2024北京重点校高一（下）期末数学汇编：平面向量及其应用章节综合（填空题）

第1页/共1页2024北京重点校高一（下）期末数学汇编平面向量及其应用章节综合（填空题）一、填空题1．（2024北京丰台高一下期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，那么，若，，则.2．（2024北京通州高一下期末）已知分别是的角的对边，若，，，则=，的面积为．3．（2024北京北师大附中高一下期末）已知点是半径为3的圆上三点，，点是的垂直平分线上任意一点，则的最小值为.4．（2024北京石景山高一下期末）已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则．5．（2024北京顺义高一下期末）在长方形中，，，点满足，则，．6．（2024北京通州高一下期末）在正方形中，是边上一点，且，点为的延长线上一点，写出可以使得成立的，的一组数据为．7．（2024北京101中学高一下期末）如图，在平面四边形中，，，记与的面积分别为，，则的值为．

8．（2024北京顺义高一下期末）在锐角中，，，的面积为，则．9．（2024北京延庆高一下期末）已知长方形中，，点为上的动点，则；的取值范围是.10．（2024北京东城高一下期末）赵爽为《周髀算经》一书作注时介绍了“勾股圆方图”，即“赵爽弦图”．下图是某同学绘制的赵爽弦图，其中，点分别是正方形和正方形上的动点，给出下列四个结论：①；②；③设与的夹角为，则的值为3；④的最大值为12．其中所有正确结论的序号是．11．（2024北京延庆高一下期末）在中，，，请从①，②，③中选择一个，使存在且唯一，写出满足要求的一个条件的序号.12．（2024北京海淀高一下期末）一名学生想测算某风景区山顶上古塔的塔尖距离地面的高度，由于山崖下河流的阻碍，他只能在河岸边制定如下测算方案：他在河岸边设置了共线的三个观测点A，B，C（如图），相邻两观测点之间的距离为200m，并用测角仪器测得各观测点与塔尖的仰角分别为,,,根据以上数据，该学生得到塔尖距离地面的高度为m．13．（2024北京海淀高一下期末）在中，若，则k的一个取值为；当时，．14．（2024北京海淀高一下期末）在中，，P满足，则．15．（2024北京东城高一下期末）已知向量，，若与垂直，则实数x的值为．16．（2024北京房山高一下期末）已知向量，，且，则向量的坐标为．17．（2024北京昌平高一下期末）已知菱形的边长为，，，则.18．（2024北京朝阳高一下期末）已知向量，在正方形网格中的位置如图所示，向量满足，且．若网格纸上小正方形的边长为1，则，．

19．（2024北京朝阳高一下期末）在中，，，若存在且唯一，则的一个取值为．20．（2024北京朝阳高一下期末）在中，点D，E满足，．若，则．21．（2024北京西城高一下期末）在中，，则，．22．（2024北京石景山高一下期末）在中，，，，则的外接圆半径为.23．（2024北京第八中学高一下期末）已知向量，若向量与垂直，则.24．（2024北京延庆高一下期末）在中，若，，，则c等于．

参考答案1．3【分析】利用正弦定理即可求解，再利用余弦定理即可求.【详解】，由正弦定理可得，又，，，，即，；由余弦定理可得，即，解得或（舍）.故答案为：；3.2．【分析】根据给定条件，利用向量夹角公式计算即得，再利用三角形面积公式求出面积.【详解】依题意，，在中，，所以；的面积.故答案为：；3．【分析】根据向量的坐标运算即可求解.【详解】

