湖南省联考联合体2024-2025学年高二年级下册期中考试 数学试题（A卷）含详解

湖南省名校联考联合体2024-2025学年高二下学期期中考

试数学试题(A卷)

一、单选题(本大题共8小题)

1.已知集合/={-3,-2,0,1,2},3=],占ez},则4口2=()

A.{-3,-2,0,1,2}B.{052}

C.{1,3}D.{-2,0,2}

2

2.复数z=「，其中i为虚数单位，则z的共物复数为()

1+1

A.1+iB.1-i

C.2+iD.2-i

3.已知。=(3,6),b=(x,y),若Z+3B=。，则否=()

A.(1,2)B.(-1,-2)C.(-1,2)D.(1,-2)

4.已知函数/(x)=cos12Gx+^](口〉0)的最小正周期为兀，则。=()

A.2B.3C.1D.-1

5.小李一家打算去张家界或长沙旅游，去张家界与长沙的概率分别为0.6,0.4,

在张家界去徒步爬山的概率为0.5,在长沙去徒步爬山的概率为0.6,则小李一家旅

游时去徒步爬山的概率为()

A.0.54B.0.56C.0.58D.0.6

22

6.已知耳耳分别是双曲线C:1r年=l(a>0,6>0)的左、右焦点，点尸是双曲线C

上在第一象限内的一点，若sin/尸乙耳=2sin/尸耳匕且/耳窄=60。，则C的离心率

为()

A.72B.V3C.D.V7

7.棱长为3的正方体/BCD-4瓦。0|中，M为棱8月靠近用的三等分点，N为棱

42靠近A的三等分点，则三棱锥的外接球表面积为()

25ic4143

A.■—71B.18TCC.—7iD.—7i

222

8.已知各项均不为零的数列{%},其前〃项和为E,,%=。，且S.=aj%+i(〃=l,2「-)

.下列结论中错误的是()

A.%=1

B.不存在实数。，使{%}为递减数列

C.存在实数。，使得｛%｝为等比数列

总有4<3。。3

D.3mGN*,使得当左〉加时，

a2k-\

二、多选题（本大题共3小题）

9.下列说法正确的是（）

A.相关变量xj的线性回归方程为f=2x+加，若样本点中心为（-3加,15）,则

m=-3

B.（3+26）5的展开式中二项式系数和为32

C.在独立性检验中，随机变量％2的观测值越小，“认为两个变量有关”这种判断

犯错误的概率越小

D.甲、乙两个模型的决定系数发分别约为0.95和0.8,则模型甲的拟合效果更

好

10.已知抛物线C:/=4y的焦点为尸，过焦点的直线/与抛物线C交于4台两点（

点A在第二象限），则（）

A.VN8。可能为等边三角形

C.若直线/的倾斜角为30。，则|/用=了

D.若直线/的倾斜角为30。，则△0/3的面积为4g

11.已知函数力（x）=x"+x+a,其中〃为正整数，。<0且为常数，尤“是函数

了=力（力大于0的零点，其构成数列｛%｝，则（）

A.函数y=A（x）不可能有三个零点

B.函数y=£（x）的减区间为-00，。）

C.对于任意的〃，函数昨力（X）在区间内均存在零点，则ae（-4,-l）

D.存在实数。使得数列｛%｝的部分项％,当2,%，…构成无穷等比数列

三、填空题（本大题共3小题）

12.已知离散型随机变量X:d10,；］,y=2X-l,则E（Y）=.

13.某班一天上午有4节课，下午有3节课，现要安排该班一天中语文、数学、英

语、物理、化学、政治，体育7堂课的课程表，要求数学课、物理课都排在上午，

且数学课、物理课不连排，体育课排在下午，不同排法种数是.用数字

作答)

14.已知在平面直角坐标系xOy中，动点尸满足忸叫・忸时=4,则

I。刊的取值范围是.

