2024北京重点校高二（下）期末数学汇编：离散型随机变量的数字特征

第1页/共1页2024北京重点校高二（下）期末数学汇编离散型随机变量的数字特征一、单选题1．（2024北京西城高二下期末）投掷2枚均匀的骰子，记其中所得点数为1的骰子的个数为X，则方差（

）A． B． C． D．二、填空题2．（2024北京顺义高二下期末）已知随机变量取所有值是等可能的，且，则.3．（2024北京怀柔高二下期末）若随机变量X的分布列为（如表），X123则；若随机变量Y=2X+1，则随机变量Y的数学期望E(Y)=．（用数字作答）4．（2024北京西城高二下期末）设随机变量的分布列如下，其中，，成等差数列，且．012P则；符合条件的的一个值为．5．（2024北京大兴高二下期末）随机变量X的分布列如下：其中a，b，c成等差数列，则，若则方差．三、解答题6．（2024北京海淀高二下期末）为了调研某地区学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地区随机选取了10所学校进行研究，得到如下数据：(1)从这10所学校中随机选取1所，已知这所学校参与“自由式滑雪”人数超过40人，求该校参与“单板滑雪”超过30人的概率；(2)已知参与“自由式滑雪”人数超过40人的学校评定为“基地学校”.现在从这10所学校中随机选取2所，设“基地学校”的个数为，求的分布列和数学期望；(3)现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行、转弯、停止”这3个动作技巧进行集训，并专门对这3个动作进行了多轮测试.规定：在一轮测试中，这3个动作中至少有2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”.在此集训测试中，李华同学3个动作中每个动作达到“优秀”的概率均为，每个动作互不影响，每轮测试也互不影响.如果李华同学在集训测试中想获得“优秀”的次数的均值达到5次，那么至少要进行多少轮测试？（结果不要求证明）7．（2024北京海淀高二下期末）某公司有甲乙两条生产线生产同一种产品，为了解产品的质量情况，对两条生产线生产的产品进行简单随机抽样，经检测得到了A、B的两项质量指标值，记为，定义产品的指标偏差，数据如下表：甲生产线抽样产品编号指标123456789100.980.961.071.020.990.930.920.961.111.022.011.971.962.032.041.981.951.992.072.020.030.070.110.050.050.090.130.050.180.04乙生产线抽样产品编号指标123456781.020.970.950.941.130.980.971.012.012.032.151.932.012.022.192.040.030.060.200.130.140.040.220.05假设用频率估计概率，且每件产品的质量相互独立．(1)从甲生产线上随机抽取一件产品，估计该产品满足且的概率；(2)从甲乙两条生产线上各随机抽取一件产品，设表示这两件产品中满足的产品数，求的分布列和数学期望；(3)已知的值越小则该产品质量越好．如果甲乙两条生产线各生产一件产品，根据现有数据判断哪条生产线上的产品质量更好？并说明理由．8．（2024北京通州高二下期末）某农产品经销商计划分别在甲、乙两个市场销售某种农产品（两个市场的销售互不影响），为了了解该种农产品的销售情况，现分别调查了该农产品在甲、乙两个市场过去10个销售周期内的销售情况，得下表：销售量销售周期个数市场3吨4吨5吨甲343乙253(1)从过去10个销售周期中随机抽取一个销售周期，求甲市场销售量为4吨的概率；(2)以市场销售量的频率代替销售量的概率．设（单位：吨）表示下个销售周期两个市场的总销售量，求随机变量概率分布列；(3)在（2）的条件下，设该经销商计划在下个销售周期购进吨该产品，在甲、乙两个市场同时销售，已知该产品每售出1吨获利1000元，未售出的产品降价处理，每吨亏损200元．以销售利润的期望作为决策的依据，判断与应选用哪一个．9．（2024北京石景山高二下期末）某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：cm）介于之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示.

(1)求的值；(2)若从高度在和中分层抽样抽取5株，在这5株中随机抽取3株，记高度在内的株数为X，求X的分布列及数学期望；(3)以频率估计概率，若在所有花卉中随机抽取3株，求至少有2株高度在的概率.10．（2024北京怀柔高二下期末）为了了解高三学生的睡眠情况，某校随机抽取了部分学生，统计了他们的睡眠时间，得到以下数据（单位：小时）：男生组：5，

