浙江省金华市2024届高三数学4月模拟考试试卷（含答案）

浙江省金华市2024届高三数学4月模拟考试试卷

注意事项:

1.本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页.考试时间120分钟.试卷总分为150分.

2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.

选择题部分（共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

1.已知集合心{°」23},2x<。},则o

A.仍B.储

C.，2}D.{I2”

【答案】B

【解析】

【分析】根据一元二次不等式求解'=即可由交集求解.

【详解】5=部2_2X<0}={X[0<X<2},故/痴={1},

故选：B

i

2.2+i（）

【答案】A

【解析】

【分析】根据复数的除法运算即可求解.

i_i（2-i）_l+2i

…否八IZI—（2+i）（2_i）一丁

【详解】'八，,

故选：A

1/18

1V3

3.设a”兀)，条件条件':cos。=——

2,则。是〃的()

A.充分不要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】根据必要不充分条件的定义，结合同角三角函数基本关系，即可求解.

【详解】由于ae。"),

1_______

sina=—cosa=±V1-sin2a=±——

若2,则2,充分性不成立,

若2,则2,必要性成立,

故。是的必要不充分条件.

故选：B.

4.设直线，：x-2y—/=(),圆C:(x-1)+"—2)=1,则/与圆,()

A.相交B.相切C.相离D.以上都有可能

【答案】C

【解析】

【分析】求出圆心和半径，求出圆心到直线/的距离，与半径比较即可判断求解.

【详解】圆C：(x—1>+5-2)、1的圆心为CQ2),半径r=l,

“J一4rLy

则圆心C到直线/的距离&V5V5

故直线/与圆C相离.

故选：C.

5.等差数列｛%｝的首项为正数，公差为“，S”为｛%｝的前〃项和，若的=3,且邑，E+S3,&成等

比数列，贝11°=()

2/18

【解析】

【分析】由等比中项的性质得到S2s5=（因+53）,结合求和公式得到d=-3%或d=2q,再由%=3,

%>°计算可得.

【详解】因为$2,岳+$3,S5成等比数列,

所以S2s5=（S]+$3）2,即（2卬+4）（5%+10（/）=（44+3d）[

即（3Q]+d）（2〃]-d）=0

所以d=-3%或d=2%,

又。2=3%>0

__3

当d=—3%,则％+d=%—3%=3,解得％2（舍去）,

当d=2q,则q+d=q+2%=3,解得q=1,则d=2

故选：B

A.D„siiiS=交1

6.在△AB。中，7,C=120°,BC=2则△48C的面积为。

A.6月

B.

C.3石

D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据两角差的正弦公式求出sinN,再由正弦定理求出b,代入面积公式即可得解.

【详解】由题意,

L211V21V21

sinA=sin（60°-5）=sin60°cosB-cos60°sinB=x]-------X---------

492714

叵

9X

7Qsin57.

b=--------=-1=^—=4

absinAV21

由正弦定理，sinNsin8,即IT

电=2百

□△ABC=—6zZ?sinC=—x2x4x

所以222

3/18

故选：D

7.金华市选拔2个管理型教师和4个教学型教师去新疆支教，把这6个老师分配到3个学校，要求每个

学校安排2名教师，且管理型教师不安排在同一个学校，则不同的分配方案有（）

A.72种B.48种C.36种D.24种

【答案】A

【解析】

【分析】首先取2名教学型老师分配给一个学校，再把剩余老师分成八；组，然后分给剩余2个不同学校

有种不同分法，再由分步乘法计数原理得解.

【详解】选取一个学校安排2名教学型老师有C；C；种不同的方法，

剩余2名教学型老师与2名管理型教师，各取1名，分成两组共有八；种，

这2组分配到2个不同学校有人；种不同分法，

所以由分步乘法计数原理知，共有0；.=3x6x2x2=72种不同的分法.

