山东省济南市历城某中学2024-2025学年高一年级下册第一次阶段性测试（4月）数学试题（解析）

历城一中高64级高一下学期第一次阶段性测试

数学试题

一、单选题

1.已知一组数据I'17/5,羽2°的平均数为16,则这组数据的第60百分位数为()

A.17B.16.5C.16D.15.5

【答案】B

【解析】

【分析】由给定的平均数求出x,再由第60百分位数的定义求解即可.

【详解】由数据12,17,15,%,20的平均数为16,#12+17+15+^+20=5x16,解得％=16,

由5x60%=3,得数据12,15,16,17,2。的第60百分位数为任”=16.5.

2

故选：B

ZJ—1

2.若复数z=M(aeR)是纯虚数，则z的共轨复数三=()

A.-1B.-iC.iD.1

【答案】C

【解析】

【分析】由复数的乘、除法运算化简复数z,再由共软复数的定义即可得出答案.

_a-i_(a-i)(l-i)_a-la+1.

【详解】(l+i)(l-i)2-1

Z7—1

因为复数z=i巨(aeR)是纯虚数，所以a=l,

则z=—i，所以z=i.

故选：C.

3.如图所示，在VA5C中，点。是线段AC上靠近A的三等分点，点E是线段的中点，则=

B.--BA--BC

63

C.--BA--BCD.--BA+-BC

6363

【答案】B

【解析】

【分析】由向量线性运算的几何意义即可计算

【详解】DE=DA+AE=-CA+-AB=-（CB+BA\--BA=--BA--BC.

323、>263

故选：B

_2

4.已知非零向量满足|a|=3|b|,cosa,b=—,若b_L（左〃+/?）,则实数左=（）

C11

A.—3B.—C.—2D.----

32

【答案】D

【解析】

【分析】利用平面向量数量积公式计算即可.

【详解】由题意知b•（左a+b）=版/+。2+M=0,

由|a|=3|>知■|左口-愀+恸=2^|/?|+|/?|=0nk=—；.

故选：D

5.已知在aABC中，a=x,b=2,B=45°,若三角形有两解，则尤的取值范围是（）

A.x>2B.x<2

C.2<x<2y/2D.2<%<2A/3

【答案】C

【解析】

【分析】由题意判断出三角形有两解时，）满足不等关系求解即可.

【详解】因为AC=6=2,要使三角形有两解，就是要使以C为圆心，

半径为2的圆与BA有两个交点，

所以只需满足xsinB<b<x,即YZX<2<X，解得2<%<20.

2

故选：C

6.在AABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a-b=ccos3-ccosA,则AABC的形状为

（）

A.等腰三角形B.等边三角形

C.直角三角形D.等腰三角形或直角三角形

【答案】D

【解析】

【分析】用正弦定理化边为角，再由诱导公式和两角和的正弦公式化简变形可得.

【详解】"."a-b=ccosB-ccosA,/.sinA-sinB=sinCcosB-sinCcosA,

/.sin（B+C）-sin（C+A）=sinCcos3-sinCcosA,

.*•sinBcosC—sinAcosC=0,

jr

COsC=0或sinA=sin3,C=—或A=_B，

2

故选：D.

【点睛】本题考查正弦定理，考查三角形形状的判断.解题关键是诱导公式的应用.

7.嵩岳寺塔位于河南郑州登封市嵩岳寺内，历经1400多年风雨侵蚀，仍巍然屹立，是中国现存最早的砖塔.

如图，为测量塔的总高度选取与塔底3在同一水平面内的两个测量基点。与D，现测得

ZBCD=30,NBDC=45,CD=4,在C点测得塔顶A的仰角为60,则塔的总高度为（）

A.12-4A/2B.12-4^C.12+472D.12+4百

【答案】B

【解析】

【分析】设=在VA5C中，根据正切用〃表示3C,△BCD中，正弦定理建立3C与的等量

关系，可求解心从而确定选项.

八八hh

【详解】设=则3C=——=-^,

tan60V3

在△BCD中，sinZCBD=sin|^180-（30+45）］=sin（30+45）

=sin30cos45+cos30sin45=氏+娓-，

4

h

在△BCD中由正弦定理一-——=—二，即7~尸=半，

sinZCBDsin45V2+V6V2

~T

解得丸=12-46

故选：B.

