广西平果市某中学2024-2025学年高一年级下册期中数学测试卷

广西平果市铝城中学2024-2025学年高一下学期期中数学测试

卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.如图，已知水平放置的VABC的直观图中，AC=3,B'C=2,那么VABC的面积为（）

2.若复数4=1+2i,Zz=3+i（i为虚数单位），则|z「Z21=（）

A.2B.3C.45D.1

IT3

3.在VABC中，角A,B,。的对边长分别为〃，b,c.^A=~,cosB=-,a=5,则。=（）

45

A.10B.7C.4D.3

4.VABC中，内角A,B,C的对边分别是4，b,c,已知户="，+c=4,cosB=-,

a4

则AB-BC等于（）

883

AA.-B.——C.-D.——

7722

5.一个体积为4百兀的球在一个正三棱柱的内部，且球面与该正三棱柱的所有面都相切，则

此正三棱柱的表面积为（）

A.546B.54C.27百D.27

6.已知向量。=（1,6）,|6|=3,且向量6在向量分上的投影向量为gb,则|a-6|=（）

A.1B.2C.近D.719

7.已知VABC,AB=AC=4,BC=2,P是平面ABC内一点，则尸瓦（尸A+PC）最小值是（）

9

A.-3B.-1C.——D.0

8

8.三棱锥C-W中，若PALPB,ZAPC=ZBPC=60°,PC=2PA=2PB=2,则直线尸C与

平面R4B所成角的正弦值是（）

A.1B.变C.

22

二、多选题

9.(多选)已知平面向量。=(1,3),6=(-2,1),则()

A.|G|=710B.(2a-b)_Lb

向量。在向量b上的投影向量的模为好

C.。与。的夹角为钝角D.

5

10.下列说法正确的是()

A.若，1=2,\b\=2,则

B.在VABC中，^AB=AC,BC=4,则8

C.已知向量〃=(2,-1),。=(羽1),。与b的夹角为钝角，则实数x的取值范围是

(一-一2)口12,；)

D.已知。，b,c为VABC的内角A,B,C的对边，则“sinA>sinB”的充要条件是

"A"'

11.设加，〃是两条不同的直线，£是两个不同的平面，下列命题中为假命题的是()

A.若加〃九，nu廿,则加〃尸B.若a〃尸，mua,则加〃尸

C.若a〃4，mua,nu/3,则相〃〃D.若m"a,n//a,则相〃〃

三、填空题

12.古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九跖都曾提出利用三角形的三边求面积的公式,

称为海伦一秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a,6,C,记p=^F，则三角形

面积为s=J/7(p-a)(p-6)(p-c).已知VA5c中,a=5,6=6,c=9,则VA3C的内切圆半

径「为.

TT

13.如图所示，在VABC中，BC=4,且M点为BC边的中点且/2AC=w,则AM的最大

值为—.

试卷第2页，共4页

A

14.已知正四棱台ABC。-agG2的上下底面分别是边长为2和4的正方形，侧棱长为2,

则该正四棱台的体积为.

四、解答题

15.锐角VASC中，角A,B,C所对的边分别为。，b,c,且〃cos5+AcosA=gcsinB.

(1)求8$5；

(2)若〃=2,VABC的面积为3,求从

16.已知向量〃=(2,1),什=石，

⑴若£与分夹角为120。，求卜+20；

(2)若a_L6，求b的坐标；

⑶若a与B夹角为60。，求卜+tb\取最小值时t的值.

17.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面A5C。是边长为1的正方形，R4_L底面ABCD,

=点M在棱PO上，尸8〃平面ACM.

(1)试确定点U的位置，并说明理由；

⑵求四棱锥尸-ABCZ)的表面积.

18.在VABC中，已知。2+°2-，2=4，且sinA=2sinCcos3.

⑴求角8的度数.

(2)若a+c=6,求VABC面积.

⑶若点。在边AC上，5.BD=1(BA+JBC),求川汨的度数(用角8的表达式表示，并

求出具体值).

