重庆市九校联盟2024−2025学年高二下学期期中考试 数学试题（含解析）

重庆市九校联盟2024−2025学年高二下学期期中考试数学试题一、单选题1．若函数，则函数的单调递减区间为（

）A． B． C．(0，3) D．2．某人计划星期一外出参加会议，有飞机和高铁两种交通工具可供选择，它们能准时到达的概率分别是0.8，0.9．若当天是晴天就乘飞机，否则就坐高铁，天气预报显示当天晴天的概率为0.8，则此人能准时到达的概率为（

）A．0.72 B．0.88 C．0.64 D．0.823．某物体运动时，位移（米）与时间（秒）之间的关系式为：，且，则该物体在2秒末的瞬时速度为（

）A．1米/秒 B．2米/秒 C．4米/秒 D．无法确定4．有一项抽奖活动．在一个不透明的纸箱中，放着5个质地、大小完全相同的小球，球上写着“1”、“2”、“3”、“4”、“5”，分别对应得分：1，2，3，4，5．学生从中有放回地任取一个球，记下得分．设事件“第一次得分5”，事件“第二次得分5”，则（

）A． B． C． D．5．用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有A．144个 B．120个 C．96个 D．72个6．若函数在区间上有两个极值点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．7．的展开式中的系数为（

）A． B．30 C． D．608．定义在上的函数的导函数为，对任意，都有，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知随机变量，，且，的分布列如下：X1234Pmn若，则（

）A． B． C． D．10．下列说法中正确的是（

）A．平面内有任意三点不共线的6个点，可以组成30条线段B．从3名男生，4名女生中选出3名参加一项活动，至少一名女生被选中共有34种选法C．将5名工人分配给甲乙丙三个车间，每个车间至少分一名工人，共有150种分配方法D．将5个相同的小球，放入编号为1，2，3的盒子中，每个盒子至少放1个球共有25种放法11．函数，下列说法正确的是（

）A．若函数在上是增函数，则B．若函数在处取得极大值，则C．若，则函数在闭区间上的最大值为D．若函数在区间上有两个零点，则的取值范围为三、填空题12．今有甲、乙、丙、丁、戊、己6名学生站成一排拍照，要求甲乙相邻，且丙在丁的左边，则符合要求的排法共有种．13．在一场三局两胜制的羽毛球比赛中，每一局甲获胜的概率为0.6，且每局比赛结果互不影响，已知甲获胜，则最终比分为2：0的概率为．14．若函数有单调递减区间，则实数的取值范围为．四、解答题15．已知函数．（1）若函数在上单调递减，求实数的取值范围；（2）若函数，求在上的值域．16．已知二项式的展开式中各项二项式系数的和为256，其中实数为常数．（1）求的值；（2）若展开式中二项式系数最大的项的系数为70，求的值；（3）当时，求展开式中含项的系数．17．已知．（1）讨论的单调性；（2）若，且函数有三个零点，求的取值范围．18．某学校组织了网络安全知识竞赛，有A，两类问题，每位参加比赛的同学回答2次，每次回答一个问题，若回答错误，则下一个问题从另一类中随机抽取一个回答；若回答正确，则继续从该类中随机抽取一个回答．A类问题中的每个问题回答正确得10分，否则得0分；类问题中的每个问题回答正确得30分，否则得0分．已知小明能正确回答A类问题的概率为，能正确回答类问题的概率为0.7，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．（1）若且小明先回答类问题，记为小明累计得分，求的分布列；（2）若小明先回答A类问题，当为何值时累计得分的期望最大？19．已知．（1）若有且只有一个极值点，求的取值范围；（2）当时，若函数的极值点为，求证：．

