空间几何（选填题15种考向）解析版-2025年新高考数学二轮复习

空间几何（选填题15种考点分类）

和纵导图

体积和表面积

体积与表面积公式

表面积体积

柱体（梭柱和囿S-=S«+2S<V=Sh

锥体（梭雉和囿锥）S盘刎+S息V=-Sh

3

三（上+下

台体（棱台和囿台）yss+\!sjh

SS_L+St

4

球S=4nRz0=

3

斜二测画法

_平行于X轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性

不变，长度减半

按照斜：测画法得到的平面图形的直观图,其面枳与原平面图形向枳的关系:

空间曲线或折线（段）最短

L几何体的侧面展开图，采用化曲为直的策略，将空间问题平面化

1

平行

一线线平行

一思路一平移法：把线平移到面内找方法

r三角形边等比例（中位线）一构造平行四边形

J方法彳线面平行的性质

一平行的传递性一空间向量

I面面平行的性质

一线面垂直的性质

线面平行

文字语言：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，

判则该直线与此平面平行（线线平行=线面平行）

定

符号语言：VI/7a,aCa,Ida,：.l//a

定

理

图形语言

文字语言：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面

性与此平面的交线与该直线平行（简记为“线面平行=线线平行”）

质

符号语言:ClB=b,

定

理

图形语言

面面平行

文字语言:一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，

则这两个平面平行（简记为“线面平行=面面平行”）

_判定.符号语言:；a〃B,b〃B,aClb=P,aUa,bUa,a〃0

定理r

图形语言

文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那其交线平行

符号语言：：a〃B,any=a,8Cl丫=b,，a〃b

L性质.

~定理图形语言一

I两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面

性质定理

判审审理判定定理

平行间的关系一线线I平行,二:::、线面平行历史神、面面平行

I性质定理性质定理।

判定定理

空间几何中的垂直

一线线垂直

图形〈正方形、矩形、菱形一直角边或对角线垂直

等腰三角形、等边三角形一取中点

...J-勾股定理

j边长Y

'正余弦定理

L线面垂直定义

—线面垂直的定义

L直线1与平面a内的任意一条直线都垂直，就说直线1与平面a互相垂直

—线面垂直

文字语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,

判则该直线与此平面垂直

定

定1±a

理

11b

符号语言►<=>l±a

aAb=O

a、bca

性

质,文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行

定

'符号语言一::a.oa||b-图形语言一

理

r若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线

常，若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面

见

结--垂直于同一条直线的两个平面平行

论

「一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直

l两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面

文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直

面面垂直

文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与

另一个平面垂直

3

空间向量

平行

一线线平行：方向向量平行

一线面平行：平面外的直线方向向量与平面法向量垂

一面面平行：两平面的法向量平行

一垂直

一线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零

一线面垂直：直线的方向向量与平面的法向量共线，利用线面垂直的判定定理转

化为证明线线垂直

一面面垂直：两个平面的法向量垂直，或利用面面垂直的判定定理转化为证明线面

垂直

一空间角

小£

一战线角：设异面直线方所成的角为8,则＜9e(0-]

乖2

J线面角：/为平面a的斜线，。为/与。所成的角，则5加夕=|°。＜1,”＞|=.而范围[0,1]

4”2

—»—♦

J二面角：平面a"面6的〈*,工〉=6,则COS"小,久,范围[0,n]

I/II叫I

4

空间距离

点线距

一①根据图形求出直线的单位方向向量S

—②在直线上任取一点W,计算点M与直线外的点N的方向向量.立治

③垂线段长度d=J诟'一（加U）

点面距

①直接法：过〃点作平面。的垂线，垂足为a把网放在某个三角形中

解三角彩求出用的长度就是点〃到平面Q的距离.

