隐圆最值模型-2025年中考数学几何模型专练

隐圆最值模型

辅助圆构造前提

1.类型一，对角互补

四点共圆：

如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。

两直角三角形共斜边四点共圆

⑴同侧共斜边

若RtAABC与RtADBC有公共斜边BCA、B、C、D四点共圆原因：OA=OB=OC=OD（直角三角形斜边中

线等于斜边一半）

（2）异侧共斜边

若RtAABC与&△D8C有公共斜边BC—A、B、C、D四点共圆一原因：OA=OB=OC=OD（直角三角形

斜边中线等于斜边一半）

2.类型二，定弦定角

r=2V3

3.类型三，定点定长

三条等线段共顶点，则三点共圆，公共点为圆心.

若OA=OB=OCA、B、C在以。为圆心的圆上^BCA=jzBOX

品真题精炼

1矩形+动点+对角线+定弦定直角一24苏打|+选择压轴+初三

如图，矩形ABCD中，AB=V3,BC=1,动点E,F分别从点A,C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿A

B,CD向终点B,D运动，过点E,F作直线1,过点A作直线1的垂线，垂足为G,则AG的最大值为（）

A.V3B.—C.2D.1

2

2.等腰直角三角形+旋转+定点定长+定弦定直角——24河南+填空压轴+初三

如图在RtAABC中,/ACB=9（T,CA=CB=3线段CD绕点C在平面内旋转，过点B作AD的垂线，交射线AD于

点E.若CD=1,则AE的最大值为最小值为

c

E

3.等腰直角三角形+定长定角----24达州+选择压轴+初三

如图,△ABC是等腰直角三角形,/ABC=90。，AB=4,点D,E分别在AC,BC边上运动，连接AE/BD交于点F,

且始终满足AD=¥。民则下列结论：

①AED=/②NDFE=135。；③^ABF的面积的最大值是;（4/-4;④CF的最小值是2"U-2&.其中正确

的是（）

BEC

A.①③B.①②④C.②③④D.①②③④

4.等腰三角形+定点定长+对称+面积最值一23淮安+填空压轴+初三

在四边形ABCD中，AB=BC=2,AABC=120°,BH为NABC内部的任意一条射线（N&8C/CBH不等于（6

0°）点C关于BH的对称点为（L,直线AC与BH交于点F,连接CC、CF,则△CLF的面积的最大值是

5.等腰直角三角形+定点定长+点圆最值——23徐州+填空压轴+初三

如图RtAABC,CA=CB=3„D在边BC上.△ACD沿AD折叠，点C落在点C处，连接AC,DC,BC',

则BC，的最小值为

6定弦定直角+点圆最值——23荷泽+填空压轴+初三

如图，在四边形ABCD中，Z4ABC=乙BAD=900,AB=5,AD=4,AD<BC,,点E在线段BC上运动，点

F在线段AE±,.AADF=NB4E,,则线段BF的最小值为

7.矩形+中点+动点+对角线+定长定直角——22宿迁+填空压轴+初三

如图矩形ABCD,AB=6,BC=8,点M、N是边AD、BC中点，某一时刻，动点E从点M出发，沿MA方向

以每秒2个单位长度的速度向点A匀速运动；同时，动点F从点N出发，沿NC方向以每秒1个单位长度的速度

向点C匀速运动，其中一点运动到矩形顶点时，两点同时停止运动，连接EF,过点B作EF的垂线，垂足为H.

在这一过程中，点H所经过的路径长是_____

8.圆+特殊角度+对角互补+面积最值一22苏州模拟+填空压轴+初三

已知。O半径是2,M、N是。O上两个动点，且在直线1异侧，若UMB=45。,=45。，则四边形MANB面

积的最大值是.

N

9.直角三角形+定长定直角+点圆最值——21广西+选择压轴+初三

如图，在△ABC中,/ABC=90。，AB=8,BC=12,D为AC边上的一个动点，连接BD,E为BD上的一个动点，

连接AE,CE,当AABD=乙BCE时，线段AE的最小值是（）

AB

A.3B.4C.5D.6

10.直角三角形+勾股定理+定长定直角+点圆最值21鄂州+选择压轴+初三

如图，在RtAABC中,.4ACB=90°,AC=2V3,BC=3..点P为AABC内一点，且满足PA2+PC2=AC?.当PB

的长度最小时，△ACP的面积是（）.

