山东省济宁市2025届高考模拟考试（二模）数学试题（含答案）

山东省济宁市2025届高考模拟考试（二模）数学试题

一、单选题（本大题共8小题）

1.已知集合/={NX，-x-2>0},3={x|y=lg（x-l）},则做N）IB=（）

A.[-1,1）B.（1,2）C.（1,2]D.[-1,+«>）

2.已知l-2i是关于x的方程x2+ar+b=og,beR）的一个根，则|a+6i|=（）

A.2B.3C.5D.V29

3.已知圆锥的体积为过红，其侧面展开图是一个圆心角为?的扇形，则该圆锥

33

的底面半径为（）

A.yB.1C.V2D.2

4.若函数/（x）=g]"在1,+8）上单调递减，则实数。的取值范围是（）

A.a<2B.a>2C.a<\D.a>\

5.已知{4}为等比数列，且〃i=l,贝I"%=2”是“%二4”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

6.已知函数/（x）=sins-Gcoss+百（①>0）在区间0,1•上有且仅有3个零点，

则实数。的取值范围是（）

「1420、「36、「/221「4221

A.B.4,—C.4,-D.4,^—

L33）L3）L3JL3）

7.若圆/+/-26-2>-1=0关于直线x+"一2=0对称，其中。>o,b>0,贝!]

工+与1的最小值为（）

ab

5i-

A.2B.-C.4D.2+2V5

J〔a4

8.已知尸是椭圆C：f+方=1（。>方>0）的右焦点，直线尸交C于A,B两点,

若4FJ.8/，则椭圆C的离心率为（）

二、多选题（本大题共3小题）

9.已知A,B为随机事件，且尸（/）=0.5,P（5）=0.4,则下列结论正确的是

（）

A.若A,8互斥，则P（/u8）=0.9

1/15

B.若A,B相互独立，则尸（痛）=0.2

C.若A,3相互独立，则P（Nu8）=0.7

D.若尸（曲4）=0.5,则尸（面可=0.3

10.已知函数/'（x）=cosx-sin（cosx）-l,则下列结论正确的是（）

A.的图象关于了轴对称B.2兀是〃x）的一个周期

C./（x）在［0,可上为增函数D./（x）<-日

H.已知正方体的棱长为1，点尸在正方体的内切球表面上运动,

且满足8尸〃平面/C2，则下列结论正确的是（）

A.BP1B.DB.点P的轨迹长度为兀

C.线段8尸长度的最小值为彳D.而.晅的最小值为1一1

三、填空题（本大题共3小题）

⑵已知函数〃MN常）,x>l则巾。的值为------------

PF

13.已知抛物线C:/=4y的焦点为尸，尸为C上的动点，点则不“取最

小值时，直线PN的斜率为.

14.箱子中装有4个红球，2个黄球（除颜色外完全相同），掷一枚质地均匀的骰

子1次，如果点数为《=1,2,3,4,5,6）,则从该箱子中一次性取出i个球.规定：依据

i个球中红球的个数，判定甲的得分X,每一个红球记1分；依据，个球中黄球的个

数，判定乙的得分Y,每一个黄球记2分.比如：若一次性取出了2个红球，2个

黄球，则判定甲得分X=2,乙得分丫=4.则在1次掷骰子取球的游戏中，

p（x>y）=.

四、解答题（本大题共5小题）

15.在V4BC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且

a（2-cosB）=6（1+cos/）.

⑴证明：b+c=2a；

⑵若V/8C的面积为且儿，证明VABC为等边三角形.

4

16.如图，在四棱锥尸-4BC。中，底面为矩形，E为尸。的中点，PA=AD,

PDLBE.

2/15

(1)证明：平面P4D_L平面/BCD；

(2)若PD=AD,直线尸3与平面尸ZX4所成角的正切值等于2,求平面4BE与平面

P8C夹角的余弦值.

22万

17.已知双曲线C:，-%=1(°>0,6>0)的离心率为奇，且点“(4,3)在双曲

线C上，

(1)求C的方程；

⑵若直线/交C于P,。两点，NP/Q的平分线与X轴垂直，求证：/的倾斜角为定

值.

18.已知函数/(x)=xe*-a,aeR.

⑴讨论/(x)零点的个数；

⑵若|〃x)|>ax(lnx+l),求实数。的取值范围.