」②转化法：若点〃所在的直线/平行于平面Q,则转化为直线/上某一个点到平面。的距离来求

一③等体积法

I♦"I

J④向量法：设平面a的一个法向量为〃，/是a内任意点，则点〃到a的距离为

Id

线面距

L线面距离、面面距离都可以转化为点到平面的距离

5

坨，考点突破

考向八空间几何体命题的判断

考向一空间几何体的体积

考向二空间几何体的表面积

考向三外接球

考向五空间几何体体积、表面积最值

考向十三空间几何体在实际生活的应用

考向六线面、面面平行

考向十四容纳I

考向七线面、i垂直

考向十五新定义

考向一空间几何体的体积

【例1-1】（2025•云南昆明•一模）一个内角为30。且斜边长为2的直角三角形，绕斜边旋转一周所得几何体的体

积为（）

717T7171

A.—B.-C.—D.一

6432

【答案】D

【解析】如图，在直角三角形ZBC中，|/a=2,/。3=30。,则|/C|=2cos3（r=百，

将直角三角形/BC沿斜边AB旋转一周，旋转形成的几何体为两个同底的圆锥，

如图所示，

有|CO|=|/qsin30°,

6

2

所以所求几何体的体积r=圆.|/同=*.|012.|/同=]*?x2=].

故选：D

【例1-2]（2025•甘肃平凉•模拟预测）如图，在梯形48CD中，ABHDC,BC1AB,4=（，4B=2CD=4,

E为线段的中点，先将梯形挖去一个以成为直径的半圆，再将所得平面图形以线段成的垂直平分线为旋转

轴旋转一周，则所得几何体的体积为（）

C.77iD.6兀

【答案】A

【解析】连接DE,由题意知BCMDEul/B-OCjtan;MZ.

几何体为一个圆台中挖去半球所形成的几何体，其中圆台的上底面半径为工，下底面半径为3,半球的半径为1,

"1/小瓜----\c26兀14Kxl32兀

联台=§（9兀+兀+。9兀X7I）X2=F-，Q球=/X---,

故该几何体的体积为厂=，台-匕^球=等26兀-胃2兀=8兀.

故选：A.

【例1-3].（2025高三・全国・专题练习）一个圆锥被平行于底面的平面所截，上下两个几何体的侧面积之比为

1:1,则上下两个几何体的体积之比为（）

A.1:8B.1:7C.［：2行D.1:（2血-1）

【答案】D

【解析】根据定义知上、下两个几何体分别为小圆锥和圆台，设小圆锥的高为4,底面半径为彳，所以母线长为

册+片,原圆锥的高为力，底面半径为〃，所以母线长为病，7

由小圆锥的侧面积为：环加；+r；,大圆锥的侧面积为：mJ/+r,

上下两个几何体的侧面积之比为1:1,

7

所以"J'又由相似易得:

rh

2

hi「

所以得雪=上，即

h22

—叫24

1

所以小圆锥和原圆锥的体积比

,

—itr2h~2^/2

3

故选：D.

【例1-4】（2025•贵州黔东南•一模）已知第一个正四棱台的上底面边长为2打cm，下底面边长为40cm，侧棱

长为4cm,第二个正四棱台的上底面、下底面边长与第一个相同，但高为第一个正四棱台的3倍，则第二个正四

棱台的体积为（）

A.565/3cm3B.56V14cm3C.112A/3CHI3D.60V14cm3

【答案】C

【解析】由题意知第一个正四棱台上底面边长为2啦cm，下底面边长为4亚cm，侧棱长为4cm,

如图：设第一个四棱台上下底面中心为Q,。，连接00,04,08,

结合正四棱台性质可知四边形片为直角梯形,

且。8=4,=2,故OQ=J(8河_(O8_O18j=J16-4=273，

即棱台的高为26，则第二个正四棱台的高为6石,

故第二个正四棱台的体积为（272）2+^（2V2）2x（472）2+（472）2x673=112V3cm3.

故选：c.

