二次函数特殊角问题-2025年中考数学几何模型专练

二次函数特殊角问题

模型原理

对于角的存在性问题，基本策略是构造“一线三直角”模型，利用相似解题.

1.45。角一构造等腰直角三角形一构造“一线三直角”全等

2.30。角-构造直角三角形一构造“一线三直角”相似

3.tana=kT构造直角三角形一构造“一线三直角”相似

注：在构造直角三角形时，建议以已知点B作为直角顶点，方便快捷，否则若以动点P为直角顶点，则需要设

元求解.

真题精炼

1如图,抛物线y=—：/+9+4与x轴交于.2(—3,0),B两点，与y轴交于点C.

(1)求抛物线解析式及B,(2两点坐标；

⑵以A,B,C,D为顶点的四边形是平行四边形，求点D坐标；

⑶该抛物线对称轴上是否存在点E，使得.AACE=45°,,若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.

2如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+6x+2经过4(3弓)两点，与y轴交于

⑴求抛物线的解析式；

(2)抛物线上是否存在点Q，使/QCB=45。?若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

3如图，抛物线y=-%2+6%+cc与x轴交于A,B两点，与y轴交于C点,直线BC方程为y=%-3

⑴求抛物线的解析式；⑵点P为抛物线上一点，若SAPBC=\S^ABC

Q

,请直接写出点P的坐标；(3)点Q是抛物线上一点，若^ACQ=45。,求点Q的坐标.

4如图，抛物线y=~lx2+bx+c经过点B(4,0)和点C(0,2),与x轴的另一个交点为A,连接AC

(1)求抛物线的解析式及点A的坐标；

(2)如图1,若点D是线段AC的中点，连接BD,在y轴上是否存在点E，使得△BDE是以BD为斜边的直

角三角形?若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)如图2,点P是第一象限内抛物线上的动点，过点P作PQ〃y轴，分别交BC、x轴于点M、N,当APMC中

有某个角的度数等于/OBC度数的2倍时，请求出满足条件的点P的横坐标.

5如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-/+bx+c与x轴分别交于点.4(-1，0)和点B,与y轴交于点C

(0,3).

(1)求抛物线的解析式及对称轴；

(2)如图1,点D与点C关于对称轴对称，点P在对称轴上，若乙BPD=90。,求点P的坐标；

(3)点M是抛物线上位于对称轴右侧的点，点N在抛物线的对称轴上，当△BMN为等边三角形时，请直接写

出点M的坐标.

6如图，抛物线y=mx2+(m2+3)久-(6m+9)的图象与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,已知B(3,0).

(1)求m的值和直线BC对应的函数表达式.

(2)P为抛物线上一点，右S&PBC=SAABC，请直接与出点P的坐标.

(3)Q为抛物线上一点，若乙4CQ=45。,求点Q的坐标.

1

7如图，在平面直角坐标系中，直线y=-|x+3与x轴交于点A,与y轴交于点B，抛物线y=-x7+bx+c

3

经过坐标原点和点A，顶点为点M.

(1)求抛物线的表达式及点M的坐标.

(2)点E是直线AB下方的抛物线上一动点，连接EB,EA,当△EABB的面积等于g时，求E点的坐标.

(3)将直线AB向下平移，得到过点M的直线y=mx+n，且与x轴负半轴交于点C,取点D(2,0),连接DM,求证:

ZADM-ZACMM50.

8如图，抛物线y=[J_%_3与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C,直线1与抛

物线交于A,D两点，与y轴交于点E,点D的坐标为((4,-3).

(1)请直接写出A,B两点的坐标及直线1的函数表达式.

⑵若点P是抛物线上的点，点P的横坐标为m(m>s/cmtO)过点P作PM阻轴,垂足为M,PM与直线1交于

点N，当点N是线段PM的三等分点时，求点P的坐标.

(3)若点Q是y轴上的点，且^ADQ=45。,求点Q的坐标.

