数列（学生版）-2025高考数学专项复习

专题13数列

一、填空题

1.（2024新高考n卷42）记s“为等差数列｛%｝的前W项和，若生+&=7,3/+%=5,

贝！JS］。=.

二、解答题

1.（2024新高考n卷-19）已知双曲线。了一/二闻冽〉。），点爪5,4）在C上，人为常

数，0<k<1.按照如下方式依次构造点月（”=2,3,...）,过作斜率为左的直线与C的左

支交于点令月，为关于y轴的对称点，记勺的坐标为（乙,%）.

⑴若彳=—,求工2，%；

（2）证明：数列｛%-%｝是公比为=的等比数列；

近年真题精选

一、解答题

1.（2022新高考I卷J7）记S,为数列｛氏｝的前〃项和，已知4=1,，｝］是公差为g的等差

数列.

⑴求｛%｝的通项公式；

111c

（2）证明：一+―+•••+—<2.

a

%〃2n

2.（2023新高考I卷-20）设等差数列｛为｝的公差为d,且d>l.令2=田士，记

分别为数列｛%｝，｛〃｝的前〃项和.

⑴若3%=3〃1+〃3,53+n=21,求｛4｝的通项公式;

(2)若也,｝为等差数列，且品-5=99,求小

3.(2022新高考H卷•17)已知｛。“｝为等差数列，｛么｝是公比为2的等比数列，且

a2-b2=a3-b3=b4-a4,

(1)证明：q=4;

⑵求集合｛k\bk=am+a.,\<m<500｝中元素个数.

4.(2023新高考H卷J8)已知｛%｝为等差数列，4=，："一611T数，记S“，1分别为数

为偶数

列｛%,｝，也｝的前“项和，54=32,7=16.

⑴求｛%｝的通项公式；

(2)证明：当〃>5时，T„>Sn.

必备知识速记

一、等差数列的有关概念

1、等差数列的定义

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个

数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示，定义表达式为

a“-a,1=d(常数)(n€N*,n>2).

2、等差中项

若三个数a,A,匕成等差数列，则A叫做。与6的等差中项，且有A=巴吆.

2

二、等差数列的有关公式

1、等差数列的通项公式

如果等差数列｛见｝的首项为％,公差为d,那么它的通项公式是a“=4+(〃-l)d.

2、等差数列的前〃项和公式

设等差数列仅“｝的公差为d,其前“项和Sn=叫+吟义〃=幽受.

三、等差数列的常用性质

已知｛q｝为等差数列，d为公差，s,为该数列的前〃项和.

1、通项公式的推广：an=am+（n-m）d（n,meN*）.

2、在等差数列｛〃〃｝中，当根+九="+4时，。加+。〃=。〃+4（w几，P，qeN"）.

特别地，若小+孔=2，，贝!J〃租+%=2q（加，n,，EN*）.

3、ak,以+切，为+2相，…仍是等差数歹U，公差为md（k,meN^）.

4、Sn,S2n—S”,「—S2"，...也成等差数列,公差为"d.

5、若｛%｝，｛2｝是等差数列,则｛p4+4〃｝也是等差数列.

6、若｛%｝是等差数列，则｛%｝也成等差数列，其首项与｛见｝首项相同，公差是｛4｝公差

n

的钻一1・

2

$

7、若项数为偶数2〃，则§2〃=〃（4+%〃）=〃&+%）;5偶一5奇=温；-^-=—2L--

、偶an+l

s

8、若项数为奇数2〃-1,则邑L]=（2〃-l）a〃；S奇一S偶=；~~~------r-

S偶n-1

9、在等差数列｛风｝中，若q>0,d<0,则满足的项数加使得S.取得最大值

口角40

S„,；若q<0,d〉0,则满足｝的项数加使得S,取得最小值鼠.

&+1"

四、等差数列的前n项和公式与函数的关系

2

S„=|W+（ai-|>.数列｛%｝是等差数列=S,+（48为常数）.

五、等差数列的前n项和的最值

公差1>00｛4｝为递增等差数列，S,有最小值;

公差1<Oo｛qJ为递减等差数列，S,有最大值;

公差d=0o伍〃｝为常数列.

特别地

若则S.有最大值（所有正项或非负项之和）;

[«<0

若匕心°,则S“有最小值（所有负项或非正项之和）.

d>0

六、其他衍生等差数列.

1、若已知等差数列｛见｝,公差为d,前〃项和为S“，贝I］：

①等间距抽取%…Op+g)”…为等差数列，公差为以.

②等长度截取黑,邑„-黑,53,"-52〃,广・为等差数列，公差为苏〃.

③算术平均值区，邑，邑，…为等差数列，公差为

1232

七、等比数列的有关概念

1、定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，

那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母《表示，定义

的表达式为-=q.

an

2、等比中项：如果°,G,b成等比数列，那么G叫做°与b的等比中项.