8.VA3C中，AB=g，ZACB=-,。是VA5C外接圆圆心，是OC-A8+C4-C8的最大值为

4

()

A.1B.y/2+1C.3D.5

【答案】C

【解析】

【分析】先利用正余弦定理和向量的数量积求得0C.AB+C4-C3的代数式，进而求得其最大值.

【详解】过点。作ODJ_AC、OELBC,垂足分别为。、E，

如图，因为。是VA3C外接圆圆心，则。、E分别为AC、3C的中点，

在VABC中，AB=CB-CA>

所以AB?=CB-2CBCA+CA-即|=,正+|CB|2-2CACB,

22

HN|CA|+|CB|-2

即CAQJI।।—,

2

CO-G4=|CO||CA|COSZOG4=|CD|-|G4|=||CA|2,

同理co.CB=|co||CB\COSZOCB=|CE|-|CB|=-|CB|\

则OCAB+CA-C3=OC（C5-CA）+CA-C3=OCC5-OCCA+CA-C5

1I|21I|2IGAI+\CB\-2I|2

=—5同+5同+；I-R-1，

,,网sinZABC行sin/ABC

由正弦定理得|可卜sinNACB=2sinZABC<2

.兀

sin—

4

jr

当且仅当ZABC=-时取

2

所以OC-A8+C4-C3的最大值为3.

故选：c.

二、多选题

9.某高中有学生500人，其中男生300人，女生200人，为获得该校学生的身高（单位：cm）信息，按比

例分配的分层随机抽样的方法抽取一个样本量为50的样本.经计算得到样本中男生身高的平均数为170,

方差为17；女生身高的平均数力160,方差30.下列说法中正确的是（）

A.样本中男生的人数为30

B.每个女生入样的概率均为2

5

C.样本的平均数为166

D.样本的方差为22.2

【答案】AC

【解析】

【分析】由分层抽样可判断A；计算女生入样的概率可判断B；计算样本的均值可判断C；计算样本的方差

可判断D,进而可得正确选项.

【详解】对于A：抽样比为迎=工，

50010

所以样本中男生有工x300=30人，故选项A正确；

10

对于B：每个女生入样的概率等于抽样比理■=’,故选项B不正确;

50010

对于C：由分层抽样知，样本中男生有30人，男生有20人，

所有样本均值为：170x30+160x20=166,故选项C正确；

50

对于D：设男生分别为占，%,L,X3O,平均数7=170，S」=17,

女生分别为力,为，L,%0,平均数7=160,S；=30,

i3020

222

样本的平均数为；=166,方差为S?,5=—2L(X,.-166)+g(y,.-166)

30302

因为24-166)2=2[(七一170)+(170—166)]

Z=1Z=1

303030

=Z(%.-170『+2(170-166)2+2£(七-170)(170-166),

i=li=li=l

3030(30、

而170)(170—166)=(170—166)2(%—170)=430x170=°，

i=li=l\i=l

303030

所以Z(X，T66)=Z(X/170『+2(170—166)2=30X17+42X30=990,

z=lz=li=l

202020

同理可得Z(xT66)2=Z(XT60『+Z(160—166)2=30X20+62X20=1320,

Z=1Z=1Z=1

1「302011

所以f=苍Z&T66)+Z(%-166)一=(990+1320)=46.2,

L«=iz=iJ

故选项D不正确；

故选：AC

10.设z-Z2是复数，则下列说法正确的是()

A.若马是纯虚数，则z；<0B.若z：+z；=0,则Z]=Z2=0

C.若4=Z?,则团=闫D.若闻=闻，则Z]-Z1=Z2-Z2

【答案】ACD

【解析】

【分析】对于A代入4=山(。€艮。。0)即可判断正误，对于B取特殊值Z]=i*2=1验证即可，对于C

设Z]=Z2=a+历(a,beR),求得Iz/F1即可判断正误，对于D设

Zj=a+bi,z2=c+di,[a,b,c,deR),代入验证即可求得.

【详解】对于A选项，4=ai(awR,awO),则z；=(aij=-/<0,故A正确；

对于B选项，取4=i,z2=1,则z；+z；=0,但Z]W0且Z2/0,所以B错误；

对于C选项，设％=Z2=a+6i(a,6eR),则Z2=a-历，所以㈤=闫=+。，C正确；

对于D选项，设为=。+历,Z2=c+di,{a,b,c,deR),则由㈤=区|得"+廿=02+筋，

222

又Z].Z[=(a+Z>i)x(6t-Z>i)=a+b,z2-z2=(c+di)x(c-di)=c2+d,

故4•4=Z2•z0成立，D正确.