A3B.3W。誓D号

11矩形+对称+定点定长+点圆最值——21攀枝花+选择压轴+初三

如图,在矩形ABCD中，已知4B=3,BC=4,,点P是BC边上一动点（点P不与B,C重合），连接AP，作

点B关于直线AP的对称点M，则线段MC的最小值为（）

AD

\M

BpC

A.2盛C.3Dg

12.等边三角形+全等三角形+定长定角+点圆最值----21达州+填空压轴+初三

如图，在边长为6的等边.△4BC中，点E,F分别是边AC,BC上的动点，且AE=CF,连接BE,AF交于点P,

连接CP,则CP的最小值为.

13.等边三角形+三等角全等+定长定角+点圆最值------21鄂尔多斯+填空压轴+初三如图，等边AABC中，

AB=6,点D、点E分别在BC和AC上，且BD=CE,连接AD、BE交于点F,则CF的最小值为

14.正方形+定长定直角+面积最值——22陕西模拟+填空压轴+初三

如图，点P为边长为2的正方形ABCD外一点，且P4团PB,,连接AC、PC,则4PAC面积的最大△P4C值为

15.坐标系+定点定长+瓜豆原理+点圆最值——23扬州模拟+选择压轴+初三

如图，点A,B的坐标分别为A(2,0),B(0,2),点C为坐标平面内一点，8C=1,,点M为线段AC的中点，连

接0M，则0M的最大值为()

C.2/+1D2a4

16.等边三角形+中点+定长定直角+点圆最值——22潍坊+选择压轴+初三

如图，在等边△ABC中，AB=12,点D在AB边上,.AD=4,E为AC中点P为△ABC内一△28C点，且NBP

D=90°,则线段PE的最小值为()

c

C.2V13-4D.4V13-8

17.直角三角形+旋转+定长定点+点圆最值------22衢州模拟+填空国由+初三

如图，在△ABC中,.AACB=90。,4c=3,BC=4.将△ABC绕BC的中点D旋转得△EFG△ABC△EFG，连接

CE，则CE的最大值为

18矩形+折叠模型+定长定点+点圆最值-----22广州模拟+填空压轴+初三如图，在矩形纸片ABCD中，.48

=4,AD=6,点E是AB的中点，点F是边AD上的一个动点，将△4EF沿EF所在直线翻折，得到△AEF,则线段

acre的最小值是____

19定长定角+全等+点圆最值22南京模拟+填空压轴+初三

如图，在四边形ABCD中，A4B=2,BC=BD/ADC=150",ADCB=60°,贝［|AC的最大值是

C

AB

20.直角三角形+定长定角+点圆最值——21广东+填空压轴+初三

在△4BC中，乙ABC=90MB=2,BC=3.点D为平面上一个动点，^ADB=45。,则线段CD长度的最小值

为_____

21.定长定直角+面积最值+相似——20无锡+填空压轴+初三

如图，在R3ABC中,/ACB=90。，AB=4,点D旧分别在边AB,AC上，且DB=2ADDB=2AD,AE=3EC,连接

BE,CD,相交于点O,则4ABO面积最大值为.

22.直角三角形+特殊角度+圆+点圆最值——20东营+填空压轴+初三

如图，在RtAAOB中，OB=2次，乙4=30。,，©O的半径为1,点P是AB边上的动点，过点P作。O的一条

切线PQ（其中点Q为切点），则线段PQ长度的最小值为

23.矩形+定长定点+折叠+点圆最值----22荆州模拟+填空压轴+初三

如图，在矩形ABCD中，E为AB的中点，P为BC边上的任意一点，把△PBE沿PE折叠得到△PBEAPFE,

连接CF.若AB=10,BC=12,则CF的最小值为

24.矩形+对称+定长定点+点圆最值+面积一20宿迁+填空压轴+初三如图，在矩形ABCD中，AB=1,AD=

V3,P为AD上一个动点，连接BP,线段BA与线段BQ关于BP所在的直线对称，连接PQ,当点P从点A运动

到点D时，线段PQ在平面内扫过的面积为.