故选：A

cos(a-£)=，smasinjS=---2.2〃

8.已知I'3,"12,贝尸。—()

111

J_———

A.2B.3c,6D.8

【答案】C

【解析】

【分析】由已知结合两角差的余弦公式可先求出c°sacos£,然后结合二倍角公式及和差化积公式进行

化简即可求解.

C0S(6Z—^)=—cosacos+sinsin—

【详解】由3得3,

sinasin6=--—coscos6=-

又12,所以12,

2.2/□_1+cos2a1-cosip_cos2cr+cos2y0_cos[(cr+y0)+(cr-^)]+cos[(cr+/?)-(cr-/3)\

所以2222

=COS(6Z+P)cos(cr-B)

=(cosacos,一sinasiny0)(cosacos尸+sinasin尸)

4/18

-----）=—X—=一

12--236

故选：C.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在5°~350KW-h之间，进行

适当分组后（每组为左闭右开区间），画出频率分布直方图如图所示，记直方图中六个小矩形的面积从左

到右依次为.（%=1,2,•••,6）,则（）

个频率/组距

0.0060

0.0036

0.0024

0.0012

。50100150200250300350月用电量/（kw，h）

x的值为0.0044

这100户居民该月用电量的中位数为175

用电量落在区间［15°，350）内的户数为75

X（50i+25）s,

D.这100户居民该月的平均用电量为t

【答案】AD

【解析】

【分析】根据频率分布直方图中频率之和为1即可判断A,根据中位数的计算即可求解B,根据频率即可

求解C,根据平均数的计算即可判断D.

【详解】对于A,由频率分布直方图的性质可知，

（0.0024+0.0036+0.0060+x+0.0024+0.0012）x50=1

解得x=0.0044,故A正确;

对于B,因为（0Q024+0.0036）x50=0.3<0.5,（0.0024+0.0036+0.0060）x50=0.6>0.5,

所以中位数落在区间口50,200）内，设其为加，

则0.3+（加-150）x0.006=0.5,解得加,183,故B错误；

对于C,用电量落在区间口50,350）内的户数为

5/18

(0.0060+0.0044+0.0024+0.0012)x50x100=70,故c错误.

对于D,这100户居民该月的平均用电量为

6

(50+25应+(50x2+25)52+…+(50x6+25)s6=£(50z+25应

/=1,故D正确.

故选：AD.

10.已知°<。<6<1,加>">1,贝|()

A.ba>abB.川〉暧

Clog/>log,/Dlog.">log/

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用指数函数和对数函数的单调性求解即可.

【详解】对于A,因为°<。<6<1,所以指数函数y在R上单调递减，且所以">芹，

因为幕函数>=/在(°，+8)上单调递增，且。<〃，所以/〈户，

所以〃故A正确，

对于B,取切=5,"=2,则5?<25,故B错误；

对于C,因为对数函数^=1°86、在(°，+°0)上单调递减，>=1°8"4在(0,+8)上单调递增，

所以10gzia>log66=1,log„,n<log,„m=1；

所以log/〉log—故c正确;

对于D,因为>=lnx在(0,+co)上单调递增，

iInmInm.

i17八iclog.m=--->----=log,m

所以ln〃<lnb<0,In加>0,贝”\na\nb,

因为对数函数y=loga"在(°，+°°)上单调递减，

所以log/>log“机>1。&机，故D正确.

故选：ACD.

11.在矩形4sCD中，AB=2AD,£为线段48的中点，将△”货沿直线翻折成△40*.若〃

为线段4c的中点，则在△”国从起始到结束的翻折过程中，o

6/18

A.存在某位置，使得

B.存在某位置，使得

C.MB的长为定值

D.MB与CD所成角的正切值的最小值为万

【答案】BCD

【解析】

【分析】当4cE时，可得出平面4℃,得出OC,DE推出矛盾判断A,当。4,平面

BCDE时可判断B,根据等角定理及余弦定理判断C,建系利用向量法判断D.