19.将所有正整数按照如下规律形成数阵：

第1行123……789

第2行101112...979899

第3行100101102•...997998999

第4行100010011002……999799989999

⑴将数列｛3〃+1｝与数列｛2"｝的公共项按照从小到大的顺序排列得到数列｛4｝,试

确定《在该数阵中的位置；

(2)将数阵中所有相邻两位数字(从左到右)出现12的所有正整数去掉并保持顺序

不变，得到一个新数阵，记新数阵第〃行中正整数的个数为，.

(i)求4,b2,b3；

(ii)求.

3/15

参考答案

1.【答案】C

2

【详解】A=[x\x-x-2>o}={x\x<-l^x>2},

B=[x\y=Ig（x-l）}={x|x>1）,

/.-1Wx42},

二隔/）c5={x[l<xV2}=（1,2].

故选C.

2.【答案】D

【详解】将l-2i代入V+ax+6=0有：（l-2i）2+a（l-2i）+fe=0,

/、/、[Q+6—3=0[ci-—2

化简整理有（。+6-3）-（4+2a）i=0,即，解得，

所以+6i|=yja2+b2=2『+5?=V29，

故选D.

3.【答案】B

2兀

【详解】设母线长为/,底面l半径为『，圆锥的高为〃，则有2口=宁/n/=3r,

又h=J/。—，=^9r2—r2=2^/2r>所以忆=1='兀，。x2近r==>/=1=7.=],

333

故选B.

4.【答案】A

【详解】/«=（g）乙"是由"（；）"与w=Y一如复合而成，

在y=（；）0中，b=:，，所以>=（；）"在R上单调递减.

因为/«=（；）'”在[1,+8）上单调递减，且外层函数y=（；）"在R上单调递减，

根据复合函数“同增异减”的原则，可知内层函数比=/-亦在[1,+8）上单调递增.

对于二次函数"=/-办，其图象开口向上，对称轴为尤=-m=g

2x12

二次函数在对称轴右侧单调递增，要使w=/-ax在[1,+8）上单调递增，

则对称轴需满足Wwl,解得。42.

故选A.

5.【答案】C

【详解】由题意知，{凡}为等比数列，

4/15

当的=2时，得4%=《=4,所以%=4,故充分性成立;

当a9=4时，tzf=axa9=4,解得/=±2,

又％,%，。9同号，所以。5=2,故必要性成立.

所以“%=2”是"49=4"的充要条件.

故选C.

6.【答案】D

【详解】对/(x)=sin@x-GcosGx+6进行化简：

/(x)=sin<z>x-V3COS69X+V3=2sin^

令〃尤)=0,即2sin(0尤-g)+6=0,则sin(ox-3=-YL

332

元

根据正弦函数的性质，所以s-g7T=2E+4T或s-j5r=2E+\57rUeZ,解得

2H+—_.>.2左兀+271.)

x=——^或X=-------，左£Z.

CD

CD

兀

因为0,—且①〉0,

女2兀

当左=0时，_3_5兀，々=——；

x\-="—CD

5兀1171

2兀+2兀4兀

当左=］时，丫_3_"兀，X4=

%3-----------------------------------------CD

①co3a)

所以实数。的取值范围是[4]).

故选D.

7.【答案】C

【详解】由12+)2_2ax-2y-l=0得+(y—1)2=q2+2,

5/15

所以圆心为(a,1),又圆关于直线无+力-2=0对称,

贝!］直线%+如一2=0过圆心，即。+6=2,

二匚Di14。+114(2—6)+119

所以一+----=-+—----L—=一+——4

ababab

_1+?=1+2］3

bvtzb)2

b9aa=—

———I9

当且仅当Qb=；时,等号成立,

a+b=2\b=—

1I2

［、［14。+119

所以一+----=—+--4>8o-4=4,

abab

故选C.

8.【答案】A

fv24

【详解】如图，因为椭圆C?+}=l(a>6>0)关于原点对称，直线y=过原

点，

所以A,3关于原点对称，设椭圆的左焦点为耳，连接"片，BF］,

由椭圆的对称性可得\AF\=\BF\,\BF\=\AF\,

所以四边形NEB片为平行四边形，

又因为/尸，2尸，所以平行四边形/尸2片是矩形，

所以』耳，\O^\=\OF\=c,所以点B在圆/+/=,2上，

则-；=3X,解得0葭会］,代入椭圆方程二+彳=1,

x2+/=c2155J«-b

又b"-",可得：［|^^，

c9e216e2,

设e=—(0<e<l),则上式可化为文+而一"=1,

a2325(l—e)

化简可得94—50/+25=0,即(9/—5)(/—5)=0,

因为0<e<l,所以9e2-5=0,解得e=.

