2025高一升高二数学暑假培优讲义6.1-6.2.3 平面向量的概念与运算 -(必修第二册)含答案

2025高一升高二数学暑假培优讲义6.1-6.2.3平面向量的概念与运算-(必修第二册)含答案平面向量的概念与运算知识点一平面向量的概念1向量的概念既有大小又有方向的量，常用AB，a等表示；向量AB的长度是PS平面向量在平面内是可以任意移动的.2常见向量的概念名称定义特点零向量长度为0的向量零向量的方向是任意的单位向量长度为一个单位长度的向量与AB共线的单位向量是相等向量长度相等且方向相同的两个向量相等向量有传递性平行向量(共线向量)方向相同或相反的非零向量a，记作零向量和任何向量平行相反向量长度相等方向相反的向量a的相反向量记作−PS(1)相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；(2)平行向量无传递性！(因为有0(3)因为平面向量在平面内是可以任意移动的，与线段不一样，所以向量没有固定的起点和终点，两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念.图一线段AB和CD,在①中是AB//CD，在②中是AB、CD共线；(图一)图二向量AB和CD,对于向量来说共线与平行是同一概念，故①和②(图二)知识点二平面向量的运算1向量的加法①向量加法的三角形法则已知向量非零向量a,b,在平面内取任意一点A,作AB=a,BC=b，则向量②向量加法的平行四边形法则若AB=a,AD=b，则向量

AC叫做

作图(ABCD是平行四边形)2向量的减法①向量减法的几何意义已知向量a,b,在平面内任取一点O，作OA=a即a−b可以表示向量b的终点指向向量②一般地,我们有a当且仅当a,③向量的加减法满足交换律和结合律④若(1)如图一，若A,B,C三点共线，则x+y=1；(2)如图二，若点O和点C在AB同侧，则x+y<1；(3)如图三，若点O和点C在AB异侧，则x+y>1；图一图二图三特殊的，在三角形∆ABC中，点D是BC的中点，则AD=3向量数乘运算一般地，我们规定实数λ与向量

a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa它的长度与方向规定如下：(1)λ(2)当λ>0时,λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与4两个向量共线共线定理非零向量a与向量b共线⇔有且只有一个实数λ，使得b当λ>0时,λa的方向与a当λ<0时，λa的方向与a当λ=0时，λa【题型一】向量的相关概念【典题1】给出下列命题①向量

AB与CD是共线向量，则②若a,b满足|a|>|b|且③若a=b④若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；⑤若|a|=|b⑥若a∥b，b∥c，则a∥其中正确命题数是哪些？【题型二】共线定理【典题1】点C在直线AB上，且|AC|=23|CB|【题型三】向量的加减法【典题1】若|a+b|=|a−【典题2】在△ABC中，D，E分别为边AB，AC的中点，BE与CD交于点P，设AB=AC=b，则APA．13a+13b B．2【典题3】点O在△ABC的内部，且满足OA+2OB+4OC=0，则△ABC巩固练习1(★)对下列命题：(1)若向量a与b同向，且|a|>|b(2)若向量|a|=|b|，则a(3)对于任意向量|a|=|b|，若a与(4)由于0方向不确定，故0不与任意向量平行；(5)向量a与b平行，则向量a与b方向相同或相反．其中正确的命题的个数为.2(★)在△ABC中，AB=a，AC=b，若点D满足BD=23(★★)如图，在▱OACB中，E是AC的中点，F是BC上的一点，且BC=3BF，若OC=mOE+nOF，其中4(★★)如图，在△ABC中，AD=14AB，AE=12AC5(★★★)设G是△ABC的重心，a,b,c分别是角A,B,C所对的边，若aGA+bGB+cGC6(★★★)已知点O是△ABC内部一点，并且满足OA+2OB+3OC=0，△BOC的面积为S17(★★★)在△ABC中，E,F分别为AB,AC中点，P为线段EF上任意一点，实数x,y满足PA+xPB+yPC=0，设△ABC,△PCA,△PAB的面积分别为S,S1,S28(★★★)已知G是△ABC的重心，直线EF过点G且与边AB、AC分别交于点E、F，AE=αAB，AF=βAC，则9(★★★)已知平面向量a，b，c满足：|a|=|b|=|c|=1，a⊥b，则平面向量的概念与运算知识点一平面向量的概念1向量的概念既有大小又有方向的量，常用AB，a等表示；向量AB的长度是PS平面向量在平面内是可以任意移动的.2常见向量的概念名称定义特点零向量长度为0的向量零向量的方向是任意的单位向量长度为一个单位长度的向量与AB共线的单位向量是相等向量长度相等且方向相同的两个向量相等向量有传递性平行向量(共线向量)方向相同或相反的非零向量a，记作零向量和任何向量平行相反向量长度相等方向相反的向量a的相反向量记作−PS(1)相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；(2)平行向量无传递性！(因为有0(3)因为平面向量在平面内是可以任意移动的，与线段不一样，所以向量没有固定的起点和终点，两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念.图一线段AB和CD,在①中是AB//CD，在②中是AB、CD共线；(图一)图二向量AB和CD,对于向量来说共线与平行是同一概念，故①和②(图二)知识点二平面向量的运算1向量的加法①向量加法的三角形法则已知向量非零向量a,b,在平面内取任意一点A,作AB=a,BC=b，则向量②向量加法的平行四边形法则若AB=a,AD=b，则向量

