江西省南昌市南昌县某中学2024-2025学年高二（下）期中数学试卷（含解析）

江西省南昌市南昌县莲塘一中2024-2025学年高二(下)期中数学试

卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.函数〃久)=3工+m2的导数为()

11

B3X仇3+C3X+-3

A.3xZn32-2D.

2.等差数列｛即｝的首项为1,公差不为0,若。2,。3,口6成等比数列，则。8=()

A.15B.-15C.-13D.13

3.已知各项为正的等比数列｛%J的公比为q,前n项的积为〃，且77〉76>78,若%=国与，数列｛%｝的

前n项的和为目,则当％取得最大值时，九等于()

A.6B.7C.8D.9

h

4.若/(%)=%?+ax2+hx-a2-7a在％=1处取得极大值10,则-的值为()

313131

或

或

2--2--2-2-2--2-

5.用数学归纳法证明：I2+22+-+n2+-+22+I2=1n(2n2+1),第二步从k到k+1,等式左边应

添加的项是()

A..2+1)2B.k2+1C.(/c+I)2+k2D.(/c+l)/c2+2fc2

6.若函数h(©=Inx-^ax2-2x在[1,4]上存在单调递减区间，则实数a的取值范围为()

77

A.[--,+oo)B.(-l,+oo)C.[-1,+8)D.(--,+oo)

7.已知又为数列｛厮｝的前兀项和，且%=2an-4,若Acin>2log2an+1对任意正整数n恒成立，则实数4

的最小值为()

73C51

2-2-4-2-

8.过点(1,0)可以做三条直线与曲线丫=%蛾-a相切，则实数a的取值范围是()

5551

A.(-^,0)B.(-J,e)C.(一))D.(-|,0)

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.记数列｛an｝的前n项和为%,且%=7i2+n(neN*),则()

A.。3—6

B.数列$｝是公差为1的等差数列

C.数列｛《｝的前兀项和为喘y

D.数列｛(-1)气"的前2025项的和为-2026

10.已知函数/(%)=sinxsin2x,则()

A./(%)为偶函数B./(%)的最小正周期为7T

C1(x)的最大值为苧D"(x)在由争上单调递减

11.已知函数/0)=[春'"£(0'+8),则下列说法中正确的是()

lln(l(—co,0]

①函数/(久)有两个极值点；

②若关于久的方程〃久)=t恰有1个解，贝亚>1；

③函数/(%)的图象与直线X+y+c=0(cGR)有且仅有一个交点；

1)=f2)=f3)，x>1)(%2

④若/'(久(久(久<X2<3则(1一久+孙)无最值•

A.①B.②C.③D.④

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

2

12.已知数列｛a九｝满足的=1,。2=2,a=—,贝^2025=______.

n+2an

13.设y=f(X)、y=g(x)分别是定义在R上的奇函数和非零偶函数，当％<0时,f'(x)g(%)-f(x)g'(x)>

0,且/(3)=0,则不等/(x)g(x)<0的解集是.

n1]56()=.

14.已知数列｛a"满足an+i+(-l)an=2建一1,Sn为其前n项和，贝

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

17

已知函数f(%)=-%3+ax2+b(a,bER)的图象过点且((-1)=-1.

(1)求a,b的值；

(2)求函数/(%)的极值.

16.(本小题15分)

已知数列｛际｝的前几项和为%,且满足的=2,Sn=an+1-2.

(1)求数列｛厮｝的通项公式；

(2)数列｛b九｝满足力九=2Zog2%i+1，记数列｛b九｝的刖九项和为乃，求证：—+—+—+—F—<T-

-1172731n4

17.(本小题15分)

已知数列｛an｝,%_=e,an+1=a„(nEN*).

(1)求数列｛5｝的通项公式；

(2)设6n=(2n-l)Znan,求数列｛6n｝的前n项和却.

18.(本小题17分)

已知函数/'(x)=1-£，aER.

