河北省石家庄某中学2024-2025学年高二年级下册3月月考数学试卷（含答案解析）

河北省石家庄第二实验中学2024-2025学年高二下学期3月月

考数学试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知随机变量x的分布列是

X123

]_

Pab

3

则。+6=()

2.在第14届全国人民代表大会期间，某记者要去黑龙江省代表团、辽宁省代表团、山东省

代表团、江苏省代表团采访，则不同的采访顺序有（）

A.4种B.12种C.24种D.36种

3.函数/（x）=x3+2尤的单调减区间是（）

A.（-«,-2）B.（-2,+co）C.［一D.以上都不对

万

4.函数"x）=cos尤的图象在点2弋7r,/2（芋））处的切线的斜率为（）

A.；B.--C.—D.一旦

2222

5.（近-）=）”的展开式中，常数项为（）

six

A.1365B.3003C.5005D.6435

6.设甲乘汽车、火车前往某目的地的概率分别为0.6、0.4,汽车和火车正点到达目的地的

概率分别为0.9、0.8,则甲正点到达目的地的概率为（）

A.0.72B.0.96C.0.86D.0.84

7.2024年斯诺克武汉公开赛前夕，肖国栋与斯佳辉两人进行了热身赛，约定每局胜者得1

分，负者得。分，热身进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止，设肖国栋在每局中获

21

胜的概率为1,斯佳辉在每局中获胜的概率为且各局胜负相互独立，比赛停止时已打局

数为2则（）

试卷第1页，共4页

A.尸C=2)=1rB.PC=3)=||C.P(^=4)=|D.P«=6)=2

o1o1yo1

8.已知函数/(x)==J(a>0)在口,+8)上的最大值为1,则。的值为()

x+。3

A.^3—1B.-C.—D.^3+1

二、多选题

9.函数/'(x)的导函数/''(X)的图象如图所示，则()

A.x=1■为函数/(x)的零点

B.x=2为函数的极小值点

C.函数仆)在［g,2)上单调递减

D./(-2)是函数/(x)的最小值

10210

10.(2x+1)=610+axx+a2xH-----Ftz10x,xGR,则()

A.%=2B.%=1

C.%+4+a?+,,•+〃]0—31°D.%)+%+%+,•,+%o=3

11.下列说法正确的为()

A.6本不同的书分给甲、乙、丙三人,每人两本，有c；c；c；种不同的分法

B.6本不同的书分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本，有C)C；C；A；

种不同的分法

C.6本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有10种不同的分法

D.6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有450种不同的分法

12.近年来，新能源汽车技术不断推陈出新，新产品不断涌现，在汽车市场上影响力不断增

大.动力蓄电池技术作为新能源汽车的核心技术，它的不断成熟也是推动新能源汽车发展的

主要动力.假定现在市售的某款新能源汽车上，车载动力蓄电池充放电循环次数达到2000次

的概率为85%,充放电循环次数达到2500次的概率为35%.若某用户的自用新能源汽车已经

试卷第2页，共4页

经过了2000次充电，那么他的车能够充电2500次的概率为.

13.从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨

科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是(用数字作答).

14.设函数/(x)=e，(2x-l)-"+a,其中a<l,若存在唯一的整数看,使得则

实数。的取值范围是.

四、解答题

15.某中学组建了霹雳舞队，计划从3名男队员，5名女队员中选派4名队员外出参加石家

庄市培训，求下列情形下有几种选派方法.

⑴男队员2名，女队员2名；

⑵至少有1名男队员.

16.在学校组织的足球比赛中，某班要与其他4个班级各赛一场，在这四场比赛的任意一场

中，此班级每次胜、负、平的概率都相等.已知这四场比赛结束后，该班胜场多于负场.

(1)求该班胜场多于负场的所有可能情况的种数；

(2)若胜场次数为X,求X的分布列.

17.如图，在圆锥尸。中，是底面圆的直径，PA=AB=2,C是底面圆周上一点，PC与

平面尸48所成的角为30。，点N分别在尸8,PC上，且尸3_L平面4W.

⑴求正的值；

⑵求平面AMN与平面PAC夹角的余弦值.

18.已知函数/(x)=--a-四二(aeR)

⑴求函数/(无)的极值；

试卷第3页，共4页

In七一Inx

(2)当。<11时，若函数/(x)有两个零点X],x2(x1>x2),证明:2

19.已知函数/(x)=/+i+办+〃(QER).

(1)讨论的单调性；

(2)当尤20时，/(x-l)+ln(x+l)>l,求实数。的取值范围.

