山东省菏泽市鄄城县某中学2024-2025学年高三年级下册高考冲刺（4月）数学试题（解析版）

2025年普通高校招生考试冲刺压轴卷(一)

数学

全卷满分150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上

的指定位置.

2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答

题区域均无效.

3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作

答；字体工整，笔迹清楚.

4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

A=(X|X2+X>0)B=[y\y=2x-2,xeR\Ac(品

1,已知集合II兀V人则〈依,()

A.B.(0,+8)C.(―8,—2]D.(—8,0)

【答案】c

【解析】

【分析】一元二次不等式和指数函数性质求出集合A3,再利用交集和补集的定义求解即可.

【详解】由题意得4={久|XQ+1)>0}=(—8,—1)U(0,+8),由指数函数性质可得3=(—2,+“)，

则Ac仅3)=(—8,-2],

故选：C.

2.样本数据6,8,11,23,27,29,43,52,69,81的第40百分位数为()

A.23B.25C.27D.29

【答案】B

【解析】

【分析】根据百分位数可得答案.

【详解】样本数据从小到大排序，共10个数，因为10x0.4=4所以第40百分位数为第4个数据和第5个

23+27

数据的平均数，即第40百分位数为上——=25.

2

故选：B

3.己知人万是非零向量，贝I平一4=口卜W"是“0斤’的（）

A.充要条件B.充分不必要条件

C,必要不充分条件D.既不必要也不充分条件

【答案】D

【解析】

【分析】根据向量的线性运算法则，得到展B=同•W且ZB是非零向量,求得cos=1,得出万了=0,

即可得到答案.

【详解】由卜―可=同—M，可得卜_闸2=（同—即商2—20力+歹=〃2―2同M+52,

所以小石=同•/且石是非零向量，

又由］Z=®Wcos方,5,所以cos。,3=1,

因为扇IE］。,兀I，所以扇B=o,即Z与B同向.

故“卜-陷=1司-M”是“Z’B”的既不必要也不充分条件.

故选：D

4.若关于x的不等式±+I〉"??—4m+2恒成立，则加的取值范围为（）

A.（2-73,2+73）B.（-2,2）

C,卜君，有）D.^1—A/3,1+y/3^

【答案】A

【解析】

【分析】由基本不等式，得到［+/22,转化为〃--4〃?+3<2恒成立，结合一元二次不等式的解法,

X

即可得到答案.

11

【详解】由基本不等式，可得下+元2922,当且仅当r=%92时，即1=±1时，等号成立，

XX

因为不等式二+——1>巾2—4m+2恒成立，即机2—4〃z+3<2恒成立，

又由不等式机2—4m+l<0，解得2—G<m<2+6，

所以实数机的取值范围为（2-百,2+6）.

故选：A.

5.甲、乙两位同学进行投篮比赛，其中甲每次投进的概率为工，乙每次投进的概率为:，两人各投三次,

32

一共投中四次的概率为（）

11191119

A.—B.—C.—D.—

36367272

【答案】C

【解析】

【分析】设甲投三次，投中的次数为X,乙投三次，投中的次数为〃，易知X,"服从二项分布，再利用

二项分布的概率公式、相互独立事件同时发生的概率公式及互斥事件的概率公式，即可求解.

【详解】设甲投三次，投中的次数为X，设乙投三次，投中的次数为〃，则

则P(X+〃=4)=P(X=1,〃=3)+P(X=2,〃=2)+P(X=3,〃=1),

又尸(X=L〃=3)=C；xgx[[*呜$

p(x=3,E=c；mv

所以一共投中四次的概率为P（x+〃=4）=1+3+]==

18127272

故选：C.

6.等比数列｛4｝中的的，%4是函数/（%）=（*-12尤+21）e*的极值点，。2/。24，贝UlogslAF

（）

1£

A.1B.-C.-1D.

33

【答案】A

【解析】

【分析】先根据函数九）极值的情况确定外用24的值，再根据等比数列的性质进行计算即可.

【详解】由"%）=优—12x+21）e。求导得尸（尤）=（f—10%+9卜，.

由/f(x)>0=>x2-10x+9>0=>(x-l)(%-9)>0=>x<l^%>9；

由//(%)<0=>1<%<9.

