2024北京重点校高一（下）期末数学汇编：平面向量的应用（非选择题）

第1页/共1页2024北京重点校高一（下）期末数学汇编平面向量的应用（非选择题）一、填空题1．（2024北京丰台高一下期末）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，那么，若，，则.2．（2024北京通州高一下期末）已知分别是△ABC的角的对边，若，，，则=，△ABC的面积为．3．（2024北京101中学高一下期末）如图，在平面四边形中，，，记△ABC与的面积分别为，，则的值为．

4．（2024北京顺义高一下期末）在锐角△ABC中，，，的面积为，则．5．（2024北京延庆高一下期末）在△ABC中，，，请从①，②，③中选择一个，使存在且唯一，写出满足要求的一个条件的序号.6．（2024北京海淀高一下期末）一名学生想测算某风景区山顶上古塔的塔尖距离地面的高度，由于山崖下河流的阻碍，他只能在河岸边制定如下测算方案：他在河岸边设置了共线的三个观测点A，B，C（如图），相邻两观测点之间的距离为200m，并用测角仪器测得各观测点与塔尖的仰角分别为,,,根据以上数据，该学生得到塔尖距离地面的高度为m．7．（2024北京海淀高一下期末）在△ABC中，若，则k的一个取值为；当时，．8．（2024北京朝阳高一下期末）在△ABC中，，，若存在且唯一，则的一个取值为．9．（2024北京石景山高一下期末）在△ABC中，，，，则的外接圆半径为.10．（2024北京延庆高一下期末）在△ABC中，若，，，则c等于．二、解答题11．（2024北京丰台高一下期末）在△ABC中，三个内角的对边分别为．已知.(1)求角；(2)将射线AB绕点A旋转交线段BC于点E，已知.（i）若，求c；（ii）求面积的最小值.12．（2024北京第八中学高一下期末）在△ABC中，.(1)求的大小；(2)再从下列三个条件中，选择两个作为已知，使得△ABC存在且唯一，求△ABC的面积.条件①：；条件②：边上的高为；条件③：.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.13．（2024北京北师大附中高一下期末）在△ABC中，，(1)求A的大小；(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在且唯一确定，求的面积.条件①:b=8；条件②:；条件③:AC边上的高BH=3.14．（2024北京北师大附中高一下期末）在中，.(1)求和；(2)求边上的中线的长.15．（2024北京顺义高一下期末）已知函数．在△ABC中，，且．(1)求的大小；(2)若，，求△ABC的面积．16．（2024北京通州高一下期末）在△中，角所对的边为，△的面积为S，且．(1)求角；(2)若，试判断△的形状，并说明理由．17．（2024北京清华附中高一下期末）在△ABC中，，，分别为，，所对的边，已知.(1)求的大小；(2)若且，求的长.18．（2024北京高一下期末）已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．(1)求A的大小；(2)若D是边AB的中点，且，求的取值范围．19．（2024北京怀柔高一下期末）在中，(1)求值；(2)求角和的面积.20．（2024北京海淀高一下期末）在中，．(1)求A的大小；(2)若，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求最长边上高线的长．条件①：；条件②：的面积为；条件③：．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．21．（2024北京延庆高一下期末）在中，，.(1)求的大小；(2)从下列三个条件中选择一个作为已知，使存在，求的面积.条件①：；条件②：；条件③：.注：如果选择的条件使不存在，第（2）问得0分.(3)若，求周长的取值范围.22．（2024北京延庆高一下期末）已知中，，，.(1)求；(2)求；(3)求的面积.23．