参考答案1．【答案】C【详解】函数的定义域为：，因为，令并且，得：，所以函数的单调递减区间为(0，3).故本题正确答案为C.2．【答案】D【详解】某人乘飞机准时到达的概率是0.8，坐高铁能准时到达的概率0.9．乘飞机的概率为0.8，坐高铁的概率为0.2，所以此人能准时到达的概率为．故选D．3．【答案】A【详解】由题意可得，所以，所以该物体在2秒末的瞬时速度为1米/秒.故选A4．【答案】B【详解】因为是有放回，所以可得，且；因此.故选B5．【答案】B【详解】试题分析：根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个，末位数字为0、2、4中其中1个；进而对首位数字分2种情况讨论，①首位数字为5时，②首位数字为4时，每种情况下分析首位、末位数字的情况，再安排剩余的三个位置，由分步计数原理可得其情况数目，进而由分类加法原理，计算可得答案．解：根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个，末位数字为0、2、4中其中1个；分两种情况讨论：①首位数字为5时，末位数字有3种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有A43=24种情况，此时有3×24=72个，②首位数字为4时，末位数字有2种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有A43=24种情况，此时有2×24=48个，共有72+48=120个．故选B考点：排列、组合及简单计数问题．6．【答案】D【详解】由得，由函数在区间上有两个极值点知，在区间上两个变号零点，令得或，由题意，解得，且，所以实数的取值范围是.故选D7．【答案】C【详解】展开式的通项为，令，得，则，又的展开式的通项为，令，得，故中含的项为，所以的展开式中的系数为.故选C8．【答案】B【详解】令，则，即在R上单调递增，不等式恒成立等价于不等式恒成立，则不等式恒成立，所以恒成立，即恒成立，设，则，，令得，令得，令得，所以在上单调递增，在单调递减，故，所以，即实数的取值范围为.故选B9．【答案】ABD【详解】易知，即；由，可得，可得；因此，即，联立，解得，即AB正确，C错误；易知，则，即D正确.故选ABD10．【答案】BC【详解】A选项，平面内有任意三点不共线的6个点，可以组成条线段，A错误；B选项，从3名男生，4名女生中选出3名参加一项活动，其中选出1名女生，2名男生的选法有种，选出2名女生，1名男生的选法有种，选出3名女生的选法有种，故至少一名女生被选中共有种选法，B正确；C选项，将5名工人分配给甲乙丙三个车间，每个车间至少分一名工人，故5名工人分为2,2,1或3,1,1，若5名工人分为2,2,1，则有种分配方法，若5名工人分为3,1,1，则有种分配方法，综上，共有种分配方法，C正确；D选项，可考虑隔板法，由于每个盒子至少放1个球，所以5个相同的小球排成一排，5个小球之间共有4个空，插入2个挡板，故有种方法，D错误.故选BC11．【答案】AC【详解】由可得，对于A，若函数在上是增函数，所以在上恒成立，又，，所以等价于函数在上恒成立，则在上恒成立，则，即A正确；对于B，由可得或；显然当时，不合题意，若函数在处取得极大值，则在附近的符号从正变为负，所以，可得，即B错误；对于C，时，，因此当时，，即在上单调递增，当时，，即在上单调递减；当时，，即在上单调递增；因此在处取得极大值，在处取得极小值，易知，所以函数在闭区间上的最大值为，即C正确；对于D，令，可得，若函数在区间上有两个零点，即在区间上有两个实数根；显然，即，所以；即可得在上单调递减，此时不可能有两个实数根，即可得D错误.故选AC12．【答案】120【详解】先将甲乙“捆绑”看成一个元素，与另外四人在五个位置上进行全排，甲乙内部全排；再考虑丙在丁的左边，和丁在丙的左边的情况的排列数相等，故有种方法.13．【答案】【详解】记事件A为甲获胜，由题意甲获胜的情况有2种：打两局以甲乙比分为2：0结束比赛，记为事件B，此事件发生的概率为；打三局以甲乙比分为2：1结束比赛，此时事件发生的概率为；所以甲获胜的概率为，且，所以已知甲获胜，则最终比分为2：0的概率为.14．【答案】【详解】易知函数的定义域为，则，若函数有单调递减区间，则在上有解，即，也即有解，可得；令，所以，由可得，当时，，此时在上单调递增，当时，，此时在上单调递减，所以在处取得极大值，也是最大值，即；因此可得，所以实数的取值范围为.15．【答案】（1）；（2）【详解】（1）由题，因为函数在上单调递减，所以在上恒成立，所以在上恒成立，又在上恒成立，所以，即所以实数的取值范围.（2）由题，所以，所以时，；时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，又，所以函数最大值为，最小值为.所以函数的值域为.16．【答案】（1）8；（2）；（3）1120.【详解】（1）由题可得.（2）由（1）可知展开式中二项式系数最大值为，为展开式中第5项，而，所以即，（3）当时，展开式中含有的项为，所以展开式中含项的系数为1120.17．【答案】（1）答案见解析（2）【详解】（1）因为的定义域为，且，当时，恒成立，当且仅当时等号成立，所以在上单调递减；当时，，令，解得或，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减；当时，，令，解得或，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.综上，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.（2）若，由（1）得在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，且当无限趋向于正无穷大时，无限趋向于0，且，当无限趋向于负无穷大时，无限趋向于正穷大，因为函数有三个零点，则方程有三个根，所以函数与直线有三个交点，又，由图可知：，即的取值范围为.18．【答案】（1）分布列见解析；（2）当时累计得分的期望最大.【详解】（1）由题可得，且，，，，所以的分布列为X0103060P（2）设累计得分为Y，则,且，，，，所以累计得分的期望为，因为，，所以当时，累计得分的期望最大为.19．【答案】（1）（2）证明见解析；【详解】（1）易知的定义域为，,若有且只有一个极值点，则可知仅有一个变号零点，令，则