湖北省武汉市七校2024-2025学年高一年级下册4月期中联考数学试题（解析版）

2024〜2025学年度第二学期期中考试

高一年级数学试卷

考试时间：2025年4月15日下午：16：15—18：15试卷满分：150分

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.若复数z=l—2i,则z-i的虚部为（）

A.1B.-2C.-lzD.-2i

【答案】A

【解析】

【分析】先利用复数的乘法运算化简再求解.

【详解】解：因为复数z=1—23

所以彳-i=（l+2i）i=2+i,

所以Ji的虚部为1,

故选：A

2.VA3C的直观图△AFC'如图所示，其中轴，AC'/轴，且A5'=2，AC=3,则

VA3C的面积为（）

A.4B.4.72C.6D.8

【答案】C

【解析】

【分析】先求出山”=半，再根据VABC与△AFC'的面积之比为2血，得到答案.

3兀

【详解】由题意得=

4

由三角形面积公式得S,,,=-A'B'-A'CsinZB'A'C=-x2x3sin—=,

会BRre2242

又VABC与“'笈。'的面积之比为2叵，

故VA3C的面积为里x20=6

2

故选：C

3.VA5C中，角A&C所对的边分别为瓦c，若。=6力=J5,A=四，则8=（）

3

Tt3兀71%A3兀

A.—B.—C.—D.一或一

44644

【答案】A

【解析】

【分析】由正弦定理可得sin8=走，再由边角关系确定角的大小即可.

2

abJL-JL及

【详解】由题意，在VABC中-----=-----,贝I.兀―sin5,所以sin3=在，

sinAsinBsin—2

3

因为BeQn）,所以B或上，又a>b,A=匕,所以8=：.

4434

故选：A

4.将函数/（x）=2cosx+?图象上所有点的横坐标缩短到原来的g倍（纵坐标不变），得到函数丫=

g（无）的图象，则函数y=g（x）的图象的一个对称中心是

（左八）（11万八）（万八）（5万3

16J112J112）D.U—2,0）

【答案】A

【解析】

【分析】根据三角函数的伸缩变换规律，得到y=g（x）的解析式,求出它的对称中心，结合选项，选出正

确的一个对称中心.

【详解】由题意可知：g（x）=/（2x）=2cos[2x+W1,

、

2x+g=k左+'（左eZ）,=>x=彳（左eZ）,令左=0,,0是函数y=g（无）的图象的一个对称

7

中心，故本题选A.

【点睛】本题考查了余弦函数的伸缩变换、对称中心.

5.已知向量斤/满足同=忖=卜+5|=1,则向量1—3B在向量4上的投影向量为()

A.—aB.-----Q,C.—2。D.4商

22

【答案】A

【解析】

【分析】根据平面向量数量积的性质，由模长求解心5,再根据投影向量的公式求解即可.

【详解】因为同=B=卜+4=1,

所以口+可二+2M•/?+/?2=2+2万•/?=1,

rr1

则。力=——,

2

3

所以向量1-3方在向量1上的投影向量为回到♦方-a2-3a-b_+?-5_

—cQ—CL—CL

同2国12

故选：A.

.1,若Q=m通+1/，则实数机的值为

6.如图，在VABC中，AN=-NC,尸是3N上的一点,

6

()

A

BC

,9512

A.—B.—C.-D.一

111135

【答案】C

【解析】

【分析】根据条件得到Q=小诉+2前，

由共线定理的推论得到方程，求出答案.

3

―.1-._..

【详解】AN=-NC,故AC=4⑷V，

__kkk2__>

AP=mAB+-AC,i^AP=mAB+-AN

63

21

因为5RN三点共线，故机+—=1,解得加=：.

33

故选：C

7.在VA3C中，角A&C所对的边分别为a,b,c,ZABC=120%/ABC的平分线交AC于点。,

且应>=1,则4。+c的最小值为()

A.6B.7C.8D.9

【答案】D

【解析】

【分析】根据面积关系建立方程关系，结合基本不等式1的代换进行求解即可.

【详解】由题意得ABC=S.ABD+S《BD，

即』acsinl20°=—asin60°+—csin60°，

222

所以a7=a+c,得—i—=1,Q>0,c>0,

ac

^4«+c=(4a+c)f-+-^=4+-+—+l>5+2./---=9,

c)ac\ac

c4a3

当且仅当一二——，即c=3,a=—时，4a+c的最小值为9.

ac2

故选：D.