【例1-5］（2025•天津南开•一模）如图，在平行六面体4AGA中，。是线段4。上的一点，且

3

AP=jPD,则三棱锥用—的体积与平行六面体488-48cB的体积之比为（）

8

【答案】D

【解析】由题设及平行六面体的结构特征易知面/及c,4Cu面/及C,

所以4。//面/4C,则4D上任意一点到面/3C的距离为定值，

==

「

又P,DeAXD,则VBX-ACPJp-AB[C^D-ABXC~—BACD，

由及-/CD的底面面积是平行六面体ABCD-4与G"底面面积S的一半，且高力相等，

1V11

所以/ACD=—〃--=—hS——V^BCDABCD,

故选:D

考向二空间几何体的表面积

【例2-1】（2025・四川自贡•二模）已知圆锥的母线长是底面半径的2倍，则该圆锥的侧面积与表面积的比值为

（）

123

A.—B.—C.-D.2

332

【答案】B

【解析】设圆锥底面圆的半径为「，则母线长为2厂，恻=；x2wx2r=2兀/,=2nr2+nr2=3nr2,

S侧2

二十公.故选：B.

）表J

【例2-2】（2025•黑龙江•一模）已知圆锥的轴截面是一个斜边长为2后的等腰直角三角形，则圆锥的表面积为

（）

A.鬲B.2叵iC.471D.（2+2后）无

【答案】D

【解析】因为轴截面是一个斜边长为2近的等腰直角三角形，所以圆锥的底面半径R=&，母线/=2,

所以圆锥的表面积$=位2+位/=（2+2后）兀.故选：D.

9

【例2-3】（2024,陕西安康•模拟预测）已知正三棱台/5C-4月G的上底面积为下底面积为46，高为2,

则该三棱台的表面积为（）

A.5石+3屈B.3屈C.5G+18D.18

【答案】A

【解析】由面积公式可得正三棱台上下底面边长分别为2和4,

设G在底面N5C内的射影为a,作8c于0,

G“，平面A8C,3Cu平面/BC,则有

又HQ1BC,CiH[}HQ=H,。]〃，〃。匚平面弓强，所以5cl平面G"。，

GQu平面G〃。，所以3C，G。，

由8c=4,81cl=2,BBt=CC,,则CQ=1,

又/HCQ=：所以HQ=@,则CIQ="H+HQ2=啊.

33

故三棱台的侧面积为止X叵x3=3回，表面积为56+3廊.

23

故选：A.

【例2-4】（2025•陕西西安•二模）已知正四棱锥尸-的底面边长为6,体积为48,则该四棱锥的侧面积

为.

【答案】60

【解析】设正四棱锥的边长为。，高为〃，斜高为",

由题意可得48='a"n,x62・/z=48=>/!=4,

33

所以斜高h'=J2=a6+9=5,

所以该四棱锥的侧面积为4X1X6X5=60.

2

故答案为：60.

10

考向三外接球

【例3-1】（2025•陕西商洛•三模）已知正三棱锥的底面边长为6,侧面积为186，则该三棱锥的外接球的表面积

为（）

49兀“

A.4971B.---C.4871D.36兀

3

【答案】A

【解析】在正三棱锥尸-/BC中，正△NBC的边长为6,如下图所示：

取线段的中点。，连接P。，则

因为正三棱锥尸-N8C的侧面积为186，贝"=3/8•尸。=3尸。=6人，可得口=26,

所以，PA=」PD2+AD?=J12+9=亚，CZ）=/Csin60。=6X[=35

设点P在底面/BC的射影为点。，则。为正△/BC的中心，且OC=gcD=2G,

PO=yJPC2-OC2=V21-12=3，

设正三棱锥尸-4BC的外接球球心为a,则a在直线尸。上,

设球〃的半径为R,则O〃=|P。-固=|3-R|,

由勾股定理可得052+℃2=82,即|3-R「+12=R2,解得火=g,

因此，该正三棱锥的外接球的表面积为4兀玄=4兀*49兀.

