2024年中考三模 模拟卷 数学（甘肃卷）（参考答案及评分标准）

2024年中考第三次模拟考试（甘肃卷）数学·参考答案第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）123456789101112AACCDABADBBC第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）13．﹣3014．∠ACD＝90°（答案不唯一）．15．16．4三、解答题（本大题共12个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（4分）【详解】解：原式＝2﹣3+5（3分）＝4（4分）18．（4分）【详解】解：÷﹣＝﹣（1分）＝＝，（3分）当m＝4时，原式＝＝．（4分）19．（4分）【详解】】解：，解不等式①得，x＞1，（1分）解不等式②得，x≤4，（2分）则不等式组的解集为1＜x≤4．（4分）20．（5分）【详解】【解答】（1）证明：∵AB∥CD，∴∠BAE＝∠FCD，∵AF＝CE，∴AE＝CF，（1分）又∵AB＝CD，∴△ABE≌△CDF（SAS）．（3分）（2）解：∵∠BCE＝30°，∠CBE＝70°，∴∠AEB＝∠BCE+∠CBE＝30°+70°＝100°，（4分）∵△ABE≌△CDF，∴∠CFD＝∠AEB＝100°．（5分）21．（6分）【详解】解：延长AC交EF于P，交MN于Q，如图所示：则QN＝AB＝1.6m，PQ＝FN＝6m，在Rt△ECP中，∠ECP＝60°，tan∠ECP＝＝tan60°＝，∴EP＝CP，（1分）设CP＝xm，则EP＝xm，∴AP＝AC+CP＝（8+x）m，AQ＝AC+CP+PQ＝8m+xm+6m＝（14+x）m，（2分）∵tan∠EAP＝＝tan35°≈0.7，∴≈0.7，解得：x＝5.6，（4分）∴AQ＝19.6（m），∵tan∠MAQ＝＝tan35°≈0.7，∴MQ≈0.7AQ＝0.7×19.6＝13.72（m），（5分）∴MN＝MQ+QN＝13.72+1.6≈15（m），答：大树的高MN约为15m．（6分）22．（6分）【详解】解：（1）设y甲＝k1x，根据题意得4k1＝80，解得k1＝20，∴y甲＝20x；（1分）设y乙＝k2x+80，根据题意得：12k2+80＝200，解得k2＝10，∴y乙＝10x+80；（2分）（2）解方程组（3分）解得：，∴出入园8次时，两者花费一样，费用是160元；（4分）（3）当y＝240时，y甲＝20x＝240，∴x＝12；当y＝240时，y乙＝10x+80＝240，解得x＝16；（5分）∵12＜16，∴选择乙种更合算．（6分）23．（6分）【详解】解：（1）＝（110+90+83+87+80）÷5＝90（分）；（1分）（2）甲队成绩的极差是98﹣80＝18分，乙队成绩的极差是110﹣80＝30分；（3分）（3）从平均分看，两队的平均分相同，实力大体相当；从折线的走势看，甲队比赛成绩呈上升趋势，而乙队比赛成绩呈下降趋势；从获胜场数看，甲队胜三场，乙队胜两场，甲队成绩较好；从极差看，甲队比赛成绩比乙队比赛成绩波动小，甲队成绩较稳定．（5分）综上，选派甲队参赛更能取得好成绩．（6分）24．（6分）【详解】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CBA+∠CAB＝90°，AC⊥BD，∵AD＝AE，∴∠CAD＝∠CAE，（1分）∵C是弧AF的中点，∴，∴∠CAF＝∠CBA，∴∠CAD＝∠CBA，∴∠CAD+∠CAB＝90°，即∠DAB＝90°，∴AD⊥OA，（2分）又∵OA是⊙O的半径，∴AD是⊙O切线；（3分）（2）解：∵C是弧AF的中点，∴，∴∠CBF＝∠CBA，（4分）设∠CBF＝∠CBA＝x，∠EAB＝y，∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB＝90°，∴∠FAB+∠FBA＝90°，即y+2x＝90°，∴y＝90°﹣2x，∵∠FEB＝∠EAB+∠EBA＝y+x，∴∠AEO＝180°﹣∠OEB﹣∠FEB＝180°﹣45°﹣y﹣x＝135°﹣x﹣y＝135°﹣x﹣（90°﹣2x）＝45°+x，∵∠AOE＝∠OEB+∠OBE＝45°+x，∴∠AEO＝∠AOE，∴AE＝AO，∵∠ACB＝∠ACB，∠CAE＝∠CBA，∴△CEA∽△CAB，∴＝＝＝，∴CB＝2CA，∴AB＝＝＝CA，∴sin∠ABD＝＝＝．（6分）25.（7分）【详解】解：（1）∵一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数的图象相交于A（﹣2，3），∴k2＝﹣2×3＝﹣6，3＝﹣2k1+b①，∴反比例函数解析式为y＝﹣，（1分）∵点B的横坐标为6，∴点B（6，﹣1），∴﹣1＝6k1+b②，①﹣②得：k1＝﹣，∴b＝2，∴一次函数解析式为y＝﹣x+2；（2分）由图象可得：当x＜﹣2或0＜x＜6时，一次函数图象在反比例函数图象的上方，即k1x+b﹣＞0；（3分）（3）当x＝0时，y＝2，∴S△AOB＝S△ACO+S△BCO＝×2×2+×2×6＝8，S△AOC＝×2×2＝2，（4分）分两种情况：①如图1，当P在线段AB上时，∵，∴S△AOP＝×8＝，S△POC＝2﹣＝，∴×2×|xP|＝，∴xP＝﹣，∴点P的坐标为（﹣，）；（5分）②如图2，当点P在线段BA的延长线上时，∵，∴S△AOP＝×8＝，S△POC＝2+＝，∴×2×|xP|＝，∴xP＝﹣，∴点P的坐标为（﹣，）；综上所述，点P的坐标为（﹣，）或（﹣，）．