高考数学复习讲义：空间向量在几何体中的运用

考点34空间向量在几何体中的运用

知识梳理

一.设直线/,用的方向向量分别为。，b,平面a,4的法向量分别为叫，％，则有如下结论:

位置关系向量表示

IAUUIAUU

直线的方向向量分别h//h=k

线线位/2nx〃n2n2(止R)

l>UI

置关系

为〃1，n2

IMLB1u

Zl±/2"1'U2O"i.U2=°

1I*1

直线/的方向向量为;，平I//a

线面位n^-mm=0

置关系面a的法向量为］15AUL

l-La〃〃m=km(%£R)

1OAU

a//Pn〃m=km(%£R)

面面位平面a,/的法向量分别为

1U.

置关系n，mii>ii>

aJ_4nLmm=°

二.点面距

已知AB为平面。的一条斜线段(A在平面。内)，〃为平面a的法向量，则B到平面。的距离为

d=||ABIcos<AB,n>|=||AB\ABn|=注：空间中其他距离问题一般都可以转化为点面距问题.

\AB\\n\|n|

三.异面直线所成角

设异面直线a,6所成的角为仇则cosO=cosd=，其中4、方分别是直线a、b的方向向量

四.直线与平面所成角

rragra

/为平面a的斜线，联为/的方向向量，;为平面a的法向量，夕为/与a所成的角，则S"咿=|C0S储㈤|=巧产值线与

平面所成角的范围为［0,2J)

五.二面角

l>IMLBUU

平面a的法向量为4,平面0的法向量为%(6，%

精讲精练

题型一空间向量证平行垂直

【例1】（2024•全国高三专题练习）如图所示，平面丛。，平面ABCDABC。为正方形，是直角三角形，且也

=AD=2,E,F,G分别是线段B4,PD,C。的中点.求证：

（1）尸2〃平面EFG；

⑵平面EFG〃平面PBC.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】（1）因为平面平面A8CD,且ABCD为正方形，所以AB,AP,AQ两两垂直.

以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A-孙z,贝UA(0,0,0),3(2,0,0),C(2,2,0),。(0,2,0),P(0,0,2),£(0,0,1),

F(0,1,1),G(l,2,0).

法一：EF=(0,1,0),EG=(1,2,-1)

设平面EFG的法向量为n=(x,y,z),

n-EF=0fy=0

则〈，即＜cc，令z=l，则”=(1,0,1)为平面EFG的一个法向量，

n-EG=0[x+2y-z=0

,/PB=(2,0,-2),

：•PBn=。，所以〃，PB，

；PBC平面EFG,

；.尸8〃平面EFG.

法二：PB=(2,0,—2),FE=(O,-1,O),FG=(1,1,-1).

设PB=sFE+tFG，

即(2,0,i2j—5(0,—l,0)+/(l,l5—1)»

t=2

所以＜/-s=0解得s=f=2.

—t=—2

:•PB=2FE+2FG，又EE与尸G不共线，所以PB，FE与歹@共面.

平面EFG,

；.尸2〃平面EFG.

(2)由⑴知:EF=(0,1,0),BC=(0,2,0),

二BC=2EF，所以BCHEF.

又EEC平面PBC,BCu平面尸8C,所以£77/平面PBC,

同理可证GF//PC,从而得出G/7/平面PBC.

又EFCGF=F,EFG,GPu平面斯G,

平面EFG〃平面PBC.

【举一反三】

1.(2024•全国高三专题练习汝口图所示，在直二面角O-AB-E1中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB,F

为CE上的点，且斯，平面ACE.

⑴求证：AE_L平面BCE；

(2)求证：平面平面ABCD.

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.