9如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(-2,0)、B(6,0)两点与y轴交于点C.直线1与抛物线交于A、

D两点，与y轴交于点E,点D的坐标为(4,3).(1)求抛物线的解析式与直线1的解析式；

(2)若点P是抛物线上的点且在直线1上方，连接PA、PD,求当△PAD面积最大时点P的坐标及该面积的最大

值；(3)若点Q是y轴上的点，且.乙ADQ=45。,求点Q的坐标.

1如图,抛物线y=—打2+bx+4与x轴交于A(-3,0),B两点与y轴交于点C.

(1)求抛物线解析式及B,C两点坐标；

(2)以A,B,C,D为顶点的四边形是平行四边形，求点D坐标；

⑶该抛物线对称轴上是否存在点E,使得NACE=45°,若存在,求出点E的坐标；若不存在，谓说明理由.

【答案】⑴抛物线解析式为y=-i%2-|x+4,B(l,0),<7(0,4)

⑵D(-2,-4)或D(-4,4)或D(4,4)

3)E(-啕

【解析】⑴解:：抛物线y=-92+加；+4与x轴交于A(-3,0),

'''—|x(—3尸—3b+4=解得b=

抛物线解析式为y=-^%2-1%+4,

当x=0时,y=4,

，C(0,4),

当y=0时,0=-#-+4解得/=-3,X2=1,

(2)VA(-3,0),B(l,0),0(0,4),

设D(m,n).

•.•以A,B,C,D为顶点的四边形是平行四边形当AB为对角线时,

等=”，等=等解得皿=-2〃=一4,

；.D(2-4);

当AC为对角线时，等=等，等=等解得：：m=-4,n=4

•••D(-4,4)当BC为对角线时，詈=等手=等解得：6=4,n=4

，D(4,4)

综上所述，以A,B,C,D为顶点的四边形是平行四边形，D(-2,-4)或D(-4,4)或D(4,4)⑶解:如下图所示，作AGXCE

交于点G,F为AC的中点，连接GO,GF,

ZACE=45°

••.△AGC是等腰直角三角形，

.•.A,。,。G在OF上，

VA(-3,0),C(0,4),

•••F(-|,2),AC=VAO2+CO2=5,GF=|XC=j

/AOG=/ACG=45。，

•*.G在y=-x上，

设G(t.-t),

则GF2=1+|)2+(T_2)2=(|)2解得h=V，t2=0(舍去)

•••点G(-H)

设直线CG的解析式为y=/cx+4.-.|=-|fc+4解得k.

，直线CG的解析式y=|x+4

VA(-3,0),B(l,0),

..・抛物线对称轴为直线式=等=-1,

当x=-l时,x(-1)+4=§,

・•,E（T号）

2如图,在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+2经过A(-|,0),B(3,孑两点，与y轴交于

y

⑴求抛物线的解析式；

(2)抛物线上是否存在点Q,使/QCB=45。?若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】(l)y=-x2+|x+2(2)存在，点Q的坐标为—)或(|-1)

【解析】327。)解将点AG*),B(3,今代入y=ax2+bx+2得：解:

9a+3b+2=J22

2

CL=-1

27

(b=L则抛物线的解析式为y=-x+|x+2.