AC叫做

作图(ABCD是平行四边形)2向量的减法①向量减法的几何意义已知向量a,b,在平面内任取一点O，作OA=a即a−b可以表示向量b的终点指向向量②一般地,我们有a当且仅当a,③向量的加减法满足交换律和结合律④若(1)如图一，若A,B,C三点共线，则x+y=1；(2)如图二，若点O和点C在AB同侧，则x+y<1；(3)如图三，若点O和点C在AB异侧，则x+y>1；图一图二图三特殊的，在三角形∆ABC中，点D是BC的中点，则AD=3向量数乘运算一般地，我们规定实数λ与向量

a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa它的长度与方向规定如下：(1)λ(2)当λ>0时,λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与4两个向量共线共线定理非零向量a与向量b共线⇔有且只有一个实数λ，使得b当λ>0时,λa的方向与a当λ<0时，λa的方向与a当λ=0时，λa【题型一】向量的相关概念【典题1】给出下列命题①向量

AB与CD是共线向量，则②若a,b满足|a|>|b|且③若a=b④若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；⑤若|a|=|b⑥若a∥b，b∥c，则a∥其中正确命题数是哪些？【解析】对于①，对于向量来说，共线向量即是平行向量，所以向量

AB与CDA、B、C、D四点不一定在一直线上，①错误；对于②，向量是有方向的量，不能比较大小，其模才能比较大小，故②错误；对于③，若a=b,b=c对于④，向量是可以平移的矢量，当两个向量相等时，它们的起点和终点不一定相同，故④错误；对于⑤a=b只说明两个向量的模相等，对于⑥当b为零向量时不成立，零向量与任何向量都平行.【点拨】①向量是可以平移的矢量，没有固定的起点，共线向量即是平行向量,与线段、直线不一样；②零向量与任何向量都平行，在判断向量关系时要注意零向量的特殊情况.【题型二】共线定理【典题1】点C在直线AB上，且|AC|=23|CB|【解析】(点C在直线AB上，注意分类讨论)(1)当点C在线段AB上，如图所示；∵AC=2若AB=λBC，则(2)当点C在线段BA延长线上，如图所示；∵AC=2若AB=λBC，则【点拨】体会下线段比与向量比之间的相互转化，若AB=λBC，则λ=|AB|【题型三】向量的加减法【典题1】若|a+b|=|a−【解析】构造平行四边形ABCD，|a+b所以平行四边形ABCD的对角线相等，即ABCD是矩形，故a与b的的夹角为90°.【典题2】在△ABC中，D，E分别为边AB，AC的中点，BE与CD交于点P，设AB=AC=b，则APA．13a+13b B．2【解析】方法1首尾相接法AP=AB=AB+λ=AB+λ=1−λAB+(利用平几知识点求出λ)如图过点E作EF//AB,∵E、D是中点，∴EF=1∴BPBE=∴AP方法2构造平行四边形法过点P分别作PH//AB,PG//AC,则四边形AGPH则AP=其中x=AG(问题化为线段比值问题)由方法1可得BP∵x=AGAB∴AP方法3△ABC中，D,E分别为边AB,AC的中点，∴AD∵B,P,E三点共线，设AP=m∵C,P,D三点共线，设AP=n∴m=12∴AP=1【点拨】①本题是用向量AB=a、②方法1是利用三角形法则，“首尾相接法”,思路是：先找到一个含AP的封闭图形，比如∆ABP,则有AP=AB+BP，接着BP③方法2是构造平行四边形法：构造邻边在AB,AC所在的直线上，AP为对角线的平行四边形④方法3是使用向量性质：在∆ABC中，点D在边BD上，则存在x，使得AD=【典题3】点O在△ABC的内部，且满足OA+2OB+4OC=0，则△ABC【解析】如图所示，作OD=4OC，以OA，OD为邻边作平行四边形OAED，连接OE交AC于点N∵满足OA+2∴OA∴OE由△OCN~△EAM可得ONNE(利用平行四边形性质，注意图象中的8字型，A字型)∴|ON|=15|OE|=∴△ABC的面积与△AOC的面积之比是7:2．