山东省济宁市邹城市2024-2025学年高一年级下册4月期中质量检测数学试题（解析版）

2024〜2025学年度第二学期期中教学质量检测

高一数学试题

2025.04

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的考场、座号、姓名、班级填(涂)写在答题卡上，将条形码粘贴

在“贴条形码区”.

2.做选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；

如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂其它答案标号.

3.非选择题须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡中各题目指定的区域内相应

位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.否则，

该答题无效.

4.考生必须保持答题卡的整洁；书写力求字体工整、符号规范、笔迹清楚.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.设i是虚数单位，则2+i()

【答案】A

【解析】

【分析】利用复数的除法求解即得.

故选：A

[[―

2.已知单位向量.，b，旦a-b=6,则,+0=()

A.2B.73C.72D.1

【答案】D

【解析】

【分析】由卜―q=得＞6=—万，又卜+0=(a+z?y即可求解.

【详解】由卜一W二g有,一可二(〃-6)=a2-2a-b+b2=-2tz-/?+|/?|=l-2tz-/?+l=3,所

rr1

以a力二——，

2

所以|Q+Z?|=(a+Z?)=〃2+2a•Z?+/?2=]+2x]——j+1—1,所以|a+/?|=],

故选：D.

..兀兀/、

3.sin—cos—=()

88

A.eB.@C.交D.也

2468

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意，利用正弦的倍角公式，结合特殊角的三角函数值，即可求解.

【详解】由正弦的倍角公式，可得sin4cosC=Lsin乌=1乂也=也.

8824224

故选：B.

4.如图，在平面内，不共线向量45与C。构成的四边形ABCD中，E,尸分别是AZ),5c的中点.若

EF=AAB+juCD,则4+4=()

【答案】C

【解析】

【分析】利用平面向量基本定理和向量的运算即可求解.

【详解】由题意有

EF=AF-AE=-(AB+AC)--AD=-AB+-(AC-AD}=-AB+i-DC=-AB--CD

2、,222、>2222

所以几+〃=；-；=0.

故选：C.

5.已知函数/")=sinx,将函数7(%)的图象上各点的横坐标变为原来的9倍(纵坐标不变)，得到函数

g(龙)的图象；再把函数g(x)的图象向左平移个单位长度，得到函数

/2(力=5皿0%+9“0〉0,例＜|^的图象，则0,。的值分别为(

)

【答案】D

【解析】

【分析】由三角函数图像变换即可求解.

【详解】由题意：将函数〃尤)的图象上各点的横坐标变为原来的3倍得g(x)=Sin2%,

把函数g(%)的图象向左平移—个单位长度得h(x)=sin

.兀

所以0=2,夕=_.

6

故选：D.

6.已知圆锥SO的轴截面是三角形S4B,如图，女8是水平放置的三角形S43的直观图，若S'。'平

行于V轴，且2Ao'=05'=2,则圆锥SO的侧面积为()

A.2&B.&?兀C.2A/2TTD.Jin

【答案】B

【解析】

【分析】根据给定条件，利用斜二测画法规则求出圆锥的底面圆半径及圆锥的高，进而求出圆锥母线即可求

出侧面积.

【详解】由S'O'//y轴，得SO是圆锥SO轴截面△S45边上的高，由2A'O'=05'=2,

得OA=O'A'=1,OS=2O'S'=4,则圆锥SO的母线=^O^+OS2=后，

所以圆锥SO的侧面积为兀•OA・SA=J万兀.

故选：B

CA

7.在VABC中，角A,B,C的对边分别为。，b,c,已知2acos29——a=2bsii9r—,则VABC的形

22

状是()

A.等腰三角形或直角三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰

直角三角形

【答案】A

【解析】

【分析】由条件，利用正弦定理化边为角，再利用二倍角公式及两角和公式化简可得

cosA(sinC—sin5)=0,化简可得A=］或3=C,,再判断三角形形状.