2

⑵解:①如下图所示，当Q在BC下方时，过B作BH±CQ于H.过互作MN±y轴.交y轴于

y

ZCHM+ZBHN=ZHBN+ZBHN=90°,ZCHM=ZHBN,VZQCB=45°,.\ABHC是等腰直角三角形,CH=HB,

9

_2—t=3—SS=~ZQrx

.•.△CHM之△HBN（AAS）,；.CM=HN,MH=BN,设点H的坐标为H（s,0则｛$——t解得｛卿H（若）设直

2t=4

9_5__1

线CH的解析式为y=px+q,将点C（0,2）,H（：）代入得：｛”十，一Z解得［一一手则直线CH的解析式为y=-|

44q=2q=23

2,7.23

y——xH—%+Q2x=——y—n

%+2,联立直线CH与抛物线解析式得｛12解得｛3｛j二；即为点C）,则此时点Q的坐标为（

y=——％+2y=一＞一乙

/3y18

（卷懵）；②如下图所示，当Q在BC上方时，过B作BHXCQ于H,过H作MNLy轴，交y轴于M,过B作BN±MH

于N,

同理可知：此时点Q的坐标为((|，3综上所述存在这样的点Q，点Q的坐标为作唠)或

【标注】【知识点】二次函数与几何综合

3.如图，抛物线y=-x2+bx+c与z轴交于A,B两点，与y轴交于C点，直线BC方程为y=x-3

⑴求抛物线的解析式；

(2)点P为抛物线上一点，若SbPBo=[S-BC请直接写出点P的坐标；

⑶点Q是抛物线上一点，若^ACQ=45。,求点Q的坐标.

【分析】

⑴先根据一次函数解析式求出点B、C坐标；再代入y^-x2+bx+c,求出b、c即可求解；

⑵过点A作ANXBC于N,过点P作PMXBC于M,过点P作PE〃:BC,交y轴于E交抛物线于Px,P2过点E

作EFXBC于F,先求出AN=V2,再根据两三角形面积关系，求得PM=:从而求得CE=1,则点P是将直线BC

向上或向下平移1个单位与抛物线的交点，联立解析式即可求出交点坐标；

(3)过点Q作ADXCQ于D,过点D作DF±x轴于/财富点C作CEXDF于区证4CDE^ADAD(AAS)，得DE=

AF,CE=DF,再证四边形OCEF是矩形，得OF=CE,EF=0C=3,然后设DE=AF=n,贝(JCE=DF=OF=n+l,DF=3-n,贝！Jn+l=3

-n,解得：n=l,即可求出D(2,-2),用待定系数法求直线CQ解析式为y=1x-3,最后联立直线与抛物线解析式，求出

交点坐标即可求解.

(1)

解:对于直线BC解析式y=x-3,

令x=0时,y=-3,

则C(0,-3),

令y=0时,x=3,

则B(3,0),

把B(3,0),G(0,-3),分别代入y=-x2+bx+c得

之黄广。解得：｛—-3,

求抛物线的解析式为：y=-x2+4x-3;

⑵

解：对于抛物线y=-/+4%-3,

令y=0,则-x2+4x-3=0,解得:xi=1足=3,

•••A(1,O),B(3,0),

.•.OA=1,OB=3,AB=2,

过点A作AN±BC于N,过点P作PM±BC于M,如下图所示,

•••A(1,O),B(3,0),C(0,-3),

­.OB=OC=3,AB=2,

./ABC=/OCB=45°,

AN=V2,

•••S&PBC=5s△ABC，

PM=T

过点P作PE〃BC,交y轴于E,过点E作EF±BC于F,

贝！IEF=PM=y,

.\CF=1

•••点P是将直线BC向上或向下平移1个单位，与抛物线的交点，如图Pl,P2,P3,P4,

•••B(3,0),C(0,-3),

直线BC解析式为:y=x-3,

，平移后的解析式为y=x-2或y=x-4,

群立直线与抛物线解析式，得

-4*-3或｛"=—d+4x-

19,

jz=a

'合f

解得《一平［一学］广牛鱼士生

••.P点的坐标为（等,匚#或学,T或（手，三尹9或（手，三君.

⑶解如下图所示，点Q在抛物线上，且NACQ=45。,过点Q作ADXCQ于D,过点D作DF±x轴于F,过点C作C

EJ_DF于E,

ZADC=90°,

JZACD=ZCAD=45°.