四、解答题(本大题共5小题)

15.人工智能(简称AI)的相关技术首先在互联网开始应用，然后陆续普及到其

他行业.某公司推出的AI软件主要有四项功能：“视频创作”“图像修复”“语言翻译”“

智绘设计”.为了解某地区大学生对这款AI软件的使用情况，从该地区随机抽取了

100名大学生，统计他们最喜爱使用的AI软件功能(每人只能选一项)，统计结果

如下：

软件功能视频创作图像修复语言翻译智绘设计

大学生人数30203020

假设大学生对AI软件的喜爱倾向互不影响.

(1)从该地区的大学生中随机抽取1人，试估计此人最喜爱“视频创作”的概率；

(2)采用按比例分配的分层抽样的方式从最喜爱“视频创作”和“图像修复”的大学生中

随机抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，其中最喜爱“视频创作”的人数为X,

求X的分布列，数学期望以及方差.

16.在V48c中，分别为角48,C的对边，V3asiii8-bcosA-b=Q.

(1)求角A的大小；

(2)若。为3C的中点，AD=C,V4BC的面积为百，求VN8C的周长.

17.已知函数/(x)=hu-£,a为实数.

⑴若函数/(x)在x=l处的切线经过点(0,1),求。的值；

(2)若/'(x)有极小值，且极小值大于2,求。的取值范围；

a

(3)若对任意的%>x2,且X],%e[l,e],/(占)-/(9)<国-尤2恒成立，求的取值范围.

(e为自然常数)

18.如图，矩形中==为4D中点，将VNBE沿着3E折叠至

AC=2B

A

⑵设平面ABCCl平面ADE=I,点、MeI.

(i)当为何值时，直线DM与平面/CD所成角的正弦值为变；

11

(ii)在满足条件(i)的情况下，过而作一截面，与棱盖,ND,4C分别交于点

F,H,G,且CE〃平面抄HG,记四棱锥/-AFHG的体积为匕，四棱锥/-3CDE的

体积为匕，求我.

2

丫2v

19.在平面直角坐标系附中，点。分别是椭圆E卞+3=1(。>6>0)的右顶

点、上顶点、左顶点，若E的离心率为i,|/网=囱.

(I)求椭圆£的标准方程；

(2)已知两点，其中点W在线段CO上运动(不含端点)，N与“关于A点对

称，直线2N与椭圆£的另一交点为P点，直线9与椭圆£的另一交点为。点，设

直线8",8N的斜率分别为左他，直线幺尸,/。的斜率分别为&A.

(i)求V3NQ的面积S的最大值；

(11、

(ii)求证：7+广(左3+左4)为定值，并求出该定值.

参考答案

1.【答案】B

【详解】由已知当尤=-3或-2时，工eZ,当x=l时，工无意义,

x-1x-1

当x=0时，—=-leZ,当x=2时，—=leZ,

X—1X—1

所以45={052}.

故选B.

2.【答案】A

z一2一2(1)2-2i

【详解】因为=1一i,

i+1(l+i)(l-i)2

所以z=l+i.

故选A.

3.【答案】B

【详解】因为。=（3,6）,b=（x,y）,

所以a+=(3,6)+(3x,3_v)=(3x+3,3y+6)=(0,0),

3x+3=0可得［Ix=—1所以X_T一），

所以=-2,2

3y+6=0

故选B.

4.【答案】C

【详解】由题意得/=兀，解得0=1.

2a）

故选C.

5.【答案】A

【详解】记小李一家去张家界为事件A,去长沙为事件3,去徒步爬山为事件C,

贝|」尸（/）=0.6、尸（8）=0.4、尸（C|/）=0.5、P（C|8）=0.6,

所以尸（C）=P（C|/）P（/）+P（C18）尸（8）=0.5x0.6+0.4x0.6=0.54,

即小李一家旅游时去徒步爬山的概率为0.54.

故选A.

6.【答案】B

【详解】因为sin/尸鸟耳=2sin/尸耳乙，所以归周=21尸闾,

因为|尸耳|-|尸周二2°,所以附|=4〃，|尸阊=2a,

又内阊=2c,4尸鸟=60。，

忸£『+|尸阊2_寓见［1602+41_4°2

所以cosN用岑=

2\PF^PF^\~2X4QX2Q2

所以3/=/,所以C=V5Q,所以e=—=6.

a

故选B.

