江苏省泰州市2024-2025学年高二年级上册期末数学试题（含解析）

2024-2025学年度第一学期高二期末调研测试

数学试题

(考试时间：120分钟；总分：150分)

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.圆x2+'2_4x+2y+l=0的圆心为()

A.(2,-1)B.(-2,1)C.(4,-2)D.(-4,2)

【答案】A

【解析】

【分析】将圆的方程化为标准式，即可得圆心.

【详解】由V+y2-4x+2y+l=0的标准式为(x—2)2+(y+l)2=4,故圆心为(2,-1).

故选：A

2

2.双曲线好―21=1的焦距为()

3

A.72B.2C.272D.4

【答案】D

【解析】

【分析】根据双曲线方程可得c=二2,即可得焦距.

2

【详解】由双曲线/一2L=i,则。2=122=3,可得.。=2,

3

所以焦距为2c=4.

故选：D

0

3.已知函数/(x)=sinx,则/'=()

A.—正B.1交D.B

C.

2222

【答案】C

【解析】

【分析】对函数求导，再代入自变量求导数值即可.

【详解】由题设1(X)=COSX,则广⑺=三.

故选：c

22

4.已知椭圆C：二+匕=1的两个焦点分别为4,K，过点《作斜率不为0的直线/,直/与椭圆C交于

169

A,3两点，则AABF?的周长为()

A.8B.12C.16D.20

【答案】C

【解析】

【分析】由椭圆方程及椭圆的定义求焦点相关三角形的周长即可.

【详解】由题意IAB|+1AF21+1BF21=|AFl|+1AF2\+1BFi\+1BF2\—2a+2a—4a—4x4=16,

所以△ABK的周长为16.

故选：C

5.已知函数/a)=e'(尤力既有极大值又有极小值，则实数。的取值范围是()

A.(-4,0)B.[-4,0]C.(0,4)D.[0,4]

【答案】A

【解析】

【分析】对函数求导，问题化为8。)=/+3/+。至少有两个变号零点，导数求g(x)的极值并列不等式

求参数范围.

【详解】由题设/'(%)=廿(炉+3光。)，令g(x)=d+3x2+a,

则g'(x)=3x2+6x=3x(x+2),

当x<—2或x>0时，g'(x)>。，则g(x)在(一右—2)和(0,+8)上单调递增，

当—2<x<0时，g'(x)<0,则g(x)在(-2,0)上单调递减，

g(—2)=—8+12+a=4+a,g(0)=。且x--oo时g(x)趋向一co,xf+<»时g(x)趋向+oo,

要使函数/(x)=e，(d+a)既有极大值又有极小值，

即1f(x)至少有两个变号零点，所以g(x)至少有两个变号零点,

4+a>0

所以=>T<a<0.

a<0

故选：A

1

ao^

a\+----------1------

6.若4eN,ateN*(ieN*)

则称表达式«2+-------1一为”阶有限连分数，通常记为

［4；%,%，…，%］，则口；1,1,1」］=()

5821

A.-B.-D.

3513

【答案】B

【解析】

【分析】根据题设有限连分数定义求对应值即可.

【详解】由题设I+」"小1+3

故选：B

7.点A(与原点。不重合)在抛物线=4%上,直线。4与抛物线的准线交于点3过点2且平行于x

轴的直线交抛物线于点C,贝力AC|的最小值为()

A.272B.4C.472D.8

【答案】B

【解析】

【分析】令A(—,m)且m^O,进而求得C(^,--),应用两点距离公式并整理得

4mm

|AC|=J—(m-+^-)2+(m2+^-)+4,应用换元法、二次函数性质求最值即可.

V16mm

详解】令A(工，机)且wwO,则QA:y=dx,联立抛物线准线x=—1,可得8(—1,-3)，

4mm

令小9二户》故C（*4），故|AC|=J；/+5+/

所以|4。|=]!（济+3）2+（病+耳）+4,

V16mm

令r=/+为22jm2•4=8,当且仅当m=±2时等号成立,

m2Vm2

所以|AC|=+/+4=+在18,+°o）上单调递增,

所以IAC|的最小值为4.

