高数c下学期期末试题及答案

高数c下学期期末试题及答案

单项选择题（每题2分，共10题）1.函数$f(x)$在点$x_0$处可导是$f(x)$在$x_0$处连续的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.$\int\frac{1}{x}dx$等于（）A.$\ln|x|+C$B.$-\ln|x|+C$C.$\frac{1}{x^2}+C$D.$-\frac{1}{x^2}+C$3.二元函数$z=x^2+y^2$在点$(1,1)$处关于$x$的偏导数是（）A.1B.2C.3D.44.级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$是（）A.收敛级数B.条件收敛级数C.绝对收敛级数D.发散级数5.曲线$y=x^2$在点$(0,0)$处的切线斜率为（）A.0B.1C.2D.不存在6.若函数$y=f(x)$的一个原函数是$F(x)$，则$\intf(x)dx$=（）A.$F(x)$B.$F(x)+C$C.$F^\prime(x)$D.$F^\prime(x)+C$7.定积分$\int_{0}^{1}x^2dx$的值是（）A.$\frac{1}{2}$B.$\frac{1}{3}$C.$\frac{1}{4}$D.18.函数$z=xy$的全微分$dz$是（）A.$ydx+xdy$B.$xdx+ydy$C.$(x+y)dxdy$D.$xydxdy$9.幂级数$\sum_{n=0}^{\infty}x^n$的收敛半径$R$=（）A.0B.1C.+∞D.不存在10.函数$f(x)=\sinx$的导数$f^\prime(x)$是（）A.$-\cosx$B.$\cosx$C.$\sinx$D.$-\sinx$多项选择题（每题2分，共10题）1.下列哪些函数是基本初等函数（）A.$y=x^2$B.$y=e^x$C.$y=\sinx$D.$y=\log_2x$2.下列积分运算正确的是（）A.$\intkdx=kx+C$（$k$为常数）B.$\intx^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$（$n\neq-1$）C.$\int\cosxdx=\sinx+C$D.$\int\sinxdx=-\cosx+C$3.关于二元函数$z=f(x,y)$的偏导数，下列说法正确的是（）A.$\frac{\partialz}{\partialx}$表示固定$y$时，$z$关于$x$的变化率B.$\frac{\partialz}{\partialy}$表示固定$x$时，$z$关于$y$的变化率C.函数在某点偏导数存在，则函数在该点一定连续D.函数在某点连续，则函数在该点偏导数一定存在4.下列级数中，收敛的是（）A.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$B.$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{n}$C.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!}$D.$\sum_{n=1}^{\infty}2^n$5.下列求导公式正确的是（）A.$(x^n)^\prime=nx^{n-1}$B.$(e^x)^\prime=e^x$C.$(\lnx)^\prime=\frac{1}{x}$D.$(\cosx)^\prime=\sinx$6.定积分的性质包括（）A.$\int_{a}^{b}[f(x)+g(x)]dx=\int_{a}^{b}f(x)dx+\int_{a}^{b}g(x)dx$B.$\int_{a}^{b}kf(x)dx=k\int_{a}^{b}f(x)dx$（$k$为常数）C.$\int_{a}^{b}f(x)dx=-\int_{b}^{a}f(x)dx$D.$\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x)dx$（$a<c<b$）7.二元函数$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处的全微分存在的充分条件是（）A.函数在该点连续B.偏导数$f_x(x_0,y_0)$和$f_y(x_0,y_0)$都存在C.偏导数$f_x(x,y)$和$f_y(x,y)$在点$(x_0,y_0)$的某邻域内存在且连续D.函数$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处沿任意方向的方向导数都存在8.幂级数$\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$的收敛性可能是（）A.仅在$x=0$处收敛B.在整个数轴上都收敛C.在某区间$(-R,R)$内收敛，在区间端点处敛散性不定D.在任何点都不收敛9.以下哪些与函数单调性有关（）A.函数导数大于零则函数单调递增B.