山东省临沂市郯城县某校2024-2025学年高三年级下册三月月考数学试题（含答案解析）

山东省临沂市郑城县高考补习学校2024-2025学年高三下学期

三月月考数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.命题“土€11,2,2尤”的否定是（）

A.VXGR,2X<XB.VxGR,2%>x

C.GR,2X<xD.R,2X<x

2.设i为虚数单位，复数z的共辗复数为彳，若F=|^,则z在复平面内对应的点位于

第（）象限

A.一B.-C.三D.四

3.已知cos（tz-^1J=g,贝i]cos（2a+V）=（）

A.--B.-C.-D.--

9999

一1r/一\

4.已知平面向量璃b是两个单位向量，裁在5上的投影向量为5〃，则。（万+/?）=（）

3_

A.1B.-C.72D.73

5.己知抛物线C：J=2px（p>0）的焦点为尸，准线为/,点P。,%）在C上，过尸作/的垂

线，垂足为。.若NEPQ=60。，则尸到y轴的距离为（）

124

A.B.—C.—D.2

333

6.已知｛%｝是递增的等比数列，若。3-2%+q=l,则当知取得最小值时，%=（）

16

A.—

25

B.1

C.4

D.16

7.如图是一块高尔顿板示意图：在一木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木

钉，小木钉之间留着适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在

下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或右落下，最后落入底部的格子中，格子从

左到右分别编号为1、2、3、4、5,用X表示小球落入格子的号码,则下列不正确的是（）

B.P（X=k）WP（X=3）（々=1,2,3,4,5）

C.E（X）=2D.D（X）=1

8.函数/（尤）=」不，因其图像类似于汉字“冏”，故被称为“冏函数”，下列5个结论:

|x|-l

①函数y=/（x）的定义域为｛x|x/l,xeR｝；

2024

®/（/（2025））=-^;

③函数y=/（x）的图像关于直线x=i对称；

④当xe时，函数y=/（尤）的最大值为一1；

⑤方程/（X）--+4=0有四个不同的实根；

其中正确结论的个数为（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

二、多选题

P（B）=J,则下列选项正确的是（）

9.已知随机事件A、B满足：P（A）=-,

6

A.若尸（A8）=，则A与8相互独立B.若A与8相互独立，则P（而）=|

C.若A与8互斥，则尸（初）=：D.若P（司尸（B国=》则尸（HA）=g

10.已知函数/（%）=sin2GXcoscp+cos2G尤sincp（。＞0,o<H<^）的部分图象如图所示，则

下列说法正确的是（）

试卷第2页，共6页

-1-----------

TT

A.7（%）的最小正周期为兀B.（p=-y

6

c.是函数/（X）的一个对称中心D./（X）在区间的最小值为

（12）L2」2

11.如图，在四棱锥S-ABCD中，底面A3C。是正方形，SA_L平面ABC。，SA^AB,0、

尸分别是AC、SC的中点，河是棱SO上的动点，则下列说法中正确的是（）

A.OMLAP

B.存在点使。M//平面SBC

C.存在点使直线与A3所成的角为30,

D.点M到平面ABC。与平面&4B的距离和为定值

12.2025春节档国产影片《哪吒之魔童闹海》接连破全球票房记录，影片中哪吒与敖丙是

不可分割的二人组，其中敖丙的武器“盘龙冰锤”相撞后形成了如图所示的曲线，可以用来表

示数学上特殊的曲线.如图所示的曲线c过坐标原点0,C上的点到两定点

耳（-加）），F2（4,0）3>0）的距离之积为定值.当a=3时,C上第一象限内的点P满足△尸耳尸2的

面积为，则附『一|帆『=.

4

13.在VABC中，内角A,8,C所对的边长分别为a",c,已知asinA+sinB=sinC,tanC=],

则VABC的内切圆半径厂的最大值为.

14.项数为，"的数列｛风｝满足。产｛0，1｝(，=1，2,…，m),当且仅当％=即时4=0(其中

i=l,2,…，根-1,规定：a0=am,am+i=ax),称｛%｝为“好数列”.在项数为6且

4€｛0,1｝«=1,2”..,6)的所有｛%｝中，随机选取一个数列，该数列是“好数列”的概率

为________

四、解答题

15.如图，在四面体A3C。中，AB=BD=2,NADC=N3DC=9O。，点E为棱AD的中点,

点尸为棱AC上的动点.