试卷第4页，共4页

《河d匕省石家庄第二实验中学2024-2025学年高二下学身月3月月考数学试卷》参考答案

题号12345678910

答案ACDDCCDABCBC

题号11

答案AC

1.A

【分析】直接根据离散型随机变量的分布列的性质求解即可得答案.

【详解】解：根据离散型随机变量的分布列的概率和为1得：。+6+；=1,

2

所以Q+6=§.

故选：A.

【点睛】本题考查分布列的性质，是基础题.

2.C

【分析】根据给定条件，利用全排列计算作答.

【详解】依题意，不同的采访顺序有A：=24(种).

故选：C

3.D

【分析】/(X)的导函数/'(x)=31+222即可解决.

【详解】由题知，/(x)=x'+2尤-a,xeR,

所以/''(无)=3X2+2"在xeR上恒成立，

所以/(x)=_r3+2x-a在xeR上单调递增，

函数/'(xh/+Zx-。无单调减区间，

故选：D.

4.D

【解析】求导可得/'(x)=-sinx,代入切点横坐标，即可求得答案.

【详解】由题意得:/'(%)=-sinx,

27r2Tl,2n忑

所以〃x)在点(年，〃,))切线的斜率左=/=-sm——=------

(T32

故选：D

答案第1页，共11页

5.C

【分析】求出给定的二项式展开式的通项公式，再确定常数项的参数值即可计算作答.

【详解】二项式(近一；力展开式的通项

Tr+l=/(阪产(-%=(-”取％eN,r＜15,

y/X

由5-*厂=0得厂=6,止匕时4=(-iyc：5=5005,

6

所以所求常数项为5005.

故选：C

6.C

【分析】设事件/表示甲正点到达目的地，事件2表示甲乘火车到达目的地，事件C表示

甲乘汽车到达目的地，由全概率公式求解即可.

【详解】设事件/表示甲正点到达目的地，事件2表示甲乘火车到达目的地，事件C表示

甲乘汽车到达目的地，由题意知P(8)=0.4,尸(C)=0.6,尸(N|5)=0.8,尸(/。=0.9.

由全概率公式得尸(/)=尸(8)尸(/⑻+尸(。尸⑷。=0.4x0.8+0.6x0.9=0.32+0.54=0.86.

故选：C

7.D

【分析】依题意得到J的可能取值，再根据独立事件乘法公式和加法概率公式求出对应的概

率即可.

【详解】依题意知，《的所有可能值为2,4,6,设每两局比赛为一轮，可以得到该轮结

715

束时比赛停止的概率为()2+(j)2=],

如果该轮结束时比赛还将继续，那么肖国栋与斯佳辉在该轮中必是各得一分，

此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响，

从而有Pe=2)=B，P(4=4)=(x=|^,PC=6)=(2)2=t

故选：D.

8.A

【解析】由求导得/'(X)=}-7-再根据在[1,+8)上的最大值为9,

x+alx+Q)3

分a=\,0＜。＜1讨论求解.

答案第2页，共11页

X

【详解】由/（尤）="一

x+a

a—x?

得/'（x）=

2，

x1+a

当Q>1时，若x>«,则/（X）<OJ（X）单调递减,

若1<%<〃■,则/（x）〉oj（x）单调递增,

故当x=五时，函数〃x）有最大值册0

T

3

解得。=：<1，不符合题意.

当。=1时，函数/（X）在口,+8）上单调递减，最大值为/⑴=g,不符合题意.

当0<。<1时，函数/（X）在口,+8）上单调递减.此时最大值为/⑴=，=3,

a+\3

解得a=6-1,符合题意.

故。的值为百-1.

故选：A.

9.BC

【分析】由图中/''（X）与0的大小关系可得到函数的单调区间，再根据极值、零点和最值的

定义判断各选项的正误即可得出答案.

【详解】解：由/'（X）的图象可知，/（X）在1-2,「和（2,+⑹上单调递增，在（-叫-2）和,2：

上单调递减，所以x=2为/（尤）的极小值点，所以B,C均正确；

x=；是/''（X）的零点，但不一定是/'（x）的零点，所以A错误；

/（-2）是函数/'（x）的极小值，但不一定是最小值，所以D错误.

故选：BC.

10.BC

【分析】根据给定的二项式展开式，利用赋值法计算判断作答.

【详解】（2x+l）°=/+。1%+〃2X2+…,令x=0,得%=1,A错误,B正确；

=10

令X=l,得Qo+Qi+Qz^---H^103,C正确，D错误.

答案第3页，共11页

故选：BC

II.AC

【分析】根据给定条件，利用分组分配的方法，列式判断AB；利用隔板法计算判断C；利

用分类加法计数原理列式计算判断D作答.