故选：A.

【例3-2]（2025高三•全国•专题练习）已知棱长为6指的正四面体与一个球相交，球与正四面体的每个面所在平

11

面的交线都为一个面积为9兀的圆，则该球的表面积为（）

A.48兀B.72兀C.96TID.128兀

【答案】B

【解析】由对称性，可知球心与正四面体重心重合，

由于球与正四面体的每个面所在平面的交线都为一个面积为93t的圆，故每个面的交线为半径为3的圆.

设球心为0,4为△5CQ的中心，财AB=6®故HB=L$!"=6e，故AH=dAB?—OB?=12

2sin60°

lj_%-BCD_1S&BCD,H4_j_TTJ_o

设球心到任意面的距离为〃，则由等体积法可得一194。~4SACD~4"，

故连接球心与任意面中心，则连线长为3,且连线垂直该面，再连交线圆上一点与球心（即为球的半径），由勾

股定理得球的半径为30，则表面积为4兀•卜收了=72兀.

故选：B.

【例3-3］（24-25高三下•甘肃白银•阶段练习）已知三棱锥D-48C的每个顶点都在球。的球面上，底面N3C为

正三角形，4D_L底面Z5C,AB=3,且3。与底面/3C所成的角为60°,则球。的表面积为（）

A.39兀B.40兀C.3771D.41兀

【答案】A

因为底面Z3C,所以2。与底面/2C所成的角为乙DR4,则ND8/=60°,

又因为NB=3,所以NO=48tan60°=36.

设G为A/BC的外心，因为底面43C为正三角形，所以NG=Y^x3x2=百,

23

所以球。的半径尺=//62+（=与，球。的表面积为4兀叱=39九

12

故选：A.

【例3-4】（2025•四川德阳•二模）在三棱锥尸-45。中，平面尸平面松。4243为等腰三角形，且=120。,

AB=2A/3,AC=4,ABAC=90°,则三棱锥尸。外接球的表面积为（）

A.32兀B.64兀C.80KD.128兀

【答案】A

【解析】如图取4B的中点E,2c的中点。，连接DE,则。E=g/C=2,

因为AP4B为等腰三角形，所以PEL48,

因为平面尸48_L平面48C,平面出Be平面42C=48,尸Eu平面尸48,

所以PE_L平面48C,

因为DEu平面/3C,所以

因为△ABC为直角三角形，且N8/C=90。，所以。为△4BC的外心，

设三棱锥尸-48C的外接球的球心为O,则OD±平面ABC,

所以PEIIOD,

在等腰AP/8中，ZAPS=120°,AB=2^3,

则BE=AE=V3,ZPBE=30°,APAB的外心在APAB外,

所以PE=8£tan30°=6xJ=l,

3

在△ABC中，AB=25AC=4,/BAC=90。,则BC=NAC?+AB?=而m=2疗，

所以BD=5

设三棱锥P-ABC的外接球的半径为R,贝10。=SJR2-BD2=正_7,

过。作。尸_LPE交尸E延长线于点尸，则8=斯，OF=DE

在RtZ\O尸尸中，OP2=OF2+PF2,贝U

R2=22+（1+A/7?2-7）2）解得斤=8,

所以三棱锥尸-ABC的外接球的表面积为4兀叱=32兀.

故选：A.