【详解】如图，

设。£的中点。，连接℃0幺，则若由4。口4。=4,4Q4Cu平面

可得。平面4",℃u平面4℃,则可证出OCLDE,显然矛盾（CE）,故A

错误；

因为CE,OE,所以当04,平面5CDE,由CEu平面5CDE可得O/LCE,由0/口0£=0,

°I4QEU平面4DE,即可得CE,平面4DE,再由平面4DE,则有C£，4。，故B正确;

取CD中点N,MNHAQ,BNHED,且/跖烟与小方向相同，

所以NMNS=N4DE为定值，所以=[MN?+BN?—2MN-BMcosNMNB为定值,故c正确;

不妨设/8=2血，以°£，°N分别为xj轴，如图建立空间直角坐标系，

设NAQN=6则4（0,cos0,sin0）B。/，。），。。20）,河[』+,警｝。㈠.。），

7/18

f-3cos。sin。）i-iVlO

皮=（22。），3=[万一，亍口叶〒，设地与8所成角为忆

|z）C.5M|3-cos.2275

COS（P—I——4—r==-~-2A/5

DC-LSM2j5J55八八一^―

则I"I,即也与CD所成最小角的余弦值为5,此时

1

tan（p=一

12,故D正确.

故选：BCD

【点睛】关键点点睛：处理折叠问题，注意折前折后可变量与不变量，充分利用折前折后不变的量，其次

灵活运用线面垂直的判定定理与性质定理是研究垂直问题的关键所在，最后不容易直接处理的最值问题可

考虑向量法计算后得解.

非选择题部分（共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知单位向量万，很满足历—23|=G,则方与B的夹角为,

71

【答案】§（或写成60°）

【解析】

【分析】将等式2“|=G两边平方即可.

【详解】因为国—2B「=42—4鼠3+4庐=3,

a-b=—

所以2,

~k1~k|-f-k

cos（a,b）=—❷-b-0,一❷落一

所以2,3.

71

故答案为：3.

/（x）=<X，xW°,

13.已知函数[liu,x>0若/GO在点I/。））处的切线与点（XOJG。））处的切线互相垂直，则

xo=.

【答案】2##-0.5

【解析】

【分析】分别求出函数在两段上的导数，根据导数的几何意义求出切线斜率，再由切线垂直得解.

8/18

【详解】当x>0时，“幻x>°,所以/'⑴=1,且点&，/(%))不在尸Inx上,

否则切线不垂直，故毛4°,

当x<0时，/'(x)=2x,所以/(%)=2玉),

由切线垂直可知，2/xl=-1,解得/]

故答案为：2

22

rvv22

G：0+m=1(1>4〉o)Q=l(a2>Q,b2>0)

14.设椭圆力5与双曲线电4有相同的焦距，它们的

离心率分别为6,%椭圆C的焦点为片，G,G在第一象限的交点为尸，若点p在直线>=x上,

11

且4尸产2=90。，则e；£的值为.

【答案】2

【解析】

先根据题意得出点P的坐标°>°),再将点P分别代入椭圆

【分析】设椭圆与双曲线相同的焦距为2c,

和双曲线的方程中，求离心率，即可得解.

【详解】设椭圆与双曲线相同的焦距为2c,则=。2,或一区=。2,

,所以必心*百X,

又点p在第一象限，且在直线V=x上，

P——C,——C

22

所以】兀又点P在椭圆上，

——c—C

22022

2~~72T-+—~F=2

所以ai4,即为为一。，

(1)

-4~+l=0

整理得2al_4qc+c=0,即(q,e\

1_4±J16-4x2_2±也1_2+V2

解得442,因为所以e；

9/18

鹿丫

（显丫

、2，2。22

~-^=1----------=2

用22_2

同理可得点尸在双曲线上，所以gp〃2C—a?

1_2-V2

解得622,

112+722-V2c

—+—=------+-------=2

所以,e222

故答案为：2.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.为鼓励消费，某商场开展积分奖励活动，消费满100元的顾客可抛掷骰子两次，若两次点数之和等于

7,则获得5个积分：若点数之和不等于7,则获得2个积分.