（2024北京昌平高一下期末）在中，.(1)求；(2)若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在.（ⅰ）求的值；（ⅱ）求的面积.条件①：；条件②：；条件③：注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.24．（2024北京房山高一下期末）如图，在中，是上的点，，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知．(1)求证：是直角三角形；(2)求的周长．条件①：；条件②：．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．25．（2024北京房山高一下期末）在中，．(1)求角A的大小；(2)若，，求角B的大小；(3)若，求面积的最大值．26．（2024北京大兴高一下期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)求；(2)若．（i）再从条件①，条件②，条件③中选择一个条件作为已知，使其能够确定唯一的三角形，并求的面积．条件①：；条件②：；条件③：．（ii）求周长的取值范围．27．（2024北京西城高一下期末）在中，分别是三个内角的对边，．(1)求的大小；(2)若，且边上的高是边上的高的2倍，求及的面积．28．（2024北京朝阳高一下期末）在中，．(1)求；(2)若的面积是，求的最小值．29．（2024北京石景山高一下期末）已知分别为的三个内角的对边，且．(1)求的值；(2)若，且的面积为，求．30．（2024北京石景山高一下期末）如图，在中，，，平分交于点，．(1)求的值；(2)求的面积．

参考答案1．3【分析】利用正弦定理即可求解，再利用余弦定理即可求.【详解】，由正弦定理可得，又，，，，即，；由余弦定理可得，即，解得或（舍）.故答案为：；3.2．【分析】根据给定条件，利用向量夹角公式计算即得，再利用三角形面积公式求出面积.【详解】依题意，，在中，，所以；的面积.故答案为：；3．【分析】根据余弦定理得，，两式相减可得，由三角形的面积公式得，即可求解.【详解】在中，由余弦定理得，即，得①，在中，由余弦定理得，即，得②，又，所以③，由②①，得，由，得，代入③得.故答案为：.4．/0.25【分析】利用三角形面积公式求出，再利用同角公式计算得解.【详解】依题意，，又是锐角三角形，所以.故答案为：5．②（或③，答案不唯一）【分析】根据正弦和余弦定理，以及三角形边与角的性质，直接计算即可判断求解.【详解】对于①，若，则，这与三角形内角和定理矛盾，不合题意；对于②，若，则，所以，此时，存在且唯一，符合题意；对于③，若，则，因为，所以，所以为锐角，此时，存在且唯一，符合题意.故答案为：②（或③，答案不唯一）.6．【分析】首先根据几何关系表示边长，再根据余弦定理求解.【详解】由题意可知，，，，，设，则，，，根据，则，解得：所以塔尖距离底面的高度为米.故答案为：7．（答案不唯一）1【分析】根据正弦定理，可以进行边化角，然后得到，根据，可得k的取值，又，即可得到的具体值.【详解】因为，由正弦定理可得，，又，所以，所以，又，取，所以，所以当时，，故答案为：，1.8．5（答案不唯一）【分析】根据给定条件，利用正弦定理列式求解即可.【详解】在中，，，由正弦定理，得，由存在且唯一，知或且，解得或，而，所以的一个取值为5.故答案为：59．【分析】由正弦定理求解．【详解】由已知，设三角形外接圆半径为，则，所以．故答案为：1.10．2【分析】由三角形内角和求出角，然后用正弦定理求得．【详解】在中，，又，由正弦定理得，.故答案为：211．(1)；(2)（i）；（ii）.【分析】（1）由余弦定理可得答案；（2）（i）由余弦定理求出可得答案，（ii）解法1：，得出，利用基本不等式求出可得答案；解法2：，由正弦定理求出可得，根据的范围可得答案.