即G是。与｝的等比中项Qa,G,b成等比数列0G2=ab.

八、等比数列的有关公式

1、等比数列的通项公式

设等比数列｛4｝的首项为名,公比为4(4*0),则它的通项公式

n

an=0tq=c-q(c=—)(6^,q/0)•

q

nm

推广形式：an=am-q-

2、等比数列的前n项和公式

na1(q=1)

等比数列｛4｝的公比为q(qwO),其前"项和为S"=«a1a-g")a.-aq/,

—1-------=--------(q丰i)

〔"qi-q

九、等比数列的性质

1、等比中项的推广

若加+〃=p+q时，则源十=。陷,特别地，当〃?+〃=2p时，aman=.

2、①设｛4｝为等比数列，则｛44｝(%为非零常数)，｛同|｝,｛“；｝仍为等比数列.

②设｛%｝与｛b“｝为等比数列，则｛«„b“｝也为等比数列.

3、等比数列｛%｝的单调性(等比数列的单调性由首项％与公比4决定).

［＜＞＜

当《7,＞10或［fa0,＜内0时，｛%｝为递增数列；

当;。tz.<>q0<l或[a时<0’｛%｝为递减数列.

4、其他衍生等比数列.

若已知等比数列｛4｝,公比为力前”项和为S”,则:

①等间距抽取

"p，Op+t9"p+2”…"p+5-l"，…为等比数列，公比为

②等长度截取

',「SmE'-Sz,”…为等比数列，公比为d(当4=-1时，e不为偶数).

十、求数列的通项公式

1、观察法：

已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据

规律写出此数列的一个通项.

2、公式法:

n

若已知数列的前项和S"与an的关系，求数列｛«„)的通项％可用公式

4,5=1)

构造两式作差求解.

s“一Si，(〃22)

用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为

一”，即％和%合为一个表达，(要先分力=1和"22两种情况分别进行运算，然后验证能

否统一).

3、累加法：

形如4包=4+/(")型的递推数列(其中/(八)是关于力的函数)可构造：

%-%-i=/("T)

an-\~〃〃-2=f(«-2)

<

a2-at=/(I)

将上述m2个式子两边分别相加，可得：a“=y(〃-1)+f(n-2)+…/⑵+/(1)+q,(〃>2)

①若f(n)是关于„的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；

②若/(〃)是关于“的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；

③若/(")是关于〃的二次函数，累加后可分组求和；

④若/(")是关于"的分式函数，累加后可裂项求和.

4、累乘法：

形如4包=/"(〃)j=/(〃)型的递推数列(其中/(〃)是关于，，的函数)可构造：

Ian7

%

a,

q=/s-2)

■an-2

”⑴

将上述:叫个式子两边分别相乘，可得：=/(«-1)-/(«-2)■...•/(2)/(l)a1,(«>2)

有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解.

5、构造数列法：

(一)形如％包=〃%+4(其中PM均为常数且0WO)型的递推式：

(1)若"=1时，数列｛%｝为等差数列；

(2)若4=0时，数列｛七｝为等比数列；

(3)若pwl且qwO时，数列｛七｝为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数

列来求.方法有如下两种：

法一：设a“+]+4=p(4.+4),展开移项整理得a“+i+(p-1)4,与题设%+]=〃%+4

比较系数(待定系数法)得几=。,(0NO)=〃用+。=?(%+」-)

p—1P—1P—1

0%+'二=以%|+」一)，即。“+=构成以为首项，以夕为公比的等比

pTpTIPTJp-1

数列.再利用等比数列的通项公式求出[“+占I的通项整理可得见.

法二：由an+l=pan+“得q=pa〃_]+冢孔之2)两式相减并整理得~~—=p,即｛an+l-an｝

an-an-x

构成以%为首项，以夕为公比的等比数列.求出｛%+1-4｝的通项再转化为类型HI

(累加法)便可求出％.

(二)形如%+]=小/〃+/(%)(pW1)型的递推式：

(1)当/(〃)为一次函数类型(即等差数列)时：

设%++笈=〃&_]+-1)+司，通过待定系数法确定A、6的值，转化成以4+A+JB

为首项，以为公比的等比数列｛%+A〃+B｝,再利用等比数列的通项公式求

(n—m)!

出｛4+An+B]的通项整理可得an.

十一、数列求和

1、公式法

(1)等差数列｛““｝的前W项和S„="(%；%)=na,+

nci[,q=1

(2)等比数列｛a,J的前"项和S'=]q(l-q")

，〃w1

(3)一些常见的数列的前"项和：

n]〃

①Z左=1+2+3H----\-n=—n｛n+1)；22左=2+4+6H—+2n=n(n+1)

k=\2k=l

n

②\(2I)=l+3+5+…+(2〃-1)=“2；

k=\

ni

③，左2=12+22+32+…+/=2〃(〃+I/2”+1)；

%=i6

3333W(Z1)2

@VF=l+2+3+...+n=[^]

台2

2、几种数列求和的常用方法

(1)分组求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则

求和时可用分组求和法，分别求和后相加减.

