定值问题-2025年中考数学几何模型方法巩固练习

第16讲定值问题

模块1本质原理

1代数定值

多变量中，消元导致系数为零，进而带动产生一系列的定值.

2.几何定值

位置不变、几何量不变、数量关系不变，具体见表11.1.

表11.1

几何定值分类求解工具

①利用三角形的性质及定理倒角；

角为定值②利用平行线的性质倒角;

③利用圆的性质及定理倒角

①利用特殊三角形（等腰三角形、等边三角形）的性质；

②利用特殊四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形）的性质；

边为定值

③利用圆的性质及定理；

④利用特殊角的三角函数

线段和或差为定值①利用等面枳法；

（或和差关系式）②利用截长补短法

线段乘积或比值为定值①构造相似法；

（常见于函数中）②含参计算法

①定义法（$△=:X底X悬！，，S梯形=1x（上底+下底）X匐；

面积为定值

②割补法（利用“水平宽、铅垂高”）；

（常见于函数中）

③等积变形法（平行线内的同底等局）

模块2场景演练

模型的识别：代数中的定值

1.若一次函数y=2mx+m+3的图像经过一个定点，则这个定点的坐标为.

变式①：不论k取什么样的实数，直线.y=-+（2009-2010k）总经过一定点，则这个定点的坐标为

变式②：已知二次函数y=/+(皿++4巾-13,当m取不同的值时，抛物线都会经过一个定点，此定

点的坐标为.

模型的识别：几何中的定值

类型1：角为定值

2.如图11.1所示，菱形ABCD的边长为1,乙4BC=60。,点E是边AB上任意一点(端点除外)，线段CE的垂

直平分线分别交BD,CE于点F,G.

(1)求证：AF=EF.

(2)当点E在AB上运动时,NCEF的大小不变，其度数为.

图11.1

3.如图11.2所示，函数y=；的图像上有一点P(a,b),由点P分别向x轴、y轴作垂线PM,PN,垂足为点M,

N,直线AB:y=-x+1分别交PM,PN于点E,F,则△40F与△BEO的关系为；ZEOF=_.

图1L2

4.如图11.3所示，定长的弦ST在一个以AB为直径的半圆上滑动，M是$丁的中点，「是S对AB作垂线

的垂足，求证：不管ST滑到什么位置，NSPM是一定角.

图U.3

类型2：边为定值

5.如图11.4所示，一次函数y=ax+b的图像分别与x轴、y轴交于A,B两点，与反比例函数y=单勺图像

相交于C,D两点，分别过C,D两点作y轴、x轴的垂线，垂足为点E,F,连接CF,DE,EF.有下列四个结论：

①ACEF与ADEF的面积相等；

②AAOBAFOE;

③ADCE=ACDF;

@AC=BD.

其中不正确的结论是.

图11.4

类型3：线段和或差为定值（或和差关系式）

6.如图11.5所示，在AABC中，28=4&点P为边BC上任一点，过点P作PD回AB,PE，AC,垂足分别为

点D,E,过点C作CF1AB,,垂足为点F.求证：PD+PE=CF.

图11.5

变式①：如图11.6所示，当点P在BC延长线上时，题6中其余条件不变.求证：PD-PE=CF.

图11.6

变式②:如图11.7所示,在矩形ABCD中，AB=2,BC=4,点P是AD上一点，过点P作PE1AO,PF10D,,

垂足分别为点E,F,贝!J.PE+PF=

B

图11.7

变式③:如图11.8所示,将矩形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点(C'处，点P为折痕EF

上的任一点,过点P作PG，BE,PH18C,垂足分别为点G,H若AD=8,CF=3,则PG+PH=_.

图11.8

变式④：如图11.9所示，两条直线二,G分别是函数为=-3久+3和y=3x+3的图像，匕,％与x轴的交点

42

(1)试探究等边三角形内部任一点P到三边的距离之和@+d2+d3)是否为定值.如果不是，请说明理由；如

果是，请证明.