CO

13

【例3-5】（2025•辽宁・二模）在正四棱台/BCD-44GA中，44=2/8=2/4=2,E,F,G,”分别为同4,

BC，CtD1,24的中点，将该正四棱台截取四个三棱锥/-49，B-B.EF,C-CtFG,。-DQ〃后得到

多面体N3CDG班尸，则该多面体外接球的表面积为（）

A.2兀B.4兀C.8KD.12兀

【答案】B

【解析】如图，连接/£,42,设4。m用。=。，

由44=2AB=2AAt=2,可知四边形斯GH为边长为力的正方形，

将正四棱台ABCD-补形成正四棱锥，易知乙44国=N44R=60°,

所以NE=N8=1,设

易知赫为证的中点，连接贝lU/LTffi,可得乜，

2

■B

又AXM——4。=—^―,幺4—1,

所以442=/赫2+4〃2,则NM_L4M，

又4M=MO,所以/&=么。=1,同理08=0C=0D=l,

易知O为正方形EFGH的中心，

设多面体/BCDGHEE外接球的半径为尺，

又OE=OF=OG=OH==EG=\,

2

则。为多面体NBCDGHE尸外接球的球心，且R=l,

则其外接球的表面积为4兀7?2=4兀.

故选：B.

【例3-6］（2025•全国•模拟预测）如图，已知正四棱台/BCD-44GA的高〃=4c，且/3=24耳=8,则此

正四棱台的外接球表面积为（）

14

A.8O71B.9171C.128兀D.182兀

【答案】D

【解析】由题意可知，正四棱台外接球的球心在其上、下底面正方形的对角线的中点的连线上，如图所示，设

球心为。，点。距离下底面的高度为x.

因为4=4指，AB=S,44=4,又上、下底面均为正方形，所以/C=8近，AICI=442.

设棱台的外接球的半径为R，根据勾股定理可得&=（4n-x『+（2也『=/+（4/『，解得户乎，

贝|&=/+（40了=?,所以正四棱台的外接球表面积为4位?2=182兀.

故选：D.

【例3-7】（2025・吉林•三模）棱长为2的正方体/BCD-中，棱8c的中点为E,棱的中点为尸，则

三棱锥4-£>/而的外接球的表面积为（）

771

A.——B.7兀C.147rD.28兀

2

【答案】C

【解析】设△/F2的外心。|,由外心的定义可知，

。1为线段4。的四等分点（靠近4）,则球心。在过。|且与平面尸垂直的直线上.

以。为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则。j|,0,||,N（2,0,0）,£（1,2,0）,

（33、7

设球心。不加,彳，由CU=OE,求出加=1,从而求出&2=04?=

（22J2

所以三棱锥4-D、EF的外接球的表面积为4兀斤=14兀.

故选：C.

15

考向四内切球

【例4-1】（2025•辽宁,一模）圆台的上、下底面半径分别为2和4,一个球与该圆台的两个底面和侧面均相切,

则这个球的表面积为（）

A.8无B.167rC.24无D.32兀

【答案】D

所以四必=2,|&4|=4,

•.•力瓦/。（刀与圆。相切，点。2，£。为切点，

,.\DO\=\DF\=^AF\=\FO^=A,

过点。作。与点E,

=0©=2,以目=2,则网勾=\DE\=而02T时=4后,

即球的半径r=切匈=2后，，这个球的表面积S=4近=327r,

2

故选：D.

16

【例4-2】（2025•黑龙江吉林•模拟预测）已知圆台的母线与下底面所成角的正弦值为正，则此圆台的表面积与

2

其内切球（与圆台的上下底面及每条母线都相切的球）的表面积之比为（）

43813

A.-B.-C.—D.—

3236

【答案】D

【解析】设上底面半径为耳，下底面半径为2，

如图，取圆台的轴截面，作CA/_L4B,垂足为AT,

设内切球。与梯形两腰分别切于点区尸，

可知3c=4+々，BMa，

JT

由题意可知：母线与底面所成角为=

即30=46，BM=2rlt可得CM=NBC-BM?=2何,

可知内切球。的半径r=

可得S圆台=标+9M2+兀（4+36）x4〃=26跖之，s球=4兀x（存J=12巧？，

所以常4X

故选：D.