7T

19.已知如图甲，在梯形ABC。中，AD//BC,NABC=NBAD=-,AB=BC=2AD=4,

2

E,尸分别是AB,C。上的点，EF//BC,AE=x,沿所将梯形A3C。翻折，使平面AEEDL

平面EBCF(如图乙).

Ai--------QAD

⑴证明：EF_L平面A8E；

(2)当x=2时，求二面角。-BF—E的余弦值.

试卷第4页，共4页

《广西平果市铝城中学2024-2025学年高一下学期期中数学测试卷》参考答案

题号12345678910

答案DCBBACABADBCD

题号11

答案ACD

1.D

【分析】画出原图可计算面积.

【详解】由己知可知，ABC的原图如下:

所以，C=、ACX8C」X3X4=6.

故选：D

2.C

【分析】根据复数的减法运算及复数的模的计算公式即可求解.

22

【详解】|Z1-z2|=|（l+2i）-（3+i）|=|-2+i|=7（-2）+l=75,

故选：C.

3.B

【分析】先应用两角和差正弦结合诱导公式求解sinC,再应用正弦定理求解.

【详解】因为cos8=1,Be（O,7t）,所以sinB=,

JD

又4=一，则晅nC孕sin（A+B）=也？。,

4v7252510

5_c

由正弦定理得逅—述，所以c=7.

~T~W

故选：B.

4.B

【分析】根据余弦定理可得尸=半，再根据45./^=4℃05（兀-3）=我（-853）计算得到

答案第1页，共10页

结果.

55

【详解】根据题意，b2=a2+c2—laccosB=(a+c)9——ac=16--Z?2,

所以/=%，贝|jABBC=accos(兀-8)=b2-(-cosB)=-^-x^-^=-y.

故选：B.

5.A

【分析】先根据内切球得出三棱柱的高，再计算得出底面边长，进而计算得出表面积即可.

【详解】设球的半径为R，因为:兀炉=4岳，所以R=g,

因为球面与该正三棱柱的所有面都相切，

所以正三棱柱的高为2石，设正三棱柱底面边长为

因为球的半径等于底面正三角形的内切圆半径，

所以g=,义且〃，所以。=6,

32

则正三棱柱的表面积为3x6x20+2x工x6x6x遮■=546.

22

故选：A.

6.C

【分析】根据题意，由投影向量的定义可得〃2=3,再由向量的模长公式代入计算，即可

得到结果.

a-b7a-b,1,

【详解】因为向量。在向量方上的投影向量为可力，即了必=鼻°,

a-b

所以不='，又|b|=3,则。力=3，

又a=(1,6),则忖=2,

所以|"6|==』『一2分6+卜『=A/4-2X3+9=V7.

故选：C

7.A

【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标法求解.

【详解】如图，以3c中点。为坐标原点，BC为无轴，Q4为＞轴建立平面直角坐标系，则

有

答案第2页，共10页

A(0,V15),B(-1,O),C(1,O),设尸(x,y),则

2

PB-(PA+PC)=(-l-x,-y).[l-2x,7i5-2y)=2x2+x-l-V15y+2j2=2l.r+i+21y—号-3

当x=j广容时,上式最小值为B

故选：A.

【分析】过点C作CGL平面PAB于G,在平面内过G作GELPB,垂足

分别为H,E,连接C〃，CE,可得/CPG为直线PC与平面RW所成的角，进而结合题

设求角即可.

【详解】过点C作CGL平面上钻于G,在平面R4S内过G作GHLPA,GELPB,

垂足分别为H,E,连接C”，CE,

则/CPG为直线PC与平面R4B所成的角，

由CGL平面PA,PGu平面RW,所以CG人以，CG1PG,

又G”_LPA,CGGH=G,GH,CGu平面C"G,则PA_L平面C"G,

因为C"u平面CHG,则上4_LCH,

同理可得P3JLCE,由ZAPC=ZBPC=60。，

得PE=PH=gpC,又

因此四边形PEG”为正方形，PG=y/2PH=—PC,CG=~PC,

22

所以直线PC与平面上钻所成角的正弦值sinZCPG=空=受.

PC2

故选：B.