5.5，

6，

7，

7，

7.5，

8，

8.5，

9；女生组：5.5，

6，

6，

6，

6.5，

7，

7，

8．用频率估计概率，且每个学生的睡眠情况相互独立．(1)世界卫生组织建议青少年每天最佳睡眠时间应保证在8-10（含8小时）小时，估计该校高三学生睡眠时间在最佳范围的概率；(2)现从该校的男生和女生中分别随机抽取1人，表示这2个人中睡眠时间在最佳范围的人数，求的分布列和数学期望；(3)原女生组睡眠时间的样本方差为，若女生组中增加一个睡眠时间为6.5小时的女生，并记新得到的女生组睡眠时间的样本方差为，写出与的大小关系．（结论不要求证明）11．（2024北京第二中学高二下期末）某城市一条地铁新线开通了试运营，此次开通了、、、、、共6座车站．在试运营期间，地铁公司随机选取了乘坐该地铁新线的200名乘客，记录了他们的乘车情况，得到下表（单位：人）：下车站上车站合计564272412201378605738124139916384101623352554319合计363656262125200(1)在试运营期间，从在站上车的乘客中任选1人，估计该乘客在站下车的概率；(2)以频率估计概率，在试运营期间，从在站上车的所有乘客和在站上车的所有乘客中各随机选取1人，设其中在站下车的人数为，求随机变量的分布列以及数学期望；(3)为了研究各站客流量的相关情况，用示所有在站上下车的乘客的上、下车情况，“”表示上车，”表示下车．相应地，用，分别表示在站，站上、下车情况，直接写出方差，，大小关系．12．（2024北京东城高二下期末）近年来，我国新能源汽车蓬勃发展，极大地促进了节能减排.遥遥计划在，，，，，这6个国产新能源品牌或在，，，这4个国产燃油汽车品牌中选择购车.预计购买新能源汽车比燃油车多花费40000元.据测算，每行驶5公里，燃油汽车约花费3元，新能源汽车约消耗电1千瓦时.如果购买新能源汽车，遥遥使用国家电网所属电动汽车公共充电设施充电，充电价格分为峰时、平时、谷时三类，具体收费标准（精确到0.1元/千瓦时）如下表：充电时间段充电价格（元/千瓦时）充电服务费（元/千瓦时）峰时10：00—15：00和18：00—21：001.00.8平时7：00—10：00，15：00—18：00和21：00—23：000.7谷时当日23：00—次日7：000.4(1)若遥遥在6个新能源汽车品牌中选出2个品牌作比较，求品牌被选中的概率；(2)若遥遥选购新能源汽车，他在18：00，18：30，19：00，19：30，…，23：30这12个时间点中随机选择一个时间点给车充电，每次充电30千瓦时（用时不超过半小时）.设为遥遥每次充电的费用，求的分布列和数学期望；(3)假设遥遥一年驾车约行驶30000公里，按新车使用8年计算，如果只考虑购车成本与能源消耗支出，计算说明选择新能源汽车和燃油汽车哪个的总花费更少.13．（2024北京西城高二下期末）为了解不同人群夏天户外运动的情况，分别从甲、乙两个单位随机选出几名职工，统计了他们的夏天户外运动时长，得到以下数据（单位：小时）：甲单位：25，26，32，33，34，36，46，47，50，55；乙单位：15，16，22，23，24，26，36，37，40．假设用频率估计概率，用样本估计总体，且每名职工的户外运动情况相互独立．(1)现要对乙单位中夏天户外运动时长不足20小时的职工进行体检，已知乙单位共有1800名职工，试估计乙单位此次参加体检的职工人数．(2)从甲单位职工中随机抽取2人、乙单位职工中随机抽取1人，记X为这3人中夏天户外运动时长不少于35小时的人数，求X的分布列和数学期望；(3)设样本中甲单位职工户外运动时长的方差为、乙单位职工户外运动时长的方差为，写出与的大小关系．（结论不要求证明）14．（2024北京延庆高二下期末）某学校开展健步走活动，要求学校教职员工上传11月4日至11月10日的步数信息.教师甲、乙这七天的步数情况如图1所示.(1)从11月4日至11月10日中随机选取一天，求这一天甲比乙的步数多的概率；(2)从11月4日至11月10日中随机选取三天，记乙的步数不少于20000的天数为，求的分布列及数学期望；(3)根据11月4日至11月10日某一天的数据制作的全校800名教职员工步数的频率分布直方图如图2所示.已知这一天甲与乙的步数在全校800名教职员工中从多到少的排名分别为第501名和第221名，判断这是哪一天的数据.（只需写出结论）15．（2024北京延庆高二下期末）为了解客户对A，B两家快递公司的配送时效和服务满意度情况，现随机获得了某地区客户对这两家快递公司评价的调查问卷，已知A，B两家公司的调查问卷分别有120份和80份，全部数据统计如下：快递公司A快递公司B快递公司项目份数评价分数配送时效服务满意度配送时效服务满意度292416124756404844402420假设客户对A，B两家快递公司的评价相互独立，用频率估计概率.(1)从该地区选择A快递公司的客户中随机抽取1人，估计该客户对A快递公可配送时效的评价不低于75分的概率：(2)分别从该地区A和B快递公司的样本调查问卷中，各随机抽取1份，记X为这2份问卷中的服务满意度评价不低于75分的份数，求X的分布列和数学期望：(3)记评价分数为“优秀”等级，为“良好”等级，为“一般”等级､已知小王比较看重配送时效的等级，根据该地区A，B两家快递公司配送时效的样本评价分数的等级情况，你认为小王选择A，B哪家快递公司合适？说明理由，

