河北省张家口市2025届高三下学期第三次模拟考试 数学试题（含解析）

河北省张家口市2025届高三下学期第三次模拟考试数学试题一、单选题1．若集合，，则（

）A． B． C． D．2．已知复数，则在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．某同学记录了自己升入高三以来8次的数学考试成绩，分别为125，117，129，132，115，119，126，130，则该同学这8次的数学考试成绩的第40百分位数为（

）A．119 B．122 C．125 D．1324．在中，，，则（

）A．2 B． C． D．5．若的展开式中的系数为240，则（

）A．4 B．5 C．6 D．86．已知直线为圆在处的切线，若直线经过椭圆的两个顶点，则该椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．7．已知，则（

）A． B． C． D．8．已知函数，，且，都有，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知，，且，若，则（

）A． B．的最小值为C．的最小值为 D．的取值范围为10．在三棱锥中，，，为等边三角形，侧面底面，为棱的中点，，，三棱锥的体积为，则（

）A．若，则B．若，则三棱锥的外接球的表面积为C．若平面，则四棱锥的体积为D．若，与平面所成角相等，则11．已知函数，，则（

）A．当时，函数有三个零点B．当时，，C．若，则D．若函数在处取得极值，且，使，则三、填空题12．已知曲线在处的切线与轴垂直，则实数的值为.13．已知等比数列的前项和为，若，，则.14．已知为抛物线的焦点，过上一点作的准线的垂线，垂足为，若，则.四、解答题15．为大力弘扬中华民族尊老、敬老、爱老的传统美德，某医院从，两个科室的志愿者中随机抽调4人为某社区养老院的老人进行“免费健康体检”活动，已知，两个科室中的志愿者分布如下：

类别科室志愿者医生护士A科室23B科室33（1）求抽到的4人中，恰好有2名医生，且这2名医生恰好来自同一科室的概率；（2）设为选出的4人中医生的人数，求随机变量的分布列和数学期望.16．已知双曲线的一条渐近线方程为，为个焦点.（1）求双曲线的标准方程；（2）若倾斜角为的直线经过与的右支交于不同的两点，，的面积为（为坐标原点），，求的值.17．在中，内角，，的对边分别为，，，已知.（1）求；（2）若的外接圆面积为，且，，求的长.18．如图，在正三棱柱中，，，且，满足，，过，，三点的平面与棱交于点，若.（1）求的值；（2）求异面直线与所成角的余弦值；（3）求平面与平面夹角的正切值.19．已知函数.（1）求证：.（2）若，，为的最大值，（i）求的极小值；（ii）设，，求证：.