8.图1是一款多功能无人机，该机的机架采用对称排列结构，机架的俯视图可看成曲线

r：母+；=冬匚+1（其中x为正数）的一部分（图2）.若P（%,%）是曲线「上的一点，且

5%>0,过点p的两条互相垂直的直线与曲线「的另外两个交点分别为M，N,其中一条直线的斜率为

D.4

【答案】C

【解析】

422

%>42xy=力2,所以曲线r可由双曲线必一/=%和双曲

【分析】由:T:出+记=二十1整理可得

线V—必=力组成，分别将过p点斜率为1和—1的直线与双曲线方程联立，解出M,N点坐标，再根据两

点的距离公式求解即可.

【详解】由:T：W+g=Z孚+1整理可得—/）2=%2,所以,一刃=几，

所以曲线r可由双曲线必—y2=X和双曲线,2—%2=丸组成，且这两个双曲线的渐近线斜率均为±1,

因为是曲线r上的一点，且5%>0,所以点尸在第一或第三象限，

根据对称性，不妨设点尸在双曲线炉-/=%上，且在第一象限，此时尺-¥=2,

因为过点p的两条互相垂直的直线与曲线「的另外两个交点分别为M,N,其中一条直线的斜率为1,

所以另一条直线的斜率为—1,点M,N在双曲线y2—f=力上，不妨令3〉0,<0,

过点P（%0,%）斜率为-1的直线方程为y=-％+（/+%）,

与V—联立得—2（尤0+%）%+优+%）2=2,解得X”+

一2（%+为）

将其一常=4代入%整理得》”=%，所以％=/，即/（%,%）,

过点P（%,为）斜率为1的直线方程为y=x+（为一毛））,

几一（％一/）2

与丁2_f=4联立得2（%_尤0）%+（%_/）2=4,解得标=

2（%一%）

将片一常=4代入/整理得/=一%，所以弘=一不，即N（—%,—Xo）,

22

所以IPM||PN|二y/（y0-x0）+（x0-y0）-J（-%-%『+（一%—%y

=y/2（x0-y0）xy/2（x0+y0）=4,

解得工；—>6=2,

所以4=2,

故选：C

【点睛】关键点点睛：本题的关键是将曲线「：乂+工=宜工+1转换成熟悉的双曲线方程，再根据尸

222222

点坐标和斜率设出直线方程与双曲线方程联立，解出M,N坐标，进而即可求解.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.我们称离心率相同的二次曲线相似.则二次曲线相似的为（）

222222

A.2炉+39=1与土+匕=1B.土+乙=1与土+2L=i

323223

22222222

C.土—匕=1与土=1D,土—匕=1与二一匕=1

32233223

【答案】AB

【解析】

【分析】根据各项给定的曲线方程求离心率,并判断是否相等即可答案.

22

上+乙=111二,贝麋=4，

【详解】对于！!有。=贡',=7

23

对于工+工=1有a=6,c=l,则6=避

一,

323

对于上+工=1有。=百,c=l,则6=或

233

22J15

对于土—二=1有〃=也,。=百，则6=:--,

323

110

对于^工=1有〃=形,c=q，则e=1----，

232

对于——=1有a=y/2,c=V5，贝！Je=必0,

232

综上，A、B中曲线相似，C、D不相似.

故选：AB

10.已知数列｛4｝满足％=1,且。21，。2心。2计】（keN*）是公比为占的等比数列，则（）

rVI1

I1

A.^2k-lB.a2k=

2k—1k(k+l)

5

C.a,+%+…+a>n<1D.q+/+•••+%”-i<-

【答案】BCD

【解析】

11

【分析】根据题意写出前7项，观察归纳得到外jf生"E'再应用数学归纳法证明判断人

B；应用裂项相消法、放缩法证明不等式判断C、D.

【详解】由4=1,且4*.1，％1，。2*+1（左6N'）是公比为拼的等比数歹人

丘，，位，11^111^111,

所以的,出，。3为I—，一，/，°4，%为一，一，一，%，4，%为一，--，--，L

2446991216

a2k=,/八,显然左=1时4=1，a,=,满足,

由上观察归纳有。21

K(K+1)2

若〃=左时出*-1=+，a2k1

77：—二成立,

k(k+l)

上的等比数列,

又^“24-1，“2左，“24+1*N）是公比为

女+1

1k11k+11

则—1(171)X~k+i_(7+1)2，4(%+1)_(左+1)2X左+2—(7+1)(—+2)'

11

所以〃=k+1,有0+1=西产，*广（左+1）（4+2）满足归纳结论，

11

综上，。2"1=至，=k（k+1）'A错，B对;

1E,11111,1,

贝ija,+a.+—\-a7l,=1---F-------b—F------------=1------<1C对;

k+1-42,1223nn+1n+1

,111,111

由a1+g+…+。2〃_1=1+展+耍+,,,+U<1+4+^^!H----1—7.

n2-l

1111111111)=ill(14-11

=1H----1—(---------1---------1----------1-----1-++)

42243546n-1n+14223nn+1

("二+二D对.

