山东省青岛市、淄博市2024-2025学年高三年级下册第二次适应性检测数学试题

山东省青岛市、淄博市2024-2025学年高三下学期第二次适应

性检测数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合。={1,2,3,4,5,6},A={2,3,5},B={1,2,6},贝（）

A.{1}B.{1,2}C.{1,6}D.{2,6}

2.命题“Vx>y,的否定为（）

22

A.V无>y,.\/x<y,x<y

2222

C.3%<y,x<yD.3.r>y,x<y

3.某市开展“全民阅读”实施效果的调查研究，按区域划分为核心区、开发区、远郊区，各

区的人口比例为2:3:4.现采用分层抽样的方法从各区中抽取人员进行调研.已知从开发区

抽取的人数为300,则从核心区抽取的人数为（）

A.90B.120C.180D.200

4.记等比数列{4}的前〃项和为%已知出+%=6,%%=8,则S4=（）

A.15B.14C.13D.12

5.设函数〃x）=sin（2x-：］,则下面结论中正确的是（）

A.〃x）的周期为2兀B.y=/（x）的图像关于点（兀,。）对称

C.的一个极值点是mD.“X）在区间单调递减

V6V12127

6.已知一个圆锥的侧面展开图是个半圆，其母线长为2月，被平行于其底面的平面所截，

截去一个底面半径为正的圆锥，则所得圆台的体积为（）

3

13兀-13兀-26兀137371

A.—B.—C.——

9399

7.直线/：>=履+2与圆O：/+y2=4交于两点，OA，OB=-2,则左为（）

A.百B.±^3C.—D.±1

8.对于非空集合M,定义函数°M（x）=[y'A=">,

[L%£M,I6J2

B=｛x\a<x｛la,^d\,若存在/eR,使得%（而）+%（%）=2,则a的取值范围是（）

二、多选题

9.若随机变量X服从正态分布N（0,2?）,随机变量y服从正态分布N（2,32）,则（）

A.E（2X+1）=1B.D（2F+1）=12

C.P（X<-2）+P（X<2）=lD.P（|X|<2）>P（|y|<2）

2",〃为奇数,

10.记S”为数列｛4,｝的前，项和，已知a"=<,,则

4+1,"为偶数,

2

A.2025是数列｛4｝中的项

B.数歹!]｛%“_｝是公比为2的等比数列

C.<6=51

D.若4=/“，则数列」一的前〃项和小于;

CC.2

A.曲线y=关于x=（对称

B.“X）的最小值为一，

C.方程/（x）=sin4也在[0』上有4个根

f（x）<—L—

D.存在〃eN*,使得'）（1丫

x—+n

试卷第2页，共4页

12.若(l+2i)z=4+3i,则乙.

22

13.若抛物线。：丫2=204)>0)的焦点与双曲线卬：鼻母=1伍>0/>0)的右焦点厂重合,

C的准线交W于A8两点，为等边三角形，则W的离心率为.

14.已知三棱锥。一ABC的体积为九5,OA±BC,Q4=4,BC=2,△Q4B与AOAC的

3

周长均为10,则tan/OR4=.

四、解答题

15.记VABC的内角A,3,C的对边分别为a,b,c,若加=(6-a,c),n^(a+c,b+a),mlln.

⑴求B；

(2)若匕=24，求AC边上的高的最大值.

16.如图，在三棱锥。-A5C中，AC=AB=BD=2,AB_LBD,ABJ.AC,E,M,N分别

为AB,AD,3c的中点.

(1)证明：平面平面ABC；

Q)若CD=2下,求直线与平面AC。所成的角.

22

17.设椭圆C:与+与=1(。>6>0)的左、右焦点分别为耳匕焦距为2#，点4(2,1)在C

a~b~

上.

(1)求C的方程；

(2)设/为/64工的角平分线所在的直线，C上是否存在关于直线/对称的相异两点？若存在,

请找出；若不存在，请说明理由.