参考答案1．【答案】A【详解】，，所以，故选A2．【答案】D【详解】，在复平面内对应的点的坐标为，它位于第四象限.故选D.3．【答案】C【详解】从小到大排序：115,117,119,125,126,129,130,132，，所以第40百分位数为第四个数，即125.故选C4．【答案】C【详解】依题意，.故选C.5．【答案】C【详解】的展开式通项为.令得展开式中的系数为，即，对于A，时，，不满足方程；对于B，时，，不满足方程；对于C，时，，满足方程；对于B，时，，不满足方程.故选C6．【答案】A【详解】设切线斜率为，由圆的性质可知：，解得：，可得切线方程：，由可得：，令，可得，由题意可知：，所以，所以，故选A7．【答案】D【详解】因为，则.故选D8．【答案】B【详解】，，且，都有即，记，则由单调性的定义知，函数在上单调递增，则需满足：在上单调递增①，在上单调递增②，且③，对于①，要使在上单调递增，则在上恒成立，即在上恒成立，所以，因为，所以，解得；对于②，因为在上单调递增，所以在上单调递增时，；对于③，，所以；所以，解得，所以实数的取值范围是.故选B9．【答案】BCD【详解】A.由条件可知，，，则，故A错误；B.由题意可知，，则，当时等号成立，则的最小值为，故B正确；C.，当，即时等号成立，则的最小值为，故C正确；D.，当，均单调递增，且时，，则在区间上单调递增，∴当时取得最大值5，且时，，所以的取值范围为，故D正确.故选BCD.10．【答案】AC【详解】设，由可得，取的中点，连接，由为等边三角形可得，又侧面底面，侧面底面，面，所以由面面垂直的性质定理可得面，由，所以三棱锥体积.对于A，若，即，即，故A正确；对于B，若，由A可得，则，设三棱锥外接球的球心为，半径为，，则，解得，所以，所以三棱锥的外接球的表面积为，故B错误；对于C，若平面，平面平面，平面，所以，又为棱的中点，所以为的中点，则，由三角形相似可得，且到平面的距离不变，所以，所以四棱锥的体积为，故C正确；对于D，以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，设，由题意得为与平面所成的角，且，，所以，由，，可得，所以，平面的法向量为，因为，与平面所成角相等，所以，化简可得，解得无解，故D错误.故选AC11．【答案】AC【详解】对于A，当时，，，易得当时，，函数在上单调递减；当或时，，函数在和上单调递增，所以极大值，极小值，又，，所以函数在，，各有一个零点，所以函数有三个零点，故A正确；对于B，当时，，，易得当时，，函数在上单调递减；又，，所以，故B错误；对于C，若，则的图象关于成中心对称，又的定义域为，所以，即，即，整理可得，故C正确；对于D，因为，所以，由题有，即，由，得，令，则，又，所以，得到，整理得到，又，代入化简得到，又，，所以，得到，即，即，故D错误.故选AC.12．【答案】/0.5【详解】对函数求导得，，因为曲线在处的切线与轴垂直，所以，解得.13．【答案】【详解】由可得，若，则与矛盾，所以，则.14．【答案】【详解】由题意为抛物线的焦点，过上一点作的准线的垂线，垂足为，且，所以，所以，所以，设准线与纵轴交于点，根据抛物线定义可知，所以，因为，所以，在中，，所以．15．【答案】（1）（2）分布列见解析，【详解】（1）由已知，恰好有2名医生的情况包含这2名医生都来自A科室和都来自B科室，有种情况，从11人中抽4人有种情况，所以所求的概率为.（2）随机变量的所有可能取值为、、、、，，，，，，所以随机变量的分布列为所以.16．【答案】（1）（2）12【详解】（1）由可得，即，又，即，且，联立可得，所以双曲线的标准方程为.（2）由题意可得当时，，显然不合题意，所以，设直线方程为，，联立，消去可得，因为直线经过与的右支交于不同的两点，，所以，，，即两边取平方后化简可得，进一步化简可得，因为直线经过与的右支交于不同的两点，所以，解得，又，原点到直线的距离，所以.17．【答案】（1）（2）【详解】（1）因为，所以，所以，所以，由正弦定理可知，即，又由余弦定理可知，又，则；（2）由的外接圆面积为，得外接圆半径为1，由正弦定理得，由余弦定理及得，，化简得，解得（负根舍去），从而，因为，所以，，所以，故的长是.18．【答案】（1）（2）（3）【详解】（1）取中点为，连接，因为为正三角形，所以，又因为正三棱柱中，平面平面，平面平面，平面，所以平面，以为坐标原点，所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，由，可得，所以，因为，所以为中点，则，又，设，则，即，解得，所以，设，则，因为四点共面，所以存在实数，使得，即，即，解得，则，所以，即.（2）由（1）可知，，设异面直线与所成角为，则.（3）平面的一个法向量为，设平面的法向量为，因为，则，令，则，所以，设平面与平面的夹角为，则，且，所以.19．【答案】（1）证明见解析；（2）（i）0；（ii）证明见解析.【详解】（1）令，定义域为，则，因为，所以，当时，恒成立，在上单调递增，当时，恒成立，在上单调递减，故的最大值