7.【答案】D

【详解】依题意可得4M=4N=A/F7F=JHJ,MN=^22+22=272>

在VA,MN中由余弦定理cosANAM=5+.…旷=(而『+(•『-(2=『二3

12AM•A\N2xV10xV105

4

所以sinZNA^M=—,

1MN12V2_5V2

则YA、MN外接圆的半径'—2sinNM41M-2义44,

5

又42=3且4。，平面乂4附，

设三棱锥4-卬w的外接球的半径为我,则斤=]华:+/=]|j+件=*

43

所以外接球的表面积5=4%々=万无.

故选D.

8.【答案】C

【详解】由S”=%q+GulZ-faS.+i=an+2an+l,

相减可得Sn+l-S„=an+2an+l-an+lan,an+l=an+1(an+2-an),

由于｛%｝各项均不为零，所以%+2-%=1，所以｛0｝的奇数项和偶数项分别为公差

为1的等差数列，

对于A,因为可%=S|=%,所以%=1，故A正确；

对于B,由于｛%｝的奇数项和偶数项分别为公差为1的等差数列，

且4=Q,a2=l,

所以。2"-1=4+("T)，a2n=n>

所以％=2>电，所以｛%｝不可能为递减数列，即不存在实数。，使｛g｝为递减数列

,故B正确；

对于C,因为=a+(〃T)，a2n=n,

r、a”几

若｛。“｝为等比数列，则a件、为常数，贝4。=1，

2n-l。十(〃

此时4=1,故%一1=〃，⑸=〃，进而可得数列的项为1/，2,2,3,3,…，显然这不是

a2n-l

等比数列，故c错误，

对于D,若乌邑=一^7<3“3,只要左足够大，一定会有0+"1>0,

则”二1>3-。。3=与1>3-。。3一1,只要上足够的大，F趋近于0,

kkk

而3“3一1<0,显然能满足

k

故三加EN*,当左〉加时，总有乌，<3°0,故D正确，

a2k-\

故选C.

9.【答案】ABD

【详解】对于A中，将样本点中心点（-3机,15）代入回归方程为j=2x+加，

可得-5加=15,解得m=-3,所以A正确；

对于B中，二项式（3+2«y的展开式中二项式系数和为2,=32,所以B正确；

对于C中，在独立性检验中，随机变量/的观测值越大，“认为两个变量有关”这

种判断犯错误的概率越小，所以C错误；

对于D中，根据决定系数的含义知：决定系数越大，模型拟合效果越好，

由0.95>0.8,所以模型甲的拟合效果更好，所以D正确.

故选ABD.

10.【答案】BC

【详解】

由已知可得尸他,1）,设直线/的方程为y=履+1,

设”（再,必），B（x2,y2）,

|-i?-+]

由厂2,得工2-4到-4=0,所以西+工2=4左，xtx2=-4,

[x=4y

对于A,若V/2。为等边三角形，贝1。/卜|。河，

根据抛物线的对称性可得此时直线/与7轴垂直，且4-2,1）,5（2,1）,

所以|/@=4,\OA\=\OB\=45,

所以V/5。不可能为等边三角形，故A错误；

对于B,因为七/=",kOB=~,所以kOAkOB=%匹，

因为45两点在抛物线上，所以片=4%,¥=48，所以必为=富=1，

所以kOAkOB="匹=一），故B正确；

x{x24

对于C,若直线/的倾斜角为30°,所以左=1,

3

所以玉+%=~Y~，再入2~一4,

所以|力同=J1+左2|西一百=J1+左之.]（国+工2）2-4%/

对于D,若直线/的倾斜角为30°,直线/的方程为片3X+1,即Yix_y+l=o,

33

所以。到直线/的距离为

所以Sva«=J叫x1=1

—x

2323

故选BC.