18.盒子中装有N(NeN*,NN3)个小球，除颜色外，小球的大小、质地完全相同，每次从

中无放回地随机取出1个球.

(1)若盒中有2个白球，其余为黑球，2次取球后，求取出的2个球不同色的概率；

⑵若盒中白球数为随机变量X,E(X)=M,证明：第1次取出白球的概率为三；

⑶若盒中白球数为〃7(〃7CN*,"Z<N),每次取球后，将1个白球放回盒中，保持盒中球的总

数不变，求第〃次取出白球的概率.

参考公式：若x,y是离散型随机变量，有E(x+y)=E(x)+E(y).

19.函数y=〃同和>=8(耳有相同的定义域，导函数分别为了'⑺，g'(x),若在定义域

内均有f(x)<g'(x),则称y="X)是y=g(x)的“DT一函数”.

⑴判断/=-丁-彳是否为y=cosx的“£>7一函数，，，并证明；

⑵设y="%)和丫=人(无)为定义在R上的函数，已知〃一x)=/(x),g(x)=/i(x)+，(T),

f(x)是g(x)的“£>T一函数”,证明：g(x)-/(x)=c(c为常数)；

(3)若一1<<7<0,/(x)=xlnx—(a+2)x,g(x)=e*+"(x-2),尤>0,证明：/(%)是g(x)的

“OT一函数”.

试卷第4页，共4页

《山东省青岛市、淄博市2024-2025学年高三下学期第二次适应性检测数学试题》参考答

案

题号12345678910

答案CDDACCBBACDACD

题号11

答案ABD

1.C

【分析】根据补集的运算，求得a4={1,4,6},再由集合交集的概念与运算，即可求解.

【详解】由集合U={1,2,3,4,5,6},A={2,3,5},B={1,2,6},

可得a4={1,4,6},所以（取1）C3={1,6}.

故选：C.

2.D

【分析】根据全称命题的否定即可得到答案.

【详解】命题“Vx>y,/>/,,的否定为“玉>九龙々产,

故选：D.

3.D

【分析】设从核心区抽取的人数为〃人，根据题意，列出方程等=；,即可求解.

【详解】设从核心区抽取的人数为〃人，

因为各区的人口比例为2:3:4,且从开发区抽取的人数为300,

可得当=；，解得,=200,即从核心区抽取的人数为200人.

故选：D.

4.A

【分析】根据等比数列下标和性质可得电/=8,结合题意可得。2,%,进而可得%,%，即

可得解.

【详解】因为数列{4}为等比数列，则4%=々4=8,

a?+a?=6%=2。2=4

可得,解得4或

a2a3-8“3=4a3=2

答案第1页，共15页

若广[dr.-2则公比g=C」IQ=_2,

[a3=4a2

可*〃]=——=1,&=a?q=8，所1以=q+〃2+4+04=1+6+8=15；

q

f%—4a&1

若2c，则公比9=二二，

[a3=2a22

可得q=—=8,tz4=a3q=1,所以S4=q+%+%+&=8+6+1=15；

q一

综上所述：S4=15.

故选：A.

5.C

【分析】由正弦函数的周期公式即可判断A；由正弦函数的图象即可判断B；根据极值点的

定义即可判断C；根据正弦函数的性质即可判断D.

【详解】对于A,7。=叫故A错误;

由〃7i）=sin[2兀-小sing0,故y=〃力的图像关于点（私0）不对

对于B,

称，故B错误;

对于C,设g（尤）=/1+：

贝Ug，(x)=-2sin^2x-|j,

当xw修离时，2了一枭(0,可，gV)<0,

当xe[—时，2x—4e(―私0),g'(x)>0,

所以尤=自是85）的一个极大值点，故C正确;

6

对于D,江石J时，

因为y=sin尤在1单调递增，所以/⑺在区间，工,工]单调递增,

故D错误;

故选：C.