【解析】•.•48。。为正方形，，3015,

•.,二面角。―AS—E为直二面角，i?C_L平面AEB,

以线段A3的中点为原点。，OE所在直线为x轴，

所在直线为》轴，过。点平行于AD的直线为z轴,

如图，建立空间直角坐标系O-孙z,

则A(OTO),3(0,1,0),C(0,l,2),£>(0,-1,2),

设E(Xo,O,O)(x()>0),

•••尸为CE上的点，EC=(-x0,1,2),

设丽=4配=(-4,424),•••F((l-/l)x0,2,22),

BF=((1—A)x0,A—1,2/1),AC=(0,2,2),AE=(xo,l,O),

,/族，平面ACE,•*.BFAC=2(2-l)+42=0,

且5户・AE=(1—㈤%+2—1=0,解得%=1,2=|,A£(1,0,0),F(|,1,|),

(1)AE=(1,1,0),BE=(-1,1,0),•••AEBE=O--AE±BE>

：3C_L平面AEB,AE_L平面BCE；

(2)由题意可知，平面ABCD的法向量为OE=(1,0,0),

222

设面应>产的法向量为加=(x,y,z),=BD=(0,-2,-2),

222

/n-BEuiX-iy+iznO且根.3£)=-2>+22=0,取z=l，则y=l，尤=0,

...加=(0,1,1),...m.OE=0，二平面8D厂，平面ABC。.

2.(2024•全国高三专题练习)如图，在多面体ABC—ABC中，四边形是正方形，AB=AC,BC=42AB,BiCi=

求证：(1)421，平面A4C；

(2)43〃平面ACC

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.

【解析】因为二面角4-AB-C是直二面角,

四边形为正方形，

所以44」平面A4C.

又因为AB=AC,BC=y/iAB,

所以NC4B=90。，

即CALAB,

所以AB,AC,A4i两两互相垂直.

建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,

设AB=2,则A(0,0,0),81(0,2,2),4(0,0,2),C(2,0,0),1,2).

⑴44=(0,2,0),44=(0,0,-2),AC=(2,0,0),

设平面A4C的一个法向量〃=(x,y,z),

n-AA=Q-2z=0x=0

则[即《,即《取y=l,则〃=(0,1,0).

〃AC=02x=0z=0

所以44=2n,

即44//〃.

所以平面AAiC.

(2)易知A4=(0,2,2),AG=(1,1,0),AC=(2,0,-2),

设平面4cle的一个法向量旭=(xi,yi,zi),

m-^Cj=02+y,=0

m-AiC=02%—2Z1=0

令乃=1,则yi=-1,zi=l,

即加=(1，—1,1).

所以Ag=0xl+2x(—l)+2xl=0,

所以做

又ABU平面4GC,

所以ABi〃平面4cle

题型二空间向量求线线角

【例2】（2024•西安市航天城第一中学）在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖

膈，如图，在鳖膈ABC。中，42,平面BCD,且AB=2C=CD则异面直线AC与8。所成角的余弦值为（）

如图所示

分别取AB,AD,BC,3。的中点E,F,G,O,则EF//BD,EG//AC,FO±OG,

：.NEEG或其补角为异面直线AC与5。所成角.

设AB=2a,则EG=EE=。，FG=^cr+cr

:.ZFEG=60°,

二异面直线AC与所成角的余弦值为二，故选：A.

2

【方法总结】

方法一：几何法求线线角

平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为

共面直线问题来解决，具体步骤如下：

①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；

②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；

③计算：求该角的值，常利用解三角形；

④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是,当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条

异面直线所成的角.

方法二：空间向量

建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量夹角（直线方向向量与直线方向向量、直线方向向量与平

面法向量，平面法向量与平面法向量）余弦值，即可求出结果.

【举一反三】

1.（2024・广西河池市）如图，在四棱锥尸-A5CD中，平面四边形ABCD为正方形，PA=AB,E为

AP的中点，则异面直线PC与OE所成的角的正弦值为（）.

A&RA/5「

A.-------D.------C.---------

555

【答案】D

【解析】连AC,5。相交于点。，连BE,

因为E为AP的中点，。为AC的中点，有可得NO即为异面直线PC与OE所成的角，不妨设正方形

中，AB=2,则上4=2,

由24,平面ABCD,可得上4,Afi,%LAD,

则BE=DE=-x/l+4=y[5，OD——BD=—x2^2=A/2,

因为BE=DE,。为3。的中点，所以NE8=90。，sin/OED=吗=£=叵.故选：D.