参考答案1．A【分析】根据对立事件的概率乘法公式可得分布列，即可求解期望，进而可得方差.【详解】的分布列为：012故,,故选：A2．3【分析】根据随机变量的数学期望公式列出方程，求解方程即可.【详解】由题意可得，所以，解得.故答案为：3.3．/0.5/【分析】利用概率和等于1以及数学期望的计算公式、性质求解.【详解】Y=2X+1.故答案为：；.4．1（答案不唯一）【分析】根据分布列的性质和等差数列的性质，即可求解；根据离散型随机变量分布列求期望，再求值.【详解】由题意可知，，所以，，，所以，符合条件的的一个值为1.故答案为：；15．；【解析】离散型随机变量的分布列中各随机变量对应的概率的总和为1，再由等差中项性质即可求得；由即可求出，，由均值计算公式计算均值，进而由方差计算公式计算出方差.【详解】解：，，成等差数列，，，，，；，且，，成等差数列，①又，即②由①，②解得：，，又，，.故答案为：，.6．(1)1(2)分布列见解析，(3)【分析】（1）先将题设的数据整理为表格，根据表中数据结合条件概率的计算公式可求概率；（2）结合超几何分布可求的分布列和数学期望；（3）先求出李华在一轮测试中“优秀”的概率，再结合二项分布的期望公式可求至少要进行多少轮测试.【详解】（1）由题设可得如下数据：自由单板设为“学校参与“自由式滑雪”人数超过40人”，为“该校参与“单板滑雪”超过30人”，则，而，故.故已知这所学校参与“自由式滑雪”人数超过40人，该校参与“单板滑雪”超过30人的概率为12（2）参与“自由式滑雪”人数在40人以上的学校共4所，的所有可能取值为，所以，，，所以的分布列如下表：012所以.（3）记“李华在一轮测试中获得“优秀””为事件，则，由题意，甲同学在集训测试中获得“优秀”的次数服从二项分布，由题意列式，得，因为，所以的最小值为，故至少要进行轮测试.7．(1)；(2)分布列见解析，数学期望；(3)甲生产线上的产品质量更好，理由见解析.【分析】（1）根据给定数据，利用频率估计概率即得；（2）先分别得出甲、乙的项指标值大于2的产品的概率，再利用相互独立事件同时发生的概率乘法公式分别求解相应概率，列出分布列，最后求解期望即可；（3）比较甲乙两生产线上值的平均值大小可得.(其他理由也可，如:求出甲生产品的值小于乙的概率，再比较该概率值与的大小.)【详解】（1）记表示“从甲生产线上随机抽取一件产品，该产品满足且”．用频率估计概率，则．所以该产品满足且的概率为．（2）由表格数据，用频率估计概率，可得“从甲生产线上随机抽取一件产品，该产品满足”的概率为；“从乙生产线上随机抽取一件产品，该产品满足”的概率为.由题意，的所有可能取值为．，．所以的分布列为012所以的数学期望为．（3）甲生产线上的产品质量更好，因为甲生产线上值的平均值，乙生产线上值的平均值，所以甲生产线上值的平均值明显比乙小，所以甲生产线上的产品质量更好．其它理由：从甲乙两生产线的样本中各随机取一件，则甲生产品的值小于乙的概率为，所以甲生产线上的产品质量更好．8．(1)0.4；(2)分布列见解析；(3)应选.【分析】（1）利用古典概率求得结果.（2）求出的可能及各个值对应的概率，列出分布列.（3）分别求出与时销售利润的期望，再比较大小即得结果.【详解】（1）设甲市场销售量为4吨的事件为A，则.（2）设甲市场销售量为吨的概率为，乙市场销售量为吨的概率为，则由题意得，，；，，，设两个市场总需求量为的概率为，所有可能的取值为6，7，8，9，10，，，，，，所以的分布列如下表：6789100.060.230.350.270.09（3）由（2）知，，，当时，销售利润，当时，，当时，，因此的分布列为：0.06则元；当时，，，，销售利润，当时，，当时，，当时，，因此的分布列为：0.060.71则元；因为，所以应选.9．(1)；(2)分布列见解析，(3)【分析】（1）依题频率和为1可得答案；（2）求出的取值及相应的概率可得答案；（3）根据独立重复概率公式可得答案.【详解】（1）依题意可得，解得；（2）由（1）可得高度在和的频率分别为和，所以分层抽取的5株中，高度在和的株数分别为2和3，所以可取0，1，2，所以，，，所以的分布列为：012所以；（3）从所有花卉中随机抽取3株，记至少有2株高度在为事件，则.10．(1)(2)分布列见解析；期望为(3)【分析】（1）直接计算该校高三学生的睡眠时间在最佳范围的频率；（2）的所有可能取值为0，1，2，求出分布列，再由期望公式求解；（3）直接判断写出与的大小关系．【详解】（1）设“该校高三学生的睡眠时间在最佳范围”为事件A，