【详解】（1）因为，由余弦定理得：，因为A为三角形内角，所以；（2）（i）由和，可知，因为，在中，由余弦定理得：，所以，所以，因为，所以，所以；（ii）解法1：由和，可知，因为，所以，又因为，所以，即，又，当且仅当，即时，等号成立，所以，所以，所以的面积的最小值为.解法2：由和，可知，因为，，所以因为，所以，在中，由正弦定理得：，所以，在中，，所以因为，所以，所以当时，的面积的最小值为.12．(1)(2)答案见解析【分析】（1）利用正弦定理边化角结合三角形内角和关系分析求解即可；（2）选择条件①②：分为锐角和为钝角两种情况讨论，分析可知三角形存在但不唯一；选择条件①③，分析可知，利用正弦定理求得，方法一：利用两角和差公式求，即可求面积；方法二：利用余弦定理求边，即可面积；选择条件②③，分析可知，，利用正弦定理求得，方法一：利用两角和差公式求，即可求面积；方法二：利用余弦定理求边，即可面积.【详解】（1）因为在中，，所以所以，由正弦定理及得，因为，所以.因为，所以.（2）选择条件①②：若为锐角，则，可得；若为钝角，则，可得；综上所述：存在但不唯一，不合题意；选择条件①③，存在且唯一，解答如下：由，且，可得，由正弦定理及，得，解得，方法1：由，得，则，所以.方法2：由余弦定理，得即，解得，所以；选择②③，存在且唯一，解答如下：由，及，得，因为边上的高为，所以由正弦定理及，得，解得：方法1：由，得，则，所以.方法2：由余弦定理，得即，解得，所以.13．(1)；(2)答案见解析.【分析】（1）利用正弦定理边化角即可求解.（2）选①，由余弦定理建立方程无解；选②，利用正弦定理求出，再利用和角的正弦求出并求出三角形面积；选③，由直角三角形边角关系求出，再由余弦定理求出并求出三角形面积.【详解】（1）在中，由及正弦定理，得，而，则，又，所以.（2）选①，，由余弦定理，得，则，显然，即方程无解，因此不存在，①不可选.选②，，在中，，由正弦定理，得，，的两角及一边已知，由三角形全等的判定知，存在且唯一，所以的面积为.选③，AC边上的高BH=3，在中，，即，在中，由余弦定理，得，整理得，而，解得，的三边已知，由三角形全等的判定知，存在且唯一，所以的面积为.14．(1)；(2)【分析】（1）利用余弦定理求出，利用正弦定理求出即可.（2）利用向量中线定理求解即可.【详解】（1）在中，由余弦定理得，解得(负根舍去)，由正弦定理得，解得，故的值为，的值为.（2）由向量中线定理得，所以，所以，故，即的值为.15．(1)(2)【分析】（1）利用两角和差的正弦公式、二倍角公式和辅助角公式化简函数，结合且，和三角形内角和定理计算得到；（2）利用余弦定理和已知条件得到，再利用的面积公式计算得到答案.【详解】（1）因为且，所以，又，所以，则因此（2）由余弦定理得因为，所以的面积为.16．(1)(2)等腰直角三角形，理由见解析【分析】（1）应用面积公式及余弦定理得出正切进而得出角；（2）先应用正弦定理及两角和差的正弦公式化简得出，结合判断三角形形状即可.【详解】（1）在中，因为，则，整理得，且，所以.（2）由正弦定理得,,,,于是,又，故，所以或，因此（舍去）或，所以.是等腰直角三角形.17．(1)(2)【分析】（1）运用正弦定理边角互化即可；（2）用余弦定理，结合已知式子求出，再结合面积公式，可以求出,最后代入已知的式子可以求出.【详解】（1）由和正弦定理得，，则，即，则，即，由于，则，则.（2）由余弦定理得，.又，则，求的.由，即，即，则.代入得，，解得.18．(1)(2)【分析】（1）根据余弦定理可以求解；（2）令，利用正弦定理，把边长都用表示，最后用三角函数知识解得取值范围.【详解】（1）因为所以，所以，又因为，所以；（2）令,因为，所以由正弦定理可得：,所以，所以，又因为，所以所以19．(1)(2)，的面积为【分析】（1）根据正弦定理边化角和二倍角公式可得，再利用余弦定理计算得出结果；（2）根据余弦定理推论计算得出角；再根据三角形面积公式计算的结果；【详解】（1）在中，由正弦定理得因为，所以，由余弦定理得，代入，解得或（舍）（2）由余弦定理推论得，因为，所以角；因此的面积为.20．(1)；(2)答案见解析，最长边上高线长.