（1）记两次点数之和等于7为事件4第一次点数是奇数为事件8证明：事件46是独立事件；

（2）现有3位顾客参与了这个活动，求他们获得的积分之和彳的分布列和期望.

【答案】（1）证明见解析

15

（2）分布列见解析；2

【解析】

【分析】⑴根据古典概型分别计算尸⑷，尸（取尸（叫，由二（/叫尸（4V⑻的关系证明;

（2）根据九次独立重复试验模型求出概率，列出分布列，得出期望.

【小问1详解】

因为两次点数之和等于7有以下基本事件：。，6）,（2,5）,（3,4）,（4,3）,（5,2）,（6,1）共6个，

所以-366,又一2.

而第一次点数是奇数且两次点数之和等于7的基本事件是（1'6）（3,4），（5,2）共3个，

10/18

P(AB')=—=—

所以I73612

故尸（A8）=尸⑷尸⑻，所以事件“方是独立事件.

【小问2详解】

设三位参与这个活动的顾客共获得的积分为4则才可取6,9,12,15,

尸(X=6)=C；|1

产(X=12)=C；

所以分布列为:

X691215

12575151

P

216216216216

受，

E（X）=x6+2Lx9+mxl2+xl5="

所以2162162162162

f(x)=sinxcosx+acosxXG

16.设呜

（1）若。=1,求/GO的值域；

（2）若/（X）存在极值点，求实数a的取值范围.

［叫

4

【答案】（1）L」

⑵（--）

【解析】

【分析】⑴求导，得/'（》）=-（sin“+l）（2sinxT）,即可根据"""V和判断导数的

正负确定函数的单调性，求解极值点以及端点处的函数值即可求解，

/0）=0xe°57«=———2sinx

（2）将问题转化为'Ik一u在<2J上有解，即可分离参数得sinx,利用换元法，结

11/18

合函数单调性即可求解.

【小问1详解】

f(x)=sinxcosx+cosx,xe0,—

若。=1,

/'(x)=cos2x-sin2x-sinx=-2sin2x-sinx+1=-(sinx+1)(2sinx-1)

则/'(x)>°,/(x)单调递增;

,则//（X）单调递减

,即/（X）的值域为

【小问2详解】

f(x)=cos2x-sin2x-asinx=l-2sin2x-asvax

/（x）存在极值点，则/'O°在“a=—--2sinx

呜上有解，即sinx有解.

1_,

令/=sinx,则。=t?在止（°」）上有解.

_2t

因为函数't在区间（0」）上单调递减，所以"Ch1'+"）,经检验符合题意.

17.如图，在三棱柱/8C-44G中，是边长为2的正三角形，侧面股G是矩形,

AAX=A{B

（1）求证：三棱锥同一'8。是正三棱锥;

12/18

(2)若三棱柱4s的体积为2近，求直线"G与平面'48避所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

V2

(2)3

【解析】

【分析】(1)根据线面垂直的判定定理及性质定理，证明4°工平面48c即可；

(2)建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角正弦即可.

【小问1详解】

分别取欧中点〃E,连接四交于点。，则点。为正三角形/宽的中心.

=A,B,CA=CB汨CD±AB,AD.1AB

因为付，

又A.DC]CD=D,A,D,CDu平面AiCD,

所以481平面又4°u平面4cz>,

则/BTJ

取2G中点片，连接4片‘耳“，则四边形"44"是平行四边形,

因为侧面84GC是矩形，所以8c1,又BC工4E,

又EE{nNE=瓦EE]MEU平面AA{EXE,

所以BCI平面又4°u平面”4耳£,则Be1。；

又4BcBC=B,48,8Cu平面48C,所以4°，平面48C,

所以三棱锥&—"BO是正三棱锥.

