2024北京重点校高一（下）期末数学汇编：立体几何初步章节综合（解答题）

第1页/共1页2024北京重点校高一（下）期末数学汇编立体几何初步章节综合（解答题）一、解答题1．（2024北京丰台高一下期末）如图，在三棱柱中，，，平面平面.(1)求证：；(2)从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，当直线与平面所成角为时，（ⅰ）求证：平面平面；（ⅱ）求二面角的正弦值.条件①：；条件②：.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.2．（2024北京通州高一下期末）如图，七面体中，菱形所在平面与矩形交于，平面与平面交于直线．(1)求证：；(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知条件，试求当为何值时，平面平面？并证明你的结论．条件①：；条件②：．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．3．（2024北京丰台高一下期末）如图，在三棱锥中，分别是线段的中点.(1)求证：平面；(2)过直线作平面，若平面与直线交于点，直线平面，求证：是线段的中点.4．（2024北京第八中学高一下期末）如图，在四棱锥中，是正方形，平面，分别是的中点.(1)求证：；(2)求证：平面.5．（2024北京通州高一下期末）如图，在棱长为2的正方体中，点E，F分别是棱的中点．求证：(1)平面；(2)平面；(3)求三棱锥的体积．6．（2024北京怀柔高一下期末）如图，已知正方体边长为2.

(1)证明：平面；(2)证明：；(3)求三棱锥的体积.7．（2024北京顺义高一下期末）如图，在五面体中，底面为正方形，，，，为的中点，为的中点，，．(1)求证：；(2)求证：平面平面；(3)求五面体的体积．8．（2024北京顺义高一下期末）如图，在正方体中，为的中点．(1)求证：平面；(2)求证：平面；(3)写出直线与平面所成角的正弦值（只需写出结论）．9．（2024北京怀柔高一下期末）如图1，在中，分别为的中点.将沿折起到的位置（与不重合），连，如图2.

(1)求证：平面平面；(2)若平面与平面交于过的直线，求证；(3)线段上是否存在点，使得平面，若存在，指出点位置并证明；若不存在，说明理由.10．（2024北京北师大附中高一下期末）高一年级举办立体几何模型制作大赛，某同学想制作一个顶部是正四棱锥、底部是正四棱柱的模型，并画出了如图所示的直观图.其中正四棱柱.的高是正四棱锥.的高的4倍.(1)若；(i)求该模型的体积；(ii)求顶部正四棱锥的侧面积；(2)若顶部正四棱锥的侧棱长为6，当为多少时，底部正四棱柱的侧面积S最大?并求出S的最大值.11．（2024北京延庆高一下期末）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，，分别为，的中点

(1)求证：平面；(2)求证：；(3)从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个，使得平面，并证明.条件①：；条件②：；条件③：三棱锥的体积为.注：如果选择条件不能使平面得零分.12．（2024北京东城高一下期末）如图，在四棱锥中，平面，，．(1)求证：平面；(2)求证：平面平面；(3)设点为的中点，过点，的平面与棱交于点，且平面，求的值．13．（2024北京延庆高一下期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，为线段上的中点.(1)求证：平面；(2)求证：平面；(3)求证：平面平面.14．（2024北京西城高一下期末）如图，在三棱柱中，点分别为的中点．(1)求证：平面；(2)已知，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得三棱柱唯一确定，并求解下列问题：条件①：；条件②：；条件③：．（i）求证：；（ii）求三棱锥的体积．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．15．（2024北京昌平高一下期末）如图，在几何体中，侧面是正方形，平面平面，，，.(1)求证：；(2)求证：平面；(3)判断直线与是否相交，说明理由.16．（2024北京房山高一下期末）如图，在四棱锥中，为梯形，．(1)在侧面内是否存在直线与平行？如果存在，作出直线并给出证明；如果不存在，请说明理由；(2)在图中作出平面与平面的交线，并给出证明；(3)在侧面内是否存在直线与平行？说明理由．17．（2024北京大兴高一下期末）如图，正方体中，N，E，F分别是的中点．(1)求证：E，F，B，D四点共面；(2)设平面与平面交于直线，求证：；(3)求直线与平面所成角的正弦值．18．（2024北京西城高一下期末）如图（1），在Rt中，分别是上的点，且，将沿折起到的位置，使，如图（2）．(1)求证：平面；(2)求点到平面的距离；(3)点为线段的中点，线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．19．（2024北京房山高一下期末）如图，在三棱锥中，平面平面ABC，，，，点M为AC的中点．(1)求证：平面平面PAB；(2)线段PC上是否存在点N，使得平面BMN?若存在，求的值；若不存在，请说明理由．20．（2024北京房山高一下期末）如图，在正方体中，E为的中点．(1)求证：；(2)求证：平面BDE．21．（2024北京朝阳高一下期末）如图1，在中，，，，，分别为，的中点．将沿折起到的位置，得到四棱锥，如图2．(1)求证：；(2)若M是线段上的点，平面与线段交于点N．再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知．使点M唯一确定，并解答问题．（ⅰ）求证：为的中点；（ⅱ）求证：平面．条件①；条件②；条件③．注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分，如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．22．（2024北京朝阳高一下期末）如图，在长方体中，，，为的中点．(1)求证：平面；(2)求证：平面平面；(3)求点到平面的距离．23．（2024北京大兴高一下期末）如图所示，已知平面ACD，平面ACD，为等边三角形，，F为CD的中点.求证：(1)平面BCE；(2)平面平面CDE.

