湖北省汉川市某中学2024-2025学年高一年级下册期中考试数学试卷（解析）

2024-2025学年度下学期高一期中考试

高一数学试卷

试卷满分：150分

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴

在答题卡上的指定位置.

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写

在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿

纸和答题卡上的非答题区域均无效.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.已知z=-2—i,则z(z+D的虚部是()

A.2B.-2C.2iD.-2i

【答案】B

【解析】

【分析】由共轨复数和复数的乘法运算计算可得.

【详解】z(z+i)=(-2-i)(-2+2i)=6-2i,故zQ+i)的虚部是—2.

故选：B

2.已知向量&=(-3,1),6=(2,1),则a在6方向的投影向量为()

A.(—2,—1)B.(—2,1)C.(2,-1)D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据投影向量的定义结合向量的运算求解即可.

【详解】a在6方向的投影向量为^=2.(2,1)=(-2,-1).

\b\\b\22+1

故选：A

3.已知ae(乙,兀］,且tana+tan(二一则tana二

=()

U)UJ3

11

A.—B.—2C.—D.2

33

【答案】A

【解析】

【分析】由正切的和差角公式展开，代入计算，即可得到结果.

【详解】由tane+tanff—=|■得tana+1tano=」,整理得：3tan2cr-5tan«-2=0-

(4J3l+tane3

即(tana-2)(3tan(z+l)=0,因为tze［四,兀］,故tantz=-工.

U)3

故选：A

4.在VABC中，设=4,C4=瓦AB=C,|&|=1,|Z?|=||=2,则a.b+b+i3=()

c99

A.3B.—3C.—D.一

22

【答案】C

【解析】

【分析】由3C+C4+AB=0,得到(a+6+c)2=0,将(a+6+c/用完全平方公式展开计算即得.

【详解】因为5C+C4+AB=0，即a+Z?+c=0，

所以(a+Z?+c)2=0»

又(a+Z?+c)2=a2+"+c~+2(o•bb•cc'uy)<

=|a|2+|z?|+|c|2+2(a-b+b-c+c-a)

=9+2(a-b+b-c+c-a)=0

9

可得—.

2

故选：C

5.下列命题：

①若Q,/?都是非零向量，则(〃•/?)，e=。・(Z?•2)；

②a=b的充要条件是Ia|=|b|且〃〃b；

③九〃为实数，若则。与Z?共线；

④若A民C,。是不共线的四点，则AB=是四边形ABCD为平行四边形的充要条件.

其中，真命题的个数是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【解析】

【分析】由向量的数量积的定义可判断①；由|。|=|。|且。〃。，可得a=6或a=—万，从而得|a|=|6|且

a〃。是a=6的必要不充分条件，即可判断②；举反例即可判断③；由AB=OC及ABC,。是不共线的

四点，可得四边形A3CD为平行四边形；由四边形ABCD为平行四边形，可得AB=DC且A,5C,D是

不共线的四点，即可判断④.

【详解】对于①，向量的数量积不满足结合律，故①错；

对于②，且a〃Z?oa=Z;或a=-5,

所以，|a|=|6|且a〃。是a=6的必要不充分条件，故②错；

对于③，当4=〃=0时，。与6可以为任意向量，满足/la=〃Z?=O,

但。与6不一定共线，故③错误；

对于④，若A3,C,。是不共线的四点，

当AB=OC时，则AB〃。且|A8|=|CC|,

此时，四边形ABCD为平行四边形；

当四边形ABCD为平行四边形时，

由相等向量的定义可知AB=OC，

所以，若A,5C,D是不共线的四点，

则AB=OC是四边形A3CD为平行四边形的充要条件，故④对.

故选：A.

7T4

6.在VA5C中，B=—,BD=2DA,CD=2,则一AB+2BC的取值范围为()

33

A.(2,4]B.(4,8]C.(0,4]D.(1,2]

【答案】B

【解析】

4

【分析】根据给定条件§AB+23。=2(3O+5C),再利用余弦定理及基本不等式求出范围.

443

【详解】由5D=2DA，得mAB+2BC=3.]BD+2BC=2(BD+BC),

在△5CD,由余弦定理得：BD2+BC2-2BD-BC-cos-=CD2,

3

3

即则(班)+BC)2=4+3&)BCW4+—(&)+BC)2,

4

即5D+5CW4,当且仅当=3。时等号成立，因此2<5。+5。《4,即4<2(5£>+3C)<8,

4

所以一48+28。的取值范围为(4,8].