11.【答案】ACD

【详解】对于A：因为力(x)=x3+x+*所以力'(幻=3/+1>0,

所以y=/i(x)在定义域R上单调递增，所以函数y=R(x)不可能有三个零点，故A

正确；

对于B：因为昨入3=/+工+口，所以4(耳=4/+1,

令力(x)=4/+l<0,解得x<《，

所以函数y=«(x)的单调递减区间为卜。，-4),故B错误；

对于C：当尤>0时，力3=帚-+1>0恒成立，

所以函数<(x)=x"+x+.在(0,+动上单调递增，

又&2卜(0,+动，

所以函数y=z,(x)在A2］内均存在零点只需满足,，卜卜。即可，

'；|/„(2)>0

即+；+”°,所以一2"一2〈…臼"」，

2"+2+a>0⑴2

所以“<一8一;=一1且"(一2"-21=-4,

又〃为正整数，所以-4<a<-l,即ae(-4,-1),故C错误；

对于D：令力⑴=1+1+。=0,解得.=-2,

当”=—2时，y—fn(x)=尤"+x—2,

则当x>0时，力(力="尸+1>0,所以y=工(#是(0,+s)上的严格增函数，

所以⑴=1+1-2=0=〃x“).

所以X.=1.

所以｛%｝是恒为1的常数列，故存在实数。使得数列打“｝的部分项%,X%,%,…构成无

穷等比数列，故D正确.

故选ACD.

12.【答案】4

【详解】因为X：q1°，j，所以£(X)=10x；=g,

又y=2X-l,所以矶y)=E(2X—l)=2E(X)-l=2xg-1=4.

13.【答案】432

【详解】数学课、物理课都排在上午，且不连排的排法数为3A；；体育课排在下午

的排法数为A；；

将余下4门课程排入课程表有A：种方法，

所以所求不同排法种数是3A；A；A：=432.

14.【答案】[百，石]

【详解】设点依题意可得[(x+i)2+y[｛(x-i)2+T=16,

即[(X2+/+1)+2x]•[(无2+_/+])_2尤]=16,

则X2+J72+1=V16+4%2，

所以\OP\=sjx2+y2=JJ16+4/一1,

因为16=[(X+1)2+/].[(X-1)2+V]HX_1)2(X+1)2=(X2-1)2,当且仅当y=0时取等

号

由卜2—1y416,解得04尤245,所以16<16+4尤2<36,则44J16+4-46,

所以\0P\=7A/16+4X2-1e[V3,V5].

3

15.【答案】⑴记

69

(2)分布列见解析；期望为工；方差为去.

【详解】(1)解：由表格中的数据，可得该地区的100名大学生中“视频创作”的

人生为30人，

所以该地区的大学生最喜爱“视频创作”的概率为尸=3缶0=木3.

(2)解：在该地区的100名大学生中“视频创作”和“图象修复”的人数分别为30人

和20人，

采用分层抽样的方式从最喜爱“视频创作”和“图像修复”的大学生中随机抽取5人，

可得“视频创作”和“图象修复”的人数分别为3人和2人，

从这5人中随机抽取2人，其中“视频创作”的人数为X,可得X的可能取值为

0,1,2,

则尸(X=0)=||=*(X=l)=罢/尸(X=2)=||=[,

所以随机变量X的分布列为：

X012

163

P

1010W

则期望为£(X)=0xLlx9+2xa=J

V71010105

方差为^(^)=22239

(0--|)x^+(l--1)x^+(2--1)x—=

1025

16.【答案】(1)/=1

⑵6

【详解】(1)因为43asinB-bcosA一b=0,所以6sinZsin^-sin5cosZ-sinB=0，

因为0<8<兀，所以sinB>0,

所以Gsin/-cos/-1=0,所以=1,所以=彳,

因为0<4〈兀，所以4—^=3，即力=£；

663

(2)因为VN8C的面积为3，所以16csin/=g,所以工儿义且=百,

222

所以6c=4,

因为诟=|■(方+%)，

所以力匕;(方+就『=^AB+IAB-AC+AC2Y

所以3=#+/+26ccos/)=*2+/+町,

所以。2+加=8,b+c=4,

由余弦定理可得。2=/+/-26ccos/=8-2x4x；=4,解得Q=2,

所以。+6+。=4+2=6,所以VZ5C的周长为6.