DE布5

2.（2024•陕西西安市・西安中学）如图，四面体ABC。中，CD=4,A5=2,E，歹分别是AC/。的中点，若即，A5,

则所与CD所成的角的大小是（）

【答案】A

【解析】如图所示:

取8c的中点G,连接EG,FG,因为E,F,G都为中点，所以EG/MS,FG//CD,

所以NFEG,BEFG分别为异面直线EE与AB,E尸与CD所成的角，

因为防，AB,所以NFEG=90

又因为CD=4,AB=2,所以EG=1,PG=2所以sinNERG=L,

2

冗TT

因为NEFGe（0,—],所以/EFG=一故选：A

26

3.（2024•安徽高三期末）已知棱长为2的正方体ABC。—A4G。中，P，E,F,G分别为CC-CD,DQ,\BX

的中点，则异面直线GF与PE所成角的余弦值为（）

A.-B.也C.旦D.在

3336

【答案】C

【解析】如图所示:

取2G中点X，连接近，则HF//PE,即NGEH为异面直线G尸与PE所成的角，可得HF=插,GH=2,

卓=立.故选:

所以GF=^6，从而得到cosa=C

V63

题型三空间向量求线面角

【例3】（2024•北海市北海中学高三月考）在四棱锥P-ABC。中，出J_底面ABC。，ADLAB,AB//DC,AD^DC^AP

=2,AB=1,点E为棱PC的中点.

⑴求证：BE±DC；

（2）求直线PC与平面PDB所成角的正弦值.

【答案】⑴证明见详解；⑵立

3

【解析】（1）证明：依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系如图:

可得5（1,0,0）,。（2,2,0）,£＞（0,2,0）,P（0,0,2）,E。』」），

BE=（0,1,1）,DC=（2,0,0）,故BE.℃=（）,所以BELDC.

(2)BD=(-1,2,O),PB=(1,0,-2),PC=(2,2,-2)

设〃=(x,y,z)为平面PBD的一个法向量，

n-BD=0-x+2y=0.、

则《即cc，不妨令y=i，可得"=(2,1,1.

n-PB=0[x-2z=0')

设直线PC与平面PDB所成角为。

/.\n-PC\4J2

于是有sin8=cos(n,PC)=%_L------

'/|n||PC|=76x273=3t

所以直线PC与平面BSD所成角的正弦值为它.

3

【方法总结】

解决线面角相关问题通常用向量法，具体步骤为：

(1)建坐标系，建立坐标系的原则是尽可能的使得已知点在坐标轴上或在坐标平面内；

(2)根据题意写出点的坐标以及向量的坐标，注意坐标不能出错.

(3)利用数量积验证垂直或求平面的法向量.

(4)利用法向量求距离、线面角或二面角.

【举一反三】

1.(2024•浙江高三期中)如图，已知三棱锥尸—A5C中，平面ABC,ACA.BC,PA=AC=BC,DB=2AD,

M,£分别为M、PC的中点，N为AE的中点.

(I)求证：MNLCD-

(II)求直线M和平面PC。所成角的正弦值.

【答案】(I)证明见解析；(n)Y2.

3

【解析】(I)证明：如图，以C为原点，CA,C3所在直线为x轴、y轴，建立空间直角坐标系,

设P4=AC=5c=2,则A(2,0,0),B(0,2,0),C(0,0,0),P(2,0,2),

所以“(1,1,1),E(l,0,1),

所以朋^=(3，一1,一；1,8=与|>0],

因为=—1x2—‘x0=0,

■2332

所以MNLCD.

(n)由(I)知河=(一2,2,—2),而=(2,0,2),

设平面PCD的法向量n=(x,y,z),

42c

CDn=0,—x+—y=0,

则得33

CPn=Q.

2x+2z=0.

令x=l,则y=-2,z=-l,故平面PCD的一个法向量为"=(1,-2,-1),

设直线05与平面PCD所成的角为。，则

.八\PBn\|-2xl+2x(-2)-2x(-l)|40

sint/--------=--------------------------=---------=—

\PB\\n\74+4+4x71+4+12石x遍3-

所以直线。5和平面PCD所成角的正弦为正.

3

2.（2024•浙江绍兴市•绍兴一中高三期末）在三棱锥A—BCD中，AB=AD=BD=2,BC=DC=①，AC=2.