函数导数小于零则函数单调递减C.驻点可能是函数单调性的转折点D.导数不存在的点不会影响函数单调性10.关于中值定理，正确的是（）A.罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情况B.拉格朗日中值定理可用于证明不等式C.柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广D.中值定理都要求函数在某区间上具有连续性和可导性判断题（每题2分，共10题）1.若函数$f(x)$在点$x_0$处的导数不存在，则$f(x)$在$x_0$处一定不连续。（）2.$\int\sin^2xdx=-\frac{1}{2}\cos2x+C$（）3.二元函数$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处的偏导数等于该点处沿坐标轴方向的方向导数。（）4.级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$收敛，则$\lim_{n\to\infty}a_n=0$。（）5.函数$y=\sqrt{x}$的导数是$y^\prime=\frac{1}{2\sqrt{x}}$（）6.定积分的值与积分变量用什么字母表示无关。（）7.若二元函数$z=f(x,y)$在某区域内的两个二阶混合偏导数$\frac{\partial^2z}{\partialx\partialy}$和$\frac{\partial^2z}{\partialy\partialx}$都连续，则二者相等。（）8.幂级数$\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$在其收敛区间内一定绝对收敛。（）9.函数$f(x)$在区间$[a,b]$上的极大值一定大于极小值。（）10.函数$F(x)$和$G(x)$都是$f(x)$的原函数，则$F(x)-G(x)$为常数。（）简答题（每题5分，共4题）1.求函数$y=x^3-3x^2+5$的单调区间。-答案：对函数求导得$y^\prime=3x^2-6x=3x(x-2)$。令$y^\prime>0$，解得$x<0$或$x>2$，此为单调递增区间；令$y^\prime<0$，解得$0<x<2$，此为单调递减区间。2.计算定积分$\int_{1}^{e}\frac{1}{x}dx$-答案：因为$(\lnx)^\prime=\frac{1}{x}$，根据牛顿-莱布尼茨公式，$\int_{1}^{e}\frac{1}{x}dx=\lnx\big|_{1}^{e}=\lne-\ln1=1-0=1$。3.求函数$z=x^2y+xy^2$的偏导数$\frac{\partialz}{\partialx}$和$\frac{\partialz}{\partialy}$-答案：求$\frac{\partialz}{\partialx}$时，把$y$看成常数，得$\frac{\partialz}{\partialx}=2xy+y^2$；求$\frac{\partialz}{\partialy}$时，把$x$看成常数，得$\frac{\partialz}{\partialy}=x^2+2xy$。4.写出幂级数$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$的收敛区间。-答案：用比值判别法，$lim_{n\to\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=lim_{n\to\infty}|\frac{\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{x^n}{n!}}|=lim_{n\to\infty}\frac{|x|}{n+1}=0$，收敛半径$R=+\infty$，收敛区间为$(-\infty,+\infty)$。讨论题（每题5分，共4题）1.讨论导数与函数极值的关系-答案：函数在某点可导且导数为0，该点可能是极值点（驻点），但驻点不一定是极值点。函数导数不存在的点也可能是极值点。如$y=|x|$在$x=0$处不可导却是极小值点。要判断驻点等是否为极值点，还需用极值判定定理等方法。2.说明定积分与不定积分的联系与区别-答案：联系是不定积分是求原函数的全体，而定积分是原函数在区间端点函数值的差（在被积函数连续等条件下，由牛顿-莱布尼茨公式联系）。区别在于不定积分是函数族，定积分是数值，且定积分有积分上下限，不定积分没有。3.探讨多元函数连续、可偏导、可微之间的关系-答案：可微则函数连续且可偏导，但连续不一定可偏导，可偏导也不一定可微。例如函数在某点连续但在该点偏导数可能不存在；函数在某点可偏导，但偏导数不连续时函数不一定可微。4.讲述级数收敛性判别方法的应用场景-答案：对于正项级数，常用比较判别法（已知收敛或发散级数作比较）、比值判别法（通项含阶乘、幂次等）、根值判别法（通项含$n$次幂）。对于交错级数用莱布尼茨判别法。对于一般级数，先看通项极限是否为0