APD

Q

BC

1如图，矩形ABCD中，AB=BC=1,,动点E,F分别从点A,C同时出发，以每秒1个单长度的速度沿

AB,CD向终点B,D运动，过点E,F作直线I,过点A作直线I的垂线,垂足为G,贝UAG的最大值为（）

B.-C.2D.1

2

【答案】D

【解析】连接AC,交EF于0,

1•四边形ABCD是矩形,

.,.ABllCD,zB=90°,

-：AB=V3,BC=1,

AC=7AB2+BC2=VT+T=2,

，动点E,F分别从点A,C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB,CD向终点B,D运动，

.­.CF=AE,

•.ABIICD,

.'.zACD=zCAB,

又.NC0F=NA0E,

."COF%AOE(AAS).

..AO=CO=1,

•.AG±EF,

..点G在以AO为直径的圆上运动,

••.AG为直径时，AG有最大值为1,

故选D.

【标注】【知识点】与圆有关的动点、轨迹问题

2如图，在RfABC中/ACB=90°,CA=CB=3,线段CD绕点C在平面内旋转，过点B作AD的垂线，交射线AD

于点E若CD=1,则AE的最大值为,最小值为.

【答案】2V2+1;2V2-1

【解析】•.BE±AE,

ZBEA=90",

二点E是在以AB为直径的圆上运动，

；CD=L且CD是绕点C旋转，

・••点D是在以C为圆心，以1为半径的圆上运动，

•••AB=©AC=3V2,

.,.当coszBAE最大时，AE最大，当coszBAE最小时,AE最小.

①如图，当AE与圆O相切于点D,且D在AABC内部时/BAE最小,AE最大,

•••ZADC=NCDE=90°,

AD=<AC2-CD2=2V2,

.AO=AC,

ZCEA=NCBA=45°,

.'.DE=CD=1,

此时AE=2V2+1,即AE的最大值为2&+1,

②如图，当AE与圆C相切于点D,且D在AABC外部时/BAE最大,AE最小，同理可得AD=2夜,DE=1,

此时AE=2-\/2—1,即AE的最小值为2V2—1.

故答案为：2&+1;2/-1.

3如图,SBC是等腰直角三角形NABC=90：AB=4,点D,E分别在AC,BC边上运动连接AE,BD交于点F，且

始终满足AD=弓CE,则下列结论：

」BD

②NDFE=135°;

③AABF的面积的最大值是4V2-4;

④CF的最小值是2V10-2V1其中正确的是（）

A.①③B.①②④C.②③④D.①②③④

【答案】D

【解析】如图所示，过点B作BM±AO于点M,

・“ABC是等腰直角三角形,NABC=90°,AB=4,

AB=BC,AC=yjAB2+BC2=&BC,AM=CM=BM=|XC,

■■■AD=—CE,

2

DM=-AC-AD=-xV2BC--CE

222

=y(BC-CE)

.DM_BM_^2

''BE~AB_2'

又一.・NDMB=NEBA=90°,

.•.△ABESABMD,

.噌=需=隹故①正确；

“ABESABMD,

..NBAE=NMBD,

.,.zBAE+zABD=zMBD+zABD,

.­•180°-(^BAE+NABD)=180°-(NMBD+ZABD^

在AABF中，ZAFB=180°-(NB4E+^ABD),

：.ZAFB=180°-(NMBD+NABD),

•sABC是等腰直角三角形，BM±AC,

.'.BM平分NABC,

1

・•.ZABM=NCBM=-ZABC=45°,

2

ZAFB=180°-(NMBD+NABD)=180°-ZABM=135°,

.NDFE=135°,故②正确；

如图所示，

在AB的左侧，以AB为斜边作等腰直角三角形AOB,

以OA为半径作。。,

ZAOB=90",OA=OB,AB=VOX2+OB2=历OA=4,

•.zAFB=135°,

1

・•.ZAFB+-ZA0B=180°.