参考答案1．(1)证明见解析；(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）【分析】（1）根据面面垂直可证线面及线线垂直，进而可得线面垂直证明线线垂直；（2）（i）若选①，可证四边形为矩形，进而可得线线垂直，证得面面垂直；若选②，由勾股定理可证，进而可证面面垂直；（ii）过作于点，再过作，可得二面角的平面角，再根据定义法可得二面角的正弦值.【详解】（1）因为，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，因为平面，所以，因为三棱柱，所以四边形是平行四边形，因为，所以是菱形，所以，因为，，平面，所以平面，因为平面，所以；（2）若选择条件①：（ⅰ）因为，所以平行四边形为矩形，所以，由（1）知，，因为，，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面；（ⅱ）因为平面，平面，所以直线与平面所成的角为，所以，因为，所以，，，，作于，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以.作于，连接，因为，，平面，所以平面，因为平面，所以，所以是二面角的平面角.因为，所以，因为，所以，所以，所以二面角的正弦值为.若选择条件②：，因为，所以，所以，由（1）知，，因为，，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面；（ⅱ）因为平面，平面，所以直线与平面所成的角为，所以，因为，所以，，，，作于，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以.作于，连接，因为，，平面，所以平面，因为平面，所以，所以是二面角的平面角.因为，所以，因为，所以，所以，所以二面角的正弦值为.2．(1)证明见解析(2)答案见解析【分析】（1）由于平面，由线面平行的性质定理可证；（2）若选①，设，取的中点，连结如图所示，由平面平面，可得平面，从而，进一步由，得，假设平面平面，可得，，从而；若选②，可得平面，可得平面，从而，进一步由，得，假设平面平面，可得，，从而.【详解】（1）菱形中，，又平面，平面，平面，又平面，平面平面.；（2）若选①当时，平面平面，设，取的中点，连结如图所示，平面平面，平面平面，矩形中，平面，平面，，同理可得：，，因为菱形中，矩形中，，，是的中点，，假设平面平面成立，平面平面，且，平面，平面，，矩形中是的中点，菱形中是的中点，，平面，平面，，又，是的中点，可知△为等腰直角三角形，，，故当时，平面平面；若选②当时，，矩形中，，平面，平面，矩形中，平面，平面，，同理可得：，，因为菱形中，矩形中，，，是的中点，，假设平面平面成立，平面平面，且，平面，平面，，矩形中是的中点，菱形中是的中点，，平面，平面，，又，是的中点，可知△为等腰直角三角形，，，故当时，平面平面.【点睛】关键点点睛：第（2）问求当为何值时，平面平面，在解析时先假设平面平面成立，从而利用面面垂直的性质定理进一步推理.3．(1)证明见解析；(2)证明见解析.【分析】（1）利用中位线定理得到线线平行，结合线面平行判定定理证明线面平行即可.（2）利用给定条件得到线线平行，结合中位线定理证明中点即可.【详解】（1）因为分别是线段的中点，所以是的中位线，所以，因为平面，平面，所以平面.（2）依题意知，平面平面，因为直线平面，平面，所以，因为F是线段中点，所以是线段的中点.4．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）由平面，得，再根据线面垂直的判定定理和性质定理得证；（2）由证明平面，由证明平面，再由面面平行的判定定理证明平面平面，再由面面平行定义可得线面平行.【详解】（1）平面平面，，又四边形是正方形，，且平面，平面，又平面，.（2）分别是线段的中点，，又为正方形，，，又平面平面，平面.分别是线段的中点，，又平面平面，平面.又平面，平面平面，又平面，平面.5．(1)证明见解析(2)证明见解析(3)【分析】（1）先证明四边形为平行四边形，得出，再根据线面平行的判定定理即可得证；（2）根据线面垂直的判定与性质定理即可得证；（3）利用到平面距离为三棱锥的高，结合等体积法求解即可．【详解】（1）证明：，分别为，的中点，，，且，四边形为平行四边形，，又平面，BD不在平面，平面；（2）证明：四边形为正方形，，，，平面，平面，，，，又，，平面，平面；（3）到平面距离为三棱锥的高，，故三棱锥的体积．6．(1)证明见解析(2)证明见解析(3)【分析】（1）根据题意，由线面平行的判定定理，即可证明；（2）根据题意，由线面垂直的性质定理即可证明；（3）根据题意，由等体积法代入计算，即可求解.【详解】（1）