(2)并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.

(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从

而求得前n项和.

(4)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构

成的，那么求这个数列的前〃项和即可用错位相减法求解.

(5)倒序相加法：如果一个数列｛%｝与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常

数，那么求这个数列的前〃项和即可用倒序相加法求解.

【数列常用结论】

1、数列的递推公式

(5n—\

(1)若数列｛4｝的前〃项和为s“，通项公式为则%=I'*

，"22，neN

注意：根据S“求明时，不要忽视对”=1的验证.

（2）在数列｛%｝中，若氏最大，贝』若明最小，贝ill""'""-.

&之〃“+1&<%+1

2、等差数列

（1）等差数列｛〃J中,若4=m,4="（mHn,m,neN*）,则

（2）等差数列｛〃“｝中，若Sn=m,Sm=〃（mwn,m,neN*）,则鼠+九=一0+几）.

（3）等差数列｛〃〃｝中,若于n,m,〃eN*）,贝!]S_+〃=0.

（4）若｛%｝与｛0｝为等差数列，且前"项和为S”与T"，则

b,nT2m-1

3、等比数列

（1）右m+n=p+q=2k（m,n,p,q,kQN*）,则册,"H一%,"q—"女.

（2）若｛4｝,｛2｝（项数相同）是等比数列，则｛枇｝（4H0）,｛工｝,｛4｝,2｝,

管｝仍是等比数列.

（3）在等比数列｛4｝中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即

an,%+1an+2k,°”+3）1…为

等比数列，公比为十.

（4）公比不为一1的等比数列｛4｝的前0项和为邑，则S,,S2n-Sn,邑“-8”仍成等比

数列，其公比为力.

（5）｛%｝为等比数列，若%•%…%=4,则（，曳，ZL,…成等比数列.

Ai5”

（6）当qwl时，S“=左一/q"（k片0）是｛4｝成等比数列的充要条件，此时

（7）有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积相等.特别地，若项数为奇数时，还

等于中间

项的平方.

（8）若｛4｝为正项等比数列,则｛log。q｝（c>O,c*l）为等差数列.

（9）若｛4｝为等差数列，则｛/”｝3>0,21）为等比数列.

（10）若（«„｝既是等差数列又是等比数列o｛%）是非零常数列.

4、数列求和

（1）裂项技巧

①等差型

1_11

(1)

几(几+1)nn+1

1

(2)

n(n+k)n+k

(3)看qJ-小

②根式型

(1)-/----尸=\/zz+1-

Vn+1+

11,------「

(2)/——7==—(yjn+k-4n)

s]n+k+\Jnk

(3),1,—」(j2〃+]-j2w_l)

J2”l+J2“+12

③指数型

2"(2n+1-l)-(2n-l)11

(1)

(2"+i_1)(2"-1)(2n+1-1)(2"-1)"2"-1-2,,+1-1

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一、单选题

1.（2024•江西九江•三模）已知等差数列｛4｝的公差为d（dwO）,%是为与做的等比中

项，则§=（）

a

52-52

A.—B.—C.-D.一

2525

2.（2024.天津滨海新.三模）已知数列｛%｝为各项不为零的等差数列，S“为数列｛氏｝的前〃

项和，4s则〃8的值为（）

A.4B.8C.12D.16

3.（2024.天津北辰.三模）已知在等比数列｛q｝中，〃汹=12%,等差数列也｝的前〃项和

为S〃，且2力4=。6，则S7=（）

A.60B.54C.42D.36

4.（2024•新疆喀什三模）已知等差数列｛%｝满足。2+%+4=15,记｛4｝的前〃项和为

S9=（）

Sn，则

A.18B.24C.27D.45

5.（2024•陕西西安・三模）已知S〃是等比数列｛%｝的前〃项和，1+%+%=2,

。2+〃5+〃8=4,贝！JS9二（）

A.12B.14C.16D.18

6.（2024.广东汕头.三模）已知等差数列｛4｝的前〃项和为S“，%=3,a2n=2a„+l,若

S,+a角=100,则〃=（）

A.8B.9C.10D.11

7.（2024・浙江•三模）已知等差数列｛4｝的前“项和为S,，“%。24=0”是

“S=S4047T（“<4047,”eN*）”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

8.（2023•天津和平•三模）已知数列｛"〃｝满足4=1,G,1+1=2a„+l（HGN*）,S“是数列｛4｝

的前〃项和，则Sg=（）

A.29-10B.29-11C.210-10D.210-11

9.（2024.陕西西安.三模）如图，用相同的球堆成若干堆“正三棱锥”形的装饰品，其中第1

堆只有1层，且只有1个球；第2堆有2层4个球，其中第1层有1个球，第2层有3个

球；…；第〃堆有〃层共S“个球，第1层有1个球，第2层有3个球，第3层有6个

20

球，....已知邑o=154O,则»2=（）

n=\

10.（2024・河北张家口•三模）已知数列｛%｝的前W项和为s“，且满足

4+1,〃为奇数

则Woo)