【详解】设VABC的外接圆半径为一，则Q=2rsinA,b=2rsinB,c=2rsinC,

因为2〃cos2C-〃=2bsin24,

22

CA

所以4rsinAco2s----2rsinA=4rsinBsin2一,

22

亡…c•4(I+COSC)..c.n(1-COS

所以2smA•1---------l-smA=2smB-l----------I,

所以sinAcosC=sinB-sinBcosA,

所以sinAcosC=sin(A+C)-sinBcosA,

所以sinAcosC=sinAcosC+cosAsinC-sinBcosA,

所以cosA(sinC-sinB)=0,

所以cosA=0或sinC=sin3,

又人£(0,兀)，BG(0,71),CG(0,71),A+B+C=TI,

jr

所以A=—或3=C,

2

所以VA3C是等腰三角形或直角三角形，

故选：A.

8.某市居民小区内的重兴塔，在2013年被列为国家级重点保护单位.塔身为八角形楼阁式建筑，九层十檐，

最下层为双檐木回廊，檐下系砖雕斗拱.上八层为单檐，砖雕仰莲承托，层层紧缩，造型浑厚拙朴，气势雄

伟、如图，某校高一学生进行实践活动，选取与塔基B在同一水平面内的两个测量基点C与D在C点测

得重兴塔在北偏东75。的点8处，塔顶A的仰角为45。，在。点测得重兴塔在北偏西60。的B处，通过测量

两个测量基点C与。之间的距离约为30&米，则塔高约为（）米.

A.54B.30C.27夜D.27^/3

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意，求出各个角，再用正弦定理求解即可.

【详解】根据题意，ZBCD=15°,ZBDC=3U。，

所以ZCBD=180°—15°—30°=135°,

BCCD

在ABCD中由正弦定理可知

sinZBDCsinZCBD

-X30A/2

sin/BDCxCD

所以BC=-~不-二30,

sinZCBDJ2

2

在RtAABC中ZACB=45°,

所以AB=BC=30.

故选：B.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.在复平面内，若复数z=（42）+7〃2i（meR）,则下列说法正确的是（）

A.当加工0时，复数z的虚部为病B.当根=0时，z=z

C.当—2<m<2时，复数z对应的点在第一象限D.当m=土2时，z为纯虚数

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据题意，结合复数的概念和几何意义，逐项判定，即可求解.

【详解】对于A中，当加工0时，复数z=（4—机2）+加2j的虚部为机2,所以A正确；

对于B中，当m=0时，复数z=4,可得［=4,所以z=4,所以B正确；

对于C中，当—2＜机＜2时，可得4—根2＞o,此时复数z对应的点为（4—机2,m2）,

此时复数z对应的点在第一象限或x轴的正半轴上，所以C错误；

对于D中，当加=±2时，可得复数z=4i,此时复数z为纯虚数，所以D正确.

故选：ABD.

io.如图，设3,0y是平面内相交成角两条数轴，G和e2分别是与3轴和0y轴正方向同

向的单位向量.若向量0尸=大耳+'02，则定义有序数对（九,y）叫做向量OP的广义坐标.若A,B两点的广义

坐标分别为（玉,K）,（%，%），则下列说法正确的是（）

A.若Q4_LOB,则西々+%%=0

B.若。，A,8三点共线，贝iJxM—

C.若AP=APB，则尸点的广义坐标为f2+?,%+个］

I1+21+2）

D.若&=《，OP=el+yf3e2,则|。。|=7

【答案】BC

【解析】

【分析】对于A由Q4LOB,即0A•03=（玉弓+,62）・（尤26+%62）=0即可判断，对于B若。，A,B

三点共线，则存在实数九使得。4=双加，进行坐标运算即可，对于C设点P（x,y）,由=得

（x—七,y—K）=（"—尢r,Ay2-Ay）计算即可，对于D6+疯?2『即可计算.

【详解】对于A：OA=（x1,y；）=x^ex+yre2,OB=（x2,y2）=x2er+y2e2,

由Q4LO3得0408=0,

所以。A•03=(XG+y©),(W4+丁2g2)=无i/e；+(而%+)，・«+%%后

=xlx2+yiy2+(%%+/%)同|。21cosc(:=%/+%为+(%%+WX)coscr=0,故A错误;

对于B：若。，A,2三点共线，则存在实数％使得04=208,

尤1=4%2

即（％，M）=丸（W，%）=（4/，丸％）得，1=>%％=%2%，

[%=2%

即占为一4%=0,故B正确;

对于C：设点P（x,y）,则AP=（x_石，丁一%）,。3=（工2_苍%_?0,

由AP=APB得(1一石，丁一乂)=4(%-x,y2-y)=(lx2-Ax,2y2-Ay),

西+AX

x=2

1+2

得<得点故C正确;

X+X>2

y二

1+2

对于得

D：OP=«+A/3^2

22

|OP|=(G+百=e：+2^3^-e2+3e；=|ej+2yf3\e1|\e21cos—+3|e21

=1+2^xlxlx—+3x1=7-

2

所以|。尸|=夕，故D错误.