8.已知函数/(x)=2jJsin^cos曹一2cos2^+1(G>0),在曲线y=与直线y=2的交点

中，若相邻交点的距离为兀.若xe-,7T且关于X的方程/⑴―(a+l)/(x)+a=0有三个不等的实

根，则实数。的取值范围为()

A.(―3,—1)B.(-2,-1]C.(-1,0)D.(-2,1]

【答案】B

【解析】

【分析】利用三角恒等变换化简函数解析式得出/(%)=25：11115-；|(。〉0)，根据题意出函数7(%)

的最小正周期，可求出。的值，解题中的方程得出/(x)=a或"％)=1,分析可知函数

JT

g(x)=〃x)-a在区间y,7T上有两个不等的零点，分析函数g(x)的单调性，可出关于实数。的不等

式组，即可解得实数〃的取值范围.

【详解】因为=2A/3sincos-2cos2+1=A/3sin-coscox

=2sina)x--69>0),

I6

因为曲线y=/(x)与直线y=2的交点中，相邻交点的距离为兀.

所以函数的最小正周期为丁=兀="，可得0=2,即〃x)=2si[2x-m]

由/2(%)_(。+1)/(》)+。=0可得[/(尤)_々1[/(%)_1]=0,

解得/(x)=a或/(司=1,

、“兀//rt兀/C71Uli

当一V九V兀时，一V2%V,

3266

由/(x)=2sin(2x_2]=l可得sin(2x-m]=1，可得2x—2=2,解得了=£,

V6JVoy2662

jrjr

所以方程/(力=1在]兀上只有一个解，故方程/(%)=〃在-,71上有两个不等的解,

令g(x)-f(x)~a-2sin12x_胃一〃，

，兀兀，3兀一,=兀，，5兀匚371c7i11兀一，口5兀

由一V2九——<——可得一《九V——,由一<2x——<----可得一<X<TI，

262362666

所以函数g(x)区间py上单调递减，在葛，兀上单调递增，

由题意可知，函数且(九)在区间兀上有两个不等的零点,

IT=2sin]—a=2-a>0

g

所以|[g]=2sing—a=—2—a<0

g解得一2<aW—1.

g(兀)=2sin-a=-\-a>0

因此，实数。的取值范围是(—2,—1].

故选：B.

二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列说法正确的是（）

A.棱台的侧面都是等腰梯形

B.棱柱的侧棱长都相等，但侧棱不一定都垂直于底面

C.过圆锥顶点的截面是等腰三角形

D.以直角梯形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台

【答案】BC

【解析】

【分析】利用棱台的结构特征判断A；利用棱柱的结构特征判断B；利用圆锥的结构特征判断C；利用圆台

的结构特征判断D.

【详解】对A,棱台的侧棱延长后交于一点，但侧面不一定是等腰梯形，如一条侧棱垂直于底面，那么会

有两个侧面为直角梯形，故A错误；

对B,棱柱的侧棱长都相等，但侧棱不一定都垂直于底面，故B正确；

对C,因为每条腰都是母线，且圆锥的母线长度相等，因此过圆锥顶点的截面是等腰三角形，故C正确；

对D,以直角梯形的直角腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体才是圆台，故D错误.

故选：BC.

10.欧拉公式eM=cosx+isinx是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数

集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依

据欧拉公式，下列说法中正确的是（）

A.父的模长为定值B.e"i为纯虚数

2

C.e对应的点位于第二象限D.。至的共辗复数为走i

e22

【答案】AD

【解析】

【分析】A选项，—=-cosx+^i,故模长为:，A正确；B选项，e™=-1.B错误；C选项，e对

2222

应的点坐标为（1,0）,C错误；D选项，计算出e至=；+乎i,

根据共辗复数的概念得到答案.

【详解】A选项，—cosx+^^-i,故J的模长为J^cosA'+Lsin?%，A正确;

2222V442

B选项，e"i=cos7i+isin兀=—1，为实数，B错误;

C选项，当％=0时，e°=cosO+isinO=l，故e对应的点坐标为(1,0),不在第二象限，C错误;

D选项，e^=cos-+isin-=-+^i,共辗复数为4―Y!"D正确.

332222

故选：AD

11.已知函数/(x)=Acos(ox+0)(A>O,o>O,[a<7i)的部分图象如图所示，将函数/(龙)的图象向左

=g(x)的图象，则下列说法正确的是()

A.(0=——71

6

C.函数g(x)偶函数D.函数g(x)在区间上单调递减

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据函数图象求出“X)的解析式，即可判断A、B,再根据三角函数的变换规则得到g(x)解析

式，再由正弦函数的性质判断C、D.

【详解】对于A,函数/(x)=Acos(ox+0)(A>O,o>O,|@<7i)的部分图象，

—r,口.327157r兀

可得A=2，-x-=,

4。123

二0=2,则/(x)=2cos(2%+j).