(I)若曲线y=f(x)在点(1)(1))处的切线平行于直线y=x,求该切线方程；

(II)若a=l,求证:当x〉0时，/(%)>0；

(III)若/。)恰有两个零点，求a的值.

19.(本小题17分)

已知函数/(%)=2ax+(2—a)lnx+

(1)当a<0时，讨论/(%)的单调性；

1

(2)若a=0,g(%)=emx—%2+mx+讨论方程/(%)-g(%)=0的根的个数.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：••"(*)=3x+ln2,

•••f(x)=(3XY+(加2)'=3xln3.

故选：A.

根据导数的公式即可得到结论.

本题主要考查导数的基本运算，比较基础.

2.【答案】C

【解析】解：设等差数列的公差为d,d大0,

贝3=1+d,a3=1+2d,a6=1+5d,

由。2,a3,a6成等比数列，得送=a2a6，

即(l+2d)2=(l+d)(l+5d),解得d=-2,或d=0(舍去)，

=1+7x(—2)=—13.

故选：C.

根据等比数列的定义，结合等差数列的通项公式进行求解即可.

本题考查等差数列的通项公式与等比数列的性质，是基础题.

3.【答案】B

【解析】解：设｛时｝首项为的,因等比数列｛的｝各项为正,

则内,q>0,b-b_=lg(-^-)=lgq(ji>2,nEN+),

nnran-l一

则数列｛&｝为等差数列，

由77>T6>78可得>1，0<a8<1,0<a7a8<1，

所以0<q<1,Igq<0,

即数列｛g｝为递减等差数列.

则数列｛&｝前7项为正数，则当无取得最大值时，n等于7.

故选：B.

由题可知的，q>0,则数列｛,｝为等差数列，后由77>76>78，可得a7>1,0<a8<1,0<q<1,

即可得答案.

本题主要考查了等差数列与等比数列的性质在和的最值求解中的应用，属于中档题.

4.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查利用导数根据极值或极值点求参，属于中档题.

由于/'(%)=3%2+2ax+b,依题意知，/'(I)=3+2a+b=0,/(I)=l+a+b—a2—7a=10,即可

求得a,b,从而可得答案.

【解答】

解：•••/(%)=+ax2+bx—a2—7a,

•••/'(%)=3/+2ax+b,

22

又/(%)=/+ax+hx—a-7a在久=1处取得极大值10,

・，./'(l)=3+2a+/?=0,f(1)=1+a+b—M—7a=10,

a2+8a+12=0,

a=—2,b=1或a=—6,b=9.

当a=-2,b=1时，frM=3%2-4%+1=(3%—1)(%—1),

1

牝

<%<1<3当X>1A>o

3-f(

・・•/(%)在％=1处取得极小值，与题思不符；

当a=-6,b=9时,/'(%)=3%2—12x+9=3(%—1)(%—3),

当％VI时，f(x)>0,当IV%V3时，f(x)<0,

・•・/(%)在％=1处取得极大值，符合题意，

则2=3=—|,

故选：C.

5.【答案】C

【解析】解：用数学归纳法证明：I2+22+-+n2+-+22+I2=in(2n2+1),

可得上式左边各数是先递增再递减，

2222

由于n=k,左边=I+2+•••+(k-+肥+(卜-1)2+...+2+I；

n=k+1时，左边=I2+22+…+(k—I)2+fc2+(fc+l)2+k2+(fc-l)2+•••+22+l2,

比较两式，从而等式左边应添加的式子是(k+1)2+肥.

故选：C.

根据等式左边的特点，各数是先递增再递减，分别写出n=k和九=k+l的结论，对照即可求解.

本题考查数学归纳法，考查运算能力和推理能力，属于基础题.

6.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查利用导数由函数的单调性求参，属于中档题.

根据题意，可得存在久G[1,4],h'(x)=~~ax—2<0,即存在x6[1,4],a>,令G(x)=或一:,

x6[1,4]>只需a>GQOain，进而可得答案.