6.C

【分析】如图，作出图形的轴截面，利用勾股定理及相似比求出圆台的高，再根据圆台的体

答案第2页，共15页

积公式即可得解.

【详解】设圆锥底面半径为「，由题意可得：2口=2后,

解得厂=百，

如图，作出图形的轴截面，其中E,8分别为圆台的上下底面圆的圆心,

则C3=J_.2=3,笠=%=L

CBAB3

可得CE=1,BE=2,

T71~1c26兀

V=—X71X3+71X—+.7CX3X71X—X2=--.

3(3V3)9

故选：C.

7.B

【分析】设4（%,必）,3（和％），联立方程组得出占超，%%，由平面向量数量积的坐标运算

列出方程求解即可.

【详解】设4（和%）,8（々,力），

Iy=kx+2/°、o4k

由<22，得，(K+1)/+4依=。，则为+々=-^~~-,XjX=0,

[%-+y2=4\'k-+l2

4-4左2

yy=(3+2)(fcv+2)=k2?xx+2k。+x)+4=----------,

i12{22左+1

_4-4k之r

由•丽=一2得，XjX+yy=-一-=-2?k?,

2t2化+I

故选：B.

8.B

47T

【分析】先由余弦函数的性质求解集合A,再根据题意得入。2片0,则三，再讨论

47r

0<“？可的情况即可.

答案第3页，共15页

［详解］由cos［x+"同得，X?：爵+2E*+2kn(左？Z),

故

A=；B—+2kn,—+2kn(k?Z),

用26'J

因为。a(%)+%(与)=2,所以％(%)=%(%)=1,

所以4口8片0,

，至IT7Tjr47r

因为A=助+2痴%+2M也？Z）集合补集中一段区间的长为2兀-小黄了,

4冗

所以当时，AABw。一定成立，

当0<a?也时，4仆3=0时，有=？a2a?"

362

解得at；|百,所以满足AW0的范围是。礴亲野擀

综上所述，。噜箫>'+?’

故选：B.

9.ACD

【分析】根据题意，得到E（x）=o,D（x）=4,且E（y”2,z>（y）=9,结合期望和方差的性

质，以及正态分布曲线的对称性，逐项判定，即可求解.

【详解】由随机变量X服从正态分布此0,22）,可得E（X）=0,D（X）=4,

又由随机变量y服从正态分布N（2,3?）,可得E（y）=2,D（y）=9,

对于A中，由E（2X+1）=2E（X）+1=1,所以A正确;

对于B中，由。（2丫+1）=2?.£>（¥）=36,所以B不正确；

对于C中，由正态分布曲线的性质，MP（X<-2）+P（X<2）=l-P（X>2）+P（X<2）=l,

所以C正确；

对于D中，由P（|X|42）=P（—24X42）=P（0—24X40+2）=0.6824,

又由正态分布曲线的对称性,nJP（|r|<2）=P（-2<7<2）=PLf勺=0.3412,

所以尸（园42）>尸（|耳42）.

故选：ACD.

10.ACD

答案第4页，共15页

【分析】由｛。“｝的通项公式即可判断AC；由咏=4即可判断B；由裂项相消即可判断D.

a2n-\

rj

【详解】对于A,当月为偶数时，令,+1=2025n“=4048,符合题意，故A正确;

22)!+1

对于B,由题知，4,一=2"-\«2„+1=2?-4,

a2n-1

故数列｛/"_｝是公比为4的等比数列，故B错误；

对于C,由题知，％=2,%=2,%=8,口=3,%=32,4=4,

所以56=%+。2+生+。4+。5+4=51,故C正确;

2〃11]]

对于D，cn=aln=—+l=n+l,

jcn+i(〃+1)(〃+2)〃+1n+2

设数列上的前〃项和为

〔gg+iJ

111111111

贝JI----<—故D正确;

334n+1n+22n+22

故选：ACD.