【例4-3］（24-25高三下•重庆渝中,阶段练习）已知高为4的圆台存在内切球，其下底半径为上底半径的4倍,

则该圆台的表面积为（）

A.577rB.50兀C.25兀D.42兀

【答案】D

【解析】依题意，圆台的轴截面截其内切球得球的大圆，且该大圆是圆台轴截面等腰梯形的内切圆，

等腰梯形/3C。为圆台轴截面，其内切圆。与梯形/3C。切于点«,£,心,尸,

其中a,。2分别为上、下底面圆心，如图,

17

设圆台上底半径为r，则下底半径为4r，BC=BE+CE=O2B+C\C=5r,

而等腰梯形N3C。的高。。2=4,因此（54_（4一4=42,解得r=l,

所以该圆台的表面积为16兀+兀+5（4+1）兀=42兀.

故选：D

【例4-4］（2025•河南开封•二模）已知正方体的内切球的体积为兀，则该正方体的外接球的表面积为（）

A.12兀B.36兀C.9岛D.12mn

【答案】B

【解析】设正方体的边长为。，

则正方体内切球的半径为l，内切球的体积等于3兀、［^|］=46兀，解得a=2道,

所以正方体的体对角线等于百a=6,

所以正方体外接球的半径等于;=3,则外接球的表面积等于4兀义32=36兀，

故选:B.

考向五空间几何体体积、表面积最值

【例5-1】（2025•江苏•一模）己知一圆柱内接于半径为1的球，当该圆柱的体积最大时，其高为（

,1RV3r2V30也

2332

【答案】C

【解析】设球半径为R,圆柱的底面半径为『，圆柱的高为

如图,则有五2=/+电=i,即环,

18

,42h2,94

整理得当且仅当rL=上,即/=（,必=（时，等号成立,

3J324

4兀

此时圆柱体积/=兀/〃取得最大值其后，

4?I-

所以圆柱的体积最大时，/=§即〃=§君.

故选：c.

【例5-2】（2025•广东湛江•一模）一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3,圆心角为胃的扇形，在该圆锥内有一

个体积为%的球，则该球的体积k的最大值是（）.

A.2兀B.］兀C.马旦兀D.-71

333

【答案】D

2兀

【解析】由题意得，扇形的弧长/=3、7=2兀，

所以该圆锥的底面圆的半径/=，-=1,

2兀

所以该圆锥的高力-户=2册.

设该圆锥内的球的最大半径为心圆锥的轴截面如图所示:

则依题意得1dBe=）x2x2&=gx（3+3+2）xR,

所以R=Y2,

2

所以该球的体积/的最大值是:兀*=三*兀=卫兀.

3323

故选：D

【例5-3］（24-25高三上•湖南常德•阶段练习）如图，在直三棱柱/3。-4旦。中，ACVBC,\AC\=l,

|CCj=忸C|=2,M为8c的中点，P为上的动点，则三棱锥尸-/CM的外接球表面积的最小值是（）

19

C.117TD.1271

【答案】B

【解析】由题易知△/CM是等腰直角三角形，则△/CM外接圆的圆心a在/M的中点处,

过Q作平面ABC的垂线。。2，则外接球的球心。在。。2上,

过点尸作尸N_L交于点N,则四边形BPNOi为矩形,

因为Ha=|c“|=i,所以bq|=|aM=|cq卜也，忸叫=1

在三角形M8a中，由余弦定理：可得忸q「=g+i_2x等xlxcosl350=g,

所以|尸M=|BOJ=浮，

设。。1=旭，BP=n,三棱锥尸-4G0的外接球的半径为R,

所以机=日出=4+工22、匕1=也，当且仅当〃=正时等号成立,

2n2n\2n

/I-\2

所以炉=［芋］+/、3+（应『=|,

则三棱锥尸-/CM的外接球表面积S=4球2210兀.

故选：B.

20

【例5-4］（2025・湖南•二模）己知某正三棱柱外接球的表面积为4兀，则该正三棱柱体积的最大值为（）

A.1B.72C.2后D.4

【答案】A

【解析】设外接球的半径为R,则4成2=4兀，解得尺=1.