以圆心为坐标原点，线段的垂直平分线所在直线作为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设，根据题意得，，，所以，因为，所以当时，取得最小值为，故答案为：.4．【分析】建立如图所示坐标系，由图可得及的坐标表示，后由数量积的坐标形式下的计算公式可得答案.【详解】由图及网格纸上小正方形的边长为1，可得.则.则.故答案为：.5．2【分析】如图，以为原点，所在的直线分别为轴建立平面直坐标系，然后结合已知条件可求出点的坐标，进而可求得答案.【详解】如图，以为原点，所在的直线分别为轴建立平面直坐标系，则，所以，因为，所以，所以，，所以，所以.故答案为：2，6．（答案不唯一）【分析】根据向量的线性运算表示出，再结合向量的共线即可求得答案.【详解】由题意知，而，故,则，又点为的延长线上一点，故,可取，则，故使得成立的的一组数据为，故答案为：.7．【分析】根据余弦定理得，，两式相减可得，由三角形的面积公式得，即可求解.【详解】在中，由余弦定理得，即，得①，在中，由余弦定理得，即，得②，又，所以③，由②①，得，由，得，代入③得.故答案为：.8．/0.25【分析】利用三角形面积公式求出，再利用同角公式计算得解.【详解】依题意，，又是锐角三角形，所以.故答案为：9．4−1,0【分析】利用向量的线性运算，再利用向量的数量积运算即可求出结果.【详解】①由已知长方形，，可得，②因为点为上的动点，可设，，则，所以，因为，所以，故的取值范围是−1,0.故答案为：①；②−1,0.10．②③【分析】建立平面直角坐标系，利用向量积的坐标运算判断①，利用向量模的坐标运算结合不等式的性质判断②，利用向量夹角的坐标求法结合同角三角函数的基本关系判断③，举反例判断④即可.【详解】因为，正方形和正方形，所以，由勾股定理得，故，，，故得是的中点，且作，由等面积公式得，解得，由勾股定理得，如图，以为原点，以为轴，以为轴建立平面直角坐标系，所以，，，，对于①，故，，故，故①错误，对于②，设，因为是正方形上的动点，故，而，故，，由题意得，故，故成立，可得②正确，对于③，作，由等面积公式得，解得，由勾股定理得，故，故，而，故是的中点，而，故，所以，，而与的夹角为，故，而，故，可得，解得(负根舍去)，得到，故③正确，对于④，假设运动到，运动到，此时，，故，，故，故的最大值不为12，则④错误.故答案为：②③【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量，解题关键是建立平面直角坐标系，结合等面积法求出各个点的坐标，然后把动点视作特殊定点，利用向量积的坐标运算求值，否定给定的命题即可．11．②（或③，答案不唯一）【分析】根据正弦和余弦定理，以及三角形边与角的性质，直接计算即可判断求解.【详解】对于①，若，则，这与三角形内角和定理矛盾，不合题意；对于②，若，则，所以，此时，存在且唯一，符合题意；对于③，若，则，因为，所以，所以为锐角，此时，存在且唯一，符合题意.故答案为：②（或③，答案不唯一）.12．【分析】首先根据几何关系表示边长，再根据余弦定理求解.【详解】由题意可知，，，，，设，则，，，根据，则，解得：所以塔尖距离底面的高度为米.故答案为：13．（答案不唯一）1【分析】根据正弦定理，可以进行边化角，然后得到，根据，可得k的取值，又，即可得到的具体值.【详解】因为，由正弦定理可得，，又，所以，所以，又，取，所以，所以当时，，故答案为：，1.14．0【分析】根据已知及数量积运算律，即可求解.【详解】由题意可知，.故答案为：15．【分析】根据与垂直，数量积求解参数的值.【详解】由,若与垂直，则，解得x=2.故答案为：.16．或【分析】设向量的坐标为，由向量数量积的坐标公式、模的计算公式列式即可求解.【详解】设向量的坐标为，由题意，解得或者，所以向量的坐标为或者.故答案为：或.17．【分析】利用向量的线性运算得到，，再利用数量积的定义及运算，即可求出结果.【详解】因为，所以，又，所以，又菱形的边长为，，所以，故答案为：.18．0，或【分析】建立平面直角坐标系得到、的坐标可得；设，根据，且．建立关于的方程组求出可得的坐标，再由的坐标运算可得答案.【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则，，所以；设，则，且，所以且，由，解得，或，所以，或，所以，或.

故答案为：①0；②，或.19．5（答案不唯一）【分析】根据给定条件，利用正弦定理列式求解即可.【详解】在中，，，由正弦定理，得，由存在且唯一，知或且，解得或，而，所以的一个取值为5.故答案为：520．【分析】根据给定条件，利用向量的线性运算，结合平面向量基本定理求解即得.【详解】在中，向量不共线，由，，得，而，因此，所以.故答案为：21．12【分析】（1）根据数量积的定义求解即可；（2）利用向量的减法运算化简，再由数量积的运算法则