(2)请进一步探究正四边形、正五边形……正n边形内任意一点到各边的距离之和是否为定值.对此，你能获得

什么规律?

变式：如图11.10所示,等边△4BC外一点P到三边的距离分别为比,九2，九3,且八3+%一九1=3,其中PD=

h3,PE=h2,PF=M贝1JAABC的面积=

PA+PC

8.如图11.11所示，已知P为正方形ABCD的外接圆的劣弧—4。上任意一点，则

PB

9.如图11.12所示，已知矩形AEFG和矩形ABCD,将矩形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，笠=*=|,4E

AGAL)3

=4,4B=8,连接DE,BG,在旋转过程中，DE2+BG2的值是定值，此定值为.

图11.12

10.如图11.13所示抛物线y=-x2-2x+3交x轴于A,B两点，与y轴交于点C,抛物线的顶点坐标为

D,过点D作直线DE||y轴交x轴于点E,点P是抛物线上B,D两点间的一个动点（点P不与B,D两点重合）,

直线PA,PB与直线DE分别交于点F,G.当点P运动时，EF+EG=

类型4：线段乘积或比值为定值

11.如图11.14所示，等边AABC内接于圆，在劣弧一4B上取异于A,B的点M,设直线CA与BM相交于

点K,直线CB与AM相交于点N.证明：线段AK和BN的乘积与点M的选择无关.

图11.14

12.如图11.15所示，在AABC中，N4BC=90。,0是BA上一点以点0为圆心、OB为半径的圆与AB交于

点P,与AC相切于点D.已知.AB=8,00的半径为r,存在一个常数m,不论半径r如何变化..AD-CD-mOA

的值始终是一个定值，此定值为.

图11.15

13.如图11.16所示在等腰AABC中，0为底边BC的中点，以点0为圆心作半圆与AB,AC相切，切点分别

为D,E,过半圆上一点F作半圆的切线，分别交AB,AC于点M,N,则曙

14.如图11.17所示,P为反比例函数y=久久〉0）在第一象限内图像上的一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线

交一次函数.y=—%—4的图像于点A,B.若A0,B0分别平分NB4P,乙48。,,蛆|k的值为.

图11.17

类型5：面积为定值

15.如图11.18所示，点A是反比例函数y=j（x〉O）图像上的任意一点，4B||久轴交反比例函数y=-:的图像

于点B,以AB为边作团4BCD,其中点C,D在x轴上，则S口ABCD为.

16.如图11.19所示，在A4BC中,已知ZC=90°MC=BC=4,DgAB的中点，点E,F分别在AC,BC边上

运动（点E不与点A,C重合），且保持AE=CF,连接DE,DF,EF在此运动变化的过程中，求证：四边形CEDF的面

积是定值.

c

17.如图n.20所示,P为定角乙408平分线上的一个定点，且乙MPN与乙40B互补，NMPN在绕点P转动的

过程中，其两边分别与OA,OB相交于M,N两点.求证：四边形PMON的面积是定值.

图11.20

18.如图11.21所示，已知A,B,C是函数y=/图像上的动点，且三点的横坐标依次为a+l,a,a-1..小生同学

用软件GeoGebra对△ABC的几何特征进行了探究，发现△28C的面积是个定值，则这个定值为

19.如图11.22所示,抛物线y=~lx2+2x+6,与y轴交于点A,与x轴交于点B(6,0).设点P是抛物线上

的动点，若在此抛物线上有且只有三个点P使得AP/IB的面积是定值S,则此定值S为.

图11.22

整理得y=2mx+m+3=m(2x+l)+3,当x=-之时，正好消掉参数m,此时y=3.

变式①:(2010,2009).

整理得y=kx+(2009-2010k)=k(x-2010)+2009,^x=2010时,y=2009.

变式②：(-4,-1).

整理得y=x2+(m+1)x+4m-13=m(x+4)+x2+x-13,^x=-4时,y=-l.