234123

故选：BCD

11.已知函数/(x)=xeX,g(x)=x,/z(x)=xlnx,若/&)=£(』)=九(七)，则下列说法正确的有

()

A.若々=1,则和%,七成等比数列B.若々=e,则%,马,七成等比数列

C.若无2G(0,1),则王＜々＜%3D,若/6(a+so),则玉＜退＜尤2

【答案】ACD

【解析】

产

【分析】设当％=/时，%，%,七成等比数列，利用等比中项可知演=一，代入/(%)=g(%2)=M%)解

x\

得J=1，验证，=1和/=e时是否满足题意验证AB,利用作商法画出/(x),g(x),/z(x)的大致图象，

七,々,凡可看作对应函数与y=%交点对应的横坐标，利用图象判断CD即可.

【详解】设当无2=/时，为％,当成等比数列，则石退=后=/，即％3=一，

■玉

由七)=g(w)=x2=f得当也退=f，所以一In—=t,

所以—In/玉=予，解得/%/=「

经检验，当『=1时，满足％e"'=1=X2二%m与，

画

当/=e时，e?Xie展=「止匕时占铲06,不满足题意，故A正确，B错误;

因为=>1在xe(0,+8)恒成立，/一>1在xe(0,+s)恒成立,

〃(%J111X

所以/(%)>g(X)，/(X)>人(>在XC(o,+8)恒成立,

/z(x)h(x\

又一厂^=lnx,所以当x£(0,e)时，一=In%<1,即/i(x)<g(x),

g⑺<?(町

h(冗)

当xe(e,+8)时，㈠=Inx>1,即妆x)>g(x),

所以f(x),g(x),h(x)的大致函数图象如图所示，

由图象可知当为2«0,1)时，由/(%)=g(X2)=/z(毛)=%可得为<%<*3，

当％e(e,+oo)时，由/(%)=g(%2)=M&)=X2可得玉<W，CD正确；

故选：ACD

【点睛】关键点点睛：选项CD的关键是将占,%,当可看作对应函数与丁=赴交点对应的横坐标，利用函

数图象判断，数形结合.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知圆(x—a)2+(y—1)2=1与圆/+>2=3相交于AB两点，若直线A3的倾斜角为45。，则实数

a的值为.

【答案】-1

【解析】

【分析】两圆方程相减可得公共弦A3的方程，再利用直线的倾斜角求出斜率即可求解.

【详解】因为圆(了—4,+⑶―炉=1,即/+y2_2以一2丁+1=o与圆必+丁=3相交于A5两

点，

3+矿

所以两圆方程相减可得公共弦A3的方程2ax+2y-3-1=0,即y=-ax+

2

因为直线A3的倾斜角为45。,

所以直线y=—ax+孑，的斜率左=—a=l,解得a=—l,

故答案：—1

13.过点(一1,0)作曲线V=2y的切线，写出其中的一条切线方程.

【答案】J=0(答案不唯一)

【解析】

【分析】设切点坐标，利用导数的几何意义表示出切线方程，将(-1,0)代入解出切点坐标，即可得切线方

程.

详解】由必=2丁可得y=x,

2

设过点(—1,0)作曲线f=2y的切线的切点为(毛,%)，则为=半，

则该切线方程为y-%(x—%)，

2

将点(—1,0)代入切线得—羡=x0(-l-x0)，解得％=0或X。=-2,

所以切点为(0,0)或(—2,2),

所以切线方程为y=o或y=-2x—2.

故答案为：y=0(答案不唯一)

14.设数列｛4｝的前〃项和为s“，若数列｛4｝为各项均为正数的等差数列，S8—2S4=32,%,金,小成

等比数列，其中初为正整数，则$8=.

【答案】96

【解析】

【分析】令｛4｝的公差为d，由等差数列片段和的性质及已知可得d=2,再应用等比中项的性质得

(〃2-7)6+(〃.1)2=20求得加=6,4=5,最后应用等差数列前“项和公式求工.