11.ABD

【分析】根据函数的性质，如对称性、最值、方程的根等，对选项逐一进行分析.对于A选

项，可判断=+是否成立来确定是否关于x对称；对于B选项,

根据三角函数的最值和基本不等式的性质进行求解；首先对函数进行化简，然后求导判断函

数的单调性，结合三角函数的图像判断根的个数；对于D选项，根据函数的最值进行求解.

【详解】对于A选项:

COS71XCOS(71-2办)-COS71Xcos(2TLT)

ii=ii

—+x——X—+x——X

e2+e2e2+e2

1

----FXcosI2TII—+x

COS71XCOS(71+27LX)一cos»xcos(2时

1_1

所以所以"无)关于X对称.A选项正确.

对于B选项:

因为e』+e，＞26电=2玛-

而分子s讥7rxeos2TVC最小值为-1.

答案第5页，共15页

\s加rxcos27r%、-1।▼一八

所以/(%)=—=~~「2寸，所以B选项正确.

e'+e'2，e

对于C选项：

因为/(x)=sin47LX,即^=sin4TLT.

心(.，口sin7ixcos2TIXA,小

将上面等式化间得---；z--------=4sm/rxcos/rxcos2TUC.

er+e"

gDsin7rxcos2TIX\——^------4cos乃x|=0.

Ve+ex)

TT13

当COS2TEX=0时，lux=—+far,GZ,所以在［0,1］上，x=—.

当s%»x=0时，在［0,1］上，％=0」.

令g(%)—M%)=----7-4cos7ix=0.

-(-e』+e，)

g'(元)=_5-------(i-e2-1),可求出单调区间.

刊-*)+e2x/(j)+e2c)

g(x)在1,1上单调递减，在单调递增，=g(0)=J-,g⑴=1-.

_._L_1\乙_L"iCI-I-C

=2_0>0,^(o)-/z(o)=y-^—-4<0,g(l)-/z(l)=^—-4<0.

这说明g(x)/(x)会至少有两个交点.

综上，共有6个交点，所以C错误.

对于D选项：

1

11y=-----------------1

因为/(%)关于%=5对称，且在上连续，而卜_工：+几关于尤=5对称时，

1

y=------5

f1丫-----在x1处取得最大值七1.

卜-2"

f(x)<---------------

当〃足够大时，存在〃£N*,使得r1丫成立，所以D选项正确.

I2j

故选：ABD.

12.2+i

【分析】根据复数的运算法则，化简得到z=2-i,结合共辗复数的概念，即可求解.

4+3i(4+3i)(l-2i)10-5i

【详解】由复数0+2i)z=4+3i可得z=

1+21(l+2i)(l+2i)-5

答案第6页，共15页

所以』=2+i.

故答案为：2+i

13.G

【分析】设双曲线右焦点坐标为用（c,0）,左焦点为%由题意得出|AB|的长，再根据几何

关系列出等式即可求解.

【详解】设双曲线右焦点坐标为耳（G。），左焦点为8，则抛物线准线为工=-%

r2v2

将x=-c代入，-*=1得，y=±^,

aba

7A2

所以|AB|=里，

a

]b1

在Rt-M中，=2=友J]：。，

21

\FXF2\2C3[a}3a

解得9=若或£=_小（舍），

aa3

所以w的离心率为石，

【分析】由已知可得3、C在以0、A为焦点的椭球上，由。可知8、C在椭球的截

面圆上，设截面圆的圆心为O',进而求得截面圆得半径，根据0、A为焦点过3的椭圆方程

计算求得8点坐标，利用两角和的正切公式计算即可得出结果.