3

故选：B

7.已知函数/(%)=5111(。%+0)(。>0,0<9<兀)的部分图象如图所示，VABC是等腰直角三角形，

3

C./(%)在(1,2)上单调递减D.函数/(x)的图象关于直线x=1对称

2

【答案】C

【解析】

【分析】根据C为图象上的最高点，且点C的纵坐标为1,VA3C为等腰直角三角形可以求出筋=2,进

而求出周期，再求出。，将点C代入即可求出。，从而确定函数/(%)解析式，再逐项判断.

【详解】由VA3C为等腰直角三角形，C为图象上的最高点，且点C的纵坐标为1,

所以AB=2.则函数/(%)的周期为4,由昔=4,。〉0,可得。=巴；

X\OB\=3\OA\,所以唱,0；则C，』],将点C代入/(x)=sin生+夕],得

(JI]jrjr

1=sinl—+^9I,则7+9=]+2左兀,左eZ.

而0＜。＜兀，贝!J°=色，所以/(x)=sin|+：

4I24

―,,/C、J'/c\'1兀、-।57r7t17r.37r„

因为/(2)+/⑸=sin7t+—+sin—+—=-sin—+sin—=0,A错灰;

I4JI24J44

若xe(3,7),则+［兀,,因为函数丁=$山］,xe(［兀,?兀］有2兀,3兀两个零点，所以

24144J144J

/兀兀)

/(%)=5也万%+7在(3,7)有2个零点，B错误;

若XG(1,2),则、x+：e11'7r，'17r)，因为y=sinx在||•兀,:兀)上单调递减，所以了(%)在(1,2)上单

调递减，C正确;

^■|^=sin^-1+^=O,"%)的图象关于娱，°)中心对称，D错误.

故选：C

2

8.在VA3C中，内角A5c所对的边分别为瓦c,若。是VA3C边AC上的一点，NABC=—兀且

3

BABDBDBC

\BA\Fl，4a+c=6则班)的最大值是()

132

A.2B.—C.—D.一

223

【答案】D

【解析】

BABDBDBCac

【分析】由j,|x得ZABD=ZCBD，由S=S+S°BD得BD=——,利用基本不

\BA\5CABDa+c

等式运算即可.

BABDBDBC

【详解】可

I5A|-IBD|cosZABDBD|-JBC|cosZCBD

IBAI\BC\

cosZABD-cosZ.CBD，

一7C

:.ZABD=/CBD=—,

3

..UAABC一丁uCBD，

即—acsin120°=-a-BDsin60°+—c-BDsin60°,

222

当且仅当c=2a时等号成立，

2?

：.BD<-,即BD的最大值是一.

33

故选：D

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多

项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列说法正确的是（）

A,若4/2互为共轨复数，则Z]Z2为实数

B.对于复数4吗,若㈤二㈤,则z；=z；

C.若1+i是关于尤的二次方程以2+汝+2=0（。,。611）的根，贝iJl—i也是该方程的根

D.复数z满足贝Ulz-i|的最大值为忘+1

【答案】ACD

【解析】

【分析】A选项，设4=。+历（a力eR）,则Z2=a-万，利用复数乘法法则得到斗？=/+〃，A正确；

B选项，举出反例得到B错误；C选项，实系数的一元二次方程虚根成对（互为共轨复数），C正确；D选

项，利用复数几何意义得到z对应的点的轨迹，从而得到|z|的最大值为后F+i=^+i.

【详解】对于A选项，设％=。+历(a,beR),则Z2=a-历，

Ze2=(a+6i)(a-6i)=。2+人2为实数，A对；

对于B,若闻="|,例如马=l+i,z2=l-i,满足|zj=冈=0,

但z；=(l+iy=2i,z；=(1—i)2=—2i,即z；/z；,故B错误；

对于C,实系数的一元二次方程虚根成对(互为共辗复数)，

所以1±i为一元二次方程ax2+bx+2=Q(a,beR)的两根，C对；

对于D,由复数的几何意义，可知z对应的点的轨迹为以(1,0)为圆心，以1为半径的圆，

Iz-i|表示圆周上的点到点(0,1)的距离，所以|2|的最大值为抗。+1=鱼+1，故D对.

