，

ABO=-BB'=6,OE=-B'C=-.

222

OD=BD-BO=11.

..•四边形ABCD是平行四边形,

：.AD//BC.

.FOOP11X—

即口八ODOE1IX255.

'0E~OBrU—-------=--------=—

OB612

EF^OF+OE^-+-=—

12212

⑶证法一：连接AA交直线所于点由折叠知：AM=AM.连接并延长交直线C£）于点

:四边形A2CD是平行四边形，点A，在上,

AB//A'C.

：.ZABM^ZA'HMNBAM=NHA'M.

：.Z^ABM当△AHM.

:.BM=HM.

又是BC的中点，

，近0是A3cH的中位线.

CH//EM,即CD〃E尸.由（1）得B，C〃EF.

..•过点C有且只有一条直线与石厂平行，

•••点3'在直线C。上.

二直线A®与直线CD重合.

证法二：连接AE并延长交直线42于点K,连接AE.

•D

一

B'

:四边形ABCO是平行四边形，点4在CO上，

，AC//AB.

：.ZBKE=ZCAE,ZKBE=ZA'CE.

;BE=CE,

：.ABKE2△C4'E.

KE=A;E.

由折叠知：AE=AE=KE,NBAE=NB'A'E.

；•ZAKE=/BAE=NB'A'E.

A'B'//AB

:过点A'有且只有一条直线与AB平行，

直线A®与直线A'C重合.即直线与直线CD重合.

3.（2022・山东淄博・统考二模）在放△ABC中，ZACB=900.,ZA=60°,C£）是斜边AB上的中线，点E

为射线BC上一点，将4台力石沿。E折叠，点B的对应点为厂

七」

FF

图1图2

（1）如图1,若AB=a,请直接写出C。的长（用含。的代数式表示）；

（2汝口图2,若DF工BC,垂足为点G,点尸与点。在直线CE的异侧，连接CR判断四边形AOFC的形

状，并说明理由；

(3)若_LAB,直接写出N3/组的度数.

【答案】呜

(2)菱形，理由见解析

(3)45°或135°

【分析】(1)根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得CD=；AB=；“；

(2)由题意可得。/〃AC,。尸=；AC由"直角三角形中含30。角所对的直角边等于斜边的一半”，得

47=：/18£＞产=/^据此判断四边形4。”是平行四边形，再由折叠得。F=BD=AD,据此解答；

(3)分两种情况讨论，点尸与点。在直线CE的同侧或异侧，正确画出图形即可解答.

【详解】(1)解：由图1，在RdABC中，/ACB=90。，CO是斜边AB上的中线，钿=。

CD=-AB=-a；

22

(2)四边形尸C是菱形.

理由如下：

图1图2

VCZ）是斜边上的中线，

/.AD=BD=^AB,由折叠的性质可得，BD=DF,

：.AD=DF,

VZACB=90°,NA=60。，

，ZB=30°,

/.AC=-AB,

2

AC=DF,

,：DF1BC,ZACB=90°,

・・・ZACB=NDCB=9。。,

:.AC//DF,

J四边形ADR?是平行四边形，又AD=DF,

・・・口4。9。是菱形.

（3）如图3,点尸与点。在直线CE的异侧,

DF±AB

:.ZBDF=9Q°

由折叠得，

/BDE=NFDE

/BDE=ZFDE=-ZBDF=工x90。=45。；

22

如图4,点尸与点。在直线CE的同侧，

图④

DF1AB

:.ZBDF=90°

ZBDE+ZFDE=360°-90°=270°

由折叠得，

NBDE=NFDE

:.2ZBDE=ZJ0。

:.ZBDE=135°

综上所述，ZBDE=45°或ZBDE=135°.

4.（2022・四川乐山・统考一模）模型探究：如图1,D、E、尸分别为ABC三边BC、AB、AC上的点，且

ZB=ZC=ZEDF=a.

（1）与△CED相似吗？请说明理由；

模型应用：AFC为等边三角形，其边长为8,E为边上一点，尸为射线AC上一点，将△AEF沿EF翻

折，使A点落在射线C8上的点。处，且3D=2.

（2）如图2,当点。在线段上时，求能的值；

AF

（3）如图3,当点。落在线段C3的延长线上时，求△5DE与△CTO的周长之比.

51

【答案】⑴-BDE〜CFD,证明见解析；⑵—=^；（3）△§渍与△CFD的周长之比为:

AF73

【分析】（1）根据三角形的内角和得到NB即=NCD方，即可证明；

（2）①设AE=x,AF=y,根据等边三角形的性质与折叠可知。石二M二元,DF=AF=y,

NEDF=ZA=60,根据三角形的内角和定理得4£。=/。。尸，即可证明ABD石〜ACFD,故

BDBEDEHggir,AE,,_

--;=—T=-Z—,再根据比例关系求出不;■的值；

CFCDFDAF

RDRFnF28-xxX1

②同理可证得左===二,得一-=—=再得到一=1，再根据相似三角形的

CFCDFDy-810yy3

性质即可求解.

【详解】解（1）^BDE~\CFD,

理由：/B=NC=NEDF=a,

在AB/M■中，ZB+ZBDE+ABED=180,

.•./BDE+/BED=180-ZB=180-a.