【详解】因为。4=4,△OAB与AQ4C的周长均为10,

所以03+34=6>Q4=4,OC+CA=6>04=4,

所以B、C在以0、A为焦点的椭球上，

因为OAJLBC,

所以8、C在椭球的截面圆上，设截面圆的圆心为。，则O3=O'C,

答案第7页，共15页

所以三棱锥O-ABC的体积为V=-S0,BC•。4=LS0，Bcx4=上叵

3oc3oc3

所以SQBC=石，又因为3c=2,

2BC,2

所以SQBC=gx2CxJO'C-|=1X2XA/(9C-1=^,

解得：O'B=O'C=2,

22

由题意，设以0、A为焦点过5的椭圆的标准方程为土+二=1,

95

设3（%2）（》＞0）代入解得B,2,

/八nx//八s,/c，n八tanZOBO,+tanZO'BA

所以tanZOBA=tan(ZOBO+ZOBA)=---------------------

v)l-tanZOBO'tanZO'BA

»3下o3小

ZH---------Z---------------

____5_,____5

22=40

亚、3A/5-9■

ZH---------Z-------------

75

2

(2)1

【分析】（1）由向量平行的坐标表示得出4+一〃=一℃,再根据余弦定理即可求解;

（2）由-改=/+C2一12及基本不等式得出这＜4,再根据等面积法即可求解.

【详解】（1）因为应//万，所以0—a）（6+a）=c（a+c）,§Pa2+c2-b2=—CIC，

由余弦定理得cosB=^+°2一万=-工,因为3e（O,兀），

lac2

2兀

所以B=

22

（2）由（1）M-ac=«+c-12＞2ac-12,即公W4,当且仅当。=。=2时，等号成立,

答案第8页，共15页

设AC边上的高为/?,贝！JS°=gacsinB=若/1,

所以/z=Lc4l,

4

所以AC边上的高的最大值为1.

（2）?

【分析】（1）结合题设易得AB1EN,可得AB_L平面EW,进而求证即可;

（2）结合长度关系易证得/犯上平面ABC,进而建立空间直角坐标系，利用空间向量求解

即可.

【详解】（1）证明：・・・瓦加分别为A8,A。中点，〃9）,

又AB_LBD,:.AB.LEM,

•••E,N分别为AB,8C中点，\EN//AC,

又AB人AC,:.AB±EN,

■：ENC\EM=E,EN,EMu平面EMN,

2平面£MN,又「ABu平面ABC,

平面EMN，平面ABC.

（2）在RtZXABC中，由AC=AB=2,AB1AC,

则BC=20,又BD=2,CD=2A/3,

BC2+BD2=CD2,§PBD±BC,

又AB_L8£>,ABcBC=B,AB,8Cu平面ABC,

:.BD_L平面ABC,

以A为原点，分别以ACA3所在直线为x,y轴，以平行于8。的直线为z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，

则C（2,0,0）,。（0,2,2）,M（0,1,1）,N（l,l,0）,A（0,0,0）,

则衣=（2,0,0）,15=（0,2,2）,W=（l,0,-l）,

设为=（x,y,z）是平面ACD的一个法向量，

答案第9页，共15页

n-AC=2x=0,、

则有一，令y=i,得为=

fi-AD=2y+2z=0

设"N与平面ACD所成角为a,

,___.।\MN-h\]]

贝Usincr=\cosMN,为=y--------y=—；=——尸=—

11\MN\-\n\V2xV22

（2）不存在，理由见解析

【分析】（1）根据焦距和椭圆上的点得到方程组，结合4=片+C2,求出得到椭圆

方程;

（2）假设在椭圆C上存在关于直线/对称的相异两点，分别设为3（%,另），C（%,%），设直

线/与x轴的交点为Q（x0,O）,「太＜与＜"）,根据/为/耳4居的角平分线和正弦定理得到

03

2"-11%+12=0,解得/=,,所以&=2,/的方程2%—y—3=0,氏C关于直线/对称,

设出直线5C方程，与椭圆方程联立，根据A＞。，求出-2〈根＜2,并得到两根之和，两根

之积，求出BC中点N（丸将代入/方程，可得m=2,与—2〈根＜2矛盾，故

假设不成立，所以椭圆C上不存在关于直线/对称的相异两点.