故选：BC.

11.VABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若片—旷=ab，则（）

冗Cl

A.b<cB.B=2CC.Be（0.-）D.-e（0,3）

3b

【答案】ACD

【解析】

【分析】由已知条件结合a+3>c>0分析判断A；利用余弦定理和正弦定理结合已知条件可得

sinC=sin2B,然后利用正弦函数的性质分析判断B；由选项可得5+。=35«0,兀）判断C；由正弦定

理结合C=23及二倍角公式得£=4cos28—1,再结合Be可求出其范围进行判断D.

3

2

【详解】对于A,由°2一02=。匕，a+b>c>0,c=b{a+b)>bc,则c>Z?,A正确;

2

对于B,由余弦定理得「a2+c2-b2a1+aba+b〃c,

laclac2c2c2b

sinC1

由正弦定理得COS_B=-----，JJPJsinC=2sin5cos5=sin23,而Cw（0,兀）,2_Bw（0,2兀），

2sin3

则C=25或。+25=兀，若C+2B=TI,则A=3，a=b,止匕时c?=优。+力=/+〃,

JTJT

于是C=K,则A=B=—,此时C=23,B错误;

24

jr

对于c,由选项B知c=23,则5+C=3B£（0,7i）,解得B£（o,?,C正确；

IT।一4f〃sinAsin（兀一B-C）sin（B+C）sinBcosC+cosBsinC

对于D,由正弦定理得一=-----=-------------=----------=----------------------

bsinBsinBsinBsinB

sinBcos2B+cosBsin2Bi2sm5cos2B_f,

=cos25+-----------=2cos2B-1+2cos2B=4cos2B-B

sinBsin5

而3e(0-)，贝UcosBed」)，(4cos25-1)e(0,3))因此@e(0,3),D正确.

32b

故选：ACD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知a=(41),b-(1,-2),若〃///?,则＞=.

【答案】-1##-0.5

2

【解析】

【分析】由条件，根据向量平行的坐标表示列方程求九即可.

【详解】因为:=(2,1),&=(1,-2),al也，

所以—22—1=0,

所以X=—,

2

故答案为：—.

2

13.函数/(x)=|cos21+sin2x的最大值_______.

【答案】V2

【解析】

【分析】利用周期函数性质，再用分段函数思想即可求最值.

【详解】由于/（%+兀）=卜os2（x+7i）|+sin2（x+7i）=|cos2x|+sin2x=/（%）,

所以/（%）是一个周期为兀的函数，

JT371

我们只需要研究一个周期，即xe,

44

,7171,7171

当％e~—时,2xe止匕时/(x)=cos2x+sin2x=42sin121+：],

4422

,C7兀1713兀、-与1，即/（尤）3=&,

由于+--—,所以sin2x+-G

444JI4；

,713兀,713兀

当次£9时?2XE

~47~4T2'T

,c兀3371兀5兀V2y/2

由于2》+片,所以sin(2x+£]e-'即/⑸皿=1,

T44

所以综上了（%）的最大值为J5.

故答案为：&

14.已知圆台甲、乙有相同的内切球（与圆台的上、下底面及侧面都相切的球叫圆台的内切球），两圆台的

高为h,圆台的母线长分别为2/i、3h,则圆台甲与乙的体积之比为.

3

【答案】-

7

【解析】

K+q=2h

【分析】设甲圆台的上底面半径为弓，下底面圆的半径为飞,得到＜

r,可得乙圆台的上底面

Ri_八二13h

&+弓=3h

半径为下底面圆的半径为氏2,得到V厂,结合圆台的体积公式，即可求解.