设正三棱柱的底面三角形的边长为x,则该三角形外接圆的半径为定，

由一一土>0,解得0<x<.

3

令〃x）=x4-;，则/'（x）=4--2苫5=_2工31_亚）［+亚），

所以函数/（x）在（0,啦）上单调递增，在（亚，石）上单调递减，所以函数/（力在x=0时取得最大值，

故「（X）max=厂（行）=1，所以该正三棱柱体积的最大值为1.

故选：A.

TT

【例5-5］（2025•山西临汾•二模）在三棱锥尸-/8C中，ZPAB=ZCAB=-,AP=AB,AB+AC=6,且二面角

271

尸-/B-C的大小为T，则当该三棱锥的外接球体积最小时，AB=（）

121824

A.—B.3C.—D.—

777

【答案】A

7T2元

【解析】由于==且二面角尸-N8-C的大小为故/R4C为二面角尸-N8-C的平面角，故

2兀

ZPAC=—,

3

由于尸4N8，NC,P/cNC=4尸4/Cu平面PZC,故45,平面尸/C,

设/B=x,贝Ij/C=6-x,

在AP/C中，由余弦定理可得

PC2=x2+（6-x）"-2xxx（6-x）cosg=x2-6x+36,

_1PC_1/T--——

则AP/C的外接圆直径'一5：在一耳7—6x+36,

Sm3

21

故夕卜接球的半径A?=0/2=，=|（X2-6X+36）+^|J+y

12

当尤时，球的半径取得最小值，此时三棱锥的外接球体积最小，

故43=]12.

故选：A

【例5-6】（2025•四川广安二模）三棱锥中，平面BCD,。为以2c为直径的半圆圆周上的动点

（不同于B、C的点）.若48=5,BD=3,则该三棱锥体积的最大值为（）

42

A.4B.-C.2D.-

33

【答案】A

【解析】：NC，平面8cD,

。以3c为直径的半圆圆周上动点（不同于8,C的点），所以BOLC。，AD^CD=C,NCu平面/CO,BCu

平面ACD,

2。1平面/CO,

■■■ADu平面BCD,BD_LAD,

在RtaABO中，AB=5,BD=3,则3=五笈一必=4,

vACBCD,CDu平面3cZ）,AC1CD,

在R3NCD中，设/C=a,CD=b,（a>0,b>0）,

则由402+02=/。2,得。2+/=16,

S/CD=；x/CxC£）=ga64；d+62）=4,

当且仅当a=6,S.a2+b2=16,即a=6=4时，等号成立，

,1,7/-BCD=%-ACD=]S.CD'BD<4,

，该三棱锥体积的最大值为4.

故选：A.

22

A

考向六线面、面面平行

【例6-1】（2024高三•全国•专题练习）如图，尸为平行四边形48CD所在平面外一点，E为4）的中点，F为PC

PF

上一点，当尸力〃平面E8尸时,

FC

1]_

A.-B.一C.一D.

3462

【答案】D

因为尸/〃平面E8尸，PAu平面PNC平面PNCPl平面=,

pp4G

所以刃//尸G,所以"="

FCGC

又AD/IBC,E为AD的中点,

所以任二理」

GCBC2

PF1

所以正=5

故选：D.

【例6-2］（2024江苏南通）在空间四边形A8CD中，E,尸分别为边/氏/。上的点，且4E:EB=4F:FD=1:4,

又H,G分别为2C,CD的中点，则（）

A.2。//平面面6,且四边形E/GH是矩形

23

B.£尸//平面BCD,且四边形EFG"是梯形

C.〃G//平面/AD,且四边形EFGH是菱形

D.E“〃平面/DC,且四边形MG//是平行四边形

【答案】B

【解析】如图所示，在平面NAD内，•••4£:£8=4尸