贵州省遵义市正安县2024-2025学年高一年级下册3月月考数学检测试题（含答案）

贵州省遵义市正安县2024-2025学年高一下学期3月月考数学

检测试题

一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

1.下列命题中，正确的是（）

A.若卜卜W,则1=3B,若1=3,则同=W

c.若同叩，则D.若同=。，则2=0

【正确答案】B

【分析】根据向量是具有大小和方向的量以及零向量的含义，一一判断各选项，即得答案.

【详解】对于A,若同，但G石方向不一定相同，故1=3不一定成立，A错误；

对于B,若5=3,即/石的模相等，方向相同，则同=W,B正确；

对于C,向量是具有方向和大小的量，故向量不能比较大小，

即门口，不能得出a〉'，C错误；

对于D,若同=°,则万=°,D错误，

故选：B

7兀

2.下列与角6的终边相同的角的表达式中正确的是（）

2痴+看（左eZ）

A.

晨360°—g/eZ)

B

左.360。-210。(左eZ)

kn+^(keZ)

D.

【正确答案】C

【分析】根据终边相同的角以及角度值，弧度制表示角即可.

【详解】与角-7的终边相同的角表达式为：2hl6,（）.

故选：C.

3,若网=2,网=6,则网的取值范围是（）

A,%+8）B,囚+8）

C.［。mD.RM

【正确答案】D

【分析】根据向量减法的几何意义求解即可.

【详解】因为方=砺一次，",=2,\0B\=6

ULDnrULDarULDuuu

OBOA<AB<OA+OB4<AB<8

所以有即

当次和砺同向或反向时等号成立，所以卜耳的取值范围是［4,8］,

故选：D

4.若是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中能构成平面内所有向量的一个基底

的是（）

_—b——a

A.d—2b,2B一=0,2),2=(-3,—6)

「c=(O,l)J=(0,2)£)a+ba—b

V/.J9

【正确答案】D

【分析】根据基底的概念，分别判断四个选项中的向量是否共线即可.

一一1

a-2b=-2（b——a）

【详解】对于A选项：2，共线，故不能构成基底;

对于B选项："=（一3,-6）=-3c,共线，故不能构成基底；

对于C选项：”=（°，2）=2c,共线，故不能构成基底；

对于D选项：假设己+分与3-3共线，由题他们均为非零向量，故存在非零实数4，使得:

-A〃一/=/+1B7£I)

a+b=M…),整理得：2-1,故共线，与V'/是平面内所有向量的一个基底矛

盾，故假设不成立，所以N+不与己-3不共线，可以构成基底.

故选：D.

5.已知有如下命题：

5兀

①把4化成角度是225。；

②若扇形的面积为2cm2,扇形圆心角。的弧度数是4,则扇形的周长为6cm；

a

③设a是第一象限的角，则2所在的象限为第一象限；

④2rad角是第二象限角；

其中正确命题的个数是()

A.0B.1C,2D,3

【正确答案】D

【分析】对于①，利用角度与弧度的转化，即可求解；对于②，利用扇形的面积公式及弧长公

式，即可求解；对于③，取1=390°,即可求解；对于④，根据条件，利用象限角的范围，即

可求解.

5Jr5

—=-xl80o=225°

【详解】对于命题①，因为44,所以命题①正确，

L=4R

<1

2=—xLR

对于命题②，设扇形的半径为尺，弧长为工，由题有12,解得&==4,

所以扇形的周长为C=£+2R=4+2=6cm,故命题②正确，

对于命题③，取a=390。=360°+30。，显然有a=390。是第一象限的角，

a390°

—=------=195。

但22，是第三象限角，所以命题③错误,

兀c

—＜2＜兀

对于命题④，因为2,所以2rad角是第二象限角，故命题④正确，

故选：D.

6.已知角。的终边经过点尸（一贝°2sina+cosa的值为（）

_2_22

A.5B.-2C.一2或2D.5或5

【正确答案】D

【分析】结合三角函数的定义，分°〉°和。＜°两种情况进行讨论即可得答案.