2

・•.F在。。的AB上运动,

・•.OF=AO=—AB=—X4=2vx

22

连接OF交AB于点G

.•.当OF^AB时，结合垂径定理,AG=BG=2,OG最小，

OF是半径，不变，

,此时GF最大，则AABF的面积最大，

S^ABF=2sLAGF=2(S-OF—SLA0G)

=2(^XOFXAG-^OG2>)

=2V2x2-22=4V2-4,故③正确；

如图所示，当F在0C上时，FC最小，

过点。作0H，BC交CB的延长线于点H.

.“OHB是等腰直角三角形，

OH=HB=—0B=—0A=2,

22

在Rt△OHC中，HC=HB+BC=6,

0C=V22+62=2V10,

.­.CF的最小值是22V10-2a,故④正确.

故选:D.

【标注】【知识点】圆内接四边形的性质定理

【知识点】点与圆上一点间距离的最大、最小值

【知识点】相似三角形的性质与判定综合

【知识点】勾股定理

4在四边形ABCD+,AB=BC=2,zABC=120°,BH^zABC内部的任意一条射线（NCBH不等于60°），点C关于

BH的对称点为C,直线AC与BH交于点F,连接CC;CF,则式5的面积的最大值是.

【答案】4V3

【解析】如图所示，连接BC

•・•点C关于BH的对称点为C,

.­.CB=C'B,CF=C'F,

，AB=BC=2,

「ACC在半径为2的。B上,

在优弧AC上任取一点E,连接AE,EC,

•••NABC=120°,

1

・•.ZAEC=2-，ZABC=60°,

・•.ZACC=180°-ZAEC=180°-60°=120°,

・•.ZCCF=60。，

.•.△CC'F是等边三角形，

当CC取得最大值时，ACC'F的面积最大，

•■•C在。B上运动，则CC的最大值为4,

则ACCF的面积的最大值是fX42=4V3.

故答案为：4V3

【标注】【知识点】与圆有关的动点、轨迹问题

5如图，在RtMBC中/C=90°,CA=CB=3点D在边BC上.将^ACD沿AD折叠，使点C落在点O处，连接BC

',则BC的最小值为.

【答案】3V2-3

【解析】••NC=9(r,CA=CB=3,

•••AB=yjAC2+BC2=3VI,

由折叠的性质可知AC=AC=3,

•.-BC'>AB-AC',

二当A、C;B三点在同一条直线上时，BC'取最小值，最小值BC'=AB-AC=3<2-3,故答案为：372-3.

【标注】【知识点】翻折问题与勾股定理

6如图,在四边形ABCD中,NABC=NBAD=90°,AB=5,AD=4,AD<BG点E在线段BC上运动,点F在线段AE上,

NADF=NBAE,贝监戋E殳BF的最小值为

Q

【答案】闻-2或-2+国

【解析】解：设AD的中点为。，以AD为直径画圆，连接0B,

>.zABC=zBAD=90°,

.,.ADllBC,

..NDAE=NAEB,

•.zADF=zBAE,

.-.zDFA=zABE=90°,

..点F在以AD为直径的半圆上运动，

二当点F运动到0B与。。的交点F'时，线段BF有最小值，

；AD=4,

/1

•-2。="=*=2，

BO=V52+22=V29,BF的最小值为回—2,

故答案为V29—2.

【标注】【知识点】与圆有关的计算

7如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,点M、N分别是边AD、BC的中点，某一时刻点E从点M出发，沿MA

方向以每秒2个单位长度的速度向点A匀速运动；同时，动点F从点N:发，沿NC方向以每秒1个单位长度的

速度向点C匀速运动，其中一点运动到矩形顶点时，两点F停止运动，连接EF,过点B作EF的垂线，垂足为H.

在这一运动过程中，点H所经过的路径H是

【答案】手兀

【解析】如图1中，连接MN交EF于点P，连接BP.