用-马=212h

【详解】设甲圆台的上底面半径为可，下底面圆的半径为R],可得用+彳=2丸，

又由(用一6)2=(2/2)2-A2=3/Z2,即4—q=®1

尺+q=2/z71

联立方程组《

R「「同'—//产

所以甲圆台的体积以为可=:兀（用+氏0+片）./1=（痴3,

设乙圆台的上底面半径为％,下底面圆的半径为&，可得与+々=3力，

又由（凡-马）2=（3加2-丸2=8肥，即鸟_弓=2扬,

7?2+r=3h17i

联立方程组1■厂，可得皮+1=/,«（=川，

国一马二2y12h24

135

3

所以甲圆台的体积以为匕+R2r2+r^-h=—nh,

K3

所以甲乙圆台的体积比为才=5.

3

故答案为：一.

7

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知向量Q,匕是同一平面内的两个向量，其中〃=（2,4）.

（1）若欠=百，且Q+B与B垂直，求a与人的夹角夕；

一/、一一（48、

（2）若人=（1,1）,且〃+在〃上的投影向量的坐标为1”，求实数加

【答案】（1）。二生；

3

（2）A=-2

【解析】

【分析】（1）由向量a+人与办垂直可得+=0，由此可求a.。，结合向量夹角公式可求结论,

（2）由条件求（a+Xb>a,结合投影向量坐标表示公式列方程求人

【小问1详解】

因为a+b与b垂直，

/Ifxr

所以=故〃.6+匕=0,又小B

所以4•/?=—5，

由〃=（2,4）,可得［a〔=在4+16=2-\/5,

所以c°E试-51

275x75-2,

又夕£（0,兀）,

所以。二」2兀，

3

【小问2详解】

因为a=(2,4),Z?=(l,l),

所以(a+2Z?).a=a+=20+62,

48

因为a+Xb在£上的投影向量的坐标为二'二

a+儿少a_

所以HH4

10+3220+62

所以

55Uh

所以10+32=4,

所以2=—2.

16.已知复数4=a+历(a,beR)为虚数.

4

(1)若Z2=z+一是实数，求复数Z1的模；

ZJ

(2)若@=Z]-1,。是关于x的方程%2一3%+3=0的一个根，求为.

【答案】(1)2(2)

z12

【解析】

4

【分析】(1)Z2=Z]+一是实数得/+/=4,即可求复数4模；

zi

(2)由。是方程12一3%+3=0的一个根得z；-54+7=0,利用求根公式即可求解.

小问1详解】

由复数4=。+历(a,beR)为虚数，则

4_,.4,.4(。一历)(4a>f,4b

又因为z2=Z]H——a+Z?iH----7=a+Z?i+-----­；----=QH-----—+Z?—z---T

Z]a+bi(Q+Z?i)(a-bi)(a+b2)(a+b2

44bI--------

因为Z2=Zi+一是实数，所以6——-—7=0,即"+62=4,所以|zJ=J/+/=2；

4a2+b-111

【小问2详解】

由。是方程3x+3=0的一个根，所以02—30+3=0n(Z]—1)2—3(4—1)+3=0,即

z；-5Z]+7=0,由A=25—4x7=—3,

所以马=壮生.

12

17已知c°s臣“=-|，sin'+"=j|,其中亳，即1°，"

(1)求sin(e-Q)；

tana

(2)求

tan0

【答案】（1）—

65

⑵17

【解析】

【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系求出sin［；+a）、cos［；+/?）的值，再利用两角差的正弦公

式可求得sin（a—/）的值;

（2）求出tan|］+a］、tan［1+/?］的值，利用两角差的正切公式求出tan。、tan4的值，代入可得

tana

的值.

tan0

【小问1详解】

(71371]兀)皿兀兀兀兀c兀

因为aw,〃£(),：,则一<—Fa<7i,—<—I-/?<一

U4J14)24442

371Q12

因为cossinI—+

513

7171

所以，sin(。/?)=sinZ+0=sin。COS-cos(sin：+尸

U4

45/3、1256

51315)13-65

【小问2详解】

71

sin---FtZ

71444

因为tan[1+a=­x

cosF53

u

sinI—71+pQ

兀c121312

tanI—+^二——X——二——

cos(：+〃1355

71兀4

tan—Fa—tan一--1

71n44

所以tana=tan—+a3—=7,

U41兀兀71

I+tan—+atan—xl

44

7T

tan(£+P-tan—乜.1

C(兀c7145_7

tanp=tan1/+尸

41兀c兀71

I+tan—FBtan一

Ur45

tanar17…

因此=7x——=17

tan[37

18.VABC的内角A、B、C的对边分别为〃、b、已知b=2，y/3ccosA+csinA—y/3b=0.