⑴求证：BD±AC；

3

(2)若P为AC上一点，且AP=—AC,求直线6P与平面AC。所成角的正弦值.

4

【答案】(1)证明见解析；(2)逋.

7

【解析】(1)取中点。，连接AO,0C,因为A3=A£>,BC=DC,

所以BOLAO,BD±OC,又因为AOOC=O,所以30,平面AOC,

即5。LAC.

(2)由(1)得，3D，平面AOC,又因为皮)u平面BC。，

所以平面AOC±平面BDC,

易得A0=若，OC=l,所以4。2+0。2=4。2,即a。，。。，

又因为平面AOCI平面比>。=(9。，所以40,平面3。。，

如图所示，以射线08,OC,0D为x,y,z正半轴建系，

A(0,0,A/3),3(1,0,0),C(0,l,0),D(-l,0,0),P0,1,^

(3⑸_

BP=-1，-，-,DA=(1,0,73),DC=(1,1,0),

n-DA=0%+百2=0『f-

设无=(x,y,z)为平面ADC一个法向量，则有，,取〃=(—3,3,g)

n-DC=Qx+y=0

93

n-BP3+4+4=46

设。为直线旅与平面ACD所成角，则卜in9|=

\4\BP\向.近7

2

即直线8。与平面ACD所成角的正弦值为空.

7

3.(2024•浙江绍兴市•高三期末)已知三棱柱ABC—A与G中，平面ACGA，平面ABC，=AC=*=台。，

4B=V2BC.

（I）求证：Be，平面ACGA；

（II）求直线ABX与平面4BC所成角的大小.

【答案】（I）证明见解析；（11）60°.

【解析】（I）如图所示：

证：作A"，AC于

因为A"u面AAC,面AAC_L面ABC且交于AC.

A”，面ABC,

因为BCu面ABC,44，5C(1)

在八ABC中，由BC=AC,AB=sfiBC,得到+=4笈

/.ZA.CB=90°,即*_LBC(2),

由(1)(2)得3(?_1面4AC.

(H)方法1(几何法)

如图所示：

取4。的中点G,取A3的中点。，连AG,DG,则AGJ_4。，

由（I）可知面43C，面4AC,且面ABC面AAC=4。

所以AG，面ABC,则NAQG为所求线面角.

在.4AC,设4。=。4=惧=2。，则AG=N，

由。、G分别为48,4。中点，得DG=3BC=a,

在RtVADG中，tanNADG=^=®=百，

DGa

即直线AB｝与平面A.BC所成角60°

方法2（坐标法）

以AC中点。为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系：

设AC=2,A(l,0,0),3(—1,2,0),C(-l,0,0),A,(0,0,^3)，C\=(1,0,73),C5=(0,2,0).

设平面ABC的法向量”=（%y,z）,则

n-C\=0y=0

由，解得《

n-CB=0x=-A/3Z

取”=(—A/3,0,1).

ABl=AB+AAl=(-2,2,0)+(-1,0,73)=(-3,2,A/3),

I_473_V3

记所求线面角为氏则sin6=|-

cos<AB],n>I2x4

即直线ABX与平面AXBC所成角60°.

题型四空间向量求二面角

【例4】（2024•盐城市伍佑中学高三期末）在三棱柱ABC—A用C］中，CGJ_平面ABC,ABA.AC,ABAC=A\,

E是AG的中点•

⑴求证：AB八CE；

(2)求二面角B-CE-A的余弦值.

2

【答案】(1)证明见解析；(2)§.

【解析】⑴在三棱柱A5C—4与。1中，CG，平面ABC,则A4］，平面ABC,

AB±AC,以点A为坐标原点，AB.AC.AA1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，如下图所示:

设A5=AC=AA=2,则4（0,0,0）、5（2,0,0）、C（0,2,0）,E（0,l,2）,

AB=（2,0,0）,CE=（O,-l,2）,KOAB-CE=2x0+0x（-l）+0x2=0,

因此，AB八CE；

⑵设平面BCE的法向量为加=（%,如zj,CB=（2,-2,0）,CE=（0,-l,2）,

m-CB=2x-2y.=0、

由11Z1八，取M=2,贝！!石=2,Z]=l,可得m=（2,2,1）,

mCE=—yx+24=0

m-n22

易知平面ACE的一个法向量为n=(1,0,0),cos<m,n>=

由图形可知，二面角3—CE—A为锐角,

因此，二面角3—CE—A的余弦值为2.