二•CD=AD,

Z-E—Z-AFD=90°,

・•・ZADF=90°-ZCDE=ZDCE,

AACDE^ADAD(AAS),

・・・DE=AF,CE=DF,

・•・ZCOF=ZE=ZAFD=90°,

・•・四边形OCEF是矩形，

・・・OF=CE,EF=OC=3,

设DE=AF=n,

VOA=1,

.\CE=DF=OF=n+l

DF=3-n,

n+l=3-n

解得：n=l,

/.DE=AF=1,

.\CE=DF=OF=2,

/•D(2,-2),

设直线CQ解析式为丫=px-3,

把D(2,-2)代入狷p=|,

■直线CQ解析式为y=-3,

联立直线与抛物线解析式，得

1

y=-X—Q3

{；

y=—x+4%—3

解得:与题意不相符,舍去),

•••点Q坐标为(0，—]

【点睛】

本题属二次函数与一次函数综合题目，考查了用待定系数法求函数解析式，一次函数图象平行，全等三角形的

判定与性质，矩形的判定与性质，熟练掌握一次函数与二次函数的图象性质是解题的关键.

【标注】【知识点】二次函数

4如图，抛物线=-#+bx+c经过点B(4,0)和点C(0,2),与z轴的另一个交点为A,连接AC、BC.

⑴求抛物线的解析式及点A的坐标；

(2)如图1,若点D是线段AC的中点，连接BD,在y轴上是否存在点E，使得△BDE是以BD为斜边的直角

三角形?若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)如图2,点P是第一象限内抛物线上的动点，过点P作PQ〃y轴，分别交BC、x轴于点M、N,当^PMC

中有某个角的度数等于/OBC度数的2倍时，请求出满足条件的点P的横坐标.

【答案】(l)y=+|乂+2；a(-i，o)；

⑵存在E(0,3)或(0,-1)，使得△BDE是以BD为斜边的直角三角形；

(3)2或|

【解析】

【分析】

(1)利用待定系数法解答，即可求解；

⑵先根据中点坐标公式可得点D(-$1)设点E(0,m),再根据两点坐标公式可得DB2=(―＞。了十.

22222

—zu)?=m2_2m+-fBD=(4+2)+m=m+—BE=m+16,再由勾股定理，即可求解；

4\2/4

(3)先求出tanzOBC=方=［再求出直线BC的解析式，然后设点

(JDZ

P^a--|a2+|a+2)则Xf(a，-ja+2),CF=a,可得PM=-|a2+2a再分三种情况讨论:若/PCM=2/

OBC,过点C作CFIIx轴交PM于点F;若NPMC=2NOBC;若NCPM=2NOBC,过点P作PG平分NCPM,则NMPG=

NOBC,即可求解.

(1)

解把点B(4,0)和点C(0,2)代入，得:

{1xi6+46+c=0解得：{B=|C=2,

c=22

2

•••抛物线的解析式为y=-|x+|x+2,

令y=0,.则=-|x2+|x+2

解得：%1=-1,%2=4,

点A(-l,0);

(2)

解：存在，理由如下：

•.•点A(-l,0)，点C(0,2),点D是线段AO的中点，

.••点I(-1，1)，

设点E(0,m),

DE2=—0)+(1—m)2=m2—2m+1

BD2=(4+3+m2=m2+

BE2—m2+16,

・・・ABDE是以BD为斜边的直角三角形，

725o81

•••+16+mz—2m+-=4——.

44

整理得：m2—2m—3=0,

解得：m=3或-1,

，点E的坐标为(0,3)或(0,-1);

(3)

解:...点B(4,0),C(0,2),

..OB=4,OC=2,

•*'tanz_OBC———=—,

OB2

设直线BC的解析式为y=kx+b2(a0),

把点B(4,0),C(0,2)代入得：

{4k+瓦=0瓦=2,解得:[k=-j&i=2,

，直线BC的解析式为y=-1%+2,

设点F(a]—[M+gq+2)则M(厮—:a+2),CF=a,

•**PM=(——a2+万口+2)_(_—ci+2)=——(z2+2a,

若NPCM=2NOBC,过点C作CF〃x轴交PM于点F,如图甲所示，

：.ZFCM=ZOBC,SP(tanzFCM=tan/OBC=泉

JZPCF=ZFCM,

•・・PQ〃y轴,

・・・CF_LPQ.