(利用等高，三角形面积的比等于底的比，S△【点拨】①线段的比与向量之间的比可相互之间转化，比如题目中由ONNE=14⟹ON=②求解两个三角形的面积之比，可利用两个三角形等高，把问题转化为求解边长之比.③类似题中已知条件OA+2OB+4OC=0是含三个向量的等式，可努力转化为两个向量的关系巩固练习1(★)对下列命题：(1)若向量a与b同向，且|a|>|b(2)若向量|a|=|b|，则a(3)对于任意向量|a|=|b|，若a与(4)由于0方向不确定，故0不与任意向量平行；(5)向量a与b平行，则向量a与b方向相同或相反．其中正确的命题的个数为.【答案】1【解析】(1)向量不能比较大小，故不正确；(2)向量|a→|=|b(3)由相等向量的定义可得其正确；(4)错误，0→(5)若其中一个是0→故真命题只有(3)即1个；故答案为：1．2(★)在△ABC中，AB=a，AC=b，若点D满足BD=2【答案】2【解析】方法一首尾相接法AD方法二（构造平行四边形）过D作DE//AB，作DF//AC,易得AEDF是平行四边形，且AE=23AC,3(★★)如图，在▱OACB中，E是AC的中点，F是BC上的一点，且BC=3BF，若OC=mOE+nOF，其中【答案】7【解析】因为OF→=OB所以OA→=6又OC→所以m=45，n故m+n=74(★★)如图，在△ABC中，AD=14AB，AE=12AC【答案】1【解析】设CF→=kCD→=k(AD∵BF→=BCBE→∵BF→∥BE→，∴BF→=λBE∴14k−1=−λ1−k=12∴AF→5(★★★)设G是△ABC的重心，a,b,c分别是角A,B,C所对的边，若aGA+bGB+cGC【答案】等边三角形【解析】∵G是△ABC的重心，GA→=−23×又aGA→+bGB→∴（a－b）AB→+（a－c）AC→+（b－∴a－b=a－c=b－c，∴a=b=c．∴△ABC的形状是等边三角形．6(★★★)已知点O是△ABC内部一点，并且满足OA+2OB+3OC=0，△BOC的面积为S1【答案】1【解析】如图所示，延长OB到D使得BD=OB，延长OC到E使得CE=2OC，∵满足OA→∴点O是△ADE的重心．∴S△OAD=S△ODE=S△OAE．S△OAB=12S△OAD，S△OAC=13S△OAE，S△OBC=∴S1=118S△ADE，S2=S△OAB+S△OAC+S△OBC=13S17(★★★)在△ABC中，E,F分别为AB,AC中点，P为线段EF上任意一点，实数x,y满足PA+xPB+yPC=0，设△ABC,△PCA,△PAB的面积分别为S,S1,S2【答案】5【解析】如图所示．∵点P在△ABC的中位线EF上，∴S△BPC∴S1+S∴12S≥2S1S2，当且仅当S1=此时点P为线段EF的中点．以PB、PC为邻边作平行四边形PBDC，连接PD交BC于点O．则PB→化为PA→∵PA→+xPB∴2x+3y=52．故答案为：8(★★★)已知G是△ABC的重心，直线EF过点G且与边AB、AC分别交于点E、F，AE=αAB，AF=βAC，则1α【答案】3【解析】如图所示，∵三点E，G，F共线，