吉林省长春市某中学2024-2025学年高二（下）期中数学试卷（含解析）

吉林省长春市德惠一中2024-2025学年高二（下）期中数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.若/■（久）=久3+X-1,f"（xo）=4,则的值为（）

A.±3/3B.±1C.-1D.1

2.已知随机变量X的分布规律为P（X=i）=。产。=i,2,3）,则p（x=2）=（）

2ill

A-7B3C4D7

3.现将4B,C,D,E,F六名学生排成一排，要求。，E相邻，且C,尸不相邻，则不同的排列方式有（）

A.144种B.240种C.120种D.72种

4432

4.若（2久—I）=a4x+a3x+a2x+arx+a0,则％+a2+a4=（）

A.-40B.40C.41D.82

5.此时此刻你正在做这道选择题，假设你会做的概率是当你会做的时候，又能选对正确答案的概率为

100%,而当你不会做这道题时，你选对正确答案的概率是0.25,那么这一刻，你答对题目的概率为（）

A.0.625B.0.75C.0.5D.0

6.北京市某高中高一年级5名学生参加“传承诗词文化，麋续青春华章”古诗词知识竞赛，比赛包含“唐

诗”、“宋词”、“元曲”三个项目，规定每个项目至少有一名学生参加，则符合要求的参赛方法种类数

为（）

A.60B.90C.150D.240

7.下列函数中，在（2,+8）内为增函数的是（）

A.y—3sinxB.y—（x—3）exC.y=x3—15xD.y=Inx—x

8.某公司参加两个项目的招标，4项目招标成功的概率为0.6,B项目招标成功的概率为0.4,每个项目招标

成功可获利20万元，招标不成功将损失2万元，则该公司在这两个项目的招标中获利的期望为（）

A.17.5万元B.18万元C.18.5万元D.19万元

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.函数〃久）的定义域为R,它的导函数y=/（久）的部分图像如图所示，则下

列结论中错误的有（）

A.x=1是/（X）的极小值点

B./（-2）>/（-1）

C.函数f(x)在(-1,1)上有极大值

D.函数f(x)有三个极值点

10.在(2K-白)6的展开式中，下列命题正确的是()

A.二项式系数之和为64B.所有项系数之和为-1

C.常数项为60D.第3项的二项式系数最大

11.若随机变量X服从两点分布，其中P(X=0)=g,E(X),D(X)分别为随机变量X的均值与方差，则下列

结论正确的是()

A.P(X=1)=E(X)B.E(3X+2)=4

9

C.D(3X+2)=4D.D(X)=挤

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知n为正整数，若C曾+5=C胃t,贝加=.

13.袋中有10个外形相同的球，其中5个白球，3个黑球，2个红球，从中任意取出一球，已知它不是白球，

则它是黑球的概率是.

14.函数/'(x)=的值域是.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

已知函数/(X)=x3—3x2—9x+l(xeR).

(1)求函数/(x)的单调区间和极值.

(2)若2a—1</Q)对Wxe[—2,4]恒成立，求实数a的取值范围.

16.(本小题15分)

已知在6GN*)的展开式中，第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比值为2.

(1)求n的值；

(2)求展开式中含一的项.

17.(本小题15分)

有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的课代表，求分别符合下列条件的选法数.

(1)有女生但人数必须少于男生；

(2)某男生必须包括在内，但不担任数学课代表；

(3)某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表.

18.(本小题17分)

一盒中装有大小和质地相同的3个白球和2个红球，现从该盒中任取2球，记随机变量X表示从该盒中取出的

红球个数.

(1)求随机变量X的分布列；

(2)求随机变量X的期望和方差.

19.(本小题17分)

某种资格证考试分为笔试和面试两部分，考试流程如下：每位考生一年内最多有两次笔试的机会，最多有

两次面试的机会.考生先参加笔试，一旦某次笔试通过，不再参加以后的笔试，转而参加面试；一旦某次面

试通过，不再参加以后的面试，便可领取资格证书，否则就继续参加考试,若两次笔试均未通过或通过了笔

试但两次面试均未通过，则考试失败,甲决定参加考试，直至领取资格证书或考试失败，他每次参加笔试通

过的概率均为£每次参加面试通过的概率均为主且每次考试是否通过相互独立.

(1)求甲在一年内考试失败的概率；

(2)求甲在一年内参加考试次数X的分布列及期望.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：因为函数“X)=/+“一1,

所以((久)=3久2+1,而((久o)=3XQ+1=4,解得=±1.

故选:B.

求出函数/(好的导数，再列出方程求解.

本题主要考查了函数求导公式的应用，属于基础题.

2.【答案】A

【解析】解：根据题意，P(X=i)=。产0=1,2,3),

则有p(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=a+4a+9a=1,解得a=

14

7

所以P(X=2)=4a=*

故选：A.

利用分布列的性质求出a,进而可得出答案.

