广西邕衡教育名校联盟2025届高三下学期新高考5月全真模拟联合测试 数学试题（含解析）

广西邕衡教育名校联盟2025届高三下学期新高考5月全真模拟联合测试数学试题一、单选题1．复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知命题；命题，则（

）A．和都是真命题 B．和都是真命题C．和都是真命题 D．和都是真命题3．某货架放有7包不同的薯片，6瓶不同的饮料，从这些货品中任取2包薯片和1瓶饮料，不同的取法有（

）A．19种 B．20种 C．126种 D．294种4．已知均为单位向量，若，则与夹角的大小等于（

）A． B． C． D．5．若为奇函数，则实数的值等于（

）A．－1 B． C． D．16．已知，则（

）A． B． C． D．7．在正四棱台中，，棱与平面所成角的正弦值为，则该棱台的体积为（

）A．40 B． C．56 D．1128．已知函数是定义在上的奇函数，当时，．若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题9．抛物线的焦点为，直线过点且与抛物线交于两点，其中点在第一象限，则（

）A．B．当时，C．若点的坐标为，则周长的最小值为8D．当时，10．某工人对某产品进行质量检测有甲、乙两套工序，且完成检测至少需要甲、乙两套工序中的一套．记事件“该工人在检测过程中使用过甲套工序”，事件“该工人在检测过程中使用过乙套工序”，事件“该工人在检测过程中使用过甲、乙两套工序”，事件“该工人在检测过程中仅使用过甲、乙两套工序中的一套”，已知，则下列说法正确的是（

）A．与为互斥事件 B．与互为对立事件C． D．11．已知曲线，下列结论正确的有（

）A．直线是曲线的一条对称轴B．曲线的图象绕坐标原点逆时针旋转后与原图象重合C．曲线上任一点到坐标原点的距离都不超过2D．曲线上恰有3个整点（横、纵坐标均为整数的点）三、填空题12．已知函数，则在点处的切线方程为．13．已知曲线，记的一条渐近线与轴的夹角为，则．14．已知正项数列的前项和为，其中，且．（1）数列的通项公式；（2）记集合，非空集合，满足，若集合中的任意3个元素的和都能被3整除，则集合的元素个数的最大值为．四、解答题15．已知分别为三个内角的对边，，且满足．（1）求；（2）若，且的面积为，求的周长．16．已知甲、乙进行一场中国象棋比赛，每局棋甲胜的概率为，乙胜的概率为，每局棋胜负结果相互独立，约定先达到净胜2局者获得比赛胜利并结束比赛（规定：净胜局指的是一方比另一方多胜局）．（1）求恰2局棋下完时甲获得比赛胜利的概率以及恰4局棋下完时甲获得比赛胜利的概率（2）若规定比赛总局数达到6局时无论是否分出胜负都直接结束比赛，求结束比赛时双方对战的总局数的分布列；（3）若比赛不限局数，求甲最终获胜的概率．（定义：若无穷等比数列的公比满足，则所有项之和为．）17．已知函数．（1）当时，求的单调区间；（2）当时，求证：对任意的，恒成立；（3）若的极大值为，求的取值范围．18．如图所示，在三棱锥中，平面，，，于点，为线段上一点，满足．

（1）求证：是直角三角形；（2）若，求三角形面积的最大值；（3）若存在，使直线与平面所成的角为，求的取值范围．19．已知曲线的左右焦点为为其左支上的一个动点．当时，有，且曲线的离心率为．（1）求曲线的方程；（2）以点为切点作曲线的切线，过点、作切线的垂线，垂足为、．（ⅰ）试用表示与，并证明和面积相等；（ⅱ）求点的轨迹方程．

