皖豫名校联盟2024−2025学年高二下学期4月期中考试 数学试题（含解析）

皖豫名校联盟2024−2025学年高二下学期4月期中考试数学试题一、单选题1．已知，则（

）A．0 B．1 C．2 D．32．已知是公差不为0的等差数列，则（

）A． B． C． D．3．如图，从甲地到乙地有1条路，从乙地到丁地有3条路；从甲地到丙地有3条路，从丙地到丁地有4条路；从甲地不经乙地或丙地直接到达丁地有n条路．若从甲地到丁地总共有20条不同的路线，则（

）A．4 B．5 C．6 D．74．已知随机变量服从正态分布，则（

）A．0.16 B．0.32 C．0.68 D．0.845．已知的展开式中，的系数为32，则（

）A．5 B．6 C．7 D．86．某学校只有甲、乙两个餐厅，某同学只在学校用午餐，他第1天随机选择一个餐厅用餐．如果第1天去甲餐厅，那么第2天去甲餐厅的概率为0.4；如果第1天去乙餐厅，那么第2天去甲餐厅的概率为0.7．该同学第2天去甲餐厅用餐的概率是（

）A．0.55 B．0.42 C．0.28 D．0.127．已知函数在上的导函数为，且在处取得极大值，则函数的图象可能为（

）A． B．C． D．8．将20个大小，材质均相同的小球分别编号为1，2，3，…，20，将这20个小球随机分装到甲，乙两个盒子中，每个盒子装10个小球，设甲盒中小球的最小编号为a，最大编号为b，乙盒中小球的最小编号为c，最大编号为d，则“”的概率为（

）A． B． C． D．二、多选题9．记等比数列的前项和为，已知，公比为，则（

）A．是等比数列 B．是等差数列C．是等比数列 D．是等比数列10．已知函数，则下列说法正确的是（

）A．的图象在点处的切线方程为B．的单调递增区间为C．在区间上的最大值为D．若方程有两个不同的实数解，则11．已知抛物线的焦点为，若上存在个互不重合的点，，，…，满足，则下列结论中正确的是（

）A．若，则的最小值为4B．若，则C．若，则D．若，则四边形面积的最小值为128三、填空题12．已知的导函数为，函数，则．13．亚冬会期间，某校学生会组织甲，乙，丙，丁，戊5个志愿服务团，前往A，B，C这3个比赛场地进行志愿服务，若每个场地至少分配1个志愿服务团，每个志愿服务团只能在1个场地进行服务，并且甲团只能去A场地，则不同的分配方法种数为．14．已知各项均不为0的数列的前项和为，且，则的最大值为．（注：）四、解答题15．已知函数．（1）若，求的极小值；（2）若，证明：在上单调递减．16．已知是正项等比数列，且和是方程的两个不等实根．（1）求的通项公式；（2）若是递增数列，设，求数列的前项和．17．口袋中有编号分别为1，2，3，…，10的10个小球，所有小球除了编号外无其他差别．（1）从口袋中任取3个小球，求取到的小球编号既有奇数又有偶数的概率；（2）从口袋中任取5个小球，设其中编号的最小值为，求的分布列及期望．18．如图，在多面体中，AG，DE，BF均与平面垂直，且C，E，F，G四点共面，，，，．（1）求线段AG的长；（2）求直线AE与平面所成角的正弦值．19．已知函数．（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若在上单调递增，求实数的值；（3）已知数列满足，，证明：．