所以函数〃%）在（-8,1）和（9,+8）上单调递增,在（1,9）上单调递减.

所以函数/（%）的极大值点为x=l,极小值点为％=9.

由题意可知。2,。24=埠3=9，所以lOg3k3I=L

故选：A

22

7.已知过双曲线占―1=1（a>0,b>0）的左焦点片的直线交双曲线的右支于点A,右焦点为

ab

7

F2,若|9|=闺闾，且cos/A《g=§,则双曲线的离心率为（）

A.72B.,/3C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】先根据双曲线性质得出I|=2c,再由双曲线定义求出|AF|=2c—2a.接着在△44耳

AFX|=|FXF22

里用余弦定理，得到关于区的方程1+旦-鼻=2.求解该方程得到区的值，因为双曲线离心率e=£且

c2c2c9ca

e>l,所以舍去不符合条件的值，最终得出离心率为3.

【详解】设焦距为2c,易知|4周=|£可=2c,利用双曲线定义可知|A^|=2c-勿,

在△AKB中利用余弦定理，cosNAK瑞=）周：呼］一产=-,

2M用.寓心|9

即工+@一£解出4=:或者9（舍去）.因此双曲线的离心率为3.

2c2c29。33

故选：C.

、

cos%=cos2%一1的所有正根的和为（)

7

A.2024兀B.2064兀C.4048兀D.4064兀

【答案】D

【分析】先由二倍角的余弦公式对方程化简，再分cosx=l时和cosx=—1时，结合正弦函数的取值和数的

整除与奇数偶数的性质讨论求解.

COSX=1COSX=一1

2024兀

【详解】对原式化简有cosxsin----------=1,因此有1,（20247r2）1或＜‘2024/、

sin----------sin=—1

、I%J

*.（2024兀1

当cosx=l时，设九=2EkeN"，因此sm[2kJ=1'

设纯=火+2师，n,,2024

MeN,贝1J左=-----,

2k24zz+1

由于2024=8x11x23,且4〃+l是奇数，因此4〃+1只能为1或11（舍去）或23（舍去）或253,

则〃=0,左=2024或者〃=63,左=8,解x=4048兀或龙=16兀，

202471

当cosx=-l时，设x=7i+2E,左eN,因此sin=-1,

2k+l

、几2024兀3兀cec,,4048

设------=一+2mn,eN,贝!12k+1=---------

2左+124m+3

由于2左+1,4m+3都是奇数，4048为偶数，此方程组无整数解,

综上所述，仅有根x=4048兀或x=16兀

（2024兀2）

所以方程2cosx-sin----------cosx=cos2x—l的所有正根的和为4064兀.

_I%1

故选：D.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.若复数z满足i.z=l+4i（i是虚数单位），则下列说法正确的是（）

A.［的虚部为1B.1的模为J万

C.z-2z=-4-iD-z在复平面内对应的点位于第四象限

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据条件，利用向量的运算得到z=4-i,再对各个选项逐一分析判断，即可求解.

【详解】由i・z=l+4i,得到2=4—i,

对于选项A,因为］=4+i，其虚部为1，故选项A正确，

对于选项B,由1=4+i，得至咽=,42+/=屈，所以选项B正确，

对于选项C,因为z—2』=4一i—2(4+i)=T—3i,所以选项C错误，

对于选项D,因为z在复平面内对应的点为Z(4,-1),位于第四象取限，所以选项D正确，

故选：ABD.

10.已知函数/(九)满足/(兀)*0,且对任意的x,yeR,〃x+y)+/(x—y)=2/(y)cosx都成

立，贝||()

A./(%)是偶函数B.函数“X)的图象关于点中心对称

2025(2k+1)兀

C.2兀是函数/(%)的一个周期D.X/d―丁二)=1

z=o2

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据给定条件，利用赋值法，结合函数的奇偶性，周期性及对称性的意义逐项判断即可.