故选：ACD.

11.对于△ABC,其外心为。，重心为G,垂心为H,则下列结论正确的是()

A.OAOB=OAOC=OB-0C

1-2

B.AOAB=-AB

2

ABAC

c.向量A”与A伺BcosBAC―cos1C共线

D.过点G直线/分别与AB、AC交于E、E两点，若AE=2AB，AF=JJAC,则丁+—=3

【答案】BCD

【解析】

【分析】A：由外心的性质，结合向量数量积的几何意义判断；B：根据|AO|cosN043的几何意义即可

,ABAC、/

判断正误；C：应用向量数量积的运算律及定义化简(匚口―-+E^一二)BC,再根据AHLBC判

ABcosBACcosC

断正误；D：根据平面向量基本定理可得AG=±AE+，—AF,再由三点共线即可证.

323〃

【详解】A：。为外心，则Q4=O3=OC,仅当==时才有

OAOB=OAOC=OBOC，错误；

B：由AO・A5=|AO||A5|coszZM3,又|AO|cosN0A3=故=正确；

(AB+AC)BC_ABBC+ACBC_|■§||5C|cos(万一3)+

C|AB|COSB|AC|COSC|AB|COSB|AC|COSC|AB|COS5

\AC\\BC\cosC_ABAC

—r—j—--=-1BC|+1BC|=0,即戛京-+―1与BC垂直，又AHLBC，所以

ACcosCABcosBACcosC

ABAC

+

A”与ABcosBp1A77C^1cos}C共线，正确；

D：AG=-AD=—(AB+AC)=—AE+--AF,又及G,厂三点共线，则］+；=故

33323〃3彳3〃

；+，=3,正确.

A〃

故选：BCD

【点睛】关键点点睛：综合应用外心、垂心、重心的性质，结合平面向量数量积的运算律、几何含义以及

平面向量基本定理判断各选项正误.

三、填空题

12.将容量为〃的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图.若第一组至第六组数据的频率之比为

2:3:4:6:4:1,且后三组数据的频数之和等于66,则〃=.

【答案】120

【解析】

【分析】运用频率的概念结合条件列式子即得.

【详解】根据题意，频率=频数比总数，知道频率之比为频数之比，后三组频数之比6:4:1.

频数分别设为6K4左水，贝!J总数为〃=20左,则61+4左+左=66,

解得左=6,则〃=120.

故答案为：120.

13.在VA5C中，角A&C所对的边分别为a,0,c,且asinB=屉cosA.若a=7,则VA3C周长的

最大值为.

【答案】21

【解析】

JT

【分析】将已知等式利用正弦定理统一成角的形式，化简后求得A=§,由余弦定理结合基本不等式，可

求得6+CW14,即可得出三角形周长最大值.

【详解】解：因为Qsin=JGACOSA,所以由正弦定理得sinAsin5=Bsin5cosA，

因为sin5w0,所以sinA=A/3COSA，

所以tanA=y/3，

TT

因为Ae(0,7i),所以A=§,

由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA>即49=/+c?-be=(b+c)2-3bc,

m^)b2+c2>2bc，^b2+c2+2bc>4bc，

得,当且仅当匕=c时取等号，

所以49=(6+C)2—36CN3+C)2-3XS+"2=，

44

所以(6+C)2<196,当且仅当b=c时取等号，

所以Z?+cW14,当且仅当b=c时取等号，

所以a+Z?+cW21,

所以VA3C周长的最大值为21.

故答案为：21.

1r-1-

14.在VABC中，AC=2,。为AB的中点，CD=—BC=E,尸为CD上一点，且AP=mAC+—AB,

24

则/尸卜.

【答案】叵

2

【解析】

【分析】取AD中点E,连接石尸，从而可得P为C。中点，m=-,再根据C£>=!(C4+C3),可得

22

cosZACB=--,再由余弦定理及数量积的运算律求解即可.