,•四边形ABCD是矩形,AM=MD,BN=CN,

.・四边形ABNM是矩形，

.-.MN=AB=6,

/EMIINF,

.•.△EPM"FPN,

PMEM2t-

•••—=—=—=2,

PNFNt

.•.PN=2,PM=4,

.BN=4,

BP=y/PN2+BN2=V22+42=2V5,

•.BH±EF,

•­•NBHP=90°,

二点H在以BP为直径的。。上运动，

当点E与A重合时，如图2中，连接OH,ON.点H的运动轨迹是NH.

困2

此时AM=4,NF=2,

，BF=AB=6,

•.NABF=90°,BH±AF,

.■,BH平分NABF,

.-.zHBN=45o,

NHON=2NHBN=90°,

.•点H的运动轨迹的长=笔卢=坐兀.

故答案为:孚兀.

【标注】【知识点】动点与特殊平行四边形问题

8已知。。的半径是2,直线I与。。相交于A、B两点，M、N是。0上的两个动点，且在直线I的异侧，若N

AMB=45°,则四边形MANB面积的最大值是.

【答案】4V2

【解析】过点。作OCJ_AB于C,交。。于D、E两点，连结OA、OB、DA、DB、EA、EB,如图，

NB

,zAMB=45°,

,.zAOB=2zAMB=90°,

."OAB为等腰直角三角形，

AB=正0A=2V2,

,四边形MANB=S^MAB+S^NAB，

..当M点到AB的距离最大，AMAB的面积最大；

当N点到AB的距离最大时，ANAB的面积最大，

即M点运动到D点，N点运动到E点.

此时四边形MANB面积的最大值

SbDAEB=S&DAB+^EAB

11

=-ABCD+-ABCE

2x2x

=)1Bx(CC+CE)

1

=-ABxDE

2

=Ix2V2x4

=4V2.

9如图，在SBC+,ZABC=90°,AB=8,BC=12,D为AC边上的一个动点，连接BD,E为BD上的一个动点，连接A

E,CE,当NABD=NBCE时，线段AE的最小值是().

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【解析】•2ABC=90。，

-.zABD+zCBE=90°,

.zABD=zBCE,

NBCE+NCBE=90°,

•­•NCEB=90",

••点E在以BC为直径的。O上，连接OEQA,

•.BC=12,

1

OE=OB=OC=-BC=6,

2

■.■AB=Q,ZABO=90",

AO=7AB2+OB?=10,

•.AE>AO-OE=10-6=4,

.・当且仅当A,E,O三点共线时，AE取得最小值，最小值为4,故选B.

【标注】【知识点】圆中最值

10.如图，在RfABC中/ACB=90o,AC=2百,BC=3点P为&ABC内一点，且满足PA2+PC2,当PB的长

度最小时，AACP的面积是（）

【答案】D

【解析】PA2+PC2=AC2,

ZAPC=90°,

.点P在以AC为直线的。。上，连接OB,OP,

•••AC=2V3,

•QA=OC=OP=V3

ZACB=90°,BC=3,

OB=VBC2+OC2=2V3,

1

OC=-OB,ZOBC=30°,

2

.BP>OB-OP,

,.当且仅当B,P,O三点共线时，BP的长度取得最小值，

BP的最小值为V3

此时，ZP0C=60°,

1

・•.ZPAC=-ZP0C=30°,

2，

PC=-AC=V3,

2

AP=y/AC2-PC2=3,

S»APC=QPC,AP

=-xV3x3

2

3V3

=—

即当PB的长度最小时，MCP面积是手,

故选D.

【标注】【知识点】圆中最值

11如图,在矩形ABCD中，已知AB=3,BC=4,点P是BC边上一动点（点P不与B,C重合），连接AP，作点B关

于直线AP的对称点M,则线段MC的最小值为（）

A.2B.5D.VTo

2

【答案】A

【解析】解：连接AM,如下图所示:

••点B和M关于AP对称，

.AB=AM=3,

••.M在以A圆心，3为半径的圆上，

.•.当A,M,C三点共线时，CM最短,

1.在矩形ABCD中，AC=V32+42=5,

AM=AB=3,

，CM=5-3=2,

因此正确答案为：A.