【解答】解:因为函数h(x)=Inx-^ax2-2x在[1,4]上存在单调递减区间，

所以存在xG[1,4]，h'O)=i-ax-2<0,

1?

即存在％C[1,4],Q>^2——»

17

令G(乃=q_g%e[l,4]，

则由题意可知，只需a>G(x)mjn,

而GO)=(：-一1,

因为％所以;eg,1],

所以GQ)m讥=-1(此时工=1),

所以Q>—1,

所以a的取值范围是(一1,+8),

故选：B.

7.【答案】C

【解析】解：5九为数列的前几项和，且匕=2厮—4,

令ri=1,可得的=Si=2al—4,解得的=4,

4

当7122时，由.I。力an=Sn^Sn_!=2an-2an_r,即言"=2(nN2),

所以数列｛an｝是以4为首项，2为公比的等比数列，

由等比数列的通项公式，可得与=4-2或1=2n+1,

若40九>2log2an+1对任意正整数久恒成立，

即2>鳄恒成立，

令Cn=爷弟则42(Cn)max，而％+1-Cn=<3所以

即数列｛0｝单调递减，故(Cjnax=q=),所以22),所以对最小值为我

444

故选：c.

根据无与斯的关系可得=2(九22),进而可得数列｛an｝是以4为首项，2为公比的等比数列，求通项公

式后代入不等式整理可得4>养?恒成立，再根据作差法分析”=符的单调性求得最大值即可.

本题考查数列的通项与求和的关系，以及等比数列的通项公式与数列的单调性、不等式恒成立问题，考查

转化思想和运算能力，属于中档题.

8.【答案】B

【解析】解：因为y=/(%)=%]一。，所以/'(%)=〃(％+1),

设过点(1,0)的切线切曲线y=xex-。于点(t,tel-a),

—tf

则切线方程为y(<te—a)=[e(t+l)](x—t),又其过点(1,0),

所以一(tN-a)=[e\t+1)](1-t),所以根据题意可得该关于t的方程有3解，

即方程a=—ef(t2—t—1)有3解，

所以y=a与y=-e\t2-t-1)有3个交点，

t2t

设g(t)=—e(<t—t—1),则g'(t)=-e(t+2)(t—1),

所以当tW(-8,-2)时,g'(t)<0,g(t)单调递减;

当tE(—2,l)时，g'«)>0,g(C)单调递增；

当tE(1,+8)时,g(t)<0,g(t)单调递减,

所以g⑷的极小值为g(-2)=-*g©的极大值为g⑴=e,

且力T一8时，g(t)TH-OO;tT+8时，T—00,

所以要使y=a与y=-ef(t2-t-1)有3个交点，则需—^<a<e.

故选：B.

根据导数的几何意义及直线的点斜式方程可得切线方程，从而将问题化为方程有解，进而转化为两函数的

交点个问题，从而利用导数研究函数的图象，进而可求解.

本题考查函数的切线问题的求解，属中档题.

9【答案】ACD

2

【解析】解：数列的前几项和Sn=n+n,

当九=1时，的=Si=2,

22

当九>2时,an=Sn-Sn-r=n+n—[(n—l)+(n—1)]=2n,

上式对九=1也成立，因此a九=2n,nE,N*,

对于a,a3=6,故A正确；

对于氏名=孕=好，

an2n2

则数列弓3是首项为1,公差为3的等差数列，故B错误；

对于C'(=品5=(—5?

数列2｝的前n项和为毙1a=+----卜；_--7=1-=肃P故c正确；

。九乙乙。ILILIXILIX।LI.L

2n12n

对于。，Q-l)-a2n_1+(-l)a2n=-2(2n一1)+2X2n=2,

则数列｛(—l)n%i｝的前2025项的和为2x1012-a2025=2024-2x2025=—2026,故D正确.

故选：ACD.

根据前几项和求即=2n,利用通项公式判断4求出1判断B,利用裂项相消法求和判断C,利用分组求和

判断D.