3

所以椭圆。的离心率为1

3

故选A.

6/15

9.【答案】ACD

【详解】对于A选项，若A,3互斥，根据互斥事件的概率加法公式

P(4DB)=P(A)+P(B).

己知尸(/)=0.5,尸(8)=0.4,则尸(/。3)=0.5+0.4=0.9,所以A选项正确.

对于B选项，若A,8相互独立，则A与否也相互独立.

因为P(耳)=1一尸(8)=1-0.4=0.6,所以尸(/月)=P(N)尸(耳)=0.5x0.6=0.3#0.2,所以B

选项错误.

对于C选项，若A,B相互独立，贝|尸(48)=尸(/)尸(3)=0.5、0.4=0.2.

根据概率的加法公式尸(，口为=尸(⑷+尸(3)-P(/8),将尸(/)=0.5,P(3)=0.4,

尸(28)=0.2代入可得:

P(^uS)=0.5+0.4-0.2=0.7,所以C选项正确.

对于D选项，已知P(BM)=M^=O.5,P(A)=0.5,则尸(N3)=0.5x0.5=0.25.

P(/)

P(A)=1-P(A)=1-0.5=0.5,P(BA)=P(B)-PQB)=0.4-0.25=0.15.

根据条件概率公式尸(3|彳)=与"=誉=0.3,所以D选项正确.

P(A)0.5

故选ACD.

10.【答案】ABD

【详解】对于A,函数/(')的定义域为K,关于原点对称，

f(-x)=cos(-x)-sin(cos(-x))-1=cosx-sin(co&x)-1=/(x),

所以/(X)是偶函数，其图象关于歹轴对称，故A正确；

对于B,/(%+2兀)=cos(x+2K)-sin(cos(x+2兀))-1二cosx-sin(cosx)-l=f(x),

所以/(x)的一个周期是2兀，故B正确；

对于C,令，=cosx,当XE［0,可时，，=cosx在［0,兀］上单调递减，

且才1,1］,>=si3在［-1』上单调递增，则y=-sinr在［-1』上单调递减，

所以/(x)=cosx-sin(cosx)-1在［0,可上单调递减函数，故C错误；

对于D,因为-IWcosxWl,令/=cosx,

则y=t-sint-\,求导得了=1-cos/,

由于cosZ,所以/=l-cos/>0,y=，-sin-1单调递增.

当，=1时，y取得最大值l-sinl-l=-sinl；

7/15

当/=_]时，夕取得最小值-l-sin(-l)-l=sinl-2.

因为sinl>sin乌=,所以一sinl<-sin工=,即f(x\<,故D正确.

4242''2

故选ABD.

II.【答案】ACD

【详解】以。为原点，分别以所在直线为'J/轴，建立空间直角坐标

系，

则。(0,0,0),/(1,0,0),C(O,l,O),5(1,1,0),2(0,0,1),5,(1,1,1),

40,0,1)6(0,1,1),

正方体的内切球的球心为正方体的中心，半径厂=g，

平面4C。的法向量为:=(-1,1,0),石=(-1,0,1),设k=(x,y,z),

ri'AC=0f-x+y=0/、

由—•，即-C，令x=l,贝!|y=l,Z=l,所以为=1,1,1.

n-ADx=Q[-x+z=Q

对于选项A,庭,因为8尸〃平面ZC。，所以所.元=0，而

BtD=­n,

所以丽・丽=0,即8尸，用。，A正确.

对于选项B,因为8尸〃平面NCR,平面NCR//平面43G，

所以点尸的轨迹是平面48G与正方体内切球的交线，此交线为圆，记圆心为

设平面42G与正方体的中心。的距离设平面43G的法向量为应,

54=(0,-1,1),5Q-(-1,0,1),

m-BA^O-b+c=0

设施=(a,b,c),由＜可得

mSC；=0—a+c—0

令Q=l,则而。4二

73,

~6

・••圆的周长T兀「半兀’即点P的轨迹长度为$，B错误.

对于选项c,BO=R,点P在球面上，畋=AW=，闾一U=$

线段成长度的最小值为即一系/号=*C选项正确.