3

【方法总结】

利用空间向量法求解二面角的步骤如下：

（1）建立合适的空间直角坐标系，写出二面角对应的两个半平面中对应的点的坐标；

（2）设出法向量，根据法向量垂直于平面内两条直线的方向向量，求解出平面的法向量（注：若半

平面为坐标平面，直接取法向量即可）；

（3）计算（2）中两个法向量的余弦值，结合立体图形中二面角的实际情况，判断二面角是锐角还是

钝角，从而得到二面角的余弦值.

【举一反三】

1.（2024・湖北高三月考）如图，在四棱锥尸-ABCD中，平面平面

ABCD,AB//CD,AB±AD,CD=PD^AD=^AB.

⑴求证：平面尸平面B43；

（2）若AP=£>C=2,求二面角O—PC—5的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）亚.

5

【解析】（1）证明：取。B的中点EAP的中点口，连接DF,EF,EC,

因为点E是P5中点，点p是上4中点,

所以M//AB,且所=把.

2

又因为AB//CD,且CD=——，

2

所以EF//CD,且EF=CD,

所以四边形EFDC为平行四边形，

所以CE//DF.

因为平面PAD平面ABCD,平面PADr平面ABCD=AD,AB±AD,ABu平面ABCD,

所以A3，平面PAD,又。尸u平面PAD,

所以AB，。？

因为尸£>=A£>,点/为P4的中点，

所以DELAP.

因为CE//DF,所以CE±AB,CE±AP.

又APcAB=A,AP,ABu平面PAB,

所以CE_L平面P4A

又因为CEu平面PBC,

所以平面P3CL平面

(2)作AD,BC的中点分别为O,G,连结OP,OG,则OG//AB,

因为AB，平面PAD,PO,ADu平面PAD,

所以ABJ_P。,A3LAD,

所以OG，AO,OG，PO.

因为AP=DC=2,CD=PZ>=AD=2,

所以为正三角形,

所以P。，AD,DF=P0=6,AB=4

所以PO，OG,PO±AD,OG±AD,

即。4,OG,OP两两垂直，

以点。为坐标原点，分别以。4,OG,OP的方向为苍％z轴的正方向，建立空间直角坐标系

则。(0,0,括),。(-1,2,0),。(-1,0,0),以1,4,0),

所以PD=(-1,0,-73),PC=(-1,2,—道),BC=(-2,-2,0),

设平面PDC的一个法向量为,=(九,y,z),

n-PD=0,F-X-A/3Z=0

则，即《「

n,PC=0,[-x+2y-v3z=0,

取z=l,则〃=0后0,1卜

设平面PBC的一个法向量为加=(%',y',z'),

,m-PC=0,—x'+2y'-\f3z'=0

则｛即＜,,，

m-BC=0,[-2x'-2y'=0

取x'=-l,则根=(—,

所以sin〈加,n）

所以二面角D-PC-B的正弦值为叵.

5

2.（2024.山西吕梁市.高三一模）如图，四棱锥S-MCD中，AB//CD,BCLCD,侧面SCD为等边三角形,

AB=BC=4：,CD=2,SB=2出.

⑴求证：BCLSD-,

（2）求二面角B-AS-D的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）得.

【解析】（1）由己知BC=4,SC=2,SB=2非得,

SB2^BC2+SC2,所以ZBCS=90°,所以5CLCS,

又BCLCD,CDCS=C,所以BC,平面SCO,

又SDu平面SCO,所以BCLSD.

（2）以。为坐标原点，取AB中点E,

DE，。。的方向分别为X轴，y轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系。-孙Z,

则3（4,2,0）,4（4,—2,0）,S（0,l,G）.

所以ZM=（4,—2,0）,DS=（0,l,V3）,AB=（0,4,0）,BS=（-4,-1,^.