(1)求证：平面ACDJL平面BEF；

(2)已知二面角A-DC-3的大小为30。，当直线BF与平面ACD所成角的正弦值的最大值为

口区时，求此时四面体ABEF的体积.

7

16.2025年1月1日，某地举行马拉松比赛，某服务部门为提升服务质量，随机采访了120

名参赛人员，得到下表：

满意度性别合计

试卷第4页，共6页

女性男性

比较满意r50

非常满意t4070

合计601120

⑴求尸的值；

l-t

(2)依据小概率值a=0.1的独立性检验，能否认为不同性别的参赛人员对该部门服务质量的

评价有差异？

(3)用频率估计概率，现随机采访1名女性参赛人员与1名男性参赛人员，设X表示这2人

中对该部门服务质量非常满意的人数，求X的分布列和数学期望.

n(ad-be)2

附：Z2-------------------------—，n=a+br+c+af.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.10.010.001

Xa2.7066.63510.828

17.在VABC中，角A,B,。所对的边分别为mb,c.

⑴求证：2cossin=sinA；

(2)若2(c-a)cos尸2Asin~~~~=csinC-bsinB.

(i)求5；

(ii)若b=5,且VA5C的面积为46，求VA5C的周长.

is.已知椭圆。：［+方■=1(〃〉。〉。)过点，^,一血，离心率为。.

⑴求椭圆。的方程.

(2)过点。(2,0)的直线/(与九轴不重合)交椭圆。于M,N两点.

(i)若|MN|=警，求/的方程；

(ii)已知A8分别是C的左、右顶点，直线AM,BN分别交直线尤=4于。，E两点,证

明：AAQ。与△BQE的面积之比为定值.

19.已知函数/（力=/+依的图象与x轴的三个交点为A,O,B（。为坐标原点）.

⑴讨论“X）的单调性；

⑵若函数g（x）=/（x）-2比三有三个零点，求a的取值范围；

⑶若aH-l,点尸在y=〃x）的图象上,且异于A,0,8,点0满足两•万=0,PBQB=0,

求|。。|的最小值.

试卷第6页，共6页

《山东省临沂市郑城县高考补习学校2024-2025学年高三下学期三月月考数学试题》参考

答案

题号12345678910

答案AACBADCBACDACD

题号11

答案ABD

1.A

【分析】由存在量词命题的否定为全程量词命题判断即可.

【详解】由存在量词命题的否定的定义知：命题“*的否定是VxeR,2，<x,

故选：A.

2.A

【分析】由复数的运算性质化简得［=1一2i，则z=l+2i,即答案可求.

【详解】由题意得彳=皆？=+=1一2i,

所以z=1+2i,则z在复平面内对应的点位于第一象限，

故选：A.

3.C

【分析】由条件根据二倍角余弦公式可求cos12c-e),再结合诱导公式求cos(2a+g).

兀

【详解】因为cos("A)=§1,

所以cos(2a+,)=cos?i+2(a-展)=-cos2(tz-^1)=l-2cos2(a-^1)=^

故选：C.

4.B

【分析】根据投影向量定义，结合题意求出2%的值，再利用平面向量的运算律求数量积.

a.b-1-ci,b1

【详解】由题意，a在B上的投影向量为^6=5%，则W=5，

因为扇方是单位向量，即卜卜W=1,所以7B=g，W"=i,

则无(a+人)=|。1+6Z'Z>=l+^=~.

故选：B.

5.A

答案第1页，共15页

【分析】根据抛物线的定义，结合条件表示出|MF|=P，|。刊=1+日，然后利用勾股定理列

出方程即可求得结果.

【详解】如图，不妨设点尸在X轴上方，准线/与X轴交于点M,

因为点P(l,%)在抛物线上，所以|尸。|=巾=1+勺％=|刎=而,

又/尸PQ=60。，MPQ尸为正三角形，刊=|P刊=1+日，

又|MF|=p,在RtVQM「中，|Q歼=|加「+附歼，即

解得P=；或-2(舍去)，所以歹到y轴的距离为

,J乙D

故选：A.