为偶数

A.3X25J156B.3X251-103C.3x250-156D.3X250-103

若

11.（2024・浙江绍兴•三模）设04q＜出＜…＜砌9

max[an+]-a„｝＞机恒成立，则m的取值范围为（

1

m<-

A.m＜—B.-3

9

m4

-<-

9

二、多选题

12.（2024•江西・三模）已知数列｛%｝满足q=l,a“M=2a“+l,则（）

A.数列｛叫是等比数列B.数列｛1吗（q+1）｝是等差数列

C.数列｛%｝的前〃项和为2向-〃-2D.电。能被3整除

13.（2024・湖南益阳•三模）己知｛%｝是等比数列，S“是其前〃项和，满足%=2%+电，则

下列说法正确的有（）

A.若｛?｝是正项数列，则｛%｝是单调递增数列

B.S”$2,-S”S3.-邑“一定是等比数列

C.若存在M＞0,使⑷＜加对都成立，则｛I*｝是等差数列

D.若%＞0,且％=焉,T”=a、q…％，则」=7时/取最小值

14.（2024.山东济宁三模）已知数列｛%｝的前〃项和为S“，且满足2S〃=3"+i-3,数列

也“｝的前〃项和为且满足4=1/+1,则下列说法中正确的是（）

n2

A.at=3btB.数列｛4｝是等比数列

10,19

C.数列出｝是等差数列D.若8=3,则E1「7=高

n=liog3-1U

15.（2024・山西吕梁•三模）已知等差数列｛%｝的首项为外,公差为d,前”项和为S"，若

几＜以＜59,则下列说法正确的是（）

A.当"=8,S。最大

B.使得S,<0成立的最小自然数〃=18

C.%+匈＞%+%|

s

中最小项为」

、填空题

16.（2024.湖北荆州.三模）若实数0,x,y,6成等差数列，-］。，"c,成等比数列，则

2o

）一不

b

17.（2024•山东青岛・三模）己知等差数列｛凡｝的公差dwO,首项,%是电与4的

等比中项，记S,为数列｛%｝的前"项和，则邑。=

18.（2024・湖南邵阳•三模）已知数列｛〃"｝与均为等差数列（〃eN,且。2=1,则

19.（2024•宁夏银川三模）设为S,,等差数列｛%｝的前几项和，已知岳、邑、S’成等比数

列，见=2%+2,当64-S,取得最大值时，n=.

20.（2024•上海浦东新•三模）己知数列｛%｝为等比数列，%=8,3,则Z%=.

21.（2024•上海闵行•三模）设S”是等比数列｛4｝的前〃项和，若邑=4,%+%+牝=8,

22.（2024.四川.三模）在数列｛。“｝中，已知q=g,（n+2）an+1=nan,则数列｛4｝的前

2024项和S2024=.

23.（2024.浙江绍兴•三模）记7；为正项数列｛4｝的前〃项积，已知则

四、解答题

24.（2024•新疆喀什•三模）已知数列｛q,｝的首项q=3,且满足见+[=2%-1（neN*）.

（1）求证：数列为等比数列；

⑵记2=log2（%-1）,求数列一一的前“项和5“，并证明!VS“<1.

25.（2024・四川自贡.三模）已知数列｛q,｝的前项和为S“，且斗—叼=.

（1）证明：数列｛4｝为等差数列；

⑵若出，%，勺成等比数列，求S”的最大值.

26.（2024・浙江绍兴•三模）已知数列｛4｝的前〃项和为%且％=2,S'=—与巴…设

bn=~n.

⑴求证：数列也,｝为等比数列；

⑵求数列｛5〃｝的前”项和T,.

27.（2024・新疆•三模）若一个数列从第二项起，每一项和前一项的比值组成的新数列是一

个等比数列，则称这个数列是一个“二阶等比数列”，如：1,3,27,729,已知数列

｛4｝是一个二阶等比数列，q=1,%=4,%=64.

⑴求｛凡｝的通项公式；

.〃+2

（2）设二T,求数列｛2｝的前〃项和S".

（aJTog?an+l

28.（2024.重庆九龙坡.三模）己知3是等差数列｛%｝的前〃项和，S5=«H=20,数列｛2｝

是公比大于1的等比数列，且反=%b4-b2=U.

⑴求数列｛。,｝和也｝的通项公式；

5

⑵设3=方，求使c„取得最大值时n的值.

29.（20