答案第3页，共10页

9.AD

【分析】根据向量的模长公式可判断选项A；由(2a-b)，。的充要条件为(2〃-。)2=0,

可判断选项B；〃.力>0且。与Z?不平行，可判断选项C；向量。在向量匕上的投影向量的模

件?，可判断选项D.

\b\

【详解】因为。=(L3),所以|4|=炉工=何，所以A正确；

因为》=(一2,1),所以(2。-6)2=24-6—〃=2xUx(—2)+3xl]—[(—2)2+12]=—3w0,所以B

不正确；

因为。=1x(-2)+3x1=1>0,且。与。不平行，所以“与b的夹角为锐角，所以C不正确；

向量。在向量6上的投影向量的模为我也=；=呼，所以D正确.

闻V55

故选：AD.

10.BCD

【分析】对于A,向量不能比较大小；对于B,利用数量积的定义和等腰三角形的性质即可

判断；

对于C,利用数量积为负同时要排除反向共线即平角的情况即可判断；

对于D,由正弦定理和大边(角)对大角(边)即可判断.

【详解】对于A,因为向量有方向，所以不能像实数一样比较大小，故A错误；

对于B,BABC=\BC\BA\COSB=\BCX^BC=4X2=8,故B正确；

a'b<0,f2x-1<0,

对于C,由1,I即<rn-

a-b^-|a|&,[2X-1H-若xjd+l,

答案第4页，共10页

解得XE(-8,-2)°1-2,2),故C正确；

ah_

对于D,由正弦定理----=-----,可知sinA>sin3oa>boA>3,故D正确.

smAsinB

故选：BCD.

11.ACD

【分析】根据线面位置关系及面面平行的性质判断各个选项即可.

【详解】对于A：若mUn,nu/3,则〃zup也成立，A选项错误；

若&//齐，mua,则见〃无公共点，所以加，夕无公共点，所以相〃尸，B选项正确;

若a11(3,mua,TIU(3,则加〃〃或私"异面，C选项错误；

若m//a,n/la,则能〃〃或根，〃异面或W相交，D选项错误；

故选：ACD.

12.41

【分析】利用海伦公式结合等面积法，即可求三角形内切圆半径.

【详解】根据海伦公式，可知：

ABC=

再设内切圆半径为「，则有S树=g(5+6+9)r=10&nr=&,

故答案为：V2.

13.2g

【分析】由余弦定理有(AB+AC)2=16+3AB-AC,结合基本不等式可得ACW16,再由

AM=g(AB+AC)及向量数量积的运算律求|AM|的最大值.

【详角军】由AM=g(A3+AC),则|阿=gJ(A8+AC『=g+2AB2C+AC，,

XBC2AB2+AC2-2AB-ACcosZBAC^AB2+AC2-AB-AC^16,

所以AB?+AC2-ABAC=(AB+AC)2-3ABAC=16,即(AB+AC)2=16+3ABAC,

所以|AM|=；Vl^l'+I^HACI+IACI2=|J(|AB|+|AC|)2-|AB||AC|

=^16+2\AB\\AC\,

答案第5页，共10页

M(AB+AC)2=16+3AB-AC>4AB-AC,贝UAB-ACW16,

当且仅当AB=AC=4时取等号，故最大值为16,

所以|AM区3,16+2x16=26,即4W的最大值为2石.

故答案为：2上

14.""0

33

【分析】根据正四棱台的概念可知四边形BDR瓦为等腰梯形，进而可得四棱台的高，即可

求得体积.

【详解】如图所示，

由正四棱台可知且AB=4,G2=2,BB1=2,四边形瓦兀＞内为等腰梯形,

取上底下底的中心1■平面ABC。，过线作垂足为E,B\EUOO\,

且8。=4及，3a=20,BB]=2,

所以/1=0。1=用£：=1二4应12夜=后，

所以V=；〃(S+S，+后')=；x0x(4+16+8)=^^,

故答案为：”亚

3

4

15.(l)cosB=—

(2)b=V13

【分析】(1)由正弦定理边角互化、两角和差正弦公式和同角三角函数的关系可得结果;

(2)由三角形面积公式和余弦定理可得结果.