参考答案1．【答案】C【详解】，故或，解得或，当时，满足，当时，此时，不合要求，舍去.故选C2．【答案】D【详解】由等差数列的性质知，结合题设有.故选D3．【答案】B【详解】甲地经乙地到丁地的路线共有条，甲地经丙地到丁地的路线共有条，故从甲地到丁地路线条数为，所以，解得.故选B4．【答案】C【详解】由题意得，由正态曲线的对称性知，所以．故选C5．【答案】A【详解】由通项公式可知含项为：，所以，即，故选A6．【答案】A【详解】设事件“第1天去甲餐厅用餐”，“第1天去乙餐厅用餐”，“第2天去甲餐厅用餐”，与互斥．依题意得，，．由全概率公式，得，故选A7．【答案】DD【详解】因为在处取得极大值，所以在的左侧，在的右侧，又在的左侧，在的右侧，所以在的左侧，在的右侧，结合选项只有D符合，故选D8．【答案】C【详解】将这20个小球随机分为两组放入甲，乙两个盒子中，共有种方法，假设1号在甲盒中，则甲盒中小球的最大编号为13，故20号小球在乙盒中，乙盒中小球最小编号为8，从而编号从1到7的小球均在甲盒中，9,10,11,12号小球有任意2个在甲盒中，满足要求的情况数为，将甲盒与乙盒互换，同样有6种情况，综上，共有种，满足要求，所以“”的概率为.故选C9．【答案】ABD【详解】A选项，由题意得，故，其中，故为等比数列，A正确；B选项，，故，又，故是等差数列，B正确；C选项，，，，其中，故不是等比数列，C错误；D选项，，故，故，所以为等比数列，D正确.故选ABD10．【答案】AD【详解】由题设当时，，即在上单调递减，当时，，即在上单调递增，当时，恒成立，且时，极小值，无极大值，所以函数大致图象如下，由上分析，，，则点处的切线为，即，A对；在上单调递减，B错；在区间上的最小值为，C错；要使方程有两个不同的实数解，只需，即，D对.故选AD11．【答案】BCD【详解】当，即，故共线，所以是一条焦点弦，其最小值为通径长度为，A错；令，而，可设，联立抛物线得，所以，，则，，所以，B对；当，，、共线，如下图，令，，则，易知，，，，同B分析得，，所以，C对；，当时，最小，D对.故选BCD12．【答案】【详解】，所以.13．【答案】【详解】由题设，5个团去往3个场地，可按人数分组为、两种，按分组，若甲一人成组，则其它4人的分组有种，再把两组安排到有种，若甲所在的组有两人，则选一人与甲去往有种，余下3人分成两组有种，再把两组安排到有种，所以共有种；按分组，若甲一人成组，则其它4人的分组有种，再把两组安排到有种，若甲所在的组有三人，则选两人与甲去往有种，余下2人分成两组安排到有种，所以共有种；综上，共有种分配方法.14．【答案】5【详解】因为，，所以，故，令，,则，因为，所以，令得，令得，故在上单调递增，在上单调递减，其中，故在处取得最大值，最大值为.15．【答案】（1）-1（2）证明过程见解析【详解】（1）时，，定义域为，故，当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极小值，极小值为；（2）时，，定义域为，，令，则，令得，令得，故在上单调递增，在上单调递减，所以在取得极大值，也是最大值，，所以恒成立，所以在上单调递减.16．【答案】（1）或（2）【详解】（1），解得或9，故或，设的公比为，当时，，，解得，所以；当时，，，解得，所以；（2）是递增数列，故，，所以①，②，式子①-②得，故.17．【答案】（1）；（2）分布列见解析，期望为.【详解】（1）从口袋中任取3个小球有种方法，编号全为奇数的取法有种，全为偶数的取法有种，因此编号既有奇数又有偶数的取法种数为，所以取到的小球编号既有奇数又有偶数的概率为.（2）依题意，的所有可能值为1，2，3，4，5，6，从口袋中任取5个小球有种取法，，，，，，，所以的分布列为123456期望为.18．【答案】（1）4（2）【详解】（1）因为BF与平面垂直，平面，所以⊥，⊥，又，故两两垂直，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，连接，，由勾股定理得，故，故，因为，，，所以≌，故，过点作⊥于点，故，所以，所以，又，所以，设，则，，，设平面的法向量为，则，令，则，故，C，E，F，G四点共面，故，即，解得，故；（2），平面的法向量为，设直线AE与平面所成角的大小为，则，直线AE与平面所成角的正弦值为.19．【答案】（1）（2）（3）证明见解析【详解】（1）当时，，，所以，，所以曲线在点处的切线方程：；即；（2）在上单调递增，等价于恒成立，令，当时，易知在上单调递增，当时，