【详解】令｛4｝的公差为d,由题设($8—S,)—$4=32,

且用,$8-S4,S12-S8为等差数列且公差为16d,则d=2,

由名,4成等比数列,则a；=a3ali=>[q+2(m-l)]2=(q+4)(%+20),

所以(加-7)%+(加一1)2=20且根为正整数，q>0,可得根=6,4=5,则。8=19,

所以Sg=8(4；网)=4X(5+19)=96.

故答案为：96

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知直线：1:4x+3y=10,：2x-y=10,/3：奴+2y+8=0(a为实数)，人与［相交于点林

(1)若4过点〃，求a的值；

(2)设直线。过定点M求WW|.

【答案】(1)a=—1；

⑵245-

【解析】

【分析】(1)联立直线求得交点”(4,-2),代入&求参数值即可;

(2)根据直线确定直线有过定点N(0,-4),再应用两点距离公式求|儿亚|.

【小问1详解】

J4x+3y=10x=4

由21_,=]0得<…即”(4,—2),

b=-2

因为，3过点"(4,—2),所以4a+2x(—2)+8=0,即a=—1.

【小问2详解】

因为ax0+2x(—4)+8=0,所以直线。过定点N(0,—4),

所以|政V|=’(4-0)2+(-2+4)2=24.

16.已知S”为数列｛%,｝的前〃项和，S“=2a”—2.

(1)求数列｛〃.｝的通项公式；

(2)求数列｛4+log24｝的前〃项和.

2

【答案】(1)an=T(2)2"i—2+2士巴

2

【解析】

【分析】（1）由S“=2q-2,可得数列｛4｝是以q=2为首项，以2为公比的等比数列，从而得到数列

｛4｝的通项公式；

（2）由（1）知，a〃+log2%=2"+〃，利用分组求和法得到结果.

【详解】解：⑴-：Sn=2an-2,

.,.当〃=1时，5]=2。]一2,故。1=24-2,得q=2.

当〃》2时,=2anl—2,

故%=SR-S“T=（2an-2）-（2«n_1-2）=2an-2%,

.,.当时，a〃=2a“_i，

数列｛%｝是以4=2为首项，以2为公比的等比数列,

=2x2"T=2".

n

（2）由（1）矢口，an+log2o„=2+n,

：.（q+log,q）+（a2+log9a,）+（/+log,g）H---\-（an+log。。J

=（2+l）+（2?+2）+Q3+3）+…+（2"+〃），

=（2+22+23+---+2n）+（l+2+3+

2

=2"i—2+^^.

2

【点睛】本题考查等比数列的证明，考查数列的前〃项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分

组求和法的合理运用.

17.已知点的坐标为（，,2'）,7=1,2,3,且以点"1为圆心的圆与y轴相切.

（1）过点”2作圆加1的切线/，求/的方程；

（2）圆上是否存在点P,使得点P到”2，/3距离之比为日.若存在，求出点尸的坐标；若不存

在，请说明理由.

【答案】（1）%=2或3x—4y+10=0；

（2）不存在点P,理由见解析.

【解析】

【分析】⑴由题设圆陷的方程为(x—1)2+(y—2)2=1、必(2,4),讨论直线斜率的存在性，结合点线

距离公式求直线方程；

(2)根据已知及两点距离公式得点P的轨迹为以(1,0)为圆心，曲为半径的圆N,进而得到圆4G内含于

圆N,即可得结论.

【小问1详解】

因为“1(1,2),且以点为圆心的圆与y轴相切，

所以圆陷的方程为(x—Ip+(y—2产=1.

因为此(2,4),

当直线/的斜率不存在时，/的方程为x=2,

\2-k\

设I的方程为y=左(％—2)+4,则M到1的距离为

x71+F

\2-k\,

所以彳京=1,故％=3所以/的方程为3x—4y+10=0,

综上，/的方程为x=2或3x—4y+10=0.

【小问2详解】

设P(x,y),由点P到机，“3距离之比为点，

得J(x-与+0-4)2阻

即(x—iy+V=34,

J(x-3)2+(y-8)22

所以点尸的轨迹为以(1,0)为圆心，用为半径的圆N,

由|M]N|=2(取一1,则圆加1内含于圆N,

所以不存在点P,使得点尸到“2，〃3距离之比为当•

18.已知函数/(x)=e以一〃ln(x+l),a£R.