【详解】当。＞°时，由三角函数的定义可知

.3a3-4。4

sma=I=—,cosa=/.=——

J（~4aj+（3Q）25］（―而）+（3。）5

2sina+cosa=—

此时5；

当a<0时，由三角函数的定义可知

.3a3-4a4

sma=/=——，cosa=/=—

J（-4a）2+（3Q）25J（_4Q）2+（3〃）25

c-2

2sma+cos。=——

此时5；

故选：D.

7.已知向量生ac在正方形网格中的位置如图所示，以a3为基底，则。可表示为（）

B.c=~3a+2bQc=3a-2bD.c=2a-3b

【正确答案】C

【分析】建立平面直角坐标系，利用平面向量线性运算的性质，利用待定系数法进行求解即可.

【详解】建立如图所示的平面直角坐标系,

设与X轴正方向相同的单位向量为与歹轴正方向相同的单位向量为九则

a=i+j,b=-2i+3j.c=li-3j

设己=+=-37=(x-2yA+(x+3y)j

7=x-2yx=3

一一I=

因为'".不共线，所以有L3=x+3y

故选：C

8.勒洛三角形是一种定宽曲线，它是德国机械工程专家勒洛首先进行研究的，其画法是：先画

一个正三角形，再以正三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段

弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形，如图所示，若正三角形N8C的边长为2,则勒洛三角形

的面积为（）

B2兀—2A/3C471—y/3口4兀一2^3

【正确答案】B

【分析】勒洛三角形的面积为3个圆心角为60。的扇形面积减去2个正三角形面积，即可得解.

1X22X^=^

【详解】如图：BC=2,以B为圆心的扇形面积是233,

Ix2x2x^

=6

V48C的面积是22

A

・•・勒洛三角形的面积为3个扇形面积减去2个正三角形面积,

—x3-2V3=27r-2V3

即3

故选：B.

二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）

9.下列说法正确的有（）

1771

A.6是第二象限角

7

pz,4、sina+cos«=——

B.已知角。的终边过点则5

C.经过30分钟，钟表的分针转过兀弧度

n371

D.若圆心角为§的扇形的弧长为兀，则该扇形面积为2

【正确答案】BD

【分析】根据终边相同的角即可判定A,根据三角函数的定义即可求解B,根据顺时针即可判定

C,根据扇形弧长以及面积的计算公式即可求解D.

17元“7兀7兀17兀

------——4兀H-----

【详解】对于A,66,由于6为第三象限的角，故6为第三象限的角，A错

误，

-4-37

.Xsina=—,cosa=—sin«+cos«=——

对于B,角1的终边过点厂七，则55,故5,B正

确，

对于C,经过30分钟，钟表的分针是顺时针转动，故转过一兀弧度，C错误,

71工

对于D,由于圆心角为§的扇形的弧长为兀，故扇形的半径为3,则该扇形面积为

1.3兀

—7ix3=——

22,D正确，

故选：BD

10.下列命题正确的是（）

A.若必区，则存在唯一实数4使得3=

同二同一A

B.J1।I”是的必要不充分条件

C.不同向的向量不能比较大小，同向共线的也不可以

D,若点G为V4SC的重心，则苒+费+历=6

【正确答案】BCD

【分析】根据向量共线定理，向量的概念，向量的线性运算对选项逐一判断即可.

【详解】对于A选项：若3=6。0°,则不成立；

同二闾77

对于B选项：门门，若方向不同，则。=6不成立，反之，若则他们大小和方向均

相同，所以।।门，正确；

对于C选项：向量的两个要素：方向和大小，其中方向不能比较大小，所以向量不能比较大小,

正确；

对于D选项：如图，点G为V48C的重心，则延长/G,8G,CG分别与8cMe,48相交于

2/，£三点，所以2/，£分别为8C/C/8中点，且1GC|:|GE1=2:1,所以

田+屈+反^^+且凡成立

故选:BCD.

11.如图，在正方形4sCD中，。为5c上一点，AQ交BD于E,且瓦厂为AD的两个三等

分点，则（）

—■2—■1—.

AE=-AB+-AD

AAE+AF-AC=OB.33

iua।un2uu®

AF=-AB+-ADFV=-AB--AD

C.33D.36

【正确答案】BCD

【分析】利用向量的线性运算以及三角形相似的性质对选项逐一计算即可求解.