又=2cos(2x1^+“=2,所以2x||+°=0+2E

keZ,

所以0=--------F2kli,kGZ,又|同V兀,

6

5兀，f(-^)—2cosf2x——j,故A正确;

:.cp----

6

f(-x)=2cosf-2x-—2cosf2xH——j—2cosf2x—7K

~6

TT

对于C,将函数f(x)的图象向左平移2个单位长度得到

6

则g(x)为奇函数，故C错误;

因为y=sinx在上单调递减,

所以函数g(x)在区间上单调递减，故D正确,

故选：ABD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.己知昌,马是两个不共线的向量，向量力=24一马,3=怎+&.若4〃石，则左=.

【答案】-2

【解析】

【分析】根据向量平行，设离-马=加(留+弓)，从而得到方程组，求出答案.

【详解】因为所以设2召一马=加(居+舄)，

AT/Z—2

故<,解得k=-2.

m=-1

故答案为：-2

13.已知外尸都是锐角，coscr=—,cos(cr+/?)=-—,则/?=.

714

IT

【答案】§##60°

【解析】

【分析】要求夕，先求cos尸,结合已知可有cos〃=cos[（e+利用两角差的余弦公式展开可

求.

【详解】Qa、夕为锐角，.•.0<</+£<兀

1,小11

,/cosa=—,cos{a+p）=

sina-A/1-COS2a=,sin(a+，)=^1-cos2(<z+^)=

cos0=cos[((z+(3}-a\

=cos((z+p)cosa+sin(tz+)3)sina=(-—)x-+x=—

1471472

JT

由于夕为锐角，，夕=§

故答案为：—

14.已知函数/(x)=sin(69x+。)(a>〉0,x=—?为/(%)的零点，x=(■为y=/(x)

图像的对称轴，且/(%)在]看，上单调，则。的最大值为.

【答案】5

【解析】

【分析】根据已知条件，易得啰=1+2（勺—左2）»，再结合了（%）在（白,冬]上单调，可知三2彳，进

ylo9726

而可得。的最大值.

【详解】由工=—£为〃％）的零点，得sin，?0+4=O,

7T

即—]"0+°=k]7i,k、=Z,①

又因x=（■为y=/（x）图像的对称轴，

JTJT

得1刃+。=左2万+万，％2=Z,②

联立①②得：0=1+2（左—&）〃，故。为奇函数,

上单调,

所以12也一2=工，即T2工，故6yW6,

291863

n27r

因。为奇函数，故%且检验满足〃外在上单调.

ax=5,18,~9~

故答案为：5.

【点睛】本题考查的正弦函数图像性质的综合应用，解决本题的关键在于/（%）在上单调，可转

T27rTCTC

化为-2---------=—,但需验证结果是否满足题意即可.

29186

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.如图，在梯形A3CD中，AD//BC,BD=5,NCBD=60°.

（1）^smZBCD=~,求CD的长;

4

（2）若AD=2，求cosNAfiD.

【答案】（1）10A/3

⑵嘤

【解析】

【分析】（1）利用正弦定理进行求解即可;

（2）利用余弦定理进行求解即可.

【小问1详解】

BDCD

在△BCD中，由正弦定理得

sinZBCDsinZCBD

BDsinNCBD^：=20x

则一sinZBCD

4

【小问2详解】

因为AD〃3C,所以NADB=NCBD=60°.

由余弦定理得AB?=BD2+AD2-2BD-AD-cosZADB^19，

贝U45=^25+4—2x5x2x；=M

AB2+8£>2_A£）219+25-4_4A/19

所以cosNAB。=

2ABBD2x719x5-19

16.已知向量M=（2,3）石=（1,2）,d=依+5（keR）.

（1）若向量不与3B共线，求实数左的值；

（2）若向量1与5夹角为锐角，求实数左的取值范围.

【答案】（1）k=--

3

（2）]一■1,O]D（O,+00）

【解析】

【分析】（1）利用向量共线的坐标运算可知%%-々％=0,即可求出参数值;

（2）利用两向量夹角为锐角的充要条件是日出＞0且不与B不共线，从而可得不等式组求解即可.

【小问1详解】

由题意可得章=依+6=（2左+1,3左+2）,=（2,3）-3（1,2）=（-1,-3）,

若向量e与a—3B共线，可得一3（2k+1）+3左+2=0,

解得上=—2.