2。)连接CF,根据垂直平分线的性质和菱形的对称性得到CF=EF和CF=AF即可得证.

(2)30°.

如图JIL1所示，延长EF,交DC于点H,连接CF,由AF=CF=ER得至[]/AEF=/EAF=%NFEC=/FCE=0,利

用外角的性质得/AFC=2(a+p),从而推断出/AFD=a+|3=a+/ABF=a+3O。,故/CEF=0=3O。.

3.AAOF^>ABEO;45°.

因为OA-OB=1,BE-AF^OM-立ON=2a6=1，所以OA•OB=BE-AF.又NOBE=NOAF=45oJJ!UA

OFs^BEO,故/AFO=/BOE.

因为NAFO=ZBOF+ZFBO=ZBOF+45°,而.NBOE=28。尸+/EOF,所以NEOF=/FBO=45°.

4.连接OS,OT,OM.

因为M是ST的中点，所以OM,ST.

又SP_LAB,贝(!/SPO=NSMO=90。,所以S,P,O,M四点共圆，故NSPM=NSOM.

因为OS=OT,OM_LST,所以/.SOM=即4SPM=20厂

故不管ST滑到什么位置，ZSPM是一定角.

由SADFE=\DF-OF=，同理可得SXCEF=即SADEF=SACEF.故①正确.

若两个三角形以EF为底厕EF边上的高相等，所以CD〃EF4!UAOBs/^OE.故②正确.

条件不足，无法得到判定两三角形全等的条件.故③错误.

因为CD〃EF,DF〃:BE,所以四边形DBEF,ACEF均是平行四边形，则BD=EF=AC.故④正确.

6.连接AP油△ABP与^ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得PD+PE=CF.

变式①：连接AP,易得SAABC=SAABP-SAACP,即^AB-CF=^AB-PD--ACPE.

因为AB=AC,所以CF=PD-PE.

变式②：q逐.

连接PO,因为SAAPO+SADPO=SAAOD,所以^AO-PE+^DO-PF-SA®，即|XaPE+|x甚PF

=2,解得PE+PF=^==i75.

变式③：4.

过点E作EQLBC.

因为/BEF=NDEF,NDEF=/EFB,所以NBEF=/EFB厕BE=BF.

又CF=3,AD=8,贝!]BF=8-3=5.

在RtABFC中,BC=y/BF2-CF2=V52-32=4,则CD=4=EQ,易得PG+PH=EQ=4.

变式(④(一Q)或&4).

过点M分别作MPLx轴,MQ_LAC,垂足分别为点P,Q.

①如图J11.2所示，当点M在线段BC上时.易得点A(4,0),C(0,3),B(-l,0)厕AB=AC=5.

图J11.2

因为12上的一点M到4的距离是1,所以MQ=1,易得MP+MQ=0C=3,即MP=2,亦即点M的纵坐

标为2.

当y=2时,x=，故点M的坐标为（（-12）

②如图J1L3所示，当点M在线段AC外时，易得MP=MQ+OC=3+1=4或MP=MQ-OC=3-1=2,即点M

的纵坐标为4或-2,分别代入y=3%+3,可求得x=（或x=-1（舍去,因为它到11的距离不是1）,故点M的坐

标为（G，4）.

3387•⑴是定值

证明如下：如图J114所示，△ABC是等边三角形，点P是等边三角形内部任一点.

=a

因为SMPB2'PE,S^CPB=鼻。,PF,SAAPC=”,PG,所以

111

^AAPB+S»CPB+S^APC=3。,PE+-a-PF+-a-PG,

即^a-PE+^a-PF+^a-PG=S,亦即PE+PF+PG=g为定值.故dr+d2+d3^为定值.

(2)同⑴中证法，正四边形、正五边形……正n边形内任意一点到各边的距离之和均为定值,规律为八+d2+

2S

弓3+…+dn=—.