(1)求C；

3

(2)若VA5C的面积为一，角。的角平分线为CD,求CD的长；

2

(3)若VA5C为锐角三角形，E为边AC的中点，求现的取值范围.

JT

【答案】(1)c=-

3;

(2)6(2-73)

(3)(1,^3)

【解析】

【分析】（1）由条件，利用正弦定理化边为角化简可得sinC-百cosC=0,解方程求C；

（2）由条件结合三角形面积公式可求。，再由关系+结合三角形面积公式列方程求

CD；

（3）在VA3C中利用正弦定理结合条件求。的范围，在BCE中结合余弦定理求BE?的范围，再求结论.

【小问1详解】

设VA3C的外接圆半径为广，

由正弦定理可得a=2rsinA,b=2rsinBc=2rsinC,

因为石ccosA+csinA-V§/?=0，

所以zGrsinCcosA+2rsinCsinA-2GrsinB=0，

又sinJB=sin（兀一A-C）=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC,

所以CsinCcosA+sinCsinA-sinAcosC-A/3COSAsinC=0，

所以sinCsinA-A/^sinAcosC=0，又人£（。,兀），故sinAwO,

所以sinC—gcosC=0，因为。£（0,兀），故sinCwO,

所以cosCw0,故tanC=6，

所以C=2；

3

【小问2详解】

31

因为VABC的面积为不，又丫45。的面积54钻©=5。泱也4。3,b=2,

71i—

由（1）ZACB--,所以〃二百，

3

7T

因为CD为角/ACB的角平分线，故NACO=/BCD:一，

6

又S二S+S=-b-CDsinZACD+—a-CDsinZ.BCD,

/1DVBCn,

所以2=CD，即（2+g）CD=6,

224v7

所以CD==6（2-6）；

所以C£＞的长为6（2—G）；

A

在NABC中由正弦定理可得------=----------,

sinZAsinNABC

TT

由（1）ZC=-,又b=2,A=TI-ZC-ZABC,

3

所以2SinCABC+3JsinZABC+73cosZABC.g

sin/ABCsinZABCtanZABC

jrjr

因为VABC为锐角三角形，所以。<NABCv—,—<NABC+NC<TI,

22

所以£<NABC<£,故tan/ABC〉走，

623

所以1<。<4,

在.BCE中由余弦定理可得BE?=CE?+eg?_2•CE•CficosNC，

]]71

又CE=—CA=—b=\,CB=a,ZC=-,

223

所以BE?=1+a?-a=[a-工]+—,

I2j4

所以1<鹿2<13,

19.南北朝时期的伟大科学家祖瞄在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖晒原理：“事势既同，则

积不容异”.如图1，其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面

所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.祖晒原理可以求解球缺的体积问

题.如图2,用平面e去截半径为7?的球0,截面为圆O',延长0'0,交球。于点N,则垂直于圆O'

垂直于圆O'内的所有直线).平面a将球体分为两个球缺.如图3,各棱长均为4的正三棱锥A-BCD

中，点X是的△BCD的中心，AH是正三棱锥的高(AH垂直于底面BCD任意一条直线).

(1)求正三棱锥A—BCD的体积；

(2)已知动点尸在空间内运动，且记点尸围成的空间几何体为Q

(i)求平面3co截空间几何体。所得截面面积；

(ii)若平面BCD把空间几何体。分成两个部分，求较小部分的体积.

【答案】(1)蛆叵

3

4兀(208-56而)兀

(2)(i)——；(ii)

327

【解析】

【分析】(1)先求出正三棱锥底面三角形的面积，再结合正三棱锥的高，利用三棱锥体积公式求解.

(2)(i)由可知点尸的轨迹是以AB为直径的球，进而求出平面BCD截该球所得截面圆的半径,

从而得到截面面积.

(ii)利用祖胞原理，推导球缺体积公式，将所求较小部分体积转化为可求的几何体体积进行计算.

【小问1详解】

2

已知正三棱锥各棱长均为4，△BCD是正三角形.可得SRrn=^X4=4