云南省安宁市实验石江学校2025届高二下数学期末质量跟踪监视模拟试题含解析

云南省安宁市实验石江学校2025届高二下数学期末质量跟踪监视模拟试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数，若在和处切线平行，则（）A．B．C．D．2．已知离散型随机变量的分布列如下，则（）024A．1 B．2 C．3 D．43．给出下列三个命题：(1)如果一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行；(2)一个平面内的任意一条直线都与另一个平面不相交，则这两个平面平行；(3)一个平面内有不共线的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行；其中正确命题的个数是()A．0 B．1 C．2 D．34．将点的极坐标化成直角坐标是(

)A． B． C． D．5．执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的，的值分别为（）A．3，5 B．4，7 C．5，9 D．6，116．已知集合，集合，则（）A． B． C． D．7．如果把个位数是，且恰有个数字相同的四位数叫做“伪豹子数”那么在由，，，，五个数字组成的有重复数字的四位数中，“伪豹子数”共有（）个A． B． C． D．8．甲乙两队进行排球比赛，已知在一局比赛中甲队获胜的概率是23A．2027B．49C．89．将函数的图象沿轴向右平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的取值不可能是（）A． B． C． D．10．已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是()A．1 B．2 C． D．11．设，向量，若，则等于()A． B． C．－4 D．412．二面角为，、是棱上的两点，、分别在半平面、内，，且，，则的长为A．1 B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．两个半径为1的铁球，熔化成一个球，这个球的半径是_______．14．在直角中，，，，为斜边的中点，则=．15．表面积为的球的体积为__________．16．若则的值为_______．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，已知海岛与海岸公路的距离为，，间的距离为，从到，需先乘船至海岸公路上的登陆点，船速为，再乘汽车至，车速为，设.（1）用表示从海岛到所用的时间，并指明的取值范围；（2）登陆点应选在何处，能使从到所用的时间最少？18．（12分）的内角所对的边分别为，已知.（1）证明：；（2）当取得最小值时，求的值.19．（12分）已知圆C经过点,且圆心C在直线上，又直线与圆C相交于P,Q两点.（1）求圆C的方程；（2）若，求实数的值.20．（12分）已知椭圆：的离心率为，且经过点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）与轴不垂直的直线经过，且与椭圆交于，两点，若坐标原点在以为直径的圆内，求直线斜率的取值范围．21．（12分）某工厂拟生产并销售某电子产品m万件（生产量与销售量相等），为扩大影响进行销售，促销费用x（万元）满足（其中，为正常数）．已知生产该产品还需投入成本万元（不含促销费用），产品的销售价格定为元/件．（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（2）促销费用投入多少万元时，此工厂所获利润最大？22．（10分）如图，在平行四边形中，，将沿对角线折起，折后的点变为，且．(Ⅰ)求证：平面平面；(Ⅱ)求异面直线与所成角的余弦值；（Ⅲ）E为线段上的一个动点，当线段的长为多少时，与平面所成的角正弦值为？

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

求出原函数的导函数，可得，得到，则，由x1≠x2，利用基本不等式求得x12+x22＞1．【详解】由f（x）lnx，得f′（x）（x＞0），∴，整理得：，则，∴，则，∴x1x2≥2，∵x1≠x2，∴x1x2＞2．∴2x1x2＝1．故选：A．本题考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．2、B【解析】

先计算，再根据公式计算得到【详解】故答案选B本题考查了方差的计算，意在考查学生的计算能力.3、B【解析】

根据面面平行的位置关系的判定依次判断各个命题的正误，从而得到结果.【详解】（1）若一个平面内有无数条互相平行的直线平行于另一个平面，两个平面可能相交，则（1）错误；（2）平面内任意一条直线与另一个平面不相交，即任意一条直线均与另一个平面平行，则两个平面平行，（2）正确；（3）若不共线的三点中的两点和另一个点分别位于平面的两侧，此时虽然三点到平面距离相等，但两平面相交，（3）错误.本题正确选项：本题考查面面平行相关命题的辨析，考查学生的空间想象能力，属于基础题.4、A【解析】本题考查极坐标与直角坐标的互化由点M的极坐标，知极坐标与直角坐标的关系为，所以的直角坐标为即故正确答案为A5、C【解析】执行第一次循环后，，，执行第二次循环后，，，执行第三次循环后，，，执行第四次循环后，此时，不再执行循环体，故选C.点睛：对于比较复杂的流程图，可以模拟计算机把每个语句依次执行一次，找出规律即可.6、A【解析】

