圆幂定理-2025年中考数学几何模型专练

圆幕定理

模型原理

1.相交弦定理

相交弦定理：圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段长的乘积相等.如图，弦AB和CD交于。O内一点P,则P

APB=PCPD.

2.割线定理

割线：一条直线与圆有两个公共点，我们就说这条直线是圆的割线.如图PB、PD就是。0的割线.割线定理从

圆外一点P引两条割线与圆分别交于A、B；C、D,则有PA.PB=PCPD.

3.切割线定理

切割线定理如图，在OO中，AB是。O的切线，AD是。O的割线，则题意中满足.=AC-AD.

真题精炼

1阅读资料：

小明是一个爰动脑筋的好学生，他在学习了有关圆的切线性质后，意犹未尽，又查阅到了与圆的切线相关的一

个问题：

如图①，已知PC是。。的切线，AB是。。的直径，延长BA交切线PC于P.连接AC,BC,0C.因为PC是。0

的切线，AB是。O的直径，所以/OCP=NACB=90。,所以/I=Z2.

又因为NB=Z1,所以/B=N2.

在APAC与&PCB中,又因为NP=ZP,所以△PAC-APCB,所以.=.即PC2=PA-PB.

问题拓展：

图①图②图③

⑴如果PB不经过。O的圆心O,如图②，等式PC2=PAPB还成立吗?请证明你的结论.

⑵如图③,。O是小ABC的外接圆，PC是。O的切线,C是切点，BA的延长线交PC于点P.①当AB=PA,且P

C=12时，求PA的值;②D是BC的中点，PD交AC于点E.

PC2_CE

求证：

PA2-AE

2AB是。O直径，BC是。O切线，AC与。O交于D,BC=3,2。=£，则AB长为一.

3如图⑴，PT与。Ch相切于点T,PAB与。01相交于A、B两点可证明△PTAAPBT从而有PT2=PA

•PB请应用以上结论解决下列问题：如图（2）,PAB、PCD分另!|与（。。2相交于A、B、C、D四点，已知PA=2,PB=

7,PC=3,则（CD=_

482.圆幕定理之割线定理+锐角三角函数——22宁波模拟+选择压轴+初三

如图△ABC,D为BC上一点，DC=2BD,以DC为直径作圆交AB于E,AE=AC,sinB值为（）.

4如图,正方形ABCD内接于。O，点P在劣弧AB上，连接DP,交AC于点Q.若QP=QO,则器的值为（）

A.2V3-1B.2V3C.V3+V2D,V3+2

5如图A、B、C、D为。O的点直线BA与DC交于P,PA=2,PC=CD=3,PB=()

C.8D.9

6如图，正方形ABCD内接于。O,E为DC的中点，直线BE交。O于点F,如果。O的半径为22Vx则点

O到BE的距离OM=().

B.V2

5D片

7已知：如图，在半径为8的。O中，AB为直径，以弦AC(非直径)为对称轴将…4C折叠后与AB相交于点

D,如果AD=3DB,那么AC的长为

8如图,。。的弦AB、CD相交于点P,若AP=3,BP=4,CP=2,则CD长为().

A.6B.12C.8D.不能确定

9如图,AB为。O的直径.P点在AB的延长线上,PM切0O于点M,若C。4=a,PM=百a,那么△PMB的周

长是.

AOB

10如图，已知。O的弦AB、CD相交于点P,PA=4cm,PB=3cm,PC=6cm„EA切。O于点A,AE与C

D的延长线交于点E,若力E=2遮cm,则PE的长为（）

B.3cmC.5cmD.y/Zcm

11如图，△ABC是等腰直角三角形,.AC=BC=a,,以斜边AB上的点O为圆心的圆分别与AC,BC相切

于点E,F，与AB分别交于点G,H，且EH的延长线和CB的延长线交于点D,则CD的长为

D

1如图,AB是OO的直径,BC是。O的切线,AC与O。交于点D,若BC=3,AD=募，则AB的长为.

【答案】4

【解析】；BC是。O的切线，

Z.BC2=CD.CA,即32=CD.（CD+DA）,

32=CD-（CD+£）,（CD〉0）,

解得CD=1

；.AC=5,

•；BC是。。的切线，

；.AB_LBC,

ZABC=90°.

在RtAABC中，

由勾股定理可得：

AB=>JAC2-BC2=V52-32=4.

故答案为：4.

2如图⑴，PT与0Oi相切于点T,PAB与。Oi相交于A、B两点，可证明4PTAs^PBT,从而有PT2=PA-PB

请应用以上结论解决下列问题：如图(2),PAB、PCD分别与。。2相交于A、B、C、D四点，已知PA=2,PB=7,PC=

3,则CD=

【答案】53

【解析】如图2中，过点P作0O的切线PT,切点是T

2

・.・PT=PA,PB=PO•PDf

VPA=2,PB=7,PC=3,

・・・2x7=3xPD,

・•.PD=—.