【分析】由己知得G(q—iy=l,有4>0,q>l,及q=则如取得最小值等价于

5C

函数/伍)=\取得最小值，利用导数法得q=g时，知取得最小值，即可求解.

q-l4

【详解】设｛%｝的公比为q,由%-22+%=1得，“(q-l);：1,故q>。，

又因为｛%｝是递增的数列，所以4>1,

105

因为4=4/。=六至，所以如取得最小值等价于函数/(g)=—取得最小值,

令/'(q)>0得令/'(q)<0得

答案第2页，共15页

所以/伍）=匕在［i，：）上单调递减，在',+，）上单调递增,

54

故当.时,知取得最小值,此时

故选：D

7.C

【详解】设y=x-i,则丫~8，1］,再根据二项分布的概率公式及期望方差公式逐一分

析即可.

【分析】设y=x—i,依题意，

对于A选项，P（X=2）=P（y=l）=C；［gj=；,A对；

对于B选项，p（X=k）=P（y=Z:-l）=C;［；）（左=1,2,3,4,5）,

则P（X=l）=J，P（X=2）T，P（X=3）4p（X=4）=3（X=5）q,

IOO41O

所以尸（X=左）《尸。=3乂％=1,2,3,4,5）,B对;

对于C选项，E（X）=JE（y）+l=4x|+l=3,C错;

对于选项，（）（）［

DDX=Dr=4x1j=1D对.

故选：C.

8.B

【分析】根据分式分母不为零可求得了（x）定义域判断①；利用解析式可求得了（/（2025））判

断②；通过”2），“0）判断③；分别在x«T0］和xe［0,l）的情况下得到/（x）1mx,判断④;

利用数形结合判断⑤.

【详解】对于①，由|X|THO得：x^±l,\/（x）的定义域为{目尤*±1},①错误；

对于②，•••"2025）二焉，二〃八2025））=（就『二1二=一母，②正确；

2024

答案第3页，共15页

11

对于③，v/（2）=—=11/（O）=—=-1,"⑵*”。）,

Z—1U—1

\/（X）不关于直线X=1对称，③错误；

对于④，当x«TO]时，〃尤）=-71=-占，止匕时〃x）w〃o）=-l;

当xe[O」）时，〃尤）=工,此时〃尤）W〃O）=T；

综上所述:当时,外"1rax=T,④正确；

对于⑤，在平面直角坐标系中，作出/'（X）与y=f-4的大致图象,

由图象可知与尸寸-4有四个不同交点,

二方程/（x）-/+4=0有四个不同的根，⑤正确.

所以正确的个数为3.

故选：B.

9.ACD

【分析】由独立事件的乘法公式可得A正确，B错误；由互斥事件的加法公式可得C正确;

由全概率公式可得D正确.

171

【详解】对于A,P（AB）=-=P（A）P（B）=-x-,故A与8相互独立，即A正确；

936

对于B,若A与B相互独立，则可与万也相互独立，

则尸（布）=1-尸（A0=1-尸网尸⑻=l-gx：=|,故B错误；

对于C,若A与3互斥，则P（AB）=0,

P（B）=P（AB）+P（AB）=P（AB）=1,故C正确；

对于D,由全概率公式可得P（B）=P（A）P（B\A）+P（A）P（B|A）,

答案第4页，共15页

iio1

所以二=77+彳尸(曲A)nP(HA)=",故D正确;

61238

故选：ACD.

10.ACD

【分析】先由图象结合五点法确定函数解析式，再由周期公式可得A正确；由解析可得B

错误；由正弦函数的对称中心可得C正确；由正弦函数的单调性可得D正确;

【详解】由题意得/'(x)=sin(20x+0),由图象可得/(0)=；=sin夕=g,

又0＜夕＜一所以夕由五点法可得0xf+3=¥n0=l,

26362

所以/(x)=sin12x+1J.