14

【详解】解：取AD中点E,连接石尸，如图所示：

则有4石=142,

4

又因为AP=AE+£P=石尸

4

所以EP=mAC，所以EP〃AC，

又因为E为AO中点，所以P为CD中点，

所以AP=LAC+LAD=LAC+LAB,

2224

所以加=工，

2

又因为。为A3的中点，CD=-BC=//,

2

所以C£>=g(C4+C3),

平方，得|5|2=!(|。4|2+|。3|2+2\CA\■\CB\-cosZACB),

4

即7=L(4+28+2・2-2T7COSZACB),

4

解得cosNAC5=—五，

14

在"。台中，由余弦定理可得：AB2=AC2+BC2-2ACBC-cosZACB=36>

所以AB=6,AD=3,

在.ACO中，由余弦定理可得：cosZCAD=—^-=-,

2ACAD2

将AP=1AC+工AD两边平方，

22

1,19

得|AP『9=—(|AC|2+|AD|2+2\AC\-\AD\-cosZCAD)=—,

44

所以|4尸|=平.

故答案为：叵

2

四、解答题

15.在复平面内，复数Z对应的点的坐标为(根,—1)(772eR),且N(l+3i)为纯虚数(彳是Z的共轨复数).

(1)求m的值；

ai2023

(2)复数马=巴匚+一在复平面对应的点在第一象限，求实数。的取值范围.

z

【答案】(1)3(2)(3,+oo)

【解析】

【分析】(1)结合复数的几何意义，再利用复数的乘法化简复数N-(l+3i),由已知条件可求得实数机的值.

(2)利用复数的除法求z「再结合复数的几何意义求解.

【小问1详解】

复数z=〃z—i(〃zeR),且三•(l+3i)=O+i)(l+3i)=加一3+(3zn+l)i为纯虚数Q是z的共轨复数)，

[m—3=0

则13m+120'

解得m=3.

【小问2详解】

i2023=(i2)1011i=-i,

a—i(a—i)(3+i)3a+1a—3.

复数Z=——=*；=――+—-i在复平面对应的点在第一象限，

z(3-i)(3+i)1010

3a+1

解得。＞3.二实数。的取值范围是(3,+8).

16.在2025年八省联考结束后，某学校为了解高三学生的联考情况，随机抽取了100名学生的联考数学成

绩作为样本,并按照分数段[50,70),[70,90),[90,110),[110,130),[130,150]分组，绘制了如图所示的频

率分布直方图.

O16频率/组距

O1

14

O13

0.004L--,—

aY------------4-4----------1

。|「0彳。金13'015’0虚绩/分

(1)求出图中。的值并估计本次考试及格率(“及格率''指得分为90分及以上的学生所占比例);

(2)估计该校学生联考数学成绩的第80百分位数；

(3)估计该校学生联考数学成绩的众数、平均数.

【答案】(1)a=0.003,66%

(2)120分(3)众数估计值为100分，平均数估计值为99.6分

【解析】

【分析】（1）由频率分布直方图的性质列出方程，求得。=0.003,进而得到及格率；

（2）分别求得在110以下和130以下的学生所在比例，结合百分数的计算方法，即可求解；

（3）结合频率分布直方图的众数和平均数的计算方法，即可求解.

【小问1详解】

由频率分布直方图的性质，

可得（0.004+（2+0.013+0.014+0.016）x20=l,解得a=0.003.

所以及格率为（0.016+0.014+0.003）x20=0.66=66%.

【小问2详解】

得分在110分以下的学生所占比例为（。。。4+0.013+0.016）x20=0.66,

得分在130分以下的学生所占比例为0.66+0.014x20=0.94,

所以第80百分位数位于［110,130）内，

由H0+20x0O'，=I2。，估计第80百分位数为120分.

0.94-0.66

【小问3详解】

由图可得，众数估计值为100分.

平均数估计值为0.08x60+0.26x80+0.32x100+0.28x120+0.06x140=99.6（分）.

17.已知VA5C的内角A,B,C所对边分别为a,b,c,VA3C的面积为20，3acosC+c=3b.

（1）求cosA的值；

（2）^Z?sinB+csinC=4sinA,求VABC的周长.

【答案】（1）-

3

⑵2+24

【解析】

2

分析】（1）根据余弦定理角化边得〃+片-〃=—be,进而可求；

3

2

（2）由面积公式可得bc=6,由正弦定理角化边得〃+。2=4a，代入。2+。2一/=一尻，从而可求

3

a=2,进而可求5?+/=8，从而可求6+。=2行.