在正方体中，连接交于，连接，交于，连接，则，且平面，平面，所以平面.（2）因为为正方体，则平面，且平面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以.（3）.7．(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3).【分析】（1）利用线面平行的判定、性质推理即得.（2）取的中点，利用线面垂直的判定、性质证得平面，再利用面面垂直的判定推理即得.（3）利用锥体、柱体的体积公式分别求出四棱锥和三棱柱的体积即可.【详解】（1）由正方形，得，又平面，平面，则平面，又平面平面，平面，所以.（2）取的中点，连接，由为的中点，，得，而，则，又，则，又，平面，于是平面，而平面，则，又，为的中点，即四边形是梯形，是平面内两条相交直线，因此平面，而平面，所以平面平面.（3）过作，交分别于，由为的中点，为的中点，得，又，由（2）知平面，则四棱锥的体积，又，则四边形都是平行四边形，于是，而平面，平面，则平面，同理平面，又平面，因此平面面，从而五面体为三棱柱，在三棱柱中，，由平面，平面，得，而，平面，则平面，三棱柱的体积，所以五面体的体积.【点睛】思路点睛：求几何体的体积，要注意分割与补形．将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解．8．(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3).【分析】（1）利用线面平行的判定，结合正方体的结构特征推理即得.（2）利用线面垂直的判定推理即得.（3）取的中点，确定线面角，借助直角三角形求出线面角的正弦.【详解】（1）在正方体中，，则四边形是平行四边形，有，而平面，平面，所以平面.（2）在正方体中，四边形为正方形，则，而平面，平面，则，又平面，所以平面.（3）取的中点，连接，是正方形边中点，则，而平面，于是平面，是直线与平面所成的角，令，则，，又，，所以直线与平面所成角的正弦值.9．(1)证明见解析.(2)证明见解析.(3)在线段上存在点，即为的中点,使得平面.【分析】（1）先证明，根据线面垂直的判断定理得平面，再由面面垂直的判断定理即可证明；（2）先证明平面，再由平面，且平面平面，根据线面平行的性质得.（3）线段上存在点，即为的中点，取中点，连接，证明平面，再由四点在同一个平面得到平面.【详解】（1）因为在中，分别为中点，所以，将翻折到的位置后，即，因为平面，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面.（2）因为在中，分别为中点，所以，因为平面，平面，所以平面，又因为平面，且平面平面，所以.（3）在线段上存在点，即为的中点，使得平面.证明如下：取中点，连接，由（1）可知，平面，因为平面，所以，因为为中点，所以，即为等腰三角形，所以，因为平面，平面，所以平面，因为为的中点，即，所以四点在同一个平面.所以平面.