2兀

A：由以上解析可得°=1,7=万=兀'故A正确;

TT

B：由以上解析可得。=$,故B错误；

6

C：/(x)=sin12x+，的对称中心的横坐标为2x+《=fat«eZ,则对称中心为

[4+筝。卜eZ,令左=1,则C正确；

7Tc兀兀771r.(小7兀1、14,所以最小值为-1，故D正

D：当xw0,-——2xH—G-,—日寸.sin2xH—G—,1

666I62

确.

故选：ACD.

11.ABD

【详解】建立空间直角坐标系，利用向量法对选项进行分析，从而确定正确答案.

【分析】因为SA,平面ABC。，四边形ABC。为正方形，

以点A为坐标原点，AB.AD.AS所在直线分别为元、＞、z轴建立如下图所示的空间直

答案第5页，共15页

^AB=AD=AS=2,则S(0,0,2)、C(2,2,0)、P(1J1)、0(1,1,0),

设M(o,t,2-r),OM=(-l,t-i,2-t),其中0V/W2,

所以西J_I?=-l+r-l+2-=0，所以OM_LAP,A选项正确.

点M到平面ABC。与平面SAB的距离和为27+/=2为定值，D选项正确.

5(2,0,0),SB=(2,0,-2),前=(0,2,0),

/、fi-SB=2x-2z=0

设平面SBC的法向量为万=(x,y,z),则｛_.,

n-BC=2y=0

取x=1,可得平面SBC的一个法向量为«=(1,0,1),

要使OMU平面SBC,QW0平面SBC,

则OM-n=(―1,/—1,2—r),(1,0,1)=—1+2—t=l~t=0,

解得/=1,所以存在点M,使37〃平面SBC,B选项正确;

若直线OM与直线A3所成角为30。,

21_百

则cos30。='

yj2t2-6t+62

整理可得3〃-%+7=0,A=81-4x3x7=-3<0,方程3d-%+7=0无解，所以C选项错

误.

故选：ABD.

12.18代

【分析】由题意，得到曲线C的方程，利用三角形面积公式求出/£尸&=90。，此时点P是

曲线C：(1+/)2=18卜2-丁)与以月入为直径的圆/+y=9在第一象限内的交点，联立

求出点。的横坐标，再代入求解即可.

【详解】因为原点。在C上，

2

所以C上的点到耳，F2的距离之积为|.|OF^=a,

设(%,y)为C上任意一点，

止匕时a2=J(x-a)2+J.^(x+a)2+y2，

整理得，+9)2=2〃(/-力，

答案第6页，共15页

in

因为AP/M的面积S=5忸用|尸用sin/GPK=1|尸用.|P司=/=9,

所以/£尸g=90。，

所以点P是曲线C：（炉+丁）2=18卜2一丁）与以耳耳为直径的圆Y+y2=9在第一象限内的

交点,

(x2+j2)2=18优-

联立力

x2+y2=9

解得与=孚,

所以|p居12Tpg『=(冷+3)2+城一(冷—3)2—/=12琴=18M

故答案为：186.

【分析】根据题设利用正弦定理、余弦定理得到6=登二至及S"BC=叁油，再根据

10〃+65

3

S.BC=；（。+6+C）厂得到r=云'，化简变形并运用基本不等式即可求得其最大值.

【详解】已知asinA+sin5=sinC,由正弦定理可得"十人二。,

443

又tanC=§,可求得sinC=—,cosC=—

2

利用余弦定理，可得。之=（〃2+。）2=〃2+^-2abcosC,

5a-5a3

所以小=

10。+6

又三角形面积=-absinC=-ab,

25

X5=|(<7+Z?+c)ri2

AASC所以万（々+力+c）r=

.5Q-5/

4ab4ab=10。+6=a-a3=硝-。)

故厂5(a+b+c)5…+2b)5,+/+2「-5叫46+1)4

[10a+6

（"T，"）21

v（2）_1，当且仅当，=：时等号成立,

416

所以YABC的内切圆半径r的最大值为

16

答案第7页，共15页

故答案为：—■

16

14.—/0.0625

16

【分析】根据分布乘法求出所有｛%｝的个数，由0出现的次数讨论数列是“好数列”的个数,

利用概率公式计算即可.