【详解】(1)由已知及正弦定理得sinAcos3+cosAsin3=；sinCsin3,

贝)：

Usin(A+5=sinCsinB即sinC=—sinCsinB,

答案第6页，共10页

.3

因为sinCwO,所以sin5=y,

4

因为3为锐角，所以cosB=《.

113_

(2)由Sjc=5QcsinB=/x2cxy=3,得c=5.

由余弦定理得A?=a2+c2-2accosB=13，

故人

16.(1)延

⑵力=(1,-2)或(-1,2)

⑶；

【分析】(1)首先求出口，a-b,再根据口+26卜而时及数量积的运算律计算可得；

(2)设3=(x,y),则Jd+y2=逐且」.〃=0,解得即可；

(3)首先求出6,再由数量积的运算律得到J+向=J5产+5/+5,结合二次函数的性质

计算可得.

【详解】(1)因为“=(2,i),M=君，

所以口=4H=6,a-^=A/5xV5xcosl20°=-|,

所以卜+24=J(a+2Z?)=+4%.%+4]=V15.

(2)设3=(x,y),则+y2=下,

(2x+y=0(x=l[x=—l

由。_1"得々•b=2x+y=0,即1厂----匚，解得＜c或1c

+y=J5[y=~2[y=2

所以1(1,-2)或5=(-1,2).

(3)因为忖=石，。为二百乂石xcos60°="|,

\ci+2%；•力+/力—d5/2+5t+5

答案第7页，共10页

所以当r=-;时，,+仍|取得最小值.

17.(1)点加■为尸£)的中点，理由见解析；

⑵S=2+应

【分析】(1)连接50,然后由线面平行性质可得答案；

(2)分别计算各个面的表面积可得答案.

【详解】(1)点”为尸。的中点.理由如下：如图，连接3D.设8DcAC=O,

则点。为BO的中点，连接OM.*/平面AQ0,PBu平面PBD,

平面PBDc平面ACM=OM,：.PBHOM.

在△P5D中，;。为5D的中点，为△尸BD的中位线，

点”为尸。的中点.

(2)E4_L底面ABCZ),又底面是边长为1的正方形，

；•S正方形ABCD=1，因为P41底面ABC。，又AB,AD,ACu平面ABCD，

则出，AB,AD,AC,即.PAB,PAD,PAC直角三角形，又PA=AB=AD=1,

22

贝=S△皿=；xlxl=；，AC=7AB+AD=PD=PB=y[l,

则PC=y]PA^+AC2=G，5LPC2=PD2+DC2=PB2+BC2,

则PDC,P3C为直角三角形，则S=SpBc=Lxl*0=也.

综上四棱锥P-ASCD的表面积为S=l+2x^+2x比=2+逝.

22

⑵吨.

4

(3)ZA£)B=120°-^|=90°

【分析】(1)利用余弦定理即可求出角8；

(2)利用正弦定理求出。和。，从而可得VA2C的面积;

答案第8页，共10页

（3）利用向量的性质以及正弦定理，求出NADB的度数.

【详解】(1)由余弦定理得cosB=1+L

lac2ac2

又因为0°<3<180。,所以3=60。.

(2)因为sinA=2sinCcos_B,

由正弦定理可得a=2ccosB,由(1)可知3=60。，

所以Q=2ccosB=2cx—=c,

2

而a+c=6,所以Q=C=3,

所以VABC面积SABC=—acsinB=.

(3)因为sinA=2sinCcos3,由正弦定理可得a=2ccosB,由(1)可知区=60。，

所以a=2ccosB=2cx—=c,

2

所以ABC为等边三角形，

因为8£>=：(BA+8C),所以。是AC的中点，可得NADB=90。，

用角B表示为44。3=120。-?=90。.

19.（1）证明见解析

⑵巫

14

【分析】（1）由题意得到EF±BE,从而得到线面垂直；

（2）作出辅助线，由面面垂直得到线面垂直，从而DG_L3尸，进而证明出故G"_L3/，

所以为二面角D-BF-E的平面角，求出各边长，求出tan/O//G=jm,进而求出

二面角的余弦值.

7T

【详解】（1）证明：在直角梯形中，因为NABC=ZR4£>=5,故