变式：3V

连接PA,PB,PC,如图JI1.5所示设△ABC的边长为x.

S-BC=S*BP+S^ACP-S^BCP

=-h-x+-h'X--h-x

2n32422'1

—+电-八1)，

2

因为h3+h2-hr=3,所以(x,BPx=2但故S^ABC=^(273)=3V3.

4Z4

8.V2

如图J1L6所示，延长PA到点E,使AE=PC,连接BE.

因为ZBAE+ZBAP=180°,ZBAP+ZPCB=180。,所以ZBAE=ZPCB.

又四边形ABCD是正方形，则AB=BC,/ABC=90。,易证△ABE丝△CBP(SAS)厕/ABE=/CBP,BE=BP,所以

NABE+/ABP=/ABP+NCBP=90。^"BEP是等腰直角三角形，贝1]PA+PC=PE=&PB和比上=V2.

PB

图jn.5

9.260.

设BE与DG交于点Q连接EG,BD.由手拉手全等知BELDG.

由勾股定理可得

ED2+GB2=EQ2+QD2+GQ2+QB2=(FQ2+GQ2)+(QD2+QB2)

=EG2+BD2=260.

10.8.

如图JIL7所示，过点P作PQ〃y轴交x轴于点Q.

设P(t--t2-2t+3),贝!]PQ=-t2-2t+3,AQ=t+3,QB=l-t.

因为PQ〃EF,所以△AEFs△AQP,则宾=*即

lPQAE(-t2-2t+3)X2(t+3)(-t+l)X2

卜=---=--------=--------=2(1-i).

4Q3+t3+t

又PQ〃EG,则ABEGs^BQP,所以案=案，即

(-t2-2t+3)x2_(t+3)(-t+l)X2

=2(t+3).

1-t1-t

故EF+EG=2(l-t)+2(t+3)=8.

11.因为△ABC是等边三角形,所以/C=/BAC=/ABC=60。,则.NB4K="BN=120。.由120°=ZABN=ZAB

M+NMBN,120o=NAMB=NN+NMBN彳导NABM=NN,所以△ABKs^BNA,则—=—,§PAKBN=AB2.

BNAB

故线段AK和BN的乘积与点M的选择无关.

340

12.64.

连接OD,易证△ADO^AABCJI]—=丝，即ADCB=ABOD.

ABCB

因为CB=CD,所以ADCD=ABOD=8r,则

ADCD-mOA=8r—m(8—r)=(m+8)r-8m，故m=-8时，其定值为64.

"3

如图J11.8所示，连接OD,OM,OF,ON,OE.

设/B=NC=a,贝(].乙DOB=Z.EOC=90°-a..又易得z2=z3,z4=45,则2(z3+z4)=180°-(Z1

+46)=2a,故/MON=NB=NC=a.

A

图J1L8

由一线三等角模型易得小BOM-ACNO，贝!J瞿=之即BMCN=BOCO==BC?,故誓=1

OCCN4BC"4

14.8.

如图J11.9所示设点P坐标为(a,b).

因为AO,BO分别平分/BAP,/ABP,所以4AOB=90°+|zP=135。(角平分线的内内模型)，因此N3+N4=4

5°,易得OM=ON=4,则/2+N4=45。,即/2=/3,同理/4=/1,于是△BMO^AONAJUOM-ON=BM-AN,即

0M2=BM-AN=V2fa-V2a=2ab,

故16=2ab,即k=ab=8.

15.5.

提示:S7ABCD=|fci|+|k2|=|-31+12|=5.

16.连接CD,易证△AEDgZkCFD,则SAAED=SACFD,故

111

S四边形CEDF=SP△ACLD'D=2~^KAABRLC=2-x-2x4x4=4.

17.如图J11.10所示，作PE±OA于点E,PF，OB于点F,设/POF=/POE=a.利用对角互补模型，易证△PEM

^△PFN,贝!JSAPEM=SAPNF,故