在随机抽取的17人中有4人的睡眠时间在最佳范围，所以；（2）由题意，“从男生中随机选出1人，其睡眠时间在最佳范围”为事件B，则，“从女生中随机选出1人，其睡眠时间在最佳范围”为事件C，，

由条件可知，的所有可能取值为0，1，2，，，，所以的分布列为：012；（3）．11．(1)(2)分布列见解析；期望为(3)【分析】（1）利用频率来求概率即可；（2）由题意可知，可取0，1，2，求出相应的概率，从而可求出随机变量的分布列及数学期望；（3）利用两点分布的方差公式依次求出进行比较即可.【详解】（1）设选取的乘客在站上车、在站下车为事件，由已知，在站上车的乘客有60人，其中在站下车的乘客有20人，所以．（2）从在站上车的所有乘客中任选1人，该乘客在站下车的概率为由题意可知，可取0，1，2，，，随机变量的分布列为012所以随机变量的数学期望为．（3）因为在站上车的有60人，下车的有36人，所以，所以，因为在站上车的有24人，下车的有56人，所以，所以，因为在站上车的有38人，下车的有26人，所以，所以，所以.12．(1)(2)分布列见解析，期望(3)选择新能源汽车的总花费最少【分析】（1）由古典概型概率计算公式直接计算即可求解；（2）的所有可能取值为，分别求出对应的概率即可得分布列以及数学期望；（3）分别求出各自的购车成本以及能源消耗支出的表达式，从而即可进行比较.【详解】（1）若遥遥在6个新能源汽车品牌中选出2个品牌，共有种，若品牌被选中，则有种选择，从而所求概率为；（2）在峰时充电，每次充电30千瓦时需要花费，在平时充电，每次充电30千瓦时需要花费，在谷时充电，每次充电30千瓦时需要花费，所以的所有可能取值为，在18：00，18：30，19：00，19：30，…，23：30这12个时间点中随机选择一个时间点中：峰时充电有：18：00，18：30，19：00，19：30，20：00，20：30，共六个时间点，平时充电有：21：00，21：30，22：00，22：30，共四个时间点，谷时充电有：23：00，23：30，共两个时间点，所以，，，的分布列为：364554的数学期望为；（3）解法一：设燃油车购车成本为万元，则新能源汽车购车成本为万元，燃油车能源消耗支出为万元，设为在某个时间段充电1千瓦时的费用，在峰时充电，每次充电1千瓦时需要花费，在平时充电，每次充电1千瓦时需要花费，在谷时充电，每次充电1千瓦时需要花费，则的所有可能取值为，且，所以，新能源汽车能源消耗支出为万元，如果只考虑购车成本与能源消耗支出，则燃油汽车的总花费为，新能源汽车的总花费为，综上所述，选择新能源汽车的总花费最少.解法二：按新车使用8年计算，燃油汽车使用的燃油费为(元)，新能源汽车使用电费最多为(元)，因为购买新能源汽车比燃油车多花费40000元，所以(元).新能源汽车至少比燃油汽车总花费少17600元，所以选择新能源汽车总花费更少.13．(1)人(2)分布列见解析，期望(3)【分析】（1）根据样本计算频率，再估计总体参加体检的职工人数；（2）以样本中的数据的频率作为概率，利用独立事件概率公式，求分布列和数学期望；（3）根据样本的关系，再结合方差的定义，即可比较大小.【详解】（1）乙单位样本中夏天户外运动时长不足20小时的职工有2人，所以运动时长不足20小时的频率为，所以乙单位1800名职工，估计参加体检的职工数为人；（2）甲单位职工户外运动时长不少于35小时概率为，乙单位职工户外运动时长不少于35小时的概率为，由题意可知，，，，，，分布列如下表0123；（3）甲单位和乙单位的前9个数据的差值都是10，所以甲单位和乙单位前9个数据的方差相同，甲单位比乙单位多一个数据55，这个数据与平均数的差值最大，所以使甲单位的波动变大，从而方差变大，所以.14．(1)(2)分布列见解析，