【详解】对于A,6本不同的书分给甲、乙、丙三人，先取2本给甲，再从余下4本中取2

本给乙，最后2本给丙，

不同分法有C；C；C；种，A正确；

对于B,把6本不同的书按1:2:3分成3组有C：C；C；种方法，再分给甲、乙、丙三人有A：种

方法，

不同分法种数是C£；C；A；,B错误；

对于C,6本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，相当于把6本相同的书排成一

排，中间形成5个间隙，

取两块隔板插入两个间隙，把6本书分成3部分,分给甲、乙、丙三人的不同分法数为C；=10,

C正确；

对于D,6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，可以有3类办法，每人2本有

C；C；C；=90种，

一人1本，一人2本，一人3本有C；C；C：A；=360种，一人4本，另两人各一本有C：A；=90

种，

所以6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本的不同分法数是90+360+90=540,

D错误.

故选：AC

【解析】记"某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电”为事件/，“他的车能够充电

2500次”为事件8,即求条件概率：P(B|A),由条件概率公式即得解.

【详解】记“某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电”为事件/，“他的车能够充电

2500次”为事件8,

P(AHB)35%7

即求条件概率：P(B\A)=

玖⑷85%17

答案第4页，共11页

故答案为：自7

【点睛】本题考查了条件概率的应用，考查了学生概念理解，数学应用，数学运算的能力,

属于基础题.

13.590

【分析】方法共有6类，他们分别是：3名骨科、1名脑外科和1名内科医生；1名骨科、3

名脑外科和1名内科医生，…，在每一类中都用分步计数原理解答.

【详解】3名骨科、1名脑外科和1名内科医生，有C33c41c5・20种,

1名骨科、3名脑外科和1名内科医生，有C31c43c51=60种,

1名骨科、1名脑外科和3名内科医生，有C31c41c53=120种,

2名骨科、2名脑外科和1名内科医生,有C32c42c51=90种，

1名骨科、2名脑外科和2名内科医生,有C31c42c52=180种,

2名骨科、1名脑外科和2名内科医生,有C32c41c52=120种,

共计20+60+120+90+180+120=590种

故答案为590.

【点睛】本题主要考查了排列、组合及简单计数问题，解答关键是利用直接法：先分类后分

步，属于基础题.

【分析】采用构造函数法，设g(x)=e，(2x-l),h{x}=ax-a,则原问题转化为存在唯一的

整数看,使得g(x。)在直线以尤)=。尤-。的下方，对g(x)求导可判断函数在工=-1■处取到最

小值，再结合两函数位置关系，建立不等式-a>g(0)=T且g(-1)=--2。，即可求解

【详解】设g(x)=e*(2x-l),h(x)=ax-a,由题设可知存在唯一的整数%,使得g(x(1)在

直线人3=ax的下方，因为g，(x)=e，(2x+l),故当时，g'(x)<0,函数

g(x)=e，(2x-l)单调递减；当时，g'(x)>0,函数g(x)=/(2xT)单调递增；故

gmin(x)=g，J=-2eW,而当x=0时，g(0)=-l<0,g(l)=e>0,故当-a>g(0)=-1且

3

g(-l)=-3e-'>-2a,解之得丁Wa<l

2e

答案第5页，共11页

y>

]/h(x)=ax-a

-11也

尸e，(2x-1)

故答案为：；,11一

l_2eJ

【点睛】本题考查由导数研究函数的极值点，构造函数法求解参数取值范围，数形结合思想,

属于难题

15.(1)30；

(2)65.

【分析】(1)根据给定条件，利用组合问题按要求选出队员，列式计算作答.

(2)根据给定条件，利用组合问题结合排除法列式计算作答.

【详解】(1)从3名男队员，5名女队员中分别选出男女队员各2名，不同选法数为

C：C；=3x10=30(种),

(2)从8名队员中任选4名队员有C：种，其中没有男队员的选法数是C：种，

所以至少有1名男队员的不同选法数是=70-5=65(种).

16.(1)31种；(2)分布列见解析.

【解析】(1)根据题中条件，分别讨论胜一场，胜两场，胜三场，胜四场，求出对应的胜场

多于负场的情况，即可求出结果；

(2)根据题中条件，先确定X的可能取值，根据(1)的结果，分别求出对应的概率，即

可得出分布列.

【详解】(1)若胜一场，则其余为平，共有C；=4种情况；

若胜两场，则其余两场为一负一平或两平，共有C；C；+C：=18种情况；

若胜三场，则其余一场为负或平，共有C；x2=8种情况；

若胜四场，则只有1种情况.