【详解】易知赤+m=k,所以乐+箫—就=°,因此A错误；

AE=AB+BE=AB+-Bb=AB+-（AD-AB'\=-AB+-Ab

显然33、733,可得B正确;

AF=AB+BF=AB+-BD=AB+-（AD-AB^=~AB+-AD

33、733,所以c正确；

BE=—ED口口CnrABQ=工AD

因为£为上靠近B的三等分点，所以2,利用可得2

FQ=BQ-BF=-AD--BD=-AD--（AD-AB）=-AB--AD

所以2323、）36即D正确.

故选：BCD

三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）

12.如图所示,向量OB,0C的终点A,B,C在一条直线上，且就=-3而.已知

04=P,OB=q,则灰.（用夕，q表示）

C

B,

/q

4；°

1-3-

——p+—q

【正确答案】22

【分析】利用向量的加法和减法，化简可得结论.

—►1—»

———►BC=-AC

【详解】•・.4C=—3CS=33C,3

OC=OB+BC=OB+-AC=OB+-(OC-OA)

..33,

又OA=pOB=q

___i____>]_3_

oc^q+-(OC-p)OC=--p+-q

3,22

1-3-

故22

13.一个扇形的弧长等于内接其所在圆的等边三角形边长，则这个扇形的中心角弧度数为.

【正确答案】6

【分析】设等边三角形的边长为。(。>0),扇形的中心角弧度数为1(«>0),弧长为7，

根据正弦定理求出等边三角形的外接圆半径，结合扇形的弧长公式即可求解.

【详解】设等边三角形的边长为°(a>°),扇形的中心角弧度数为1(«>0),弧长为1，

a43

R-----------——a

由正弦定理得：该等边三角形的外接圆半径2sin60°3,

aarr

oc—————=73

RV3

Q

根据题意得：/=。氏=。，即3-----------,

故答案为.百

14.vz5c中，。为边ZC的中点，£为中线AD上的一点（不包含端点），且

11

____kk„____I----

AE=xAB+yAC则x了的最小值为.

【正确答案】3+272##272+3

【分析】根据题意可知NEnxZB+ZyZO,然后根据民£，,三点共线得出

x+2y=l（x〉0,y>0）,再通过基本不等式求解即可.

【详解】如下图所示：

因为NE=x4S+y/C,。为边NC的中点，所以幺£=%48+2>40,

又民及。三点共线，所以x+2>=l(x>0/>°),

l+l=f工+口G+2#=3+殳+±23+2*=3+2拒

则％v1%刈%vN%y,

2y=%

当且仅当X>,即x=W=J^-l时，等号成立，

j_+j_

因此X>的最小值为3+2后.

故答案为.3+2正

四、解答题（本大题共5小题，共77分）

15.如图，分别用弧度制写出适合下列条件的角的集合.

(3)终边落在阴影区域内（含边界）.

71

E=<aa=—+2伍kEZ>

3

【正确答案】（1）

兀

S2=<aa=—+k7t,k>

(2)

兀兀

S=<a—+kji<a<—+kji,keZ>

363

(3)

兀

【分析】（1）可得出终边落在射线08上的一个角为3,利用终边相同的角的集合可得出终边落

在射线05上的角的集合；

兀

（2）可得出终边落在射线上的一个角为%,利用终边相同的角的集合可得出终边落在射线

上的角的集合；

（3）分别写出第一象限和第三象限中阴影部分区域所表示的角的集合，然后将两个集合取并集

可得出结果.

【小问1详解】

兀

终边落在射线0B上的一个角为3，则终边落在射线0B上的角的集合为

兀

Sx=<aa=—+2伍kEZ>

【小问2详解】

71

终边落在射线上的一个角为6,则终边落在直线上的角的集合为

兀

S2=<aa-—+kTi.keZ>

【小问3详解】

兀兀

<a—+2kn<a<—+2械keZ>

终边落在第一象限中的阴影部分区域的角的集合为163J

终边落在第三象限中的阴影部分区域的角的集合为

7兀4兀

<a——+2左兀<a<—+2kit,kEZ>

63

jrjr

a—+（2k+l）7i<a-y+（2左+l）7i,k&Z>

因此，终边落在阴影区域内的角的集合为

兀兀JTJT

SQ=<0一+2布i<a<—+2械左eZ>5a—+（2k+1）兀—+（2k+1）兀，左£Z>

36363

兀兀

=<a—+kji<a<—+kn,kEZ>

（由扇形挖去扇形048后构成）展台，/。=4米.