故选：ACD

10.己知向量o=(2cos&sin6>),0=(l,—2),则下列命题正确的是()

A.若〃〃。，则tan。=-4B.^\a+b\=\d-b\,则tan8=l

C.e是与6共线的单位向量，则0=[]，,—D./(，)=a•/?+1取得最大值时，tan9=-l

【答案】ABD

【解析】

【分析】对A,根据两向量平行的坐标运算得解；对B,由|。+/7Hq—们可得=o,根据数量积的

b

坐标运算求解；对C,与b共线的单位向量为土▼运算判断；对D,根据向量数量积的坐标运算结合三

\b\

角恒等变换化简/(，)，利用正弦函数的性质运算求解判断.

【详解】对于A,因为向量a=(2cos，,sin，),方=(l,-2),d//6,所以sine=-4cos。，即tan6=-4,

故A正确；

对于B,|。|=|a|等价于(a+6)2=(。—6)2,即a?+/+2a•/?=a?+/—2a为，则。♦"=()，

所以a.0=2cos。—2sin。=0，所以tan8=l,故B正确;

|君,故C错误;

对于C,与6共线的单位向量为土

\b\

对于D,/(61)=a0+l=2cos，一2sin，+l=2VIsin：—6+1,

TTTT'Ji

当——9=—+2E/eZ,即8=——2E,左eZ时，/（。）=a也+1取得最大值时，此时

424

(兀\兀

tan。=tan|------2kn|=一tan—=-1,故D正确.

I4J4'

故选：ABD.

H.在VA3C中，内角A&C所对的边分别为a,瓦c,则下列说法正确的是（）

色+工ABAB

A.BC=O,且则VA3C为直角三角形

[\AB\\AC\JTAB\TAC\2

B.若VA5C平面内有一点O满足：OA+OB+OC=Q^且|。4|=|。81=|OC|，则VA3C为等边三角

形

C.若siYA+sidB+cos2c<1，则VA3C为钝角三角形

D.若tanA+tan5+tanC>0,则VABC锐角三角形

【答案】BCD

【解析】

【分析】对A,由己知确定的角NA平分线与3C垂直，所以A6=AC,N5=NC,再利用向量夹角的

余弦得出ZA=g,最后得解；对B,根据。A+OB+OC=0可得。为VABC的重心，结合

7T

|04|=|。3|=|。。|判断；对C,由正弦定理角化边得4+"<02,利用余弦定理可判断,<。<兀，得

解；对D,由两角和的正切公式结合条件可得tanA-tan"tanC=tanA+tan5+tanC>0,进而判断

得解.

(ABAC}

【详解】对于A,因为----1-----分别为单位向量,

[\AB\\AC\)・"湍湛

所以/A的角平分线与3c垂直，所以A5=AC,NB=NC.

又因为^-=—,即COSA=L,因为0cA<兀，所以NA=四，

\AB\\AC\223

7T

故NB=NC=NA=—,所以VA5C为等边三角形，故A错误;

3

对于B,因为。A+OB+OC=0，所以。为VABC的重心,

由|OA|=|OB|=|OC|知。为VA5C外心，故VA5C为等边三角形，故B正确；

对于C由sin?A+sin?B+cos?C<1，可得sir?A+sin?jBvsi/C，由正弦定理可得",

所以cosC=32~~—<0,因为。£(0,兀)，所以一<。<兀，则VA5C为钝角三角形，故C正确;

2ab2

…“「/八……tanB+tanC

对于D,由tanA=tan[兀-(B+C)]=-tan(B+C)=----------------------,

1-tanB-tanC

所以tanA・tan5・tanC=tanA+tan5+tanC>0,而人民。£(0,兀)，故AS。都为锐角，故D正

确.

故选：BCD.

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

——2-

12.已知42,1),8(—3,4),点尸在直线AB上，且|AP[=]|〃3],则点尸的坐标是.

【答案】，?]或(12,-5)

【解析】

【分析】利用向量的坐标运算即可求得坐标，注意有两解.

UUU

详解】由A(2,1),3(—3,4)得AB=(_5,3)，

因为点尸在直线AB上，且|AP|=g|PB|,

所以AP=|A5=或AP=-2AB=(10,-6).

因为A(2,l),可设？(尤,y),

x=0

所以AP=(x_2,y_l)=1_2,g),可得＜

11，

二

或AP=(x_2,y_l)=(10,—6),可得j__5，

则点尸的坐标是I0,yh(12-5).

故答案为：[0,《J或(12,-5).

1兀

13.先将y=tan尤的图象上所有点的横坐标缩小为原来的纵坐标不变，再将所得图象向左平移一个

212

单位长度后得到函数/(X)的图象，若且/(0)>-百，则a的取值范围是.