综上，共有4+18+8+1=31种情况.

(2)X的可能取值为1,2,3,4,

答案第6页，共11页

A1QQ1

由（1）可得：P（^=l）=-,P（X=2）=-,P（x=3）=&，P（^=4）=-

所以X的分布列为：

X1234

41881

P

31313131

【点睛】思路点睛：

求离散型随机变量的分布列的一般步骤：

（1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；

（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；（在计算时，要注意随机变

量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式，简化

计算）

PN、

17-⑴正=2

（2）—

7

【分析】（1）根据线面角定义先求证出尸C到平面P45的投影落于点O,得出的结

论，再以。为原点，OC,OB,OP所在直线分别为x轴，＞轴，z轴建立如图所示的空间

直角坐标系，找出P、N,C三点坐标即可解出答案；

（2）根据（1）坐标系，找出平面/跖V与平面P/C的法向量，根据法向量与面面角关系即

可解出答案.

【详解】（1）过C作CD_L/3,垂足为D,：尸。_L底面/3C,尸Ou平面尸

平面尸48_L平面48C,二CD_L平面尸,

ZCPD为直线PC与平面PAB所成的角，即NCPD=30°.

。。=1,点。与点。重合，即C0_L/3.

以。为原点，OC,OB,。尸所在直线分别为x轴，＞轴，z轴建立如图所示的空间

直角坐标系，则C（l,0,0）,5（0,1,0）,尸（0,0,6）,^（0,-1,0）,就=（1,1,0）.

答案第7页，共11页

设丽=4正，则方=(0,1,G),而=(0,1,-G),PC=(l,0,-V3).

故不=/+而=(41,6-闻).

:尸3,平面/跖V,J.PBLAN,即方.京=0，

即1一日6-行2)=0,解得2=j所以e=2.

(2)平面NMN,是平面4W的一个法向量.设平面P/C的一个法向量为

n=(x,y,z),

iK所以上怎二°

取工=卜百，百,-1),

nAC=0[x+v=0

贝Ijcos(",尸3)=n-PB26_叵

而2x币-7

所以平面4W与平面P4C夹角的余弦值为恒.

7

18.(1)/。)有极小值1-°,无极大值

(2)证明见详解

【分析】(1)求导，利用导数判断原函数的单调性，进而可求极值;

11M-1/、1

(2)根据分析可得Inxi—ln%等价于，一21n%-一>0,构建g(x)=x—21nx-一,利

用导数证明.

【详解】(1)由题意可得：火力=2-2(1-1nx)=2e+限-1),

■:b(x)=%3+lnx—l在(0,+8)上单调递增，且尸⑴=0,

・,・当0<x<l时，F(x)<0,当％>1时,F(x)>0,

答案第8页，共11页

即当0<x<l时，r(x)<0,当X>1时，八x)>0,

故/(X)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，

可得“X)有极小值/⑴=1-。，无极大值.

(2)若函数“X)有两个零点再，电(再>%),则/(1)=1-。<0,解得a>1,

当时，贝!]/'(b2)=67-0+462>0,/'(62)=64-0二>C,

e

结合“X)的单调性可知：“X)在(0,1),(1,+8)内均只有一个零点,则0<%<1<占，

构建g(x)=x-21nx」，则g(尤)=1_2+二=,一1)上0当x>0时恒成立,

XXX2x2

故g(x)在(0,+8)上单调递增，

&T2

令/=土>1,则111玉一山马〈爷上等价于In±=等价于山/〈匕二L,等价于

yX?*2卜1t

V%2

t—2Int—>0,

t

g(X)在(I+8)上单调递增，则g(0>g(l)=0,

11[X]一12

即，一21n/-—〉0,故Inxi-ln/<<---

tVX1X2

19.(1)见解析；(2)[-2,+oo).

【分析】(1)/(X)求导严(无)对。分类讨论严(无)的正负得出“X)的单调性；

(2)/(^-l)+ln(x+l)>l^g(x)=eJ+ax+ln(x+l)-l>0,利用导数对"的值进行分类

讨论，得出函数g(x)的单调性，由单调性即可得出实数。的取值范围.

【详解】(1)由题知](力=*]+亦+。,/(x)的定义域为R,

f\x^ex+'+a.

(对函数)(x)求导后，由于y=e，M恒大于0,故对。进行正负分类讨论，从而判断函数/(无)

的单调性)

当时，/小)>0在区上恒成立，故〃x)在R上是增函数；

当a<0时，令#(x)=0得x=ln(-a)-