(1)当〃=—1时，求/(%)的单调区间;

(2)当％>0时，/(%)>1,求〃的取值范围；

22

2n

(3)证明：e+e+H----1-e>n+21n(n+1)GN,

【答案】(1)增区间为(—L+8),无减区间;

(2)(—co,-1]u(0,-Ko)；

(3)证明见解析.

【解析】

【分析】(1)利用导数研究/(%)的单调区间;

(2)对函数求导，讨论a=0、a>0、a<0,结合/(x)>l恒成立求参数范围;

121-i

(3)根据(2)结论有a=2得e2'>l+21n(x+l),令兀=—,则e%〉l+21n±,Z=1,2,…，即

kk

可证结论.

【小问1详解】

1e%—(x+

当°=一1时'—+ln(x+lU>-l,所以八%)=一尸+17r71Tl

设0(x)=el-(x+1),贝!]9'(x)=er-1,

当xe(—1,0)时，有9(x)<0,所以9(x)在区间(—1,0)上单调递减,

当xe(0,+8)时，有9(x)〉0,所以°(x)在区间(0,+8)上单调递增,

所以9(x)2夕(0)=0,gp/(x)>0,

所以/(幻的增区间为(-L+8),无减区间.

【小问2详解】

〃[(jv+l)e""-1]

人)"-£,%>0,

x+1

(i)当a=0时，有人》=1,与/(%)>1矛盾;

(ii)当。>0时，有所以/'(x)>0,

所以/(幻在(0,+8)单调递增，故/。)>/(。)=1,满足题意;

(iii)当avO时，设g(%)=(%+1)。融一1,x>0,则g(x)=〃e"x+l+-

a)

当1时，由x+l+,>0得g'(x)<0,所以g(x)在(0,+s)上单调递减，则g(x)<g(0)=0,

a

即/''(x)>0,所以/(%)在(0,+8)单调递增，故/(%)>/(0)=1,满足题意;

当—l<a<0时，若0<x<—1—工，则g'(x)>0,所以g(x)在(0,+s)上单调递，

a

所以g(x)>g(O)=O,即八%)<0,所以/(X)在(0,+8)单调递减，故/(x)</(O)=l,与/。)>1矛

盾；

综上所述：a的取值范围为(-*-1］口(。,+«>).

【小问3详解】

由(2)知当x>0时，em—aln(x+l)〉l,其中。的取值范围为(-叫-1］口(。,+«0,

令。=2得e2、一21n(x+l)>l,尤>0,即e?”〉l+21n(x+l)

12〃+1

令％二一，则e%>l+21n----,k=l,2,・,,,n,

kk

272ci/23〃+-八

所以e+e+e3H--be〃>〃+21n—x—x…x----=〃+21n(〃+l).

112n)

19.已知椭圆r：土+y2=i,平行四边形ABC。的四个顶点在椭圆r上，直线的斜率分别

4

为k。,k］,k?.

(1)求直线AB,C。在y轴上的截距之和；

(2)若四边形A5CD为菱形，证明：直线AB,CD之间的距离为定值；

22

(3)若配/，左2成等比数列，射线AC,3。分别交椭圆工+匕=1于瓦E两点，求四边形面积的

-82

取值范围.

【答案】(1)0；(2)证明见解析；

(3)(0,3+2回

【解析】

【分析】(1)设两条平行线AB,CD的方程分别为y^kox+叫，丁=+根2,4(%,%),5(%,%)，联立

椭圆并应用韦达定理及弦长公式得IAB1=1CDI，进而可得叫+加2=0,即得结果；

(2)根据已知有左*2=-1，由(1)知点A与点C、点8与点。关于原点对称，结合韦达公式得=-1，

进而有诉=1(1+^),再应用平行线的距离公式证明结论;

（3）由等比中项的性质得解=；,设直线AC的方程为丁=乙并联立：r：；+y2=i得到黑^=0、

品再根据四边形ABEF的面积5=（3+2逝应.、喈€（0,1）U（1,2）求面积的范围.

【小问1详解】

设两条平行线AB,CD的方程分别为y^k0x+ml,y^k0x+m2,A（菁,％）,%），

y=kox+呵

2

由＜x,得（1+4左;+8g左o%+4ml之一4=0,

——+y=1、7

14'

所以△=16（4左:+1-而）＞0,即4左;+1＞叫之,

4m之-4

8