兀717171

【答案】

45645J

【解析】

【分析】先由题目条件得到函数/(幻的表达式，再得到由a的范围得到2a+72T的范围，结合角的范围,

6

求解不等式tan[2a+Ej>-73即可得到a的取值范围.

【详解】将丁=1211X的图象上所有点的横坐标缩小为原来的纵坐标不变,

再将所得图象向左平移出个单位长度后可得/(x)=tanf2x+g],

12I6；

,「兀兀、wc71f715兀1

由ae'贝"2a+76—3,-^,

337o2o7

因为/(cr)>—y/3，即tan|2a+—|>一&,

,.,.71.兀兀―271_715兀

故有—<2aH—<一或—<2aH—<—

66

14.如图，在平面四边形ABCD中，点以、N分别是线段A。、5c的中点，AB=逐,DC=①,P为

13

平面ABCD内一点，且BP=—BM+-BN,贝"PM+PN)•(A5—£>C)=

44

A

M

BNC

3

【答案】—##-0.75

4

【解析】

【分析】利用平面向量的线性运算，求出ABOC表示PM+PN，再利用向量数量积计算即可.

【详解】因为=所以BP—BN=LBM—LBN,即PN=」MN,

44444

311

故PM+PN=――MN+—MN=——MN；

442

又MN=MA+AB+BN①,MN=MD+DC+CN②'

①+②得：MN=^(AB+DC),

则+PN).(AB—DC)=—giW.(AB—DC)

22

=--(AJB+DC)(AJB-DC)=--(AB-DC)=--.

，一3

故答案为：—.

4

四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：3=cos尤+isinx,其中e是自然对数的底数，i是

虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中

有非常重要的地位，被推举为“数学中的天桥”.

—3

1J-i\20241i

(1)若复数Z=/+(g)_(]+°2,求：|z|;

(2)在复平面内，复数4=-l+3i对应的向量分别是。4。3，其中。是原点，设0A与08所

成的角为。，求cos。.

Ji

【答案】(1)|z|=—

2

⑵COS0

5

【解析】

【分析】（1）利用给定公式，结合复数的乘方及除法运算求解.

（2）利用欧拉公式求出。4,。5的坐标，进而求出夹角的余弦.

【小问1详解】

11

依题意，-iTi..n

e2cos一+1sin—

22

1-i3__1+i_(l+i)x(-i)_11.

(l+i)2-牙―2ix(—i)一万一9(1+i)22222,

【小问2详解】

Z]=e^=cos^+isin^=^+^i，则04=(1,¥),03=(—1,3)，

于是OA.OB=—去+^^=曰\OA\=

=1,1OB|=7(-!)2+32=回，

OAOB0=6

所以cos0=

\OA\\OB\而一5

16.在VABC中，内角4瓦。所对的边分别为。也。,($111/1-5111(7)2=sin2B-sinAsinC,

(1)求&

3

（2）若tanA=—,求c.

4

jr

【答案】（1）B=-

3

（2）C=3+46

5

【解析】

【分析】（1）利用正弦定理将角转化为边，再由余弦定理即可求解；

（2）利用同角三角函数的基本关系求出sinAcosA,由两角和的正弦公式求得sinC,最后利用正弦定理

即可求解.

【小问1详解】

因为（sinA—sinCf=sin2B—sinAsinC,化简得sin?A+sii?C—sin?5=sinAsinC，

所以由正弦定理得：a2+c2-b2=ac，

所以由余弦定理可得cosB="一+/—”=旦=!，

2ac2ac2

TT

因为2e（0,7r）,所以3=—.

3

【小问2详解】

334

由tanA=—,sin?A+cos2A=1，又Ae（0,兀），解得sinA=—,cosA=一，

4''55

因为。=兀一4一3,所以sinC=sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosA

it，.兀31463+473

33525210

bA/3_c

在VABC中，由正弦定理-----=上一得.兀—3+4百，

sin3sinCsin-'十

310

所以C=3+4G.

5

17.在VABC中，AN=2NC，/为边5c上一点，AM与6N相交于点P,

4NC

（1）若82=23右+工。1,求实数几的值；

15

TT

（2）若IA0=2,|AC|=6,N3AC=,求/MPN的余弦值.