【详解】令x=0,则〃y)+/(-y)=2〃y),解出/(—y)=/(y),故A正确;

令工、,则/葭+1+/2-0=0,

故函数/G)的图象关于点[曰,o]中心对称，故B正确；

因为/[■!+>[+所以令可得/(兀+*)+/(_*)=0，

即/(一%)=一/(兀+%),

又因为/(九)是偶函数所以/(—x)=/(x),即仁:(_

(-即=-J[11+X)

整理可得：/(x)=-/(7l+x),

令无=兀+无，可得/(X+兀)=一/(2兀+X),即｛，/\c

/(x+7l)=-/(27l+x)

整理得/(x)=/(2兀+x),所以2兀是函数/(九)的一个周期，故C正确;

因为万+丁]+//,卜。所以令可得/

/1y=o0,

3兀

又因为/(%)是偶函数且周期为2兀，所以/

因为了

当左为奇数，根据周期性可知/E+'1=0,

当左为偶数，根据周期性可知/E+'=0,故D错误.

故选:ABC

11.已知数列｛4｝,但｝满足为M=?,%=手，且々=4=3,则()

A.0<an<lB.0<Z?„<1

C.｛4｝是递增数列D.也,｝的前〃项和S,2匹士

8

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据递推公式判断A、B,由％、a2值判断C,首先证明｛"“｝的单调性，即可得到

再由放缩法证明即可判断D.

【详解】对于A：因为%=匕生<1±1,因此4<1,即片<1,

22

则a“+i〉0,又则a“〉0,即0<a“<l,故A正确；

ih2

对于B：因为优+]=方+2〉0,所以打〉0,要证勿M<1,可证4<1,以此类推,

即证4<1,显然成立，因此或<1,即0<包<1,故B正确；

112Q

对于C：由于勾=—,4==£=士，所以｛4｝不是递增数列，故C错误；

228

对于D：由于0＜么＜1,又2+]_2=伍"一0〉0,因此也,｝是递增数列，所以:＜包＜1,

所以必〃=4I+/7Z2H---\-brl=h1+1+JH---F1+"匚

n1/,7.972、、〃1n—15n—l一“

=-+-(^；+^+-"+^；-i)^-+-x--=-故trD正确.

乙乙乙乙I。

故选：ABD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.在%3口的展开式中，常数项为

4x^

【答案】7

【解析】

【分析】写出展开式的通项，利用通项计算可得.

/1Y

【详解】二项式%3展开式的通项为(+1G(')[-A)=(-!)"C；X2(04r〈7且

reN),

令21—弓=0,则厂=6,常数项为7；=(—1)6(2；=7.

故答案为：7

13.如图，已知圆台。仪中，△ABQ为等边三角形，三角形边长为2,且Oi3〃QA,则圆台的体积为

，圆台的表面积为.

【答案】①.量身②.11兀

3

【解析】

【分析】利用△ABO2为等边三角形求出圆台的高，利用圆台的体积公式求解出圆台的体积和表面积即可.

【详解】因为△ABC＞2为等边三角形，边长为2,且QW/QA，

所以0]_8=1,圆台的高=

因此圆台的体积为1/=:兀丸（d+4G+1）=2^，

表面积S=兀（1+弓/+以+]）=11兀.

故答案为：置身，11兀

3

14.已知抛物线。：产=2”式「＞0）的焦点为/,过焦点的直线/的斜率存在，且与抛物线交于A3两

点，以厂为圆心，四为半径的圆与抛物线的准线有公共点，则直线/的斜率的取值范围为.

3

【答案】[-V2,0）U（0,V2]

【解析】

【分析】设直线/为y=-x—'）,其中左中0,联立方程组，求得5+/="+袭，根据题意，得到

ZK

网2p,结合抛物线的焦点弦的性质，得到4+4+023。，进而求得P的范围.

【详解】由抛物线。：丁=2"*5＞0）的焦点为%,0）,准线方程为x=g,

设直线/为y=k（x—^）,其中左20,

y=k\x——I,、左2"2

联立方程组’12J,整理得上2/—伊？+2p）x+£2_=o,

V=2px4

2p

则XA+XB=/~'

因为以尸为圆心，网为半径的圆与抛物线的准线有公共点，可得网

33

又由抛物线焦点弦的性质，可得乙+乙+。232，解出—后〈左

所以—拒〈左＜0或0（左＜0，即实数左的取值范围为[—后,0）0（0,后].

故答案为：卜后,0）“0,0]

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.

2兀

15.已知在VABC中，角A,B,C的对边分别是。，b,c,若。1@口5=2/75111。,＞1=可，.