平面IMS的法向量为加=（羽y,z）,

m-DA=04x-2y=0

则即《

m•DS=0y+百z=0

即X=l,则y=2,z=—拽

3

6升一flo2百1

所以m=1,2,一——.

平面BAS的法向量为〃=(a,b,c),

n-AB=0[4b=0

则《即《得b=O,

n•BS=0—4〃—/?+y/3c=0

取a=G，则c=4,所以“=(也,0,41

&迫

“一/--\m'n35

从而cos(m,n)=I/=----------------

19

1111J1+4+—xJ16+3

因二面角5—AS—O为锐角，故二面角5—A5—O的余弦值为2.

19

3.(2024•江西赣州市•高三期末)在如图所示的几何体中，.A3C,△ACE,△BCD均为等边三角形，且平面ACEL

平面ABC,平面5co_L平面ABC.

(1)证明：DE//AB；

(2)若A3=4,求二面角3—CE—£＞的余弦值.

3

【答案】⑴证明见解析；⑵土

【解析】⑴

证明：如图示：分别取AC,的中点产，G,连结石尸，DG,FG

因为△ACE,ABCD均为全等的等边三角形，

故石厂工人。，DG工BC且EF=DG

又因为平面ACE，平面ABC且交于AC,

平面BCD±平面ABC且交于,

故石尸，面ABC，DG,面ABC

从而有EF//DG,又EF=DG,

进而得四边形DEFG为平行四边形，得：DE//FG,又FG//AB

即：DE//AB

(2)连结EB,由.A3c为等边三角形，故M，AC,结合即，面ABC,故分别以£4,FB，FE为》轴，y轴,

z轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系

又AB=4,所以AB=AC=BC=CE=AE=BD=CD=4,DE=2,

则c(—2,0,0),B(0,273,0),E(0,0,273),G(-1,^,0),

所以C3=(2,2石,0),CE=(2,0,26),ED=FG=(-1,A/3,0)

令平面5C£的一个法向量为〃=(x,y,z),

n-CB=2x+26y=0「

所以《取x=石，y=—i，z=—1,

n・CE=2x+2y/3z=0

所以平面ACD的一个法向量为；i=(G,-1,-1)

同理可求平面COE的一个法向量为4=(6/,-1)

令二面角3—CE—D为。，由题意可知。为锐角，

皿0/\卜％|73x73+(-1)x1+(-l)x(-l)3

则cos8=cos(々=------/r^-=-

'/.J.匐73+1+1x73+1+15

3

所以二面角B-CE-D的余弦值为1

题型五空间向量求空间距

【例5】(2024•上海浦东新区•华师大二附中高三月考)如图，在四棱锥尸-A5CD中，底面ABCD为矩形，侧棱

平面ABC。，E为PC的中点，AD=3,PD=4,PC=5.

⑴证明：直线？A//平面3DE；

⑵求点A到平面PBC的距离.

【答案】（1）证明见解析；（2）^.

【解析】⑴连接AC交3D于。，连接E。，因为底面ABCD为矩形，所以。为AC中点,

因为E为PC中点，在AB4c中，QE分别为两边中点，所以OE//A尸，

又因为OEu平面瓦汨，所以直线？A//平面3£历，

（2）建立如图所示空间坐标系，CD=A/FH=3，P（0,0,4）,A（3,0,0）,B（3,3,0）,C（0,3,0）,

所以P3=(3,3,—4),PC=(0,3,—4),AP=(-3,0,4),

设几=(x,y,z)为平面PBC的法向量，PBn=0,PC-n=0，

3x+3y-4z=0

所以＜令y=4,其中一个法向量〃=（0,4,3）,

3y-4z=0

设点A到平面PBC的距离为d,

\n-AP\1212

所以d-一口一

\n\A/32+42T

【方法总结】

利用向量方法求解平面外一点A到平面a的距离的步骤：

（1）建立合适空间直角坐标系，在平面a内取一点3；

（2）求解出AB和平面。的法向量〃；

叩

（3）根据II即可求解出点A到平面a的距离.

【举一反三】

1.（2024•吉林长春外国语学校）如图，平行四边形ABC