【答案】（1）|

G3屈

f------------

26

【解析】

【分析】（1）根据平面向量线性运算法则及平面向量基本定理计算可得;

(2)解法1：将40N看成向量AM、BN两向量的夹角，根据向量的线性运算法则及平面向量基本

定理，用AB、AC表示AM、BN再利用已知条件求两向量夹角余弦值即可；解法2：建立平面直角

坐标系，求出各点坐标再利用坐标方法求解.

【小问1详解】

因为A7V=2NC，故BNuBC+CNnBC+goi

ULILlUU/1、|

又因为8尸与BN共线，设BP=juBN，则=+3cAJ=〃BC+§〃C4,

2=〃

1-尸11

由题意知3P=2BC+—C4,故＜11,所以2=〃=—,实数2的值为一.

15=55

〔—3u-15

【小问2详解】

解法1：因为3M=MC，AN=2NC-所以AM=，(AB+AC1),BN=AN-AB=-AC-AB,

23

12\1(2221

所以AM-BN=-(AB+AC)-\-AC-AB\=-\~AC-AB--ABAC

—f—x62-22--x2x6-cos—1=9,

2(333)

|AM|=班AB?+AC+lABAC^=l^62+2?+2x6x2xg)=而,

^4~24--hQ4J"/~

\BM\=A-AC+AB-jAB-AC=J-X62+22-JX2X6X-=2y/3,

AMBN93a

所以cos4MPN=

\AM\-\BN\V13-2A/3-26

解法2：以A为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系,

TT

因为/BAC=§,|AB|=2,|AC|=6,AN=2NC，

所以A(0,0),C(6,0),N(4,0),B(l,亚,

而即Af为3c的中点，故”

(1叵|

AM=BN=3-5，

2’2

AM•BN=2x3-也乂6=9,

22

故|AM|==屈,|BN|=732+(-A/3)2=2A/3>

AM-BN9_3A/39

故cosNMPN

\AM\-\BN\~yfl3-2y/3~26

18.已知函数/(x)=sinoxcos+A/3COSJcos[0x+：J(o〉O)的图象的两条相邻对称辅之

TT

间的距离为一，

2

兀71

(1)求函数/(%)在区间f上的单调递减区间；

兀71

(2)若关于x的方程3"。)]2+%/'(0+1=0在区间-上有两个不相等的实根，求实数加的取值

;o3

范围.

715兀71兀

【答案】(1)

2，-12122

(2)m<T或m=—2币.

【解析】

【分析】(1)利用三角恒等变换化简函数解析式，利用正弦型函数对称性和周期性求出系数。，从而得到

函数解析式，整体代入求单调区间即可；

(2)数形结合分析，将问题转化成一元二次方程在区间上只有一个实数根，构造不等式求解即可.

【小问1详解】

因为/(x)=sin(oxcosa)x+^3cos(lcos(ox4-^-

1.717171

二一sm2QV+y/3sinIcox--+—|cos|coxH--

2424

=­sin2^x+^sinf6yx+—jcosfcox-\~—

2[4[4

=-sin2cox+—sinfIcox+-

22I2

1•0、・八,兀)

=­sin2(y%d----cos2cox=sin2cox+—

22{3j

IT

由/(x)图象的两条相邻对称轴之间的距离为一，得函数/(%)的最小正周期为兀,

2

由7=生=兀，得。=1,所以/(无)=sin(2x+g],

2。I3J

7T7T3冗7T7冗

令一+2EW2%+—《---b2kii,k^Z,解得---\-kji<x<----\-kn,k^Z,

2321212

[([L](57U')L'JL

所以函数/(%)在区间一方，不上的单调递减区间为一不,-不，.

乙乙乙JL乙_L乙乙

【小问2详解】

因为xe一f，则2x+^e[0,兀],

63J3

/jr\7171兀兀

由⑴知/(x)=sin2x+二在上单调递增，在—上单调递减，/(幻的函数值从。递

令/=/(x)则，e[0,l],

依题意得方程3/+祖/+1=0在/w[0,1]上仅有一个实根，且此根应该在区间[0,1)上,

令〃⑺=3/+加+1,因H(0)=l>0

A=/712-12=0

则需8（1）=3+加+1<。或<,解得m<-4或〃z=-2G

0<----<1

、6

所以实数相的取值范围是m<-4或/〃=-26.

19.著名的费马问题是法国数学家皮埃尔・德・费马（1601-1665）于1643年提出的平面几何极值问题：“已

知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”，费马问题中的所求点称为费马

点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当VA3C的三个内角均小于120。时，则使

ZAPB=ZBPC=ZCPA=120。的点尸即为费马点