（1）求C；

（2）若VA5C的周长为4+26，。是VA5C内一点，MZBDC=—,求&BDC面积的最大值.

6

7T

【答案】（1）-

6

（2）6-3百

【解析】

【分析】（1）根据题意，由正弦定理和三角函数的基本关系式，化简得sinA=2cos5sinC,进而得到

27r

sinBcosC=cosBsinC,BPtanB=tanC,得到5=C,结合4=可即可求解；

（2）由（1）和VABC的周长为4+2百，求得48=4。=2,8。=2百，利用余弦定理，化简得到

BD2+CD2=-y/3BDCD+12,结合基本不等式，求得加-8412（2—6），利用三角形的面积公

式，即可求解.

【小问1详解】

解：因为atan5=2bsinC,由正弦定理得sinAtan^B=2sin5sinC,

sinB

所以sinAx——二2sin3sinC,贝UsinA=2cosBsinC,

cosB

又因为A=7r—（5+C）,可得sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cos5sinC,

所以sin5cosC=cos5sinC,贝!Jtan5=tanC,所以5=C,

因为A=空且人+5+。=兀，所以B=C=4.

36

【小问2详解】

解：由（1）知A=M，3=C=2，可得BC=Ji4C=6AB，

36

因为丫43。的周长为4+2百，所以43=4。=2,8。=20，

由余弦定理得cosNBDC=必+3-302=—立，

2BDxCD2

可得BD°+CD?=-6BDxCD+12,

又由基本不等式可知3£）2+CD222B£）.CD，当且仅当5£>=CD时，等号成立，

即—62解得3℃«12（2—石卜

所以ABDC面积最大值为S=-BDCDxsinZBDC=6-373.

一2

16.已知椭圆C：5+==l（a〉6〉0）的离心率为焦距为2.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）直线/的斜率为-1,且与坐标轴的交点均在椭圆内部，直线/与椭圆交于两点，求线段的

长度的取值范围.

22

【答案】(1)—+^=1

43

（8764^/42-

（）

217,7」

【解析】

Q1

【分析】（1）根据题意，得到一=—且2c=2,求得a,加c的值，即可得到椭圆C的方程；

a2

⑵设直线/：y=-x+m,且根石,』），联立方程，设5（々，%），由韦达定理结合

椭圆弦长公式得到|.|=短，7-ntz,进而求得|A目的取值范围.

【小问1详解】

22

因为C：・+g=l（a〉6〉0）的离心率为1,且焦距为2,

c1_____

可得e=[=5且2c=2,解得a=2,c=l,则人而工=上,

22

所以椭圆C的标准方程为—+^=1.

43

【小问2详解】

直线/的斜率为-1,且与坐标轴的交点均在椭圆内部,

设直线/：y=-x+m,且加©卜6,6）,

f22

X+匕T

联立方程组《43，整理得7/—8利（;+4m2—12=0,

y=—x+m

%%=4m

设4（%B（x,,y2）,则12~~>

因此|=J（X]—々）2+（%一%）2=正-J（X]+々）2—4苞々

/6W_4

V4977

由加€卜6,国,可得力■e（2,77],即,<1阴<生42,

所以的取值范围为[乎，生手.

17.如图，在四棱锥E-ASCD中，平面CDEL平面ABC。，ZCDE=90%四边形ABCD是正方形,

DE=DC=1.

（1）求证：平面ACEL平面3DE；

（2）求直线AC与平面3CE所成角的大小.

【答案】（1）证明见解析

⑵-

6

【解析】

【分析】（1）先利用面面垂直的性质定理得DEL平面ABCD,再利用线面垂直的判定定理证明ACJ_平

面5。£，最后利用面面垂直的判定定理即可；

（2）以。为原点建系，计算平面BCE的法向量而，得到cosa孑，前的值，再利用线面角与其之间的关系

即可.