【标注】【知识点】矩形的性质

【知识点】点与圆上一点间距离的最大、最小值

【知识点】勾股定理

【知识点】轴对称的性质

12如图，在边长为6的等边&ABC中，点E,F分别是边AC,BC上的动点，且AE=CF,连接BE,AF交于点P,连接CP,

则CP的最小值为

【答案】2V3

・"ABO是等边三角形，

，AB=AC=BC=6/CAB=NCBA=NACB=60°,

AB=CA

在SBE和ACAF中，｛zBAE=ZACF,

AE=CF

."ABE当CAF(SAS),

.-.zABE=zCAF,

•••ZCAF+NBAP=60°,

•••NABE+NBAP=60°,

ZAPB=180°-^ABE+NBAP)=120°,

作AABP的外接圆。O,连接OA、OB、OP,OC,

^AOB=2(180°-ZAPB)=120°,

.OA=OB,CA=OB,

.-.OC垂直平分AB,

.•.zACO=zBCO=30°,zAOC=zBOC=60°,

.-.zCAO=90o,

•••OA=^-AC=2®OC=204=4A/3,

•••OP=0A=2但

•.•CP>OC-OP,

..当且仅当。、P、c三点共线时，

CP取得最小值，

.'.CP的最小值为44V3-2V3=2V3.

故答案为：2V3

【标注】【知识点】圆与全等

13如图，等边AABC中,AB=6,点D、点E分别在BC和AC上，且BD=CE,连接AD、，于点F,则CF的最小值为

【答案】2V3

【解析】等边AABC,AB=6.

AB^BC)

£ABC=N。=CO*}*AABDgABOE.

BD^CB).......

NABE+NCBE=60°=NABE+ZBAF.：年^K

.-.zAFB=120o.

..作AB为边外正三角形的外接圆，F在以。为圆心，OB为半径的圆上，

OB=OF=6xcos30"x|=2A/3,

OC=y/OB2+62=J(2V3)2+36=48

•••CFmin=OC-OF=4V3-2V3=2V3.

【标注】【知识点】辅助圆问题

14.如图，点P为边长为2的正方形ABCD外一点，且PA±PB,连接AO、PC,贝!|△PAC面积的最大值为.

【答案】V2+1

【解析】方法一■.2APB=90。,

点P在以AB为直径的圆上.

以AB为直径作圆。，交AC于点E,

AE=|XC=+BC2=&,OA=OB=0E=1,,."AOE是等腰直角三角形，

在RfAOE中，设AE边上的高为h,利用等面积法：

-1-1

-x^xAE=-xOAx0E,

22

.•"=也

2，

.“APE中AE边上的高的最大值为：1+与

."APE面积的最大值为：|x(1+号)xa=号+:

.,.△PAC的最大面积为2xC+=V2+1.

故答案为：V2+1.

方法二:•.NAPB=90°,点P在正方形ABCD外,.•.点P在以AB为直径的左半圆上，

以AB为直径作半圆。，过。作AC的垂线，垂足为E.

•.正方形ABCD的边长为2,

0A=1,AC=2A/2,ZBAC=45°,

OE=—,

2

.“PAC中AC边上的高最大为乎+1,

.“PAC面积的最大值为：|x2V2x(^+l)=V2+l.

15如图，点A,B的坐标分别为A(2,0),B(0,2),点C为坐标平面内一点，BC=1,点M为线段AC的中点，连接0

M,则0M的最大值为().

X.V2+1B.V2+IC.2V2+1D.2V2

【答案】B

【解析】作A点关于v轴的对称点D,连接BD、CD,

.■.A(2,0),

D(-2,0),

.'.0A=0D=2.

B(0,2).

.'.0B=2,

•••BD=<0D2+OB2=2V2,

点是AC的中点，

..AM=CM,

•••OM是AACD的中位线，

1

・•・OM=-DC.

2

vBC=l,

•・•点C在以B为圆心，1为半径的圆弧上移动，

「.CDwBD+BC,

・•・CD<slant2a+1,

.・当且仅当D、B、C三点共线时，CD取得最大值为2迎+L

1

•••OM=-CD

2f

•.OM的最大值为V2+|

故选B.