17.【答案】(1)〃=-1

(2)«e(-co,-e)

(3)oe(-<x>,0］

【详解】(1)因为=所以八x)」+W，所以/'⑴=l+a,

XXX

又/(l)=-a,所以函数/⑺在x=l处的切线方程为y+a=(l+a)(x-l),

因为切线经过点(0/)，所以1+。=(1+。乂0-1),解得.=-1；

(2)由(1)知/a)=工+==手，函数/'(x)的定义域为(0,+动，

XXX

当时，/'(x)>o在(0,+。)上恒成立，所以/(X)在(0,+。)上单调递增，无极值,

当a<0时，令/'(x)=0,得x=_q,

所以当0<尤<-。时，r(x)<0,函数〃x)在(0,-a)上单调递减，

当x>-a时，r(x)>0,函数在(-。,+劝上单调递增，

所以当x=-a时，函数/(x)有极小值，极小值为/(-a)=ln(-a)+l,

由ln(-a)+l>2,所以a<-e,所以。的取值范围为ae(f°,-e)；

(3)由/(再)-/(*2)<7-工2得/(再)一再</(工2)-工2,

令g(x)=/(x)-x,所以对任意的再>%2，且不电e［l,e］,g(xj<g(x2)恒成立,

所以g(x)在［l,e］单调递减，

所以g，(x)=尸"=?"「2；：+J。在网上恒成立,

所以aw/7在上恒成立，

因为二次函数y=x2-x在［l,e］上单调递增，

所以函数y=--x在［l,e］上的最小值为0,

所以ae(-co,0］.

18.【答案】(1)证明见解析；

匕1

(2)(i)AM=2；(ii)-.

“2

【详解】(1)由题意得/E=4B=2,BE=CE=26,BC=4,

所以8£2+CE2=8C2,HPBEICE,

■-AC=2s/3,AE=2,CE=2y/2,所以/炉+。炉=幺。2,gpAEICE,

又AEcBE=E,AE,BEu平面4BE,所以CE_L平面Z8E；

(2)(i)•••。£〃8(7,8(7匚平面/8<7,。£0平面/3。,所以。£〃平面/3。,

又DEu平面ADE，平面4BCPI平面ADE=1,所以IIIDEIIBC

以点E为坐标原点，EB、EC为x轴和7轴建立如图所示的空间直角坐标系，则

£(0,0,0),5(2V2,0,0),C(0,272,0),Z)(-V2,V2,0),^(V2,0,72),

H/BC,.-.AM=XBC=(-2V22,2722,0)2&,2屈,6),

AD=(-2V2,V2,-V2),CD=(-^2,-41,0),5A7=(2>/2-2旧,2&-血词，

设平面/CD的法向量为方=(x,y,z),

贝]」JAD-«=0,即+s[2y—V2z=0,

、[CD-n=Q,[-V2x-V2y=0,

令x=l,得y=-l,z=-3«=(1,-1,-3),

记直线DM与平面/CD所成角为6,则

DM-nM-2V22-2V22+V2-3闽

sin^=___1V22

DM.|n|旧,《2a—2仞『+(2忌_可+2TT

|42|11

化简得而解得所以/心胪。：？.

(ii)由(i)知，AM=-BC,AM//BC

2f

AGAM11i、

=U=即nnNG=/C(二等分点)，

又：CE〃平面BFHG,

：.CE//FG,.•./尸=(三等分点)，

•­•AMIIED,=ED,.•.四边形NEZ)河为平行四边形，

4HAT711

・•・一=——=—，即4〃=—四等分点)，

HDDM34v7

VABFC/AFCAFAG1VAFHCVHAFC1VDAFC1AFAG1

"VA-BCE~VB-ACE~AE-AC^9'VA^DCE~VD_ACE~4'VD_ACE~TAE-AC~36

殍，%-DCE=3义;义2义2义四=当

又.VA_BCE=]*x2/^xx

14012收

—x-----------1---------X-----------

1

,YL=93363=

“匕一4E2/一12

---+----

33

2

19.【答案】⑴,+必=1

⑵（i）2+2V2;（ii）证明见解析,1+1（质+%）=4

k]k2

cV3

e=—

a~2~Q=2

22

【详