ZCOD=—

（1）若3,。4=2米，求该扇形环面展台的周长;

（2）若该扇形环面展台的周长为14米，布置该展台的平均费用为50°元/平方米，求布置该扇形

环面展台的总费用.

啊+8

【正确答案】（1）3米

（2）6000元

【分析】（1）利用弧长计算公式计算即可；

（2）设NC°D=e,04=7.米，利用扇形环面的展台周长，表示出夕与r的关系，代入面积

公式求出扇形环面展台的面积，最后计算可得.

【小问1详解】

/_4兀i_12兀

弧48的长度।3,弧的长度23,

Z1+/2+2x4=—+8

所以扇形环面展台周长为：3米；

【小问2详解】

设4coD=e,=r米，

则弧AB的长度1'=氏,弧CD的长度4=皈+4）=仍+转，

因为该扇形环面的周长为14米，所以4+,2+4x2=14,即4•+%+4。+8=14,

整理得分+2，=3,

S=-3（r+4）2--3r2=40r+S3=4（0r+20）=l2

则该扇形环面展台的面积：22平方米，

所以布置该扇形环面展台的总费用为：12x500=6000元.

17.设48CQ是平面直角坐标系My内的四点，已知点'（3，1），8（-2,2）,。（一1,4）,

（1）若AB=CD,求点。的坐标；

（2）若万=2万，求点尸的坐标；

（3）若*='0'+〃°'（4〃，叼，求乙〃的值.

【正确答案】（1）（—6,5）

【分析】(1)设,(xj),由方坐标对应相同可得点。的坐标;

(2)设尸(“力)，由万=2万坐标对应相同可得点尸的坐标；

(3)由℃="。+"OB坐标对应相等得到凡〃的值.

【小问1详解】

设0(x,y)方=(-5,1),丽=(x+l,y-4)

%+1=—5x——6

<<

因为方=函，所以U—4=l,解得口=5,

所以点。的坐标为(-6,5)；

【小问2详解】

设尸(a,6),则万=(a-31一1),而=(一2_a,2—b),

1

a二—

[-3=2(-2-a)

因为万=2两所以16T=2(2-6)，解得尸§

所以点尸的坐标为(33人

【小问3详解】

0C=(-1,4),0A=(3,1),0B=(-2,2)

所以2方+〃砺=X(3,1)+〃(—2,2)=(32_2〃,X+2〃)

,3

x=—

4

—1=34—2〃13

〃=­

因为℃=204+〃08,所以、4=2+2〃,解得8

所以48

18.如图，在。48CD中，E,H分别是AD,BC的中点，AF=2FB,G为DF与BE的交

点.

(1)记向量益=。，AD=b,试以向量。，B为基底表示赤，DF-,

(2)若AC=mBE+nDF,求皿n的值；

(3)求证：A,G,H三点共线.

__»]____k2f一

BE=-b-aDF=-a-b

【正确答案】(1)2,3

59

m=——,n=——

(2)24

(3)证明见解析

【分析】(1)根据向量的减法法则结合题意求解；

(2)对=+结合(1)化简用a,B表示，而/=£+石，然后列方程组可求

得结果；

⑶设布=X砺，丽=〃丽，由〃=刀+瑟，AG^AD+DG,用用Z,否表示,

AG=—AH

列方程组求出人必，从而可得2,进而证得结论.

【小问1详解】

因为在口48co中，E,H分别是AD,BC的中点，AF=2FB,

anuunULU1uunumirr

BE=AE-AB=-AD-AB=-b-a

所以22

_________2______2

DF=AF-AD=-AB-AD=-a-b

3__________3

【小问2详解】

__]____k2—一

BE=-b-aDF=—a-b

由（1）知2,3

AC=mBE+nDF-m

所以

32

<<

1,