【详解】（1）由题意可得:

2c=276

c=46

41।

----1----=1解得〃=2,

a2b2'

Q2=8

a2=b2+c2

22

所以椭圆方程为土•+匕=1;

82

（2）假设在椭圆C上存在关于直线/对称的相异两点，分别设为3（%,%）,。（肛力）,

答案第10页，共15页

由己知片卜n,o),工(布,0b

设直线/与X轴的交点为0(%,0),(-V6<x0<76),

因为/为2耳48的角平分线，所以Nf；AQ=NQA居，

又N耳QA+NAQg=兀，sinZF}AQ=sinZQAF2,sinZF^QAsinZAQF2,

IM以

在AGQA中，由正弦定理得I

sinNAQ不sinZQAF1

3」

在AGQA中，由正弦定理得

sinZAQF2sinZQAT^

两寸相除徨。月」。周卜。+闷

两式相除得否一否,所以

Jl+(2+何小1+(2一厨，

化简得2%一11%+12=0,

3

解得％=4(舍去)或%=],所以勺=2,

所以/的方程为y—1=2(1—2),即2x—y—3=0,

因为氏C关于直线/对称，可知％3c=-

设直线5c方程为丁=-；%+加，

[1

y=——x+m

2

由＜22消)得：2d—4mx+4加?—8=0,

土+J

I82

A=16m2-4x2x^4m2-8)＞0,解得一2＜小＜2,

由韦达定理得%+%2=2和占元2=2祖2—4,

设线段5。中点为N(%,%),

答案第11页，共15页

无。="乜=〃?’代入直线BC方程得先=£,所以N'Z,5],

将N["z,万J代入/方程，可得〃=z2,与-2〈m<2矛盾，

故假设不成立，所以椭圆C上不存在关于直线/对称的相异两点

4（/V-2）

18.（1）

N（N-1）

（2）证明见解析

⑶+I

IN）N

【分析】（1）设事件A为“2次摸球后，摸出的球不同色”，根据古典概型概率公式及组合数

的计算即可求解；

（2）根据全概率公式即可证明；

（3）设第％-1次取球后，第七次取球前，盒中的白球数为5，k=\,2,-,n,设

“=｛富霭黑量球，结合参考公式得后化）=U（*S,即可得出第

次取出白球的概率.

【详解】（1）设事件A为“2次摸球后，摸出的球不同色”,

“川：C；CL2（N-2）4（N-2）

则（）C；N（N-l）

2

所以2次摸球后，摸出的球不同色的概率4（N为-港2）/

N

（2）证明：M=E（X）=EkP（X=k）,设事件C为“第1次从盒子中摸出白球”,

k=0

NN"[NB

则尸（c）=Z尸（X=《尸（C|X=@=£尸（X"）元=五二女尸”=《=元,

k=0k=0IVNk=07V

所以第1次从盒子中摸出白球的概率为勺.

N

（3）设第％-1次取球后，第七次取球前，盒中的白球数为5，k=l,2,f,

、几」0,第人次摸到白球

设为第上次摸到不是白球'

由题意得匕=4+〃j（Q2）,力服从两点分布，故£伉）=尸（％=1）,

答案第12页，共15页

根据参考公式可得E(%)=E区T)+E(%T)=E(L)+PMI=1)=E(ZT)+1-P(%T=。)，

由第(2)问可得P(〃i=0)=E(X"J,

则£(匕)=£(4)+1-qJ=l+

E(K)-N=[1-：)(E(L).N)(人2),

所以｛E(%)-N｝是E(X)-N=7〃-N为首项，1为公比的等比数列,

则万化)[1-(加-N)+N,

则第〃次摸出白球的概率为型0=(1-1丫’3二a+i.

19.(l)y=-V-x是y=cosx的“or—函数”，证明见解析

(2