8/15

对于选项D,设丽与西夹角为。，(-1,0,1),\BC\=41.

jo当,cj-go],尸(xj),。/。,造

在平面直角坐标系中,

2[26

—cos3/v=—+—sin6>,

666

[分].V3

sin1-----，

3

所以瓦•西的最小值为1-D选项正确.

3

【详解】由题意有/[£|=43+1=2+1=3,所以

=/⑶=Tog?(3+l)=-log24=-2.

13.【答案】匕止

2

【详解】由题意得/(04)，设点尸(x/),则/=4y,由抛物线的定义有

______________M=5+1『=]

\PF\=y+\,E=J(x-l)2+(y+l)2,所以_(x_iy+(y+])2[±[2+]

x-1x-1二4卜-1)|4|(1)4

又

y+i犬+1(X-1)2+2|X-1|+51"高+2

4

由H+上+2""卜昌+2=2方+2,

|尤-1|V|x-l|

当且仅当忖-1=向，即x=l-百时，等号成立,

9/15

2'卷］23-V5

所以<

2

所以

当x=l-石时，x］（l『3-石,得点尸「一行,

，一4一4一2I2）

所以“+11-V5.

2不6二=

14.【答案】1

【详解】设掷骰子得到的点数，的概率为尸（。，则尸（。=：,，=1,2,…,6,

6

当7=1时，1=1的概率为若X>Y,则需取出的1个球是红球的概率为

6

「1,

尸（工>坤=1）=寸="

121

所以4（x>y）=p（i）p（x>y『=i）=kXw=g,

当i=2时，i=2的概率为若X>Y,则需取出的2个球都是红球的概率为

6

「2）

P（X>F|z=2）=^=?）

121

所以鸟（x>y）=p（2）尸（X>琲=2）=不）=话，

当i=3时，i=3的概率为：，若X>Y,则需取出的3个球都是红球的概率为

6

尸（工川=3）爷£所以6（x>y）=p（3）/（x>印=3）=C，

5

当i=4时，7=4的概率为，，若X>Y,则有两种可能的情况：第一种情况为取出

0

的4个球都是红球有C：种，

第二种情况为取出的4个球种有3个红球，1个黄球，有C：C；种，所以概率为

「（》>坤=4）=生产=g

10/15

i3i

所以乙（》＞/）=网4）网》＞井=4）=/5=5

当i=5时，，=5的概率为J,若X＞Y,则需取出全部4个红球，1个黄球，

6

r4rliiii

所以p（x＞冲=5）=q^=:，所以月（x＞y）=p（5）尸（X＞琲=5）=£丁

303lo

当，=6时，x=y不满足题意，

所以综上打》:^卜^^+,+上+工+工=口.

'791530101830

15.【答案】（1）证明见解析；

⑵证明见解析.

【详解】（1）由正弦定理得sinZ（2-cos3）=sin8（l+cos/）,

即2sin/-sin/cos5=sinB+sinBcosZ,

所以2sin4=sin5+sin^4cosB+cosAsinB,

所以2sin4=sin8+sin（4+5）,

所以2sin4=sin5+sinC,由正弦定理得2〃=b+c.

（2）因为Lesin/=be,所以sin，=Y^,

242

因为2“=6+c,所以A为锐角，所以/3.

由余弦定理得a1=b2+c2-2bccosA=b2+c2-be，

又。=管，代人化简得6=c,

所^以a=b=c,

所以V/8C为等边三角形.

16.【答案】（1）证明见解析；

⑵也

19

【详解】（1）设尸为尸。的中点，连接4尸,£尸，

因为£为尸C的中点，所以EF"CD,EF=gcD,

又ABI/CD,AB=CD,所以EF〃4B,EF=^4B,

2

所以4尸与BE必相交.

因为尸N=4D,所以4F_LPD,

又PD工BE,且4EIBE=E,/£,BEu平面/成尸，

所以PD_L平面/BEF,又因为/2u平面/BEF,所以尸。_L48,

又ADLAB,PDc4D=D,尸4Du平面尸40,所以48_L平面尸N。，

又A8u平面43CD,所以平面尸平面'4BCD.