ZBDE+ZEDF+ZCDF=180,

.,.NBDE+/CDF=180-ZEDF=180-a,

:.ZBED=ZCDF,

ZB=ZC,

BDE〜CFD；

(2)①设AE=x,AF=yf

AABC是等边三角形，

.\ZA=ZB=ZC=60,AB=BC=AC=8,

由折叠知，DE=AE=x,DF=AF=y,/EDF=NA=6G,

在ABDE中，ZB+ZBDE+ZBED=180,

/.ZBDE+ZBED=180-ZB=120,

NBDE+/BED=180-ZB=120，

,ZBDE+ZEDF+ZCDF=180,

/.ZBDE+ZCDF=ISO-ZEDF=120,

:.ZBED=ZCDFf

"="=60，

:.gDE〜bCFD,

.BDBEDE

'^CF~~CD~~FD"

BE=AB-AE=8-xfCF=AC-AF=8-y,CD=BC-BD=6,

2_8-x_x

8-y6y'

」2y=x(8-y)

\6x=y(8-x)，

.♦石_5

**AF-7?

②设AE=x,AF=yf

ARC是等边三角形，

ZA=ZABC=ZACB=60，AB=BC=AC=8,

由折叠知，DE=AE=x,DF=AF=y,ZEDF=ZA=60,

在石中，ZABC+ZBDE+ABED=180,

.•.NBDE+/BED=180-ZABC=120,

ZBDE+ZEDF+ZCDF=180，

,\ZBDE+ZCDF=180-ZEDF=120,

:.ZBED=ZCDF,

ZABC=ZACB=60,

/.ZDBE=ZDCF=120,

:母DE〜NCFD,

BDBEDE

,CF~CD~FD

BE=AB-AE=8-x,CF=AF-AC=y-S,CD=BC+BD=10,

2_8-x_x

y-810y'

.12y=x(y-8)

[10x=y(8-x)，

x_1

,,y=31

MDE与ABD是相似三角形,

DEx1

二ABZ)E与ACED的周长之比为言:=二=£.

DFy3

5.(2022.江苏徐州・统考二模)正方形ABCD的边长为4.

图①图②

(1)将正方形A8CD对折，折痕为EF,如图①把这个正方形展平，再将点C折到折痕上的点N的位置,

折痕为求尸尸的长；

(2汝口图②当AE=CF时，在点E由点A移动到AD中点的过程中，求△AUG面积的取值范围.

【答案】⑴手⑵324+40

【分析】(1)连接CN.根据轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定定理和性质求出

根据正方形的性质，直角三角形的边角关系即可求出PF.

(2)连接AC交所于点0,连接0D,0G,再以。为圆心，以04为半径画圆，取的中点为K,

连接K。并延长交。于J.根据正方形的性质，全等三角形的判定定理和性质确定G,A,B,C,。共圆,

然后确定点G在C2上运动，进而确定当点G与点C或点8重合时，AAOG面积取得最小值，当点G与点

1/重合时，AADG面积取得最大值，最后根据正方形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，三角形面积

公式求解即可.

【详解】(1)解：如下图所示，连接CN.

AED

I\I

BFC

:正方形ABC。对折后，折痕为ER正方形ABC。的边长为4,

...EF垂直平分BC,BC=4.

:.NB=NC,BF=2.

:正方形折叠后点C到点N的位置，

NB=BC,NNBM=NCBM=-匕NBC.

2

：.NB=NC=BC.

:.丛NBC是等边三角形.

/.ZNBC=60°.

：.ZCBM=3Q°.

PF=BFxtanZCBM=冬8.

3

(2)解：如下图所示，连接AC交于点0,连接。3,0D,0G,再以。为圆心，以。4为半径画圆,

取AA的中点为K,连接KO并延长交。于J.

・・•四边形ABC。是正方形，

AD〃BC.

：.ZOAE=ZOCFfZOEA=ZOFC.

9：AE=CF,

：.^OAE^OCF(AS^).

OA=OC.

...O是AC中点.

/.OA=OB=OC=OD.

,/正方形ABCD折叠后，点C的对应点是点G,

OG-OC,

：.BfC,D,G都在C。上.

・•・OA=OB=OC=OD=OG.

在点E由点A移动到A。中点K的过程中，点G在CB上移动.

当点G与点C或点B重合时，△ADG的面积取得最小值.

,/正方形ABCD的边长为4,

：.AD=CD^4,ZADC=90°.

1.--------------「

ADCD=S

^AADC=--'AC=A/A£>2+CD2=4V2.

.♦.△4OG面积的最小值是8,OA=jAC=2&.

OJ=OA=2^2.

是AO中点，。是AC中点，

.♦.KO是△AC。中位线.

AKO//CD,KO=-CD=2.

2

/.ZAKO=ZADC=90°,KO是固定值.

：.OKLAD,BPOJLAD.

...当OGLAO时，即点G与点■/重合时，△ADG面积取得最大值.

KJ=KO+OJ=2+2^2.

••.S"QKJ=4+4日

△A£)G面积的最大值是4+4夜.

...△ADG面积的取值范围是8Vs△的＜4+40.

6.(2022•山西大同・统考二模)综合与实践：

如图1,已知正方形纸片ABCD.

实践操作

第一步：如图1,将正方形纸片ABC。沿AC,8。分别折叠.然后展平，得到折痕AC,