直接求交集得到答案.【详解】集合，集合，则.故选：.本题考查了交集的运算，属于简单题.7、A【解析】

分相同数字为1，与不为1，再由分类计数原理求出答案。【详解】相同数不为1时，四位数的个位数是1，其他3个相同的数可能是2,3,4,5共4种相同数为1时，四位数的个位数是1，在2,3,4,5中选一个数放在十位或百位或千位上，共有种则共有种故选A本题考查排列组合，分类计数原理，属于基础题。8、A【解析】试题分析：“甲队获胜”包括两种情况，一是2:0获胜，二是2:1获胜.根据题意若是甲队2:0获胜，则比赛只有2局，其概率为(23)2=49；若是甲队2:1获胜，则比赛3局，其中第3考点：相互独立事件的概率及n次独立重复试验.【方法点晴】本题主要考查了相互独立事件的概率及n次独立重复试验，属于中档题.本题解答的关键是读懂比赛的规则，尤其是根据“采用三局两胜制比赛，即先胜两局者获胜且比赛结束”把整个比赛所有的可能情况分成两类，甲队以2:0获胜或2:1获胜，据此分析整个比赛过程中的每一局的比赛结果，根据相互独立事件的概率乘法公式及n次独立重复试验概率公式求得每种情况的概率再由互斥事件的概率加法公式求得答案.9、C【解析】试题分析：将其向右平移个单位后得到：，若为偶函数必有：，解得：，当时，D正确，时，B正确，当时，A正确，综上，C错误.考点：1.函数的图像变换；2.函数的奇偶性.10、C【解析】

试题分析：由于垂直，不妨设，，，则，，表示到原点的距离，表示圆心，为半径的圆，因此的最大值，故答案为C．考点：平面向量数量积的运算．11、D【解析】

直接利用向量垂直的充要条件列方程求解即可.【详解】因为，且，所以，化为，解得，故选D.利用向量的位置关系求参数是命题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用解答；（2）两向量垂直，利用解答.12、C【解析】试题分析：考点：点、线、面间的距离计算二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

等体积法【详解】等体积法14、【解析】试题分析：由于为直角三角形，且，，所以，由正弦定理得，，.考点：1.正弦定理；2.平面向量的数量积15、【解析】分析：先根据球的表面积公式，列方程得到球半径，再利用球的体积公式求解该球的体积即可.详解：，，故答案为.点睛：本题主要考查球的体积公式和表面积公式，意在考查学生对基础知识的掌握情况，属于基础题.16、【解析】

由排列数和组合数展开可解得n=6.【详解】由排列数和组合数可知，化简得，所以n=6,经检验符合，所以填6.本题考查排列数组合数方程，一般用公式展开或用排列数组合公式化简，求得n,注意n取正整数且有范围限制。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），.（2）登陆点与的距离为时，从海岛到的时间最少.【解析】

求出AD，CD，从而可得出的解析式；

利用导数判断函数单调性，根据单调性得出最小值对应的夹角.【详解】（1）在中，∵，，∴，，∴，∴，即.∵，∴，∴(若写成开区间不扣分).（2），，当时，，当时，，所以时，取最小值，即从海岛到的时间最少，此时.答：（1），.（2）登陆点与的距离为时，从海岛到的时间最少.本题考查了解三角形的应用和正弦定理的应用，考查了利用导数求函数最值，属中档题．18、（1）见解析；（2）.【解析】分析：（1）由正弦定理和余弦定理化简即可；（2），当且仅当，即时，取等号.从而即可得到答案.详解：（1）∵，∴即∵，∴.（2）当且仅当，即时，取等号.∵，∴点睛：解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．19、（1）；（2）0【解析】(1)设圆心C(a，a)，半径为r.因为圆C经过点A(－2,0)，B(0,2)，所以|AC|＝|BC|＝r，易得a＝0，r＝2，所以圆C的方程是x2＋y2＝4.(2)因为·＝2×2×cos〈，〉＝－2，且与的夹角为∠POQ，所以cos∠POQ＝－，∠POQ＝120°，所以圆心C到直线l：kx－y＋1＝0的距离d＝1，又d＝，所以k＝0.20、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】

（I）根据椭圆的离心率和椭圆上一点的坐标，结合列方程组，解方程组求得的值，进而求得椭圆方程.（II）设直线的方程为，代入椭圆方程，写出判别式和韦达定理，由坐标原点在以为直径的圆内得，利用向量的坐标运算代入化简，由此解得的取值范围.【详解】解：（Ⅰ）由题意可得，解得，，∴椭圆的方程为．（Ⅱ）设直线的方程为，代入椭圆方程整理可得得，，解得或，设，，又，，∴，∵坐标原点在以为直径的圆内，∴，∴，解得或.故直线斜率的取值范围为.本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，属于中档题.21、（1）（2）当时，利润最大值为17万元，当时，最大利润万元【解析】

（1）利润为单价乘以产品件数减去促销费用再减去投入成本；（2）可有对勾函数的的单调性求得最大值．【详解】（1），将代入（2）令，在单减，单增∴当时，利润最大值为17万元当时，最大利润万元本题考查函数的应用，解题关键是确定关系式求得函数解析式，然后通过函数解析式求得最值等．22、（Ⅰ）见解析（Ⅱ）（Ⅲ）【解析】

（Ⅰ）由已知条件得知，再利用勾股定理证明，结合直线与平面垂直的判定定理证明平面，最后利用平面与平面的判定定理可证明出结论；（Ⅱ）以点为坐标原点，、所在直线分别为轴、轴建立空间直角坐标系，然后利用空间向量法计算异面直线和所成角的余弦值；（Ⅲ）设，将向量的坐标用实数表示，求出平面的一