第二章 微积分的研究对象课件

——函数、连续函数第二章微积分的研究对象

第二章微积分的研究对象（一）教学目标

教学目标：本章的目的是介绍函数概念、初等函数、函数模型的构建和数学模型方法。要求学生理解函数的概念、掌握初等函数的定义、会构建简单的函数模型、了解数学模型方法。了解被称为数学家之英雄的欧拉的感人事迹和在数学史上的卓越贡献。第二章微积分的研究对象（三）教学内容

§1微积分的主要研究对象——初等函数

§2MM能力培养——构建函数模型的步骤和方法

§3变量连续变化的数学模型——连续函数

数学家启示录

第二章微积分的研究对象1.1变量相依关系的数学模型

——函数

例1心理学研究表明，小学生对新概念的接受能力G（即学习兴趣、注意力、理解力的某种量度）随学习时间t的变化规律为

接受能力曲线如图2.1所示，通过函数表达式的分析和曲线的几何形态可以了解儿童的接受能力G(t)随时间t的变化规律，即接受能力何时上升、何时达到顶峰、何时下降。由此例可抽象出函数概念。第二章微积分的研究对象

定义如果在某个变化过程中有两个变量x、y，并且对于x在某个变化范围X内的每一个确定的值，按照某个对应法则f，y都有唯一确定的值和它对应，那么y就是x的函数，记作，x叫做自变量，x的取值范围X叫做函数的定义域，和x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合Y叫做函数的值域。函数的表示法：解析式、图象法、表格法第二章微积分的研究对象

有些函数在定义域的不同区段上由不同的式子来表示，这样的函数叫做分段函数定义域为R第二章微积分的研究对象

例2在统计学上饮食消费占日常支出的比例称为恩格尔系数，它反映了一个国家或地区富裕的程度，是国际通用的一项重要经济指标。

联合国根据恩格尔系数来划分一个国家国民富裕程度：恩格尔系数小于20为绝对富裕，20以上小于40属比较富裕，40以上小于50算小康水平，50以上小于60刚够温饱，60以上则为贫困，试以图像法表示国民富裕程度。第二章微积分的研究对象解

以x表恩格尔系数，对富裕程度分别适当赋值，以y表之，则国民富裕程度如图2.2所示。第二章微积分的研究对象1.2逆向思维一例——反函数定义设函数y=f(x),如果对于Y内的任一y,X内都有唯一确定的x与之对应,使f(x)=y,则在Y上确定了一个函数,这个函数称为函数