【小问1详解】

因为平面CDE_L平面ABC。，NCDE=90°，

平面CDEc平面A3CD=CD,DEu平面CDE，所以OEL平面ABCD，

因为ACu平面ABCD,所以£>E/AC,

因为四边形ABC。是正方形，所以AC13。，

又因BD，DEu平面5DE，BD[yDE=D,所以AC，平面5DE,

因为ACu平面ACE,所以平面ACEL平面的石；

【小问2详解】

由(1),因为平面ABCD,ADu平面ABCD,所以DE_ZA£),

因为ABCD是正方形，所以又NCDE=90。,

以点£)为坐标原点，DE>DC-TH分别为x，>，z轴正方向，建立空间直角坐标系,

因此4（0,0,1）,5（0,1,1）,C（0,l,0）,£（1,0,0）,

则而=（0,1,—1）,皮=（0,0,—1）,5E=（1,-1,-1）,

设平面BCE的一个法向量沅=(X0，%/0),

in-BC=—z0=0

则

m-BE=x0-y0-z0=0

不妨令%=1，则身=。,1,0）,

力一AC-m11

因此cosAC,m=।——.，--=—r=q=—,

|AC|-|m|v2xV22

则AC与平面BCE所成角的正弦值为1,

兀71

又因线面夹角的取值范围为o,-,则AC与平面所成角的大小为一.

26

(1)讨论函数的单调性；

(2)若函数/(%)有两个极值点X2,证明：(再)+/(%2))>一7"2-1；

111］、m

(3)若加>0,设g(x)=/(x)——f+x+—,当时，g1+-<-----恒成立，求机的最大值.

24IxJ%+m

【答案】(1)答案见解析

(2)证明见解析(3)--1

ln2

【解析】

【分析】(1)求导，求出导函数的零点，分情况机2工，0<〃/<1,加《0三种情况讨论得到函数的单调性

44

即可

(2)结合第一■小问中的极值点，得到再+%2=1，=加，接着利用

2-I］

772

/(%1)+/(x2)=/nIn+x2)-2%々一(M十^^^一万二1nm-根一1,将要证的不等式转化

为证明用21n加-加+1>0,从而构造新的函数//(%)二/山%—1+1,求导证明即可.

(3)分离参数，构造函数，对构造的函数d«)=哥旬-；进行求二次导进而求得此函数的最小值

4nina)=d(l)=\^—L从而证明出结果.

【小问1详解】

由题意/(%)=/nlnx+—%2-%--,故/'(》)=》-x+.，

24x

当机时，r(%)>o,此时函数八工)在(o,+“)上单调递增；

当0<小<；时，令/,(x)=o,得x=l±1^,

此时函数/(%)在oj4”和1+J：4m,+“上广(％)>0,故/(工)单调递增，

I27I2)

在1匕年近，匕毕正］上了,(x)<o,故于出单调递减；

I22)

当根K0时，此时函数/(%)在0,'J皿上单调递减，在7；一,十°上单调递增;

I2JI2)

小问2详解】

由（1）可知，当函数/（%）有两个极值点X1,工2时，0,^-

且玉+々=1，=m'

2-|1

因此/（玉）+/（尤2）=加1nxi工2+~+x)--(jq+x)--=mlnm-m-1,

22XXX22

因此要证相(/(玉)+/(々))>.m2-1，即证m2Inm—m+1>0，

设/?(%)=d1nx一％+1,xef0,^-j,则//(x)=M21nx+l)-l，

因为0<X<；<e；于是“(x)<0在]o,；|上恒成立，

贝!]/z(x)=fIn]—x+1在上单调递减，因此“(x)〉—j^ln4>0,

2

不等式m(/(^)+/(x2))>-m-l得证.

【小问3详解】

1

由题意不等式可化简为(x+m)ln[l+：J<l,即求““可二j一"，

设顼=品旬一‘W°』’则"⑺V°』’

设/(/)=(/+1)山2(1+1)_/,/e(0,l],

则y(?)=ln2(/+l)+21n(?+l)-2?,Ze(0,1],

令pf(t)=ln2(r+l)+21n(t+l)-2t=尸(/),

于是P(/)=21n('+l)―2f,/€(0』，

由ln（r+l）＜t可知P'（t）＜。在（0,1］内恒成立，于是p\t）单调递减,

因此〃'（/）＜/（0）=0,于是M?）在（°』内单调递减，则.”）＜2（0）=0，

即d'«）＜0在（0』内恒成立，因此d（。在（0』内单调递减，4M0=〃（1）=七—1，

于是机的最大值为人-1.

In2

19.在足球运动中，围圈传球是一个经典热身活动.A,B,C,。四个球员围成如图一个矩形，已知每个

人传球给相邻球员的概率为2