（6分）26．（7分）【详解】解：（1）∵AD：AC＝4：5．∴可设AD＝4x，AC＝5x，在Rt△ACD中，CD＝9，由勾股定理得：AC2＝AD2+CD2，∴（5x）2＝（4x）2+92，解得：x＝3或x＝﹣3（舍去）∴AD＝4x＝12，AC＝5x＝15，（1分）在Rt△ABD中，AB＝13，由勾股定理得：∴BD＝＝＝5，∴BC＝BD+CD＝5+9＝14，∴△ABC的面积为AD×＝84；（2分）（2）由△PAB为轴对称图形，得：△PAB是等腰三角形，如图，当AB＝BP＝13时，∴PC＝BC﹣BP＝14﹣13＝1，此时t＝（秒）；（3分）如图，当AB＝AP＝13时，点P只能在线段CD上，∵AD⊥BC，∴PD＝BD＝5，∴BP＝10，∴PC＝BC﹣BP＝4，∴t＝＝2（秒）；（4分）如图，当BP＝AP，且点P在线段CD上时，设DP＝a，则BP＝AP＝5+a，在Rt△ADP中，由勾股定理得：AP2＝AD2+DP2，∴（5+a）2＝122+a2，解得：a＝，即DP＞DC，故此情况不成立；（5分）如图，当BP＝AP，且点P在线段AD上时，过点P作PM作PM⊥AB于点M，设PD＝m，则BP＝AP＝12﹣m，在Rt△BDP中，由勾股定理得：BP2＝BD2+DP2，∴（12﹣m）2＝52+m2，解得：m＝，∴PD+CD＝9+，∴此时t＝（秒）；（6分）综上所述，当t为秒或2秒或秒时，△PAB为轴对称图形．（7分）27．（8分）【详解】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），∴，解得：，∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；（2分）（2）设直线AC的解析式为y＝kx+n，则，解得：，∴直线AC的解析式为y＝x+3，（3分）过点P作PE∥x轴交直线AC于点E，如图，设P（t，﹣t2﹣2t+3），则E（﹣t2﹣2t，﹣t2﹣2t+3），∴PE＝﹣t2﹣2t﹣t＝﹣t2﹣3t，∵A（﹣3，0），B（1，0），∴AB＝1﹣（﹣3）＝4，∵PE∥x轴，∴△EPD∽△ABD，∴＝，∴＝＝﹣（t+）2+，∵﹣＜0，∴当t＝﹣时，的值最大，最大值为，此时点P的坐标为（﹣，）；（5分）（3）如图，设P（m，﹣m2﹣2m+3），则M（m，m+3），∴PM＝|m+3﹣（﹣m2﹣2m+3）|＝|m2+3m|，CM＝＝|m|，（6分）∵△PCM沿直线PC翻折，M的对应点为点M′，M′落在y轴上，而PM∥y轴，∴PM∥CM′，PM＝PM′，CM＝CM′，∠PCM＝∠PCM′，∴∠PCM′＝∠MPC，∴∠PCM＝∠MPC，∴PM＝CM，∴|m2+3m|＝|m|，当m2+3m＝m时，解得：m1＝0（舍去），m2＝﹣3，此时点M（﹣3，）；当m2+3m＝﹣m时，解得：m1＝0（舍去），m2＝﹣﹣3，此时点M（﹣﹣3，﹣）；综上，点M的坐标为（﹣3，）或（﹣﹣3，﹣）．（8分）28．（9分）【详解】解：（1）如图1，连接AC，延长CE交AD于点H，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°；∵△APE是等边三角形，∴AP＝AE，∠PAE＝60°，∴∠BAP＝∠CAE＝60°﹣∠PAC，∴△BAP≌△CAE（SAS），∴BP＝CE；∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABP＝∠ABC＝30°，∴∠ABP＝∠ACE＝30°，∵∠ACB＝60°，∴∠BCE＝60°+30°＝90°，∴CE⊥BC；故答案为：BP＝CE，CE⊥BC；（2分）（2）（1）中的结论：BP＝CE，CE⊥AD仍然成立，理由如下：如图2中，连接AC，设CE与AD交于H，∵菱形ABCD，∠ABC＝60°，∴△ABC和△ACD都是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAD＝120°，∠BAP＝120°﹣∠DAP，∵△APE是等边三角形，∴AP＝AE，∠PAE＝60°，∴∠CAE＝60°+60°﹣∠DAP＝120°﹣∠DAP，∴∠BAP＝∠CAE，∴△ABP≌△ACE（SAS），∴BP＝CE，∠ACE＝∠ABD＝30°，∴∠DCE＝30°，∵∠ADC＝60°，∴∠DCE+∠ADC＝90°，∴∠CHD＝90°，∴CE⊥AD；∵AD∥BC，∴CE⊥BC．∴（1）中的结论：BP＝CE，CE⊥AD仍然成立；（4分）（3）如图3中，当点P在BD的延长线上时，连接AC交BD于点O，连接CE，BE，作EF⊥AP于F，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BDBD平分∠ABC，∵∠ABC＝60°，A