本题考查等差数列的定义、通项公式与求和公式，以及数列的裂项相消求和、并项求和，考查转化思想和

运算能力，属于中档题.

10.【答案】ACD

【解析】解：因为/(一%)=sin(-x)sm2(-x)=sinxsin2x=/(%),所以/(%)是偶函数，则A正确；

因为/(%+兀)=sin2(x+7r)sin(x+TT)=—sin2xsinx=—/(%),则8错误；

因为/(%)=sin2xsinx=2sin2xcosx=2cosx—2cos3x,设力=cosx6[—1,1],

则函数g(t)——2t3+23所以g'(t)=—6t2+2=—2(3t2—1),

由g'(t)V。，得—1<t<—4或苧V七WL由g'(t)>0,得一仔<t<苧，

故在[-1,-浮)和(?,1]上单调递减，在(-苧,?)上单调递增，

因为g(苧)=呼，g(—i)=o,所以/O)的最大值为亨，则c正确；

当xeg,争时，cosx6[-^,|]>即teg],

因为"cosx在Xeg,争时递减，g(t)在tG[—另]时递增，

所以/(%)在xG串等上单调递减，则。正确.

故选：ACD.

根据正弦函数的性质即可求解.

本题考查了正弦函数的性质，属于中档题.

11.【答案】AC

【解析】解:对于①，当0<x<1时，/(%)=■菽=elnx=x,f，(x)=1>0恒成立,

所以在(0,1)上单调递增；

当x>1时,/(%)=焉=；,f(x)=~^2<。恒成立,

所以f(x)在(1，+00)上单调递减；

当X<0时，/(%)=ln(l-%),「(X)=<。恒成立，

所以/(%)在(-8,0)上单调递减.

综上所述，在(-8,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，

所以〃久)在久=0处取得极小值f(0)=0,在x=1处取得极大值/(I)=1,故①正确；

对于②，作出/(久)的图象如下图，

-止

由图可知，若关于%的方程/(©=t恰有1个解，则t>l或t=0,故②错误；

对于③)，由①)知，当X>1时，f'(x)=-爰，

因为X21,所以,21,所以((%)=—1,当且仅当八1)=—1；

当0<久<1时，［(久)=1；

当》<。时，f(x)=告，

因为xWO,所以尤-1W-1,所以((久)=吉2-1,当且仅当［(0)=-1.

综上所述，Vxe/?,有((%)之一1恒成立.

又直线％+y+c=0可化为y=—x—c,斜率为—1,

所以函数f(%)的图象与直线式+y+c=0(ceR)有且仅有一个交点，故③正确;

对于④，

由图可知，当0<THV1时，函数/(%)的图象与y=m有3个不同的交点,

m

ln(l—%力=mr%2=

则有x^=m，所以

—=m[xo=—

%3v0m

所以(1—%i)(%2+%3)=6m(jn+，)，0<m<1.

令g(?n)=em(m+》，0<m<1,

贝Ug'(zn)=em(m+、+1——)=(m3+m2+m—1),

令h(zn)=m3+m2+m—1,贝Uh'(ni)=3m2+2m+1>0在(0,1)上恒成立，

所以/i(zn)在(0,1)上单调递增.

又九(0)=-1<0,九⑴=2>0,

根据零点存在定理可知，3m0E(0,1),使得八(TH。)=0,

且当0<mVTn。时，h(m)<0,

所以g'(7n)<0,所以g(m)在(0,m())上单调递减；

当<m<1时，h(m)>0,

所以g'(zn)>0,所以g(m)在(血。,1)上单调递增，

所以gQn)在租=叫)处取得唯一极小值，也是最小值，无最大值，故④错误.

综上所述，①③正确.

故选：AC.

求出分段函数的解析式以及各段导函数，得出函数的单调区间，即可得出①；作出函数图象，即可判断

②；根据①求得的导函数，可推得有广。)之一1恒成立，即可得出③；作图，根据图象得出

/(%)的图象与y=772有3个交点时，m的范围，然后用772表示出％1，%2，％3，即可得出(1一%1)(%2+%3)=

em(m+l)；构造函数g(a)=6机(6+》，通过导函数研究函数的单调性，得出函数的最值，即可判断

④.

