高三理科数学二轮复习讲义：三角恒等变换与解三角形

模块二》

专题整合与考点突破篇

专题二三角函数、平面向量

第二讲三角恒等变换与解三角形

利用各种三角函数进行求值与化简，其中降器公式、辅助角公式是考查的

重点.

2.利用正、余弦定理进行边和角、面积的计算，三角形形状的判定以及有

关范围的计算，常与三角恒等变换综合考查.

高考真题体验Gaokaozhentitiyan.........................................................................»＞细研真题探明考向

1.(2016.全国卷II)若cos2—0)=!■,则sin2a=()

711c7

A,25B,5C--5D--25

［解析］解法一:

**sin2a=cos]/2aj—cos2

7

=2cos2al—1=2X1=一数.故选D.

乙J

71^(cosa+sina)=|,/.cosa+sina=3啦

解法二：「cosl1+sin2a

A~a.5，

187

X，sin2a=一石.故选D.

［答案］D

2.(2017•山东卷)在△A5C中，角A,B,。的对边分别为a,b,c.若△ABC

为锐角三角形，且满足sini5(l+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC,则下列等式成立

的是（）

A.a=2bB.b—2aC.A=2BD.B=2A

［解析］解法一：因为sinB(l+2cos0=2sinAcosC+cosAsinC,所以sin5+

2sinficosC=sinAcosC+sin(A+C),

所以sinB+2sinBcosC=sinAcosC+sinB,

即cosC(2sinB—sinA)=0,

所以cosC=0或2sinB=sinA,

即。=90。或2b=a,

又△A5C为锐角三角形，所以0。＜。＜90。，故2b=a.故选A.

解法二：由正弦定理和余弦定理得

(a2+Z?2—c2^|tz2+Z?2—c2Z?2+c2—a2

中十ab■尸2"X讪+cX诋,

卜屋+02-。2、

所以2加1222

1=a+3Z7—c,

ab?

即W（"2+千一C2）=次+左一f2,

4=。，

即（居+炉-c2）1

所以屋+〃=c2或2b=a,

又△A5C为锐角三角形，所以次+加*2,故2b=Q,故选A.

［答案］A

3.（2017•浙江卷）已知△ABC,AB=AC=4,5C=2.点。为AB延长线上一

点，BD=2,连接CD,则△50。的面积是,cosZBDC=.

42+22—1

［解析］由余弦定理得cosX.ABC=ov/ivo=~A

「・cosZCBD=—sin/CBD=华,

：.SABDc=^BD-BCsinZCBD=^X2X2X^=^-.

1

-

24

又COSZASC=COS2ZBDC=2COSZBDC—

71

Q<ZBDC<2,

.遮

..cosZBDC=4.

芳案返亚

L口木」94

4.(2017•全国卷I)4A5C的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知△

〃2

ABC的面积为『方

(1)求sinfisinC；

(2)若6cos氏osC=l,a=3,求△A5C的周长.

［解］⑴由题设得%。加=磊，即:csin5=品.

1qin.

由正弦定理得,sinCsinB=晨工^.

故sinfisinC=1.

(2)由题设及⑴得cos5cosc—sinBsinC=-即cos(B+C)=—

所以B+C=牛，故4=全

1〃2

由题设得；反近114=缶，即儿=8.

由余弦定理得U+c?—bc=9,即(b+c)2—3bc=9,得》+c=［药.

故△ABC的周长为3+^33.

核心考点突破Hexinkaodiantupo..................................................»＞典例精析题型突破

考点一三角恒等变换

1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式

(1)sin(a土夕)=sinacos夕土cosasin夕.

(2)cos(a土用)=cosacos母sinasin".

tana±tan^

(3)tan(a±£)=

1+tanatan^'

2.二倍角的正弦、余弦、正切公式

(l)sin2a=2sinacosa.

(2)cos2a=cos2a—sin2a=2cos2a—1=1—2sin2a.

2tana

(3)tan2a=

1—tan2a

3.辅助角公式

asin%+bcos%=+炉sin(%+0)］其中tan。='.

［对点训练］

711m2(+力的值是(

1.(2017•贵阳监测)已知sin6~ay则COS)

A.|B.；C.—1D.7

9

71171717

［解析］cost2a)=cos2|2

.sm6~ay1a=1—2sin1a亨

271兀-7

cos2弓+。=cos+2a1=cos7i—2aj=—cosl^2a1=—

39-

［答案］D

2.(2017•福建省福州市高三综合质量检测)已知产黑二，鲁若sin2(a

+y)=3sin2W，则加=()

133

A，2B.4C，2D.2

［解析］设A=a+^+y,B—a—/3~\-y,贝U2(a+y)=A+B,2^=A—因为

sin2(a+y)=3sin2^,所以sin(A+B)=3sin(A—B),即sinAcosB+cosAsinB=

3(sinAcosB-cosAsinfi),即2cosAsin5=sinAcos5,所以tanA=2tan5,所以机=

tanA

=2,故选D.