【小问2详解】

13/18

因为三棱柱48c一44cl的体积为2&,底面积为百，所以高13

OA

以£为坐标原点，切为x轴正方向，旗为y轴正方向，过点£且与1平行的方向为z轴的正方向建立

空间直角坐标系，

（A2

^/3,0,0）5（0,1,O）,C（O,-1,0）,4事,0寸

次=/用,0）麴=

设平面4^8/的法向量〃1,因为

AB-nx=-A/3X+J=0

33,取z=l,可得

-77^*A6(512g

AC,=~A7~A.~A7C7^------,―1,----

11}33

又।

设直线'G与平面9//所成角为9,

18.设抛物线0：/=2/（夕＞°）,直线x=-l是抛物线，的准线，且与x轴交于点8过点夕的直线，

与抛物线。交于不同的两点弘N,'0'"）是不在直线，上的一点，直线幺回，/N分别与准线交于

P,。两点.

（1）求抛物线C的方程；

⑵证明邛尸月陶:

（3）记4AMN,△”尸。的面积分别为百，邑，若岳=2反，求直线，的方程.

［答案］（1）-=4x

（2）证明见解析（3）x±V3y+l=0

【解析】

【分析】（1）根据准线方程可得°,即可求解；

（2）设，：、=力一1,四（石，州），"（%2，%）,联立直线与抛物线，得出根与系数的关系，再由直线的相

14/18

交求出0，°坐标，转化为求丹5°即可得证;

（3）由⑵可得$2=^。，再由5巧”

根据耳=2邑可得/,即可得解.

【小问1详解】

因为》=-1为抛物线的准线,

£=1

所以2，即2P=4

故抛物线C的方程为「=4x

【小问2详解】

如图，

设x=ty—\

联立V=4x,消去x得V-4小+4=0,

巧+为=4/

则△=16（/一1）＞0,且a=4

〃=Az/_i）尸、1,“_2（.：〃）

又4M：xi-1,令x=T得（否-1J

Q-L〃-

同理可得（X2-1A

%+%=〃.丝二4+〃_岂必一〃）=2〃-

所以々T%—2优一2

2K2（%-/）（优―2）+2仇—〃）肛-2）

（%-2）•（仇-2）

15/18

=?4弘为一(2加一4)(%+%)+8〃=8w-8m2=

n

_〃__6v2_2/(%+%)+4--^F~

故3P|=忸9

【小问3详解】

一〃)2m-2|

昆=|尸。|=2(%2(%f)

01一2仇一26-1

由(2)可得:

S,=-\MN\d=-xJF+l-AylF+l

2112

由E=2S2,得：/_i=2,解得”土6,

所以直线/的方程为x士岛+1=°.

【点睛】关键点点睛：本题第二问中直线较多，解题的关键在于理清主从关系，据此求出尸，0点的坐标

(含参数)，第二个关键点在于将网=上转化为尸，°关于X对称,即力+，。=°.

19.设夕为素数，对任意的非负整数〃，记〃=旬2°+%P%-+%P\叫(〃)=%+%+%+,,•+%,

其中qe{0,1,2,…,p-1}(0Wz"),如果非负整数n满足叫(〃)能被°整除，则称〃对0“协调

(1)分别判断194,195,196这三个数是否对3“协调”，并说明理由；

(2)判断并证明在夕2〃，P~n+i,2-〃+2,…，/〃+(/T)这/个数中，有多少个数对。“协调”;

2

(3)计算前0个对「“协调”的非负整数之和.

【答案】(1)194,196对3“协调”，195对3不“协调”

(2)有且仅有一个数对0“协调”，证明见解析

(3)2

【解析】

【分析】⑴根据〃对/'协调”的定义，即可计算周(194),%(195),%(196),即可求解，

(2)根据〃对"“协调”的定义以及整除原理可证明引理，证明每一列里有且仅有一个数对。“协调”，

即可根据引理求证.

(3)将"〃'/〃+""+2,""2〃+(22一1)这,2个数分成0组，每组。个数，根据引理证明每一列

16/18

里有且仅有一个数对P“协调”，即可求解.

【小问1详解】

因为194=2x3°+1x31+0x3?+1x3,+2x3,所以%(194)=2+1+0+1+2=6,

195=0X3°+2X31+0X32+1X33+2X34,所以3095)=0+2+0+1+2=5,

1234