本题主要考查利用导数研究函数的极值，函数的零点与方程根的关系，考查运算求解能力，属于中档题.

12.【答案】1

【解析】解：数列｛册｝满足的=1,a2=2,an+2=擀，

_22

f

口J==2,CLA,—=1,de—1—Clif=2=，""

即有数列是最小正周期为4的数列，

贝1。2025=a506X4+l=al=>

故答案为：L

计算数列｛%：｝的前几项，推得数列｛Q九｝是最小正周期为4的数列，即可得到所求值.

本题考查数列中的项，求得数列的周期性是解题的关键，考查运算能力和推理能力，属于基础题.

13.【答案】(—8,—3)U(0,3)

【解析】解：y=/(%)、y=g(%)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，

则/(一%)=-/(%)，g(-x)=g(%)，

令九(%)=f(x)g(x),则九(一式)=/(一%)g(-%)=一=一%(%)，

,・,当％<0时,"(%)=+/(%)“(%)>0,

・•.力(%)在(-8,0)上单调递增，

根据奇函数的对称性可得，九。)在(0,+8)上单调递增，且九(0)=0,

・・・g(3)=0,g(-3)=g(3)=0,

•・・九(-3)=/(-3)g(-3)=0,h⑶=f(3)g(3)=0,

・•・％<—3时，h(%)=V0,—3<%V0时，/i(x)=/(%)5(%)>0,

0<x<3时，/i(x)=/(x)(g(x)<0,%>3时,/i(x)=f(x)g(x)>0,

・•.不等式/(%)g(%)<。的解集是(-8,-3)U(0,3).

故答案为：(一8,-3)U(0,3).

构造函数h(%)=判断出函数h(%)的奇偶性，由导数得出攸%)的单调性，根据八(-3)=0,

世3)=0求出九(%)的取值规律，可得答案.

本题主要考查了导数与单调性关系在不等式求解中的应用，属于中档题.

14.【答案】1830

【解析】解：由题意得，当九为奇数时，an+1-an=2n-1,

Tl+1为偶数，所以％i+2+an+l=2几+1,

两式相减得出i+2+。九=2；

当九为偶数时，an+1+an=2n-1,

Tl+1为奇数，所以％^2—an+l=2九+1,

两式相加得%^2+an=4n；

故$60=%+%++…+的9+(。2++06+…+。6。)=2X15+(4x2+4x6+…+4x58)=

30+4x450=1830.

故答案为：1830.

当几为奇数时，整理可得册+2+。九=2,当n为偶数时，整理可得册+2+a九=4几，代入求和即可求解.

本题考查了数列的求和，属于中档题.

15.【答案】解：(1)因为/(久)=：久3+a/+b,

所以尸。)=%2+2ax,

由题意得1+a+b=a

11-2a=-1

解得a=l,b=-|.

-1o

(2)由⑴得,/(x)=1%3+%2-|,

所以:(%)=%2+2%,

令/'(%)=0,解得％=-2或久=0,

当%G(一8,-2)时,/'(%)>0,则函数/(%)单调递增，

当久G(-2,0)时,/'(%)<0,则函数/(%)单调递减，

当第e(0,+8)时,1(无)>o,则函数f(%)单调递增，

故当x=-2时，/(%)有极大值为/(-2)=I，

7

当％=0时，f(x)有极小值为"0)=-/

综上所述，函数“X)的极大值为|,极小值为-1.

【解析】本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于基础题.

(1)求导得r(乃=/+2ax,则(l+a+匕nE,解得a,6,即可得出答案；

11-2a=-1

(2)求导分析单调性，极值，即可得出答案.