10．(1)（i）312；（ii）；(2)，.【分析】（1）（i）利用棱锥、棱柱的体积公式计算即得；（ii）求出棱锥的斜高，再利用侧面积.（2），求出棱柱的底面边长，再把棱柱侧面积表示为，再求出函数最大值即可.【详解】（1）（i）由，得，又，因此正四棱锥的体积，正四棱柱的体积，所以模型有体积.（ii）取的中点，连接，由，得，所以正四棱锥的侧面积.（2）设，正四棱柱的侧面积为，则，于是，而，因此当，即时，，所以当时，下部分正四棱柱的侧面积最大，最大面积是.11．(1)证明见解析(2)证明见解析(3)答案见解析【分析】（1）取的中点为，连接，，则利用三角形的中位线定理结合棱柱的性质可证得四边形是平行四边形，则，然后利用线面平行的判定定理可证得结论；（2）由面面垂直的性质可证得平面，再由线面垂直的性质可证得结论；（3）若选①，则无法判断，若选②，则由已知条件结合（1）可得，则得，再结合可证得结论；若选③，则由三棱锥的体积可求得，则，再结合可证得结论.【详解】（1）取的中点为，连接，，为的中点，所以，由三棱柱可得四边形为平行四边形，为的中点，所以，所以，，所以四边形是平行四边形，所以，平面，平面，故平面.

（2）因为侧面为正方形，故，而平面，平面平面，平面平面，故平面，因为平平面，所以.（3）若选①，则，因为侧面为正方形，，所以，则，所以与不垂直，假设平面，又平面，则，矛盾，故①不能选；