【详解】由题意，因为项数为6且470,1｝(，=1,2,…,6),

所以每一项为都有两种选择，根据分布乘法计数原理，

可构成的数列｛%｝个数为26=64个，

由题意，若｛%｝为“好数列”，则意味着若4=。，其前一项与后一项相等，

①则若｛%｝中没有0,则数列为｛LLLL1」｝,不符合题意，

②若｛%｝中有1个0,不论0在那个位置，都会出现3个1相邻，不符合题意，

③若｛%｝中有2个0,则｛0,1」,0」」｝｛L0,1,1,0』｝,｛1,1,0,1,1,0｝,符合“好数列”定义；

④若｛%｝中有3个及以上0,若。相邻，根据定义，数列只能为｛0,0,0,0,0,0｝,

若0不相邻，只能1和0间隔出现，会出现两个0中间出现1,不符合题意，

综上，符合题意的“好数列”只有4个，

所以数列是“好数列”的概率为三4=白1.

6416

故答案为：

16

【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解“好数列”的定义，根据题意能列出符合条件的数列.

15.(1)证明见解析

(2)T

【分析】(1)根据给定条件，利用线面垂直的判定、性质，面面垂直的判定推理得证.

(2)由(1)可得乙M®=30。，再结合已知确定点厂位置，进而求出四面体ABEF的相关

元素并求出体积.

【详解】(1)由ZAZ)C=90o,ZB£>C=90。，得。C_LAO,DC_L，

又40口题>=。,40,^^平面凡8£),则OC_L平面ABD,

而BEu平面A3O,于是OC_LBE,由E为AD中点，AB=BD,得BELAD,

答案第8页，共15页

又40「8=。40,。)<=平面4。£>,因此面ACD,又3Eu平面BEF,

所以平面ADC1平面BEF.

(2)由(1)知，二面角A—CD—B的平面角为NAD3,则/AD3=30。，

由m_L平面ACD,得NBFE为所与平面AC。所成的角，

BE]

在RtABED中，BD=2,则。E=后,BE=1,sin/BFE=——=——,

BFBF

而(sinZBPE/ax=迫，则3%.=立，此时3尸1AC,

、/iiidA7Him2

由平面ACD,ACu平面ACD,得3E_LAC,而BEcBF=B,BE,BFu平面BEF,

则AC_L平面BEF,又EFu平面BEF,于是EF_LAC,

在Rt&A£/中，EF=1BF2-BE2=叵,AF=dAB?-BF。=),贝U.EE=±8,

2228

所以四面体ABEF的体积/AEFU^SAEF.BE=LX典xl=@.

D—Ac,r34A匕F388

16.(1)|

(2)依据小概率值a=0.1的独立性检验，能认为不同性别的参赛人员对该部门服务质量的评

价有差异.

(3)分布列见解析，期望为:

0

【分析】(1)根据二联表即可求解厂=30,s=201=30,/=60得解，

(2)计算卡方，即可与临界值比较作答，

(3)根据相互独立乘法事件的概率公式求解概率，即可得分布列和期望.

(2)零假设%:依据小概率值蟆=0.1的独立性检验，认为不同性别的参赛人员对该部门服

答案第9页，共15页

务质量的评价没有差异,

^2_120x(30x40-30x20)"_24>27。6

50x70x60x607

故依据小概率值的独立性检验，能认为不同性别的参赛人员对该部门服务质量的评

价有差异.

(3)由于女性对服务满意的概率为3三0=：1,男性对服务满意的概率为4《0二2彳,

602603

故X=0,1,2,

尸”=。)=1-；卜m，p(x=i)=(iTq+W=；,

P(X=2)=gx|=g,

故X的分布列为

X012

j_j_J_

P

6~23

1117

故E(X)=0x—+lx-+2x_=_.

6236

17.(1)证明见解析

(2)(i)B=y；(ii)5+A/73

【分析】(1)根据三角形内角和定理，结合二倍角的正弦公式，即可证明.

(2)(i)结合(1)中的结论，结合正弦定理可得片+^—廿二双，再用余弦定理可求角反

(ii)利用三角形的面积公式，可得收=16,再结合余弦定理，可求a+c,进而可求VABC

的周长.