本题考查随机变量的分布列，涉及概率的计算，属于基础题.

3.【答案】A

【解析】解:将D,E捆绑，可作一个元素，与4、B排列，然后插入C,F,

可得不同的排列方式有：Aj-Al-Al=144.

故选：A.

将D,E捆绑，然后利用插空法求解即可.

本题考查了排列、组合的应用，属于中档题.

4.【答案】C

4432

【解析】解：根据(2x—I)=a4x+a3x+a2x+arx+a0,

令x=1,故(2—I)，=1=+(Z3+a2++a。，

x——],—1—，

34+]

所以。0+。2+。4=~2—=41.

故选：C.

直接利用赋值法建立方程进一步求出结果.

本题考查的知识要点：赋值法，主要考查学生的运算能力，属于基础题.

5.【答案】A

【解析】解：设“考生答对题目”为事件4,“考生知道正确答案”为事件B,

贝|P(B)=0.5,P(A|B)=1,P(A|B)=0.25,

所以PQ4)=P(AB)+P(AB)=P(4|B)P(B)+P(4|B)P(B)=1x0.5+0.25X0,5=0.625.

故选：A.

结合条件概率公式和互斥事件的概率加法公式求解即可.

本题考查条件概率公式和互斥事件的概率加法公式，属于中档题.

6.【答案】C

【解析】解：依题意5名同学参加三个项目比赛，每个项目至少有一名同学先分组再排列，

5人分为：1,2,2,则有写题=90种；

5人分为:1,1,3,则有底“=60种;

所以一共有60+90=150种方法.

故选：C.

根据分组分配问题，结合排列组合即可求.

本题考查排列组合相关知识，属于中档题.

7.【答案】B

【解析】解：选项A，根据正弦函数的单调性得，函数丫=35讥乂在(2,+8)上没有单调性，；.选项4错误；

选项2,y'-ex+(x—3)ex=(%-2)ex,当x>2时，y'>0,.,.函数y=(久—3)靖在(2,+8)上增函数,

选项8正确；

选项C,y'=3久2-15=3(久2一5),.•.函数y=%3-15%在(2,+8)上没有单调性，.•.选项C错误；

选项。，y'---x,函数y=比久一%在(2,+8)上没有单调性，.•.选项。错误.

故选：B.

运用导数直接判断函数的单调性.

本题考查了导数的运用，是基础题.

8.【答案】B

【解析】解：设该公司在这两个项目的招标中获利为X万元，则X的所有可能取值为-4,18,40,

P(X=40)=0.6x0.4=0.24,

P(X=18)=0.6x(1-0.4)+0.4x(1-0.6)=0.52,

P(X=-4)=0.4X0,6=0.24,

则E(X)=40x0.24+18x0.52-4x0.24=18.

故选:B.

设该公司在这两个项目的招标中获利为X万元，则X的所有可能取值为-4,18,40,分别求出对应的概

率，并结合期望公式，即可求解.

本题主要考查了离散型随机变量概率的求解，需要学生熟练掌握期望公式，属于基础题.

9.【答案】ACD

【解析】解：当％<-3时，/'(x)>0,/(X)单调递增，当一3〈尤<一1时，/'(x)<0,/O)单调递减，

所以有/(一2)>〃一1),因此选项8正确；

当一1<久<1时，尸(久)>0,/(久)单调递增，所以f(x)在(-1,1)上没有极大值，因此选项C不正确；

当%>1时，f'(x)>0,/(久)单调递增，于是久=1附近导函数/''(X)不变号，

因此x=1不是f(x)的极值点，只有当％=-3和x=-1时函数有极值点，所以选项A不正确，选项。不正

确.

故选：ACD.

由图像可得/有三个零点，但x=1附近导函数同号可知x=1不是极值点从而判断4D；由/(x)在

(一3,—1)上，(一1,1)上的单调性可以判断BC.

本题主要考查利用导数研究函数的极值，考查数形结合思想，属于基础题.

10.【答案】AC

【解析】解：对于选项A：因为n=6,可知二项式系数之和为26=64,故A正确；

对于选项8令久=1,可得所有项系数之和为(2-1>=1,故B错误；

6rr

对于选项C:因为展开式的通项为耳+1=盘•(2x)-•(一表)「=(-l)-26T.cr.x6-2\r=0,1,…,6,

令6-|r=0,可得r=4,所以常数项为=(—l1.2?.霏=60,故C正确；

对于选项D因为几=6,可知二项式系数最大值为底，为第4项，故。错误.

故选：AC.

对于2：根据二项式系数之和为2n分析判断；对于B：令x=l,可得所有项系数之和；对于C：结合二项

展开式的通项分析求解；对于。：根据二项式系数的最值分析求解.

本题考查二项式定理及其应用，属于中档题.