tanB

［答案］D

3.若sin2a=申，sin(^—a)=^^,且J,n,眸兀，与，则a+4的

值是_______

［解析］因为彳，兀，故2a£万，2n,又sin2a=之-,故2a£刁，n,a

nn唔火兀,37111八71571

=

币2，••cos2ot~2，故用一打仁万,V，于是cos0—a)=

3^10

cos(a+W)=cos[2a+(0—ex)]=cos2acos0—a)—sin2asin0—a)=一

10'

¥><—普)Y><嚅=笔且"好件,24故叶看竽

7jr

[答案y

|名师点拨A

(1)三角恒等变换的三原则

①一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进

行合理拆分，从而正确使用公式，如1题.

②二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常

见的有“切化弦”.

③三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常

见的有“遇到分式要通分”等.

(2)解决条件求值应关注的三点

①分析已知角和未知角之间的关系，正确地用已知角来表示未知角.

②正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表

示.

③求解三角函数中给值求角的问题时，要根据已知求这个角的某种三角函

数值，然后结合角的取值范围，求出角的大小，如3题.

考点二解三角形

1.正弦定理

b

为△外接圆的直径）.

sinAsinBsinC=2RQRA5C

变形：a=2RsinA,b=2RsinB,c=2i?sinC.

.,a.一b

2R,=sinC=泰

sinA=sinfi2R'

a：b：c=sinA:sinB:sinC.

2.余弦定理

a2=/>2+c2—2bccosA,b2=a2-\-c2—2accosB,

c2=a2+Z?2—2abeosC.

b2-\-c2—crcr-i-^—b2

推论:c-2bc'cos"2ac

屋+"―/

cosC=2ab

变形：Z72+c2—a2=2bccosA,a2-］rc2—b2=2accosB,a2-lrb2—c2=2abcosC.

3.面积公式

S^ABC=；0csinA=；acsin5=；a加inC角度1：利用正弦、余弦定理判断三角

形的形状

角度1：利用正弦、余弦定理判断三角形的形状

【例1一1］（2017•长春调研）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,6,c,若细正

且B=2C，则△ABC的形状是（）切入点：应用正弦定理边

L-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------＞化角

A.等腰直角三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.等边三角形

［解析］2bcosC—2ccos5=a,2sinBcosC—2sinCcosB=sinA=sin(B+

.2tanC

C),即siiLBcosC=3cos5sinC,tanB=3tanC,又B=2C,=3tanC,

•1—tan2c

得tanC萼C=l，B=2C=l，A苦，故△ABC为直角三角形•

［答案］B角度2：在三角形中利用正、余弦定理进行边角计算

角度2：在三角形中利用正、余弦定理进行边角计算

【例|1一2】（2017•甘肃省张掖市高三一诊）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是

a,6,c,若c=2a,6sinB—asiaA=}asinC,贝sinB为（）切入点：利用正弦定理转

化为边的关系，再借助余

弦定理求解.

由加in5—asinA=；asinC及正弦定理得加一屋=；ac,又c=2a,所

［解析］

cr-\-c1—lr屋+4屋一2屋3I小

以b—y［^2ci,'：cosB=2^=w=不-smB=y1—㈤=4-

故选A.

［答案］A角度3：结合正、余弦定理进行面积的计算

角度3:结合正、余弦定理进行面积的计算

【例1一3］（2017•全国卷U）Z\A8C的内角A,B,C的对边分别为a,6,c,已知的£

工「、Q.2B厂,切入点：确定角的关系.

+C）=8sin—.；

⑴求cosB；

关键点：由面积公式和余

（2）若a+c=6,4ABC的面积为2,求b.

弦定理求解.

代换A+a——

［思维流程］⑴I为二B卜旧重式曰求出血1

r--^结合面积公借助余弦

(2)|求sin3|「式】后或.

定理求出b

［解］(1)由题设及4+5+。=兀得sinB=8sin2号,故sinB=4(l—cos5).

上式两边平方，整理得17cos25—32COS5+15=0,解得cos5=1(舍去)，cosB

15

=行

158

(2)由以)55=万得sinB=py,

14

故S/\ABC==yrjCIC.

17

=

又S^ABC29贝！］ac=~^.

由余弦定理及a+c=6得b2=a2+c2—2accosB={a~\~c)2—2ac(1+cosB)=36

-2XyX

所以b=2.

|名师点拨A

正、余弦定理的适用条件

（1）“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定

（2）“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定

【特别提醒】应用定理要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统

一结构”.