【详解】(1)因为3+。=兀一4,所以sin^^=sin^——=cos—.

222

又因为cos^——=sin—,所以原式左边=2sin4・cosa=sinA=右边，得证.

2222

(2)(i)由(1)可得(c-a)sinA=csinC—bsinB.

又由正弦定理得(。一。)。=。2一/?2,即〃2+°2_。2=ac

由余弦定理得cosB=/+/*=1

2ac2

■jr

因为0<3<兀，得3=1.

答案第10页，共15页

(ii)由题知弟布=4百，由=g〃csin3,得ac=16.

222

又由余弦定理Z?2=〃+°2—2QCCOS5，可得〃=a+c-ac=(a-^-c)-3ac,

即25=(a+c)-—48,所以a+c=y/13.

所以a+6+c=5+",故VA3C的周长为5+历.

r22

18.(1)—+^v=1

94

⑵(i)x=2；(ii)见解析

【分析】(1)将点的坐标代入，结合椭圆方程中a,4c的关系求解即可；

(2)联立直线和椭圆方程，写出韦达定理，利用弦长公式即可求解(i)；利用A8两点的

坐标，写出。，E两点的坐标，然后利用三角形面积公式表示出面积比，然后结合％+%和

%%求解即可.

229

【详解】(1)椭圆C:卞+齐=l(a>6>0)过点，-C,故y.i

7/+F一1

9

22_

一+庐-1

（2=3,

c与解方程组'工=¥，得:

且离心率£b=2,

a3

c=\[5

a2=b2+c2

22

故椭圆方程为：土+工1.

94

(2)(i)过点。(2,0)的直线/(与x轴不重合)，故设直线/：x="少+2,

“1,整理得：（9+4机2）9+16的;—20=0,

设m(%,乂),"(%2，%)，联立\-91-4

x=my+2

16m

%+%=一直而

故<

20

故\MN\=J1+疗X+

16mj।8080

即(1+冽2)X2=§，解得根=0,

9+4m2।9+4m

答案第11页，共15页

故/的方程为：x=2.

(ii)A8分别是C的左、右顶点，故4(-3,0),3(3,0),

故直线A"的方程为：y=U。(x+3),

当x=4时，y=-^,

占+3I%+3j

/、

同理可得：直线8M的方程为：y==J(x-3),E4,“^

尤2-3IX2-3J

且Q（2,0）,故。0=5,怛0=1,

7%

q

a^AQD玉+3%(々-3)町%一%

故=35x=35x=35x

q为)%(叫)

。△BQE%(3+3+5畋i%+5%

16m

…=-，故根%%=；(%+%)，

因为■

20

%必=一，97+74i―m2-

55

qy,+y2yi

所以44~

2^=35X=7,

S^BQE55—

?+12+5%

故AAQO与/XBQE的面积之比为定值7.

答案第12页，共15页

【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：

(1)设直线方程，设交点坐标；

(2)联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于(或)的一元二次方程，注意根的判别式的判

断；

(3)列出韦达定理；

(4)将所求问题或题中的关系转化为与韦达定理相关的形式；

(5)代入韦达定理求解.

19.(1)答案见解析；

⑵

(3)五.

【分析】(1)根据根的个数可得。<0,再应用导数研究函数的单调性即可；

(2)令g(x)=x3+6-21n£,求出函数的定义域，并证明g(x)为奇函数，由零点的个

数及奇函数的对称性，将问题化为g⑺在(0,1)上有且仅有一个零点，讨论“+4"、”+4<0

研究g(x)在(0,1)上零点的个数，即可得参数范围；

答案第13页，共15页

(3)设A(石,O),B(%2，°)，且玉=-々=-U^，P(租，〃)，Q(%，y)，应用向量数量积的坐标表示

求得了=-加,〉=工，进而有|OQ|=/+工，最后应用基本不等式求最小值.

mVm

【详解】(1)由己知得，/(x)=0有三个根，令尤3+砂=0,得x=0或炉+〃=0,

所以％2+〃=0有两个不同的解，所以avO,又/'(元)=3%2+〃,

令尸(x)>0,得