y=f(x)的反函数,记作

而原来的函数

y=f(x)称为直接函数.例3求函数

的反函数，并在同一坐标系内作出这两个函数的图像。解

因为函数

在区间

上单调递增，所以它存在的函数。由

解得于是函数

的反函数为

，在同一坐标系内用描点法作出这两个函数的图像。第二章微积分的研究对象1.3基本初等函数

1.常数函数

（C为常数）定义域为(),值域为

。图像为过点(0,C),且平行于x轴的直线。2幂函数

(a为实数)该函数的定义域视a的不同而不同,但无论a为何值,它在区间(0,)内总有定义。a＞0和

a＜0的图象如图2.3和图2.4所示第二章微积分的研究对象3指数函数

定义域为(),值域为(0,)。a>1时,函数单调增加;a＜1函数单调减少。图像过点(0,1)。4对数函数,且

)定义域为(),值域为()。a>1时单调增加,a<1时单调减少,图像过点(1,0)第二章微积分的研究对象5三角函数正弦函数

的定义域为(),值域为[-1,1]。在

上单调增加,在

上单调减少

,它是以2为周期的周期函数。余弦函数

的定义域值域和周期与正弦函数相同,在

上单调增加,在

上单调减少

。第二章微积分的研究对象正切函数

,定义域为

,值域为()。是以

为周期的周期函数,在有定义的区间上单调增加。余切函数

,定义域为

,值域为()。是以

为周期的周期函数,在有定义的区间上单调减少。第二章微积分的研究对象6.反三角函数

(1)反正弦函数

函数

在定义域()内不是单调函数。在该区间内不存在反函数,但在区间

上单调增加,所以在该区间上存在反函数。称为反正弦函数,记作

。定义域为[-1,1],值域为

显然

如图2.5所示

第二章微积分的研究对象(2)反余弦函数

函数

在区间[0,]上单调减少,存在反函数,称为反余弦函数,

记作

。

定义域为

[-1,1],值域为[0,]。

显然

如图2.6所示第二章微积分的研究对象(3)反正切函数

函数

在开区间

内单调增加,存在反函数,称为反正切函数,记作

。定义域为(),值域为

显然如图2.7所示

(4)反余切函数

显然第二章微积分的研究对象1.4复合函数

定义

设函数

,且由

确定的函数值

落在函数

的定义域U内,则

称为复合函数。u称为中间变量,称为里层函数,称

为外层函数。

例4分解复合函数：解（1）设（2）设

第二章微积分的研究对象1.5初等函数的含义例5求函数

的定义域函数

的定义域为

,函数

的定义域为

故函数

的定义域为

基本初等函数，以及对基本初等函数作有限次四则运算与有限次函数复合运算而得到的由一个式表示的函数叫做初等函数，否则就是非初等函数。解两个函数之和的初等函数的定义域是这两个函数定义域的公共部分。第二章微积分的研究对象2.1构建函数模型的步骤和方法

构建数学模型的一般步骤和方法是：

（1）对实际问题的现实原型进行分析，判断其所属的系统，如力学系统、电学系统、生态系统、市场供销系统、心理学系统等。分析量的主要矛盾，摒弃次要矛盾，保留两个主要变量与有关常量。判断所在系统是否可借用的公式、定理等，如果没有，还要通过观察、实验等科学方法探寻有关量之间的依赖关系。

（2）采用数学符号，建立自变量和因变量以及相关常量之间的等量关系，解决出因变量，并判明变量有意义的变化范围，便是函数模型。

（3）在模型上进行必要的逻辑推理和演算，求得模型的解答，再返回到实际问题中进行检验。第二章微积分的研究对象在金融业务中有一种利息叫做单利.设

是本金，r是计息期的利率，n是计息期数，I是n个计息期应付的单利，p是本利和，求本利和p与计息期数n的函数模型。2.2函数模型举例解一个计息期的利息为

r,n个计息期应付的单利为I＝

rn，本利和为

例1单利问题第二章微积分的研究对象于是得本利和与计息期数的函数关系，即单利模型p=（1+rn）。

I=rn=1000×2.7%×3=81（元），本金

＝1000，年利率为r=2.7%，计息期数为n＝3。于是3年期满后应得的利息（即单利）为

p=+I=1000+81=1081（元）比如某人存入银行1000元，定期3年的年利率为2.7％，求3年期满后应得的利息与本利和。本利和为第二章微积分的研究对象如果每期结算一次，则第一个计息期满后的本利和为设本金为

，计息期（如1年）的利率为r,t是计息期数。把

作为第二个计息期的本金，则第二个计息期满（如2年）后的本利和

为

于是第t个计息期满后的本利的

为例2复利问题

这就是复利模型。第二章微积分的研究对象

例3连续复利问题在上例中给出了每期结算m次的复利模型，如果结算的次数m越来越多，且趋于无穷，则意味着每个瞬时立即存入立即结算，这样的复利称为连续复利.这就归结为下面的极限

为简化起见，令则m=nr，显然当m→∞时n→∞。于是上述极限变成第二章微积分的研究对象

例4测定生物体年龄碳14是放射性物质，随时间而衰减，碳12是非放射性物质，活性人体因吸纳食物和空气，恰好补偿碳14衰减损失量而保持碳14和碳12含量不变,因而所含碳14与碳12之比常数。已测知一古墓中遗体所含碳14的数量为原有碳14数量的80％，试求遗体的死亡年代。

解放射性物质的衰减速度与该物质的含量成比例，它符合指数函数的变化规律。设遗体当初死亡时碳14的含量为

，t

时的含量为p＝f（t），于是碳14含量的函数模型为p＝f（t）＝其中

＝f(0),k是一常数。

常数k可以这样确定：由化学知识可知，C14的半衰期为5730年，即C14经过5730年后其含量衰减一半。故有第二章微积分的研究对象

两边取自然对数，得

于是C14含量的函数模型为第二章微积分的研究对象3.1连续函数的概念和连续函数求极限的法则

先介绍增量概念。设函数y=f(x)的定义域X。如图2.8所示，当自变量从定点x0

变到新点x时，其差称为自变量的改变量，或增量，记作△x=x–x0

，自然有x=x0+△x

。对应的函数值从f(x0)变到f(x)=f(x0+△x)

，其差称为函数的改变量，或增量，记作由于新点x的改变方向以及函数f(x)的增减性不同，所以△x和△y可能为正，也可能为负。1连续函数的概念或第二章微积分的研究对象则称函数f(x)在点