选②，四边形是平行四边形，且，因为，所以，在三棱柱中，侧面为正方形，，的中点为，为的中点，所以，则，所以，故，所以因为平面，因为，，平面，故平面选③，因为平面，所以三棱锥的体积，因为，所以，平面，因为，，平面，故12．(1)证明见解析(2)证明见解析(3)【分析】（1）由线面垂直得到，结合即可得证；（2）由，，得到平面，即可得证；（3）由线面平行的性质得到，即可得解.【详解】（1）因为平面，平面，所以，又，，平面，所以平面.（2）因为，，所以，因为平面，平面，所以，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面.（3）因为平面，平面平面，平面，所以，因为点为的中点，所以点为的中点，所以.13．(1)证明见解析(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）如图，连结，交于点，连结，则是的中位线，则，可得平面；（2）由平面，得，又可得平面；（3）由（2）知平面，得，由已知得，则得平面，又平面，可得平面平面.【详解】（1）如图，连结，交于点，连结，因为底面为正方形，所以是中点，又为线段上的中点，所以是的中位线，所以，又平面，平面，所以直线平面.（2）因为底面为正方形，所以，又平面，平面，所以，，，平面，所以平面.（3）由（2）知平面，平面，所以，因为为线段的中点，，底面为正方形，所以，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面.14．(1)证明见解析(2)(i)选条件②③或者①③，证明见解析；（ii）体积为【分析】（1）根据线线平行，即可根据线面平行的判定求证，（2）根据三棱柱唯一可选择②③或者①③，即可证明三棱柱为直三棱柱，即可根据线线垂直证明线面垂直求证，根据三棱锥的体积公式即可求证.【详解】（1）证明：如图，取的中点为，连接，，则且，在三棱柱中，且，又为的中点，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面；（2）若选条件①②：由可得四边形为矩形，底面三角形形状不确定，此时三棱柱不唯一；若选条件②③：由，，平面，故平面，又，故，所以，故三棱柱唯一，符合要求，由于平面，平面，则，又，平面，故平面，平面，故,若选条件①③：由可得四边形为矩形，又，故，所以，故三棱柱唯一，符合要求，由于平面，平面，则，又，平面，故平面，平面，故，15．(1)证明见解析(2)证明见解析(3)不相交，理由见解析【分析】（1）利用面面垂直的性质定理，得到面，再利用线面垂直的性质，即可证明结果；（2）取中点，连接，根据条件，利用平行四边形的性质，得到，再利用线面平行的判定定理，即可证明结果；（3）利用（2）中的结果，得出与异面，即可求出结果.【详解】（1）因为平面平面，平面平面，又，面，所以面，又面，所以.（2）取中点，连接，因为，，所以且，所以为平行四边形，得到且，所以为平行四边形，得到，又面，面，所以平面.（3）直线与不相交，理由如下，由（2）知平面，所以平面，又面，所以，又，，所以与不平行，故与异面，从而与不相交.16．(1)答案见解析(2)答案见解析(3)答案见解析【分析】（1）取中点分别为，连接，结合中位线定理以及平行线的传递性即可得证；（2）由点线面的位置关系作出图形，并直接证明即可；（3）由直线与平面的位置关系直接证明即可.【详解】（1）如图所示：取中点分别为，连接，则在侧面内存在直线与平行，证明如下：因为中点分别为，所以平面，又因为，所以，所以在侧面内存在直线与平行；（2）如图所示：过点作直线平行于，则平面与平面的交线即为，证明如下：因为，，平面，所以平面，而，所以，且注意到，平面，所以平面，所以平面平面；（3）在侧面内不存在直线与平行证明如下：如图所示：过点作，交于点，因为平面，，所以直线与平面也相交，即与平面内的任何一条直线都不可能平行.17．(1)证明过程见解析(2)证明过程见解析(3)【分析】（1）作出辅助线，由中位线得到，再证明出四边形为平行四边形，得到，从而得到线线平行，得到结论；（2）由面面平行得到线线平行；（3）设正方体的棱长为2，由等体积法求出点到平面的距离，从而利用得到答案.【详解】（1）连接，因为E，F分别是的中点，所以，因为，且，所以四边形为平行四边形，故，所以，故E，F，B，D四点共面；（2）因为平面平面，平面平面，平面平面，所以；（3）设直线与平面所成角的大小为，点到平面的距离为，正方体的棱长为2，则，由勾股定理得，故，其中，因为，所以，故，所以直线与平面所成角的正弦值为18．(1)答案见解析(2)(3)存在，【分析】（1）先证明平面，得到，联合，可证；（2）运用等体积法可解；（3）取中点，连接.在上取点，使得，连接.证明即可证明平面，即找出了满足题意的点.【详解】（1）如图所示，根据题意，，且平面，则平面，平面，则.又已知.，平面，则平面.（2）如图所示，连接.设点到平面的距离．由翻折前状态，可知.由（1）知道，，则，则．由（1）知道，，.由平面.等体积法知道.即.代入化简得到，则，则点到平面的距离.（3）存在，.如图所示，取中点，连接.在上取点，使得，连接.由于点为线段的中点，则，.又．则，，则四边形为平行四边形．则，平面，平面，则平面.此时．19．(1)证明见解析(2)存在，【分析】（1）根据面面垂直的判定定理可得证；（2）过点M作垂足为F，根据线面垂直的判定可证平面BMN，然后根据平面几何知识求出，进而求出即可得.【详解】（1）因为平面平面ABC，平面，，平面平面ABC，所以平面ABC，平面ABC，所以，又，，所以,又，所以，所以，又，是平面内的两条相交直线，所以平面，又平面，所以平面平面PAB（2）存在，当时，平面BMN，过点M作垂足为F，由（1）知平面ABC，平面ABC，所以，又点M为AC的中点，，所以，，是平面内的两条相交直线，所以平面，又平面，所以，，是平面BMN内的两条相交直线，所以平面BMN，由已知得，又，即，又，所以，所以，故当时，平面BMN，20．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明平面，结合线面垂直的性质即可得解；（2）由中位线定理得出，结合线面平行的判定定理即可得证.【详解】（1）如图所示，连接，交于点，在正方体中，平面，而平面，所以，又因为在正方形中，，且注意到，平面，