16.【答案】解：(1)1?：Sn=an+1-2@,

・•.当九>2时，Sn_i=an-2②，

由①一②得册=%1+1-。九，即a九+1=2a九，

又当几=1时，有的=4+2=4,—=^=2也适合上式，

a】z

・•・数列｛。九｝为等比数列，其首项为的=2,公比为2,

nn

所以a九=a±qT=2；

(2)证明：由(1)得b九=210g2an+1=2n+1,

Tn(3+2n+l)111,11、

F=2=<rn+2),_==

1,1,1,,1_1rr1A।JA।\।/11x,41_14,11

,'•3+4+a+…+瓦=5《一百)+(?―/+1一目+…+(』_,)+能)]=2(1+5一箱

不)=1(不+能)<“

【解析】(1)先由%=%i+i-2=当九之2时，Sn_r=an-2,两式相减整理得：an+1=2an,再验证当

n=1时是否成立，进而求得a九；

(2)先由(1)求得心与加再利用裂项相消法求得:+?+襄+•••+；进而证明结论.

111213ln

本题主要考查等比数列的定义、通项公式及裂项相消法在数列求和中的应用，属于基础题.

17.【答案】解：⑴由%=碎，得仇的=3lnan,

•••a1=e,•••lna1=Ine=1,

则华吐1=3,可得数列｛"a"是以1为首项，以3为公比的等比数列，

LTLCLYI

3n1

贝U/ncin=3"T,二an=e；

31n-1

(2)bn=(2n—l)lnan=(2n—l)Zne"=(2n-1)-3,

7^=1•3°+3•31+5•32+•••+(2n-3)-3n-2+(2n-1)-3n-1,

3*=1•31+3・32+…+(2n-3)•371T+(2n-1)-3n.

n-1n

-2Tn=1+2•31+2•32+…+2•3-(2n-1)-3

=1+2-3(=3：1)一(2n_1).371=3"-2-(2n-1)-3n,

1—3

则〃=(n-l)-3n+l.

【解析】(1)把已知递推式两边取自然对数，可得数列｛)与｝是以1为首项，以3为公比的等比数列，由此可

得数列｛斯｝的通项公式；

(2)由6rl=(2n-1))与求数列｛Ai｝的通项公式，再由错位相减法求数列｛%｝的前几项和

本题考查数列递推式，考查等比数列的通项公式，训练了利用错位相减法求数列的前几项和，是中档题.

18.【答案】解：(I)因为，(x)=当2

所以/'(1)=—~=1,故a=—e,

所以/(I)=1一?=2,

所以切线方程为y-2=%-1,即y=%+1.

(II)当a=1时，=人口=丛沪，

当x6(0,2)时，f'(x)<0,/(久)单调递减，

当%G(2,+8)时，/'(%)>0,/(%)单调递增，

所以〃久)的最小值为f(2)=1—白>0,

故久>0时，/(%)>0.

2

(III)对于函数/(x)=1—2，aeR,

①当aWO时，/(x)>0,/(x)没有零点，

②当a>0时，f(%)=

当xe(-8,0)时，f(x)>0,所以/(%)在区间(-8,0)上单调递增,

当xe(0,2)时，f(x)<0,所以/(x)在区间(0,2)上单调递减，

当x6(2,+8)时，f'(x)>0,所以/'(久)在区间(2,+8)上单调递增,

所以f(0)=1是函数的极大值，/(2)=1一台是f(x)的极小值，

所以/(久)在(-8,0)上有且只有一个零点，

由/⑵=1-募

2

①若/(2)>0,即a<3,/(尤)在区间(0,+8)上没有零点.

2

②若"2)=0,即a=2,在区间(0,+8)上只有一个零点.

_2

③若/(2)<0,即a>3，由于/(0)=1,所以/(%)在区间(0,2)上有一个零点.

由(II)知，当％>0时，ex>x2,

所以/(4砌=1一*=1一">1一玄=1-£>°,

故f(x)在区间(2,4a)上有一个零点，

因此a>"时，/(x)在区间(0,+8)上有两个零点，

4