16.如图，在等边SBC中,AB=12,点D在AB边上,AD=4,E为AC中点,P为SBC内一点且NBPD=90°,则线段

PE的最小值为()

A.3V3-2B.4V3-2C.2V13-4D.4V13-8

【答案】C

【解析】以BD为直径作。。，连接OE交。。于点P,则OE的长度最小，即EP最小，过点E作EF±AB于

点F,在RfAEF中,

zA=60°,AE=6,

.­.AF=3,EF=3V3

在RfOEF中,EF=3V3,OF=5,

•••OE=2V13,

PE=2V13-4,

即线段PE的最小值为2V13-4,

故选C.

【标注】【知识点】辅助圆问题

17.如图，在3BC中/ACB=90°,AC=3,BC=4将AABO绕BC的中点D旋转得^EFG,连接CE,则CB的最大

值为.

【答案】V13+2

【解析】方法一：

由旋转可知DA=DE,

故点E的运动轨迹为以D为圆心，DA长为半径的圆.

当点E运动到E"时，CE的值最大，作BC的延长线交圆D于E',E"点,

•；D是BC的中点BC=4,

11

・•.CD=-BC=-义4=2,

22

X-.AC=3,zACB=90°,

AD=y/AC2+CD2=V9T4=V13,

，圆D的半径rr=V13,

由图知E'E''=2r=2V13,

CE=DE-CD=r-^BC=V13-2,

CE'=EE''-C£z=2V13-(V13-2)=V13+2,

故CE的最大值为V13+2.

故答案为：V13+2.

方法二：反客为主，假定AEFG不动旋转AACB.

【标注】【知识点】辅助圆问题

18.如图，在矩形纸片ABCD中,AB=4,AD=6,点E是AB的中点点F是边AD上的一个动点，将3EF沿EF所

在直线翻折，得到AA'EF,则线段A'C的最小值是.

【答案】2V10-2

【解析】以点E为圆心，AE长度为半径作圆，连接CE,

当点A，在线段CE上时，A'C的长取最小值，

如图所示：

根据折叠可知：AE=AE=\AB=2,

在RbBCE中，BE=IAB=2,BC=6/B=90。,

•••CE=y/BE2+BC2=2V10,

.'.A'C的最小值=CE-AE=2V10-2

故答案为：2A/TU—2.

【标注】【知识点】辅助圆问题

19如图，在四边形ABCD中,AB=2,BC=BD/ADC=150O/DCB=60。,贝！］AC的最大值是.

【答案】1+V3

【解析】以AB为边向上作等边AABE,连接EC,

.-.BC=BD,zDCB=60o,

.“DCB为等边三角形，

，NADB=NADC-NCDB=150°-60°=90°,

在AABD和AEBC中，

AB=BE/ABD=NEBC=60°-NDBE,BD=BC,

.“ABD学EBC(SAS),

..NADB=NECB=90°,

在AEBC中,EB=AB=2/ECB=90°,

以BE为直径作。0，半径R=\BE=1,

所以动点C在以BE为直径的半圆0上,

连接A。并延长。。于C,

・•・AC<slantAC=AO+OC=AO+1,

在等边AABE中,AB=2,0为BE中点

AO=V3,

AC=V3+1,

即AC最大值为V3+1,

【标注】【知识点】辅助圆问题

20在3BC中/ABC=90°,AB=2,BC=3.点D为平面上一个动点/ADB=45°,1段CD长度的最小值为

【答案】V5-V2

【解析】如图所示:

•./ADB=45o,AB=2,作AABD的外接圆。0,连接0AQBQC,当0、D、C三点共线时，线段CD的长度取得最

小值.

•••zADB=45°,

.­.zAOB=90°,

△A0B为等腰直角三角形，

AO=B0=sin45"XAB=y/2,NOBA=45°.

•.zOBA=45°,zABC=90°,

NOBC=45°,作OE_I_BC于点E,

..△OBE为等腰直角三角形.

•••OE=BE=sin45°XOB=1,

.-.CE=BC-BE=3-1=2,

在RbOCE中，

OC=y/OE2+CE2="2+22=Vs.

当0、D、C三点共线时，OD的长等于半径长，

CD长度的最小值=OC-OD=V5-V2.

故答案为：V5—V2.

【标注