处连续，

称为函数f(x)的连续点。如果函数在开区间（a,b）内的任意一点都连续，则称此函数为区间（a,b）内的连续函数。如果不仅在开区间（a,b）内连续，而且在该区间的左右两个端点处也连续，则称函数是闭区间［a,b］上的连续函数。定义1若函数f(x)在点

及其邻域有定义，当x→

时f(x)的极限

f(x)存在，并且等于该点处的函数值f(

)，即

f(x)＝f(

)，

注：有理多项式、有理分式在定义域内都连续第二章微积分的研究对象定义2若

时，

，

即，则称函数f(x)在点

处连续。第二章微积分的研究对象例2证明正弦函数

在区间

内连续。证设x是区间

内的任意一点，给x一个增量

，相应的函数增量为

显然当

时

，故函数sinx在点x处连续，再由点x的任意性，便证得函数

是区间（－∞，＋∞）内的连续函数。同理可证余弦函数

是区间（－∞，＋∞）内的连续函数。注意到

和于是第二章微积分的研究对象（1）函数

在点

有定义；（2）极限

存在；（3）极限值

等于

处的函数值f（

）。

如果这三个条件至少有一个不满足，则称函数f(x)在点

间断，

称为函数的间断点。2、函数的间断点

定义1指出，函数

f（x）在点

连续应同时满足下列三个条件；

第二章微积分的研究对象

设函数

在点

连续，因为

，于是由函数连续性的定义1可得解因为函数

在点

处连续，所以对于较复杂的连续函数

，求

时的极限时，才使用

的写法，对于一般简单的函数就写成

3、连续函数求极限的法则由此得连续函数求极限的法则：连续函数在连续点处的极限值等于函数在该点处的函数值。或者，对连续函数f（x）而言，极限符号lim与函数符号f可以交换次序。例4求第二章微积分的研究对象3.2初等函数的连续性

1、连续函数的四则运算

可以证明：两个连续函数的代数和仍是连续函数；两个连续函数之积仍是连续函数；两个连续函数之商（分母不为0）仍是连续函数。

2、反函数和复合函数的连续性

定理1单调连续函数的反函数仍是单调连续函数。由此可知，反正弦函数y=arcsinx，反余弦函数y=arccosx，反正切函数y=arctanx，反余切函数y=arccotx，在它们有定义的区间内单调且连续。

定理2连续函数的复合函数仍是连续函数。第二章微积分的研究对象

由前面的讨论我们已经知道常数函数y=C，正整指数的幂函数

，三角函数和反三角函数在它们有一义的区间内连续。我们可以证明指数函数

(a>0，且a≠1)和任意指数的幂函数

在它们有定义的区间内也是连续的（证明从略），因而应用定理1可以证明对数函数

（a>0，且a≠1）在区间（0,+∞）内连续。至此可知，所有基本初等函数在其有定义的区间内连续。

因为在有定义的区间内，基本初等函数是连续的，有限个连续函数的和、差、积、商以及复合而成的函数也都是连续函数，于是根据初等函数的结构立即可以得到一个重要结论：初等函数在其有定义的区间内连续。3初等函数的连续性第二章微积分的研究对象解因为函数是初等函数，它在点处有定义，因而在该点处连续，所以可应用连续函数取极限的法则，即得解因为函数y=是初等函数，在点x=π处连续，于是例5求例6求第二章微积分的研究对象3.3闭区间上连续函数的性质

定理1（最大值和最小值定理）闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值。如图2.9所示,曲线弧AB是闭区间［a,b］上连续函数y=f(x)的图像。它可以笔不离纸地从A画到B。在该曲线上，至少存在一个最高点

，也至少存在一个最低点

。显然

≥f(x)(x∈[a,b]),

≤f(x)(x∈[a,b])。

和

分别是函数f(x)在闭区间[a,b]上的最大值和最小值。第二章微积分的研究对象数学家启示录

双目失明的数学家——欧拉欧拉（1707—1783）是世界著名的数学家、物理学家。如果从创造的数学业绩，以及数学思想方法结以后整个数学的发展所起的深远影响来评选最有名的三位数学家，通常是指阿基米德、牛顿和高斯（Gauss，德，1777—1855），但也有人推崇欧拉为第三。欧拉位居第几无关紧要，他毕竟是18世纪数学界的中心人物，被那个是时代的所有数学家尊称为“大家的老师”。第二