（2）设O,G分别为40,3C的中点，因为尸/=/。=尸。，所以尸。，40,

又平面尸4D_L平面48cD,平面PADc平面48co=40,尸Ou平面尸4D,

11/15

所以PO_L平面48C。，因为CM,OGu平面/BCD,

所以尸O,O4PO,OG,又CUJ.OG,

所以，以O为坐标原点，$0A,0G,（^$所在直线分别为X轴，了轴，Z轴,

建立空间直角坐标系.

由（1）知48_L平面尸4D,所以24P3即为直线P3与平面尸4D所成的角,

所以tanZ.APB=----=2,设AP=2,贝!]AB=4，

AP

所以A(l,0,0),5(1,4,0),C(-l,4,0),£>(-1,0,0),P(0,0,73).

因为尸D_L平面ABEF,所以平面/BE的法向量为五=历=（-.

设平面P5C的法向量为〃=(x,y,z),

又就=(-2,0,0),PB=(1,4,-73),

取％=(0,忘4),

所以平面ABE与平面P3C夹角的余弦值为

4732历

|cos(m,ri)\=尸t

\m\\n\2xV1919

17.【答案】⑴[-1=1

⑵证明见解析，直线/的倾斜角为定值I

f£V73

【详解】（1）由题意有「一°-2又点2（4,3）在双曲线C上，所以

c2=a2+b2

169।

/卞=底

解得/=4N=3,所以双曲线C的方程为［-1=1；

（2）由已知得直线/的斜率存在，设其方程为了=6+6,设尸（占,凹）,。仁/2）

y=kx+b

所以I-2=（3-4左2）--8肪X-4〃-12=0,

143

所以A=（-8祐）2-4（3-4町（-462_4=48（Z?2-4k2+1>（,

8kb4从+12

由韦达定理有:…=E5=-^r，

12/15

又因为N尸/。的平分线与x轴垂直，所以如,+如0=0,

即以|+上|=0，所以(乂-3)(超-4)+(%-3)(占-4)=0,即

X]一4%-4

2kxix[+{b—3—4左)(石+/)-8(b-3)=0,

所以-2kAb+i^+(b-?>-Aky-8(Z>-3)=0,

3-4左2I>3-442'>

即一24(左+1)修+4左-3)=0,所以左=-1或6=3-4左，

当b=3-4左时，直线/的方程为了=履+3-4左=左。-4)+3,即直线/过点/(4,3),不

符合题意，

所以上=-1,设倾斜角为cz(0Vtz<兀)，即左=tana=-l,a=—,

4

18.【答案】(1)答案见解析;

(i-n

(2)-80.

【详解】(1)〃x)=0时，a=xe”,

令g(x)=xeA,贝I]g]无)=(x+l)eT,

所以，x<-l时，g'(x)<0,gQ)在(-叫-1)上单调递减，

x>-l时，g'(x)>0,g(x)在(-l,+oo)上单调递增，

又x<0时，g(x)<0,x-—co时，g(x)fO,x=-l时，g(x)min=g(-l)=-1,

Xf+8时，g(x)T+CO,

所以，①当时，/(X)无零点，

e

②。=-'或时，“X)有1个零点，

e

③当一！<。<0时，/(x)有2个零点.

e

(2)当时，由x〉0得/(x)〉0,

所以，l/(x)l>ar(lnx+l)等价于xe'-q〉ax(lnx+l)对X£(0,+s)恒成立.

即ex>a[Inx+,+l)对x£(0,+8)恒成立，

13/15

1X—1

令/z(x)=lnxH---i-l,x>0,贝!j〃'(x)=——,

xx

当XG(O,1),/Zf(x)<o,当X£(1,+8),“(X)>O,

•••力(X)在(0,D内单调递减，在(1,+8)内单调递增，

二.h(x)>h(l)=2,又e>>0

/.e">a(lnx+4+l)对x£(0,+co)恒成立

所以，时成立，

当〃时，Qx(lnx+l)<0,显然成立.

当a>0,xe!,+oo)时，

|f(x)|>ax(ln%+1)等价于xex-a>ax(lnx+1)或XQX-a<-ax(\nx+1),

ex1,、e"1

即一〉lnx+—+1或一<-lnx+——1

axax

PXie

对于一<-lnx+——1,取x=l,得—<0,与Q>0矛盾，故不成立，

axa

1「、

对于《>lnx+』+l,即1对L+8恒成立，

a*aex*J

11111

AInxHH1r-i\mi[—y—Inx—1

t(x)=-----—,xe-,+00't'()=—