【分析】（1）利用二倍角的余弦公式，化简求值；（2）若选择条件①，方法一，根据正弦定理和余弦定理求三边，判断最长边，再根据几何关系求高，方法二，根据边长和角，根据大角对大边，直接判断最长边，再求高；若选择条件②，根据面积求，再根据余弦定理求边长，再求最长边的高；如选择条件③，根据正弦定理，判断是否存在.【详解】（1）因为，所以所以，所以，因为，所以舍所以，则；（2）选择①因为，由正弦定理代入，得法一：由余弦定理代入得所以所以或（舍），所以边最长，边上的高线法二：因为，所以，所以，所以，所以为最长边边上的高线选择②因为所以因为，由余弦定理所以所以或所以最长边上的高线，若选择③，，根据正弦定理，，则，不成立，此时不存在.21．(1)(2)答案见解析(3)【分析】（1）由正弦定理将边转化为角即可求解；（2）选条件①：由同角三角函数的平方关系可求，由三角形内角和定理可得，由正弦定理可求边，根据面积公式求解即可；选条件②：由已知可求，结合正弦定理可求，由大边对大角即可判断；选条件③：由余弦定理可求边，根据面积公式求解即可；（3）由正弦定理可表示边，，结合三角函数即可求解取值范围.【详解】（1）由，得，在中，由正弦定理得，因为，，所以，又，所以；（2）选条件①：，所以，由可得，由，可得或，由正弦定理解得或，当时，的面积为，当时，的面积为；选条件②：，所以为钝角，且，由正弦定理，得，所以，又，故此三角形不存在；选条件③：，在中，由余弦定理得，即，整理得，解得或，当时，的面积为，当时，的面积为；（3）由正弦定理，可得，，所以周长为，因为，所以，，，所以周长取值范围为.22．(1)(2)(3)【分析】（1）根据题意利用余弦定理求解即可；（2）利用正弦定定理列方程求解；（3）直接利用三角形的面积公式求解.【详解】（1）由余弦定理，可得，因为，所以；（2）在中，由正弦定理，可得，解得；（3）由的面积，可得.23．(1)(2)选择见解析（i）；（ii）【分析】（1）根据条件，利用余弦定理，即可求出结果；（2）选择①：利用条件得到，从而，即可求出，再利用正弦定得到，利用三角形的面积公式，即可求出结果；选择②：由于，，此时不存在；选择③：利用条件及正弦定理得到，同①即可求解.【详解】（1）因为，又由余弦定理，所以，即，又，所以.（2）选择条件①：因为，又，所以，由（1）知，所以，（ⅰ）.（ⅱ）因为，由正弦定理，得到，得到，所以的面积为.选择条件②：因为，由（1）知，而，此时不存在.选择条件③：，又，所以，由正弦定理得，由（1）知，所以，得到，又，所以，得到，所以，（ⅰ）.（ⅱ）因为，由正弦定理，得到，得到，所以的面积为.24．(1)证明见解析(2)【分析】（1）选①由余弦定理可求，即可证明；选②由正弦定理可求，即可证明；（2）选①在中求得，再求即可求解；选②在中求，在中，由余弦定理可求，即可求解.【详解】（1）选①：在中，由余弦定理得，所以，所以，所以是直角三角形；选②：在中，由正弦定理得，所以，所以，因为，所以，所以，所以是直角三角形；（2）选①：在中，，所以，所以，所以，所以的周长为.选②：在中，，所以，在中，由余弦定理，所以，所以的周长为.25．(1)(2)(3)【分析】（1）直接由余弦定理即可求解；（2）由正弦定理结合大边对大角即可求解；（3）由余弦定理确定的最大值，结合三角形面积公式即可求解.【详解】（1）因为，所以，所以，因为，所以；（2）若，且由（1）可知，即，解得，因为，所以；（3）若，注意到，所以由余弦定理有，即，等号成立当且仅当，所以面积，等号成立当且仅当，所以面积的最大值为.26．(1)(2)答案见解析【分析】（1）利用正弦定理边化角化简得，计算即得．（2）（i）选择条件①利用正弦定理计算判断三角形不唯一；，选择条件②，利用余弦定理及三角形面积公式计算求解；选择条件③，利用正弦定理计算判断，再求出三角形面积；（ii）利用余弦定理及基本不等式计算即可.【详解】（1）由可得,因为在中，所以，即，因为B∈0,π，所以.（2）（i）若选条件①，结合（1）及，由正弦定理,可得，则满足条件的三角形不存在，故不能选条件①，若选条件②：，结合（1）及，由余弦定理，可得，解