3

14，

-，CD=PD-PC=--3=-

33

【标注】【知识点】割线定理

3如图,△ABC中,D为BC上一点,DC=2BD,以DC为直径作圆交AB于点E,若AE=AC,则sinB的值为()

A

A-1B片。•誓

【答案】C

【解析】连接OA,OE,DE,设半径为r,

VAE=AC,

JZAOC=ZAOE,

・•・乙EDC=Z.AOC=-Z.EOC

2，f

・・・ED〃AO,

AABDE^ABOA.

.BE_BD_1

''BA~BO~2)

・・・E是BA的中点，

VBD//AO,

JZBED=ZBAO,

■:ZEDC=ZAOC,BO=AO=CO,

・•・NEAO=NBCA.

AABDE^ABAC,

・•.BEBA=BDBC,BA=V6BD=①作AF±BO于F点，设BF=x,贝(]AF2=AB2-BF2=AC2-OF2,g/J6r2-

x2=|r2—(3r—x)2,x=|r,

Vis

•••AAFr=——r,

4

.cAFA/10

•••sinF=—

AB81

故选:c.

4如图,正方形ABCD内接于。O,点P在劣弧AB上，连接DP,交AC于点Q.若QP=QO,则器的值为（）.

X.2V3-1B.2V3C.V3+V2D.A/3+2

【答案】D

【解析】如图，设。O的半径为r,QO=m,则QP=m,QO=r+m,

QA=r-m.

在。O中，根据相交弦定理，得QA.QC=QP.QD.

22

即(r-m)(r+m)=m-QD,所以QD=

连接DO,由勾股定理，得QD?=D02+Q02,

解得m=yr,

所以，笠—2=等=百+2,

'QAr-mV8-1

故选:D.

5如图,A、B、C、D为。O上的点，直线BA与DC相交于点P,PA=2,PC=CD=3厕PB=()

D

A.6B.7C.8D.9

【答案】D

【解析】：PB,PD是。O的割线.

.\PAPB=PCPD.

：PA=2,PC=CD=3,

；.2PB=3x6.

解得:PB=9.

故选：D.

6如图，正方形ABCD内接于。0,E为DC的中点，直线BE交。0于点F,如果。0的半径为2&则点0

至UBE的距离OM=（）

7已知：如图,在半径为8的。0中，AB为直径，以弦AC（非直径）为对称轴将AC折叠后与AB相交于点D,

如果AD=3DB,那么AC的长为.

【答案】4V14

【解析】如图作AB关于直线AC的对称线段B'A，交半圆于点D,连接BC,CB',

因为AB为直径，AB=16,AD=3DB,所以/ACB三NACB=90o,BC=CB：AD=AD=12,BD=4由割线定理可得:BD'.

B'A=B'C.BB所以4x16=2夕C?,所以B'C=4/所以由勾股定理可得：

AC=y/B'A2-B'C2=J162-（4V2）2=4m

考点：图形折叠的性质、勾股定理、割线定理.

【标注】【知识点】勾股定理

【知识点】割线定理

8【答案】A

【解析】连接ODQAQB,

'..正方形ABCD内接于。O,

••.々。。=*360。=9。。,

/27

在^AOD中，由勾股定理得：AD=y/OD2+0A2=J（2方）+（2&）=4,

/.OD=AD=BC=4,

：E是CD的中点，

/.DE=CE=2.

在4BCE中由勾股定理得BE=V42+22=2V5,

由相交弦定理得:CExDE=BExEF,

即2x2=2V5EF.

口厂2V5

•••EF=—

。厂、石

.・.=—2%।+2V5=—12^V一5,

VOM±BF,OM过圆心O,

...BM=FM=-BF=—.

25

2

在4BOM中，由勾股定理得：。5=0M2+BM2,（2V2）2=0M2+（卓），

解得：。“=季

故选A.

9.如图,。。的弦AB、CD相交于点P,若AP=3,BP=4,CP=2,则CD长为（）.

B

A.6B.12C.8D.不能确定

【答案】C

【解析】：AP.BP=CP-DP,

•••PD=

CP

,.・AP=3,BP=4,CP=2,

・・・PD=6,

二•CD=PC+PD=2+6=8.

故选c.

10如图,AB为。。的直径，P点在AB的延长线上，PM切。。于点M，若OA=a,PM=百a,那么△PMB的周长

是_____•

【答案】V3(+2)a

【解析】连接OM;

A

AOB%

：PM切。O于点M,

ZOMP=90°,

：OA=OM=a,PM=V3a,

AtanZMOP=MP:OM=A/3

4Mop=60°,

；.OP=2a,

.\PB=OP-OB=a;

VOM=OB,

.,.△OMB是等边三角形,MB=OB=0,

APMB的周长是(的+2)a,

11如图，已知。。的弦AB、CD相交于点P,PA=4cm,PB=3cm,PC=6cm,EA切。。于点A,AE与CD的延长线交

于点E,若AE=24cm,则PE的长为().

A.4cmB.3cmC.5cmD.V2cm

【答案】A

【解析】PA-PB=PCPD,PA=4cm,PB=3cm,PC=6cm,

；.PD=2;

设DE=x,

•••AE2=ED-EC,