APM=2FM,

i0

FM=-—a2+a,

4

士一=解得:解得:a=2或0(舍去).

.♦.点P的横坐标为2；

若/PMC=2NOBC,

ZPMC=ZBMN.

ZBMN=2ZOBC,

,ZOBC+ZBMN=90°,

../OBC=30。,与(tan/OBC=%=相矛盾，不合题意，舍去；

UDZ

若NCPM=2NOBC,如图乙所示，过点P作PG平分NCPM,则NMPG=NOBC,

NPMG=NBMN,

，APMG-ABMN,

/.ZPGM=ZBNM=90°,

ZPGC=90°,

VPG平分/CPM,即/MPG=NCPG.

/.ZPCM=ZPMC,

.PC=PM.

—-a2+2a=J+(——口2+50+2—2)

解得：a=|或0(舍去)，

.•.点P的横坐标为|

综上所述，点P的横坐标为2或|

【点睛】

本题主要考查了二次函数的综合题，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，熟练掌握二次函数的综合题,

直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键.

5如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-久2+6久+cc与z轴分别交于点A(-l,0)和点B与y轴交于点C(0,

3).

(1)求抛物线的解析式及对称轴；

(2)如图1,点D与点C关于对称轴对称，点P在对称轴上，若4BPD=90。,求点P的坐标；

⑶点M是抛物线上位于对称轴右侧的点，点N在抛物线的对称轴上，当^BMN为等边三角形时，请直接写出

点M的坐标.

【答案】(l)y=•%2+2%+3,对称轴x=l;

(2)P(l,l)或(1,2);

(3)M的坐标为(誓，生|二或M(竽，谓二)

【解析】解:⑴把A(-1,O),点C(0,3)的坐标代入y=-x2+bx+c,

得到｛10二3解得｛b=2

抛物线的解析式为y=-x2+2x+3,对称轴：=-'=1.

—Z

⑵如下图1所示，连接BD,设BD的中点T,连接PT,设P(l,m).

点D与点C关于对称轴对称.C(0,3).

；.D(2,3),

•••r(I，I),BD=1(3-2)2+32=Vio,

.­.乙NPD=90°,DT=TB,

nTV10

PT=-BD=——，

22

(1_I)2+(m-I?=(钓，解得m=l或2,

；.P(1,D或(1,2).

(3)当点M在第一象限时，△BMN是等边三角形，过点B作BTLBN交NM的延长线于T,设N(l,t),作TJ±z

轴于点J,设抛物线的对称轴交x轴于E.

•••ABMN是等边三角形，

ZNMB=ZNBM=60°,

:ZNBT=90°,

•••Z.MBT=30°,BT=百BN,

乙NMB=乙MBT+乙BTM=60°,

乙MBT=乙BTM=30°

AMB=MT=MN,

・.•ZNBE+ZTBJ=90°,ZTBJ+ZBTJ=90°,

JZNBE=ZBTJ.

•••乙BEN=乙TJB=90°,

・・・ABEN-ATJB,

・・・幺=m=更=B

EBENBN

...BJ=Wt,TJ=2V3,

・•・T（3+同2何

VNM=MT,

...M”空）

点M在y=-z2+2x+3上，

2

雪=-（等）+2x等+3,整理得，

3t2+（4V3+2）t-12+4V3=0,解得t=-2必（舍弃）或空|二

M

如下图3-2所示，当点M在第四象限时，设N（1,n）,过点B作BTLBN交NM的延长线于T.

同法可得7（3-百-28）,M（匕争，匕汽

2

则有-?=—（手）+2x手+3,

整理得31+（2-4V3）n-12-4遍=0,

解得n=誓二或2次（舍弃），

（6+6-473-1^

M

综上所述，满足条