3

【小问2详解】

若向量e与方的夹角为锐角可得施＞0,且e与石不共线,

（2左+1）+2（3左+2）〉0

即可得

2（2左+1）/3左+2

解得Z〉—3且左¥0,

8

即实数k的取值范围为卜伏〉一上且上。0}

17.如图，一个半径为4的筒车按逆时针方向每分钟转1圈，筒车的轴心。距离水面的高度为2百米.设筒

车上的某个盛水筒P到水面的距离为"（单位：m）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时

开始计算时间，则d与时间单位：S）之间的关系为

d—Asin（cot+cp^+KA〉0,o〉0,—＜夕＜一.

(1)求A0,0,K的值;

（2）盛水筒出水后至少经过多少时间就可以到达最高点？

【答案】（1）A=4,co=—,（p=—,K=2^/3

303

（2）25s

【解析】

【分析】（1）根据振幅得到A=4,根据题意得到最小正周期，co=—=—,由最值得到K=2g\代

T30

7T

入特殊点函数值求出°=-1；

（2）由（1）得到d=4sin+从而得到方程，求出。=25+60人次eZ,求出最小值，得

到答案.

小问1详解】

由题意，振幅A等于半径，即A=4,

2冗2冗7i

•.•逆时针方向每分钟转一圈，，T=60s,.•.0=—=—=一,

T6030

由题意K=九+dmin=4+2用（2尺4）=,

22

因为，=0时，d=0,所以0=4sin°+2A/3,所以sin(p=———,

「兀兀71

又・・・-5<夕<5，「・0=一1；

【小问2详解】

由(1)可得，="in—]]+，

令d=4+26，则有4+2A/3=4sint-+2y/3,

口一.，兀兀兀兀兀〜

即sin—t—=I,---=—F2E,keZ,

(303J/.—30t32

二.1=25+60左,keZ,

当上=0时，t最小，t—25s,

••・盛水筒出水后至少经过25s就可以到达最高点.

18.在VABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,csinA+V3asin^C+^=0,c=6.

(I)求VABC外接圆的面积；

(2)若。=百万，AM=^AB,求的周长.

【答案】(I)12不；⑵4+273.

【解析】

【分析】(1)先利用诱导公式将原式化简，再运用正弦定理进行边角互化，得出角C的大小，然后运用正

弦定理^^=27?求解外接圆的半径，从而得出外接圆的面积.

sinC

(2)由c=6及c=6。可解出6，sinB的大小，得出角B的大小，进而得出角A,然后在zMCM中，

由余弦定理可解得。0的值，得出△ACM的周长.

【详解】(1)*.*csinA+百asin[c+^]=0,

csinA+百acosC=0，由正弦定理得：sinCsinA+^3sinAcosC=0,

因为sinAwO,所以sinC+CcosC=0，得tanC=—g，

24

又0<C<»,故c=—,

八1c16cA

R——•------——x—■=~=3

，VA3C外接圆的半径2sinC2下1

2

，NABC外接圆的面积为12乃.

好

(2)由c=6及0=屉得：b=26，■„_sinC_2_1>

sinD=—7=—=——=—

662

■:C=+，则3为锐角，

TTTT

/.B,故A=»—B—C=3.

66

如图所示，在八4&0中，由余弦定理得，

CM2=AM2+AC2-2AM-AC-COSA=22+(2A/3)Z-2X2X273X^=4,

解得。1=2,

贝iJAAQW的周长为4+26.

C

【点睛】解三角形时，若题目所给式子中含有角的余弦或边的二次式，则考虑用余弦定理；若式子中含有

角的正弦或者边的一次式时，则考虑用正弦定理；若以上特征不明显，则两个定理都有可能用到.

19.如图，在边长为1的正三角形ABC中，。为48的中点，而=2而，过点。的直线交边AB与点

交边AC于点N.

（1）用荏，衣表示不少；

（2）AM=mAB，AN=nAC，求---1—的值;

mn

（3）求0河2+92的取值范围.

►1—►1—►

【答案】(1)AO=-AB+-AC

33

(2)—+—=3

mn

「251

(3)

[_912j

【解析】

【分析】(1)根据已知可得出通二!通+!正，然后即可得出答案；

22

-、1.1—>11

(2)先根据已知结合(1)的结论得出AO=丁AM+丁AN,然后根据三点共线得出——+—=1,即可

3m3n3m3n

得出答案；

(3)先用Z反而得出两，两，然后根据数量积的运算律可推得3〃+QN2=9,72"-』]-根

I18J36

据(2)的结论可得出加+〃=3M〃，m=-----，mn=------，换元3〃一1二%,可得出

3n—13〃-1

机〃=2f+1+2.然后根据对勾函数的单调性可得