［对点训练］

1.［角度1］（2017.洛阳模拟）在△A5C中，角A,B,。的对边分别为a,b,

Ab「

c,cos^=.,则△A5C的形状一定是（）

A.正三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.等腰直角三角形

1+cosAsinB+sinC1sinB

2'sinC-r2,

cosAsinC=sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,

/.sinAcosC=0,sinAWO,.\cosC=0,为直角.故选B.

［答案］B

2.［角度2］(2017.辽宁师大附中模拟)在△A5C中，内角A,B,。所对的边

长分别为a,b,c,且满足asinBcosC+csin5cos4=，?，则5=()

兀_45兀-兀一兀—5兀

A%或不B3C-6DT

［解析］asinBcosC+csinBcosA=^Z?,

由正弦定理可得sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=^sinB.

又「siaBWO,「・sinAcosC+sinCcosA=^,

解得sin(A+C)=sinB=^.

jr57r

=工或・故选

<0<B<7i,/.5o7o~A.

［答案］A

3.［角度3］(2017•威海模拟)已知a,b,c分别为△45。三个内角4,B,C

的对边，a=2,且(2+b)(sinA—sin5)=(c—b)sinC,则△A5C面积的最大值为

［解析］由正弦定理得,(2+b)(a—b)=(c—b)-c,又。=2,所以〃+c?—与c

/—41jr

22

=4,所以cosA=r>i=?人=5,故A=,.因为Z7+c^2bc9所以bcW4,

所以SxABc=*csinAW；X4X^=小，当且仅当b=c时取等号.

［答案］小

考点三正、余弦定理的实际应用

1.实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可

用正弦定理或余弦定理求解.

2.实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角

形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，

有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解.

［对点训练］

1.（2017.济南二模）张晓华同学骑电动自行车以24km/h的速度沿着正北方

向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30。方向上，15min

后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75。方向上，则电动车在点B时与电视

塔S的距离是（）

A.2吸kmB.3^2kmC.3@kmD.2小km

［解析］画出示意图如图，

北

由条件知布.在△中，。，。

45=24XoU=6ABSNA4S=30A5=6,NA5s=180

-75°=105°,所以NAS5=45。.<%=二%,所以5s=一吗芈=3隹

sin30sm45sin45v

［答案］B

2.（2017•广东省五校协作体高三一诊）

D

如图所示,在一个坡度一定的山坡4。的顶上有一高度为25m的建筑物CD,

为了测量该山坡相对于水平地面的坡角e,在山坡的A处测得NZMC=

15°,沿山坡前进50m到达5处，又测得ND5C=45。，根据以上数据可得

COS0=.

［解析］由NZMC=15。，ND5C=45。可得N5ZM=30。，ZDBA=135°,Z

BDC=90o-(15°+6»)-30o=45°-6>,由内角和定理可得NDC5=180。一(45。一。)

—45。=90。+。，根据正弦定理可得;1张=^^，即DB=100sinl5°=

rr-2525嫄(小—1)25

100Xsm(45o-30°)=25V2(V3-1),又sin45°=sin(900+8)'即sin45。=

吟|山，得到8SI5T

［答案］73-1

|名师点拨A

解三角形实际问题的4步骤

分析|一|理解题意，分清已知与未知，画出示意图一

|根据已知条件与求解目标，把已知量与求解

连圜一量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解

I斜三角形的数学模型

।利用正弦定理和余弦定理有序地解三角形，

求解一

——I求得数学模型的解

|检验上述所求的三角形是否具有实际意义，

检验—

----|从而得出实际问题的解________________________

名师微课导子Mlingshiweikedaoxue>>>技巧点拨升华素养

热点课题8解三角形中的范围问题

应用举例破题关键点

【典例】(2017•兰州模拟)ZVIBC的内角A,B,C的对边分别为a",c,已

＞切入点：利用正弦定理边化角.

⑴求B；

关键点：利用余弦定理及重要不

(2)若6=2，求生迩画烈澡玄慎.

〉等式求出*的范围，再应用面积

公式求解.

规范解答-得分要点构建课题模板

［解］(1)由已知及正弦定理得

sinA=sinBcosC+sinCsinB........................................(2分)①第一步定已知：梳理已知条件，

确定三角形中已知边和角以及

VA=K-(B+C),

sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC.........................(4分)②待求问题，然后确定转化的方向.

第二步选定理：根据已知条件和

由①②和CG(0,TT),得tanB=L

所求问题合理选择转化的定理，

VBG(0,K),r.B=y................................................(6分)

进行边角间的转化.边角互化

(2)由已知及余弦定理得4=a2+?-2accos4-........................(8分)时，应注意转化的方向，一般有

4两种思路：一是全部转化为边之

Va2+c2^2ac»432ac—2accos-7-»间的关系；二是全部转化为角之

4

间的关系，然后进行恒等变换.

:・ac<—生产，当且仅当a=c时，等号成立..........................(10分)