【小问1详解】

z72_|_A2_r22

根据余弦定理可得，3a•巴汇~—+c=3b,则〃9+。92-/9=一A。,

lab3

所以COSA="+L—"=L

2bc3

【小问2详解】

因为0<4<兀，所以sinA=Jl-cos2A=£l,

3

又VABC的面积为2及，所以;6csinA=2形，即bc=6,

因为/?51!15+。5111。=4011124,结合正弦定理可得〃2+C2=4〃，

2

又Z?2+。2—/=—0c,所以4a-q2=4，解得。=2,

3

所以〃+C2=8，

所以(Z?+c)=b2+c~+2bc=20,即6+c=2#>,

所以VA3C的周长为a+b+c=2+26.

18.如图，在直角梯形ABC。中，AB!/CD,ADJ.AB,AB=AD=2CD=4,E是5c的中点.

⑴求AE-BE；

(2)连接BD,交AE于点“，求|AM|；

(3)若耳，P],P3,4为5c边上的〃+1等分点，当〃=100时，求

+…+党)的值.

[MPX+MP2A3

【答案】(1)1

⑵巫

5

(3)240

【解析】

【分析】(1)建立合适的直角坐标系，再求出相关向量，根据向量数量积的坐标公式即可；

(2)设4,〃eR,根据向量坐标运算得到方程组，解出4〃，最后利用向量

模坐标公式即可；

(3)首先证明讨+此+年+.+人笔0G=100"石，最后转化为求解ME即可.

【小问1详解】

因为所以以A为坐标原点，AB为x轴，AD为,轴，

建立如图所示平面直角坐标系，则A(0,0),3(4,0),C(2,4),E(3,2),AE=(3,2),BE=(-1,2),所以

=—3+4=1.

【小问2详解】

AM=AAE,BM=/JBD,

AM-BM^AAE-^BD,所以AB=XAE—,

所以(4,0)=2(3,2)-〃(T,4)=(32+4〃,22—4〃),

2=-

32+4〃=45

所以《c,；c，解得

2Z—4〃=02

所以|AM|=g|AE|=gx^=g^

【小问3详解】

在△MBC中，因为E为8C中点，所以MC+Mfi=2ME，

又因为0取鸟,…，/。是边5c的101等分点,

MI\+MPm=2ME,MP,+MI^=2ME,=2ME,

所以9+叫+次+—+讨0G=1OOA/石,

所以（岬+叫+叫++MPm）-AB=100ME-AB

由（2）得ME=gAE=]|,|）A3=（4,0）,

3I9

所以ME.AB=《x4=不，

所以（町+布+5++M^oJ）-AB=lOOxy=240.

19.在VABC中，NA,N8,NC对应的边分别为aSc3sinA+atanAcosBuZasinC.

（1）求A；

（2）奥古斯丁•路易斯•柯西，法国著名数学家.柯西在数学领域有非常高的造诣.很多数学的定理和公式都

以他的名字来命名，如柯西不等式、柯西积分公式.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广

泛的应用.

①用向量证明二维柯西不等式：（石々+X%）2V（片+才）（考+乂）；

②已知三维分式型柯西不等式：%,%,%€1<*工+或+幺（.+々+苫3）,当且仅当工=三=巴

%%为%+%+%%%%

时等号成立.若。=3,尸是VA3C内一点，过户作AB,5cAe的垂线，垂足分别为。，及/，求

\AB\9\BC\\AC\

扁+加+曷的最小直

T=

71

【答案】（1）A=-

（2）①证明见解析；②笆叵

3

【解析】

【分析】（1）由正弦定理边化角，利用三角恒等式化简即可求值；

（2）①利用数量积的定义，得到,力尼同忖，再利用数量积和模的坐标表示，即可证明结果；②根据条

2("C+9)2

件及三角形面积公式，利用c\PD\+a\PE\+b\PF\=2s得到TN结合余弦定理,

ABC-J3bc

T>___2百___

令f="+c+9,得到7218,，再求出/的范围，即可求出结果.

F―一+1

rt

【小问1详解】

在VABC中，bsinA+otanAcosB=2asinC,

由正弦定理得，siaBsinA+sinAtanAcosB=2sinAsinC，

因为