11.【答案】AB

【解析】解：由题意可知：P(X=l)=l—P(X=0)=|,

随机变量X的分布列为：

X01

12

P

33

122

X-

由两点分布可知：E(X)号,D(X)3-3-9-故A正确，。错误;

所以E(3X+2)=3E(X)+2=4,D(3X+2)=9D(X)=2,故8正确，C错误.

故选:AB.

根据两点分布可得期望与方差，再结合期望、方差的性质运维求解.

本题考查数学期望，属于中档题.

12.【答案】2

【解析】【分析】

本题主要考查组合数公式，属于基础题.

根据给定条件，利用组合数的性质求解即得.

【解答】

解：由C2+5=盘11,nGN*,得2n+5=3n-1或2n+5+3n—1=14,解得几=6或n=2,

而4+1<14,解得1W几W4,neN*,

10<3n—1<14

所以几=2.

故答案为：2.

13.【答案】J

【解析】解：用a表示事件”从中任意取出一球，它不是白球”，用B表示事件“从中任意取出一球，它是

黑球”，

则P(4)=芥PQ4B)=],

所以P(B|4)=需=|.

故答案为：|.

先设事件4B,写出PQ4),P(AB),再利用条件概率计算公式计算即可得出答案.

本题主要考查了条件概率的概率公式，属于基础题.

14.【答案】［一；,+8)

【解析】解:根据题意可得导函数((久)=ex+xex=(x+l)e,

令导函数/'(%)>0,即(％+l)ex>0,解得％>—1,

令导函数r(%)<0,即(％+l)ex<0,解得％<-1,

因此/(%)=在(一1,+8)上单调递增，在(-8,-1)上单调递减，

所以当％=-1时，函数/(%)=取得最小值，最小值为/(-1)=-e-1=一;,

所以函数/(X)=式"的值域是［一；,+8).

故答案为：［―，+8).

求导，利用导数求得函数的单调性，即可求得值域.

本题考查导数的综合应用，属于中档题.

15.【答案】解：(1)因为f(久)=x3-3x2-9x+l(xeR),

则.(久)=3/_6x_9=3(x+l)(x-3),

合/'(x)=0,可得x=-1或无=3,列表如下：

X(-00,-1)-1(T3)3(3,+8)

+0—0+

增极大值减极小值增

所以，函数/(%)的增区间为(—8,—1)、(3,+oo),减区间为(—1,3),

函数〃久)的极大值为/(一1)=-1-34-9+1=6,极小值为f(3)=27-27-27+1=-26.

(2)由(1)可知，函数f(x)在区间［-2,-1］上单调递增，在［-1,3］上单调递减，在［3,4］上单调递增，

且，(—2)=—8—12+18+1=—1,故当久6［—2,4］时，f=tnin［f(—2),f(3)}=f(3)=—26,

因为2a—1<f(x),对Vx6［—2,4］恒成立，贝！12a—1<f(x)m［n——26,解得a<一竽,

因此，实数a的取值范围是(-8,—目.

【解析】(1)利用导数与函数单调性之间的关系可求得函数/(%)的增区间和减区间，即求得函数"》)的极大

值和极小值；

(2)利用导数求出函数/(©在区间［-2,4］上的最小值，可得出2a-1由此可解得实数a的取值范

围.

本题考查利用导数研究函数的极值，涉及导数与函数单调性之间的关系，属于简单题.

16.【答案】解：(1)由题知：［=如x=7=2,解得n=8.

'，43x2x1n(n—l)3

14

(2)般+1=或(沪/2久f上=22上-8c拉8-叱owkwg,k€N,

令得所以展开式中含有—的项为：2x3844

8-gk=4,k=3,T4=2-C1x=14x.

【解析】(1)由二项式定理的展开式通项和二项式系数得出.

(2)写出通项，令x的指数为4,求出结果即可.

本题考查的知识要点：二项式的展开式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题.

17.【答案】解：(1)先选后排，先取可以是2女3男，也可以是1女4男，先取有俏程+弓程种，后排有福

种，

共(俏俏+4戏),Al=5400魔=5400(种).

(2)先选后排，但先安排该男生，有/・盘•花=3360(种).

(3)先从除去该男生、该女生的6人中选3人有点种，

再安排该男生有废种，其中3人全排有属种，

共CQC：题=360(种).

【解析】(1)由排列、组合及简单计数问题，结合分类加法计数原理及分步乘法计数原理求解；

(2)由排列、组合及简单计数问题，结合分类加法计数原理及分步乘法计数原理求解；

(3)由排列、组合及简单计数问题，结合分类加法计数原理及分步乘法计数原理求解.

本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分步乘法计数原理，属中档题.

18.【答案】解：(1)根据题意可得X=0,1,2,

又P(X=0)=加K，P(X=1)=等/，P(X=2)=加备

所以X的分布列如下：

(2)根据⑴可得E(X)=0x^+lxA+2xA=9D(X)=£(X2)-(F(X))2=1—黄=去

【解析】(1