参考答案1．【答案】B【详解】依题意，，所以对应点位于第二象限．故选B.2．【答案】B【详解】注意到当时，，则是假命题，是真命题；又注意到时，，则为真命题，是假命题；所以和都是真命题．故选B.3．【答案】C【详解】7包不同的薯片任取2包有种取法，6瓶不同的饮料任取1瓶有6种取法，现从这些货品中任取2包薯片和1瓶饮料，根据分步乘法计数原理得到不同的取法有种．故选C．4．【答案】C【详解】已知，由得，两边平方可得，所以，则，可得，则，由于，所以,故与夹角的大小等于.故选C．5．【答案】C【详解】，由，得或，所以函数的定义域为，因为奇函数的定义域关于原点对称，所以，则，此时，，即，函数为奇函数，所以．故选C．6．【答案】B【详解】由，得，因为，所以，.故选B．7．【答案】C【详解】如图，分别取的中点,则分别为上下底面的中心，则即为正四棱台的高.取中点,连接，则有.又正四棱台中，，，得.设正四棱台的高为，棱与平面所成角为，则,得.再由上底面面积为，下底面面积为.正四棱台的体积.故选C.8．【答案】A【详解】因为时，，则在上单调递增.当时，，所以时，恒成立.又是定义在上的奇函数，，所以是上的增函数.不等式，对任意的恒成立，即，，又，所以.令，，令，则.在上恒成立，所以函数在上单调递减.在时有所以，即实数的取值范围为．故选A.9．【答案】ACD【详解】A选项，直线与轴的交点为，所以焦点为，所以，所以A选项正确；B选项，当时，联立得，所以B选项错误；C选项，因为，，所以，过点作准线的垂线，垂足为，三角形周长为，所以C选项正确；D选项，设直线与抛物线的准线交于点，过点作准线的垂线，垂足为，设，则，，根据三角形相似得，所以，所以直线的倾斜角为，则．所以D选项正确.故选ACD.10．【答案】BCD【详解】对于A，由，得，故A错误；对于B，“该工人在检测过程中仅使用甲工序或仅使用乙工序或甲乙都用”，易知此为全事件，，故B正确；对于C，由，得C正确；对于D，由，则D正确．故选BCD.11．【答案】ABC【详解】对于A，将点关于直线对称的点代入曲线的方程可得，即，满足曲线方程，故A正确；对于B，将点关于直线对称的点代入曲线的方程可得，即，满足曲线方程，将点关于轴对称的点代入曲线的方程可得，即，满足曲线方程，将点关于轴对称的点代入曲线的方程可得，即，满足曲线方程，所以曲线关于轴，轴以及直线对称，所以曲线的图象绕坐标原点逆时针旋转后与原图象重合，故B正确；对于C，因为，所以，所以，即，当且仅当时等号成立，所以曲线上任一点到坐标原点的距离都不超过2，故C正确；对于D，将和联立，解得，所以可得圆与曲线相切于点，由曲线的对称性可知，只需要考虑曲线在第一象限内经过的整点即可，而圆在第一象限内整数点只有，但，所以曲线在第一象限内不经过任何整点，再结合曲线的对称性可知，曲线在二三四象限内也不经过任何整点，又在曲线上，故曲线上只有1个整点，故D错误．故选ABC12．【答案】【详解】由，则，切线斜率为，则切线方程为，即.13．【答案】/【详解】曲线，则的一条渐近线方程的斜率为，所以，又，则，解得.14．【答案】675【详解】（1）因为，所以当时，，则，即，整理得，因为，所以，即，所以数列是首项为，公差为的等差数列，则，（2）由，将中的元素分为3部分，①被3除余1的：1，4，7，．．．，2023，共675个数②被3除余2的：，共674个数③被3除整除的：，共674个数满足的集合中元素个数的最大值为675个.15．【答案】（1）（2）【详解】（1）由已知和正弦定理得：，因为，所以，由辅助角公式得：，即，因为，所以，所以或，故或，因为，所以．（2）的面积，所以，由余弦定理得：，所以，所以的周长为．16．【答案】（1）（2）答案见解析（3）【详解】（1），.（2）可能的取值为2，4，6．；；；变量的分布列如下：246（3）方法一：比赛只进行一局无法分出最终胜负；比赛每进行两局后会有三个不同的结果：甲连胜两局获胜结束，甲连负两局由乙获胜而结束，甲一胜一负回到初始状态，根据递推关系得：，所以．方法二：将甲2局获胜，4局获胜，6局获胜，……局获胜，……的所有情况进行累加：即是一个无穷等比数列的所有项之和，其中．17．【答案】（1）函数的单调递减区间是，单调递增区间是（2）证明见解析（3）【详解】（1）当时，，则．令，得；令，得．所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是．（2）当时，．要证，即证．构建，则．构建，则．所以函数在上单调递增，则，即，可知函数在上单调递增，则，即．（3）因为．当时，则，令，得；令，得；可知在上单调递减，在上单调递增，此时只有极小值，不符合题意；当时，令，得．因为的极大值为，则，解得，此时当或时，；当时，；可知在内单调递增，在内单调递减，则的极大值为，符合题意；综上，的取值范围为．18．【答案】（1）证明见解析（2）（3）【详解】（1）在三棱锥中，由平面，面，得，又平面，则平面，而平面，则，又平面，于是平面，又平面，因此，所以为直角三角形．（2）由，以及，得为中点，，由（1）知，则在直角三角形中，有，因此，当且仅当时取等号，所以面积的最大值为.（3）以为原点，直线分别为轴，以过点垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，

设，由，得，即，且，则，则，，设平面的一个法向量为，则，令，得平面的一个法向量为，，整理得，，设，要存在，使与平面所成角为，则在上有零点．而函数图象的对称轴，又，只需满足，即，解得，所以的取值范围是．19．【答案】（1）（2）（ⅰ），，证明见解析；（ⅱ）【详解】（1）由于点在左支，则有，由，有，又，联立解得（舍负）．则，，曲线的方程为．（2）（ⅰ）首先是表示经过点