2025年高考数学模拟检测卷：核心素养提升策略与应用试题集

2025年高考数学模拟检测卷：核心素养提升策略与应用试题集一、选择题要求：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知函数$f(x)=x^3-3x^2+4x+6$，则$f(x)$的对称中心为（）A.$(1,2)$B.$(1,3)$C.$(2,1)$D.$(2,3)$2.若等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，公差为$d$，且$a_1=2$，$S_5=30$，则$a_7$的值为（）A.10B.8C.6D.43.已知等比数列$\{a_n\}$的公比为$q$，且$a_1=2$，$a_3=8$，则$q$的值为（）A.2B.4C.1/2D.1/44.若复数$z$满足$|z-1|=|z+1|$，则$z$在复平面上的轨迹为（）A.$y=x$B.$y=-x$C.$x^2+y^2=1$D.$x^2+y^2=4$5.已知函数$f(x)=ax^2+bx+c$，若$f(1)=3$，$f(2)=7$，$f(3)=11$，则$a+b+c$的值为（）A.21B.18C.15D.126.若等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，公差为$d$，且$a_1=3$，$S_5=20$，则$a_8$的值为（）A.8B.6C.4D.27.已知函数$f(x)=\sqrt{x^2+1}$，则$f(x)$的单调递增区间为（）A.$(-\infty,+\infty)$B.$(-\infty,0)$C.$(0,+\infty)$D.$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$8.若复数$z$满足$|z-1|=|z+1|$，则$z$在复平面上的轨迹为（）A.$y=x$B.$y=-x$C.$x^2+y^2=1$D.$x^2+y^2=4$9.已知函数$f(x)=ax^2+bx+c$，若$f(1)=3$，$f(2)=7$，$f(3)=11$，则$a+b+c$的值为（）A.21B.18C.15D.1210.若等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，公差为$d$，且$a_1=3$，$S_5=20$，则$a_8$的值为（）A.8B.6C.4D.2二、填空题要求：本大题共5小题，每小题5分，共25分。11.已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，公差为$d$，且$a_1=2$，$S_5=30$，则$a_7$的值为______。12.若复数$z$满足$|z-1|=|z+1|$，则$z$在复平面上的轨迹为______。13.已知函数$f(x)=\sqrt{x^2+1}$，则$f(x)$的单调递增区间为______。14.若复数$z$满足$|z-1|=|z+1|$，则$z$在复平面上的轨迹为______。15.已知函数$f(x)=ax^2+bx+c$，若$f(1)=3$，$f(2)=7$，$f(3)=11$，则$a+b+c$的值为______。三、解答题要求：本大题共5小题，共75分。16.（本小题共15分）已知函数$f(x)=\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}$，求$f(x)$的定义域和值域。17.（本小题共15分）已知数列$\{a_n\}$满足$a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n+1$，求$\{a_n\}$的通项公式。18.（本小题共15分）已知函数$f(x)=x^3-3x^2+4x+6$，求$f(x)$的对称中心。19.（本小题共15分）已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，公差为$d$，且$a_1=2$，$S_5=30$，求$a_7$的值。20.（本小题共15分）已知函数$f(x)=\sqrt{x^2+1}$，求$f(x)$的单调递增区间。四、解答题要求：本大题共5小题，共75分。21.（本小题共15分）已知函数$f(x)=\frac{2x-3}{x^2-4}$，求$f(x)$的导数$f'(x)$。22.（本小题共15分）已知数列$\{a_n\}$满足$a_1=4$，$a_{n+1}=2a_n-3$，求$\{a_n\}$的前5项。23.（本小题共15分）已知函数$f(x)=\frac{x^2}{x-1}$，求$f(x)$的极值。24.（本小题共15分）已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，公差为$d$，且$a_1=5$，$S_8=72$，求$a_6$的值。25.（本小题共15分）已知函数$f(x)=\ln(x+1)$，求$f(x)$的导数$f'(x)$。五、解答题要求：本大题共5小题，共75分。26.（本小题共15分）已知函数$f(x)=x^3-6x^2+9x+1$，求$f(x)$的导数$f'(x)$。27.（本小题共15分）已知数列$\{a_n\}$满足$a_1=3$，$a_{n+1}=a_n^2-2$，求$\{a_n\}$的前5项。28.（本小题共15分）已知函数$f(x)=\sqrt{x^2-2x+2}$，求$f(x)$的导数$f'(x)$。29.（本小题共15分）已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，公差为$d$，且$a_1=7$，$S_9=63$，求$a_5$的值。30.（本小题共15分）已知函数$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$，求$f(x)$的导数$f'(x)$。六、解答题要求：本大题共5小题，共75分。31.（本小题共15分）已知函数$f(x)=\frac{3x^2-4x+1}{x-1}$，求$f(x)$的导数$f'(x)$。32.（本小题共15分）已知数列$\{a_n\}$满足$a_1=2$，$a_{n+1}=a_n+3^n$，求$\{a_n\}$的前5项。33.（本小题共15分）已知函数$f(x)=x^3-9x^2+24x-10$，求$f(x)$的导数$f'(x)$。34.（本小题共15分）已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，公差为$d$，且$a_1=6$，$S_{10}=70$，求$a_4$的值。35.（本小题共15分）已知函数$f(x)=\frac{x}{x^2+1}$，求$f(x)$的导数$f'(x)$。本次试卷答案如下：一、选择题1.答案：B解析：对称中心是函数的极值点，对于三次函数$f(x)=x^3-3x^2+4x+6$，求导得$f'(x)=3x^2-6x+4$，令$f'(x)=0$解得$x=1$，代入原函数得$f(1)=3$，因此对称中心为$(1,3)$。2.答案：A解析：等差数列的前$n$项和公式为$S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)$，已知$a_1=2$，$S_5=30$，代入公式得$30=\frac{5}{2}(2+a_5)$，解得$a_5=10$，由于$a_5=a_1+4d$，解得$d=2$，因此$a_7=a_1+6d=2+6\times2=10$。3.答案：A解析：等比数列的通项公式为$a_n=a_1q^{n-1}$，已知$a_1=2$，$a_3=8$，代入公式得$8=2q^2$，解得$q=2$。4.答案：C解析：根据复数的几何意义，$|z-1|=|z+1|$表示复数$z$到点$1$和$-1$的距离相等，即$z$位于这两点连线的垂直平分线上，即轨迹为$x^2+y^2=1$。5.答案：B解析：由三次函数的性质，若$f(1)=3$，$f(2)=7$，$f(3)=11$，则$f(x)$在$x=1$，$x=2$，$x=3$时取到局部极值，设这三个极值点分别为$x_1$，$x_2$，$x_3$，则有$f(x_1)=3$，$f(x_2)=7$，$f(x_3)=11$，由于三次函数的极值点间隔为1，故$x_1=1$，$x_2=2$，$x_3=3$，因此$f(x)$可以表示为$f(x)=a(x-1)(x-2)(x-3)$，代入$x=0$得$a=1$，所以$f(x)=x(x-1)(x-2)$，展开得$f(x)=x^3-3x^2+2x$，因此$a+b+c=0-3+2=1$。二、填空题11.答案：10解析：根据等差数列的性质，$a_7=a_1+6d$，代入已知条件$a_1=2$，$S_5=30$，解得$d=2$，因此$a_7=2+6\times2=10$。12.答案：$x^2+y^2=1$解析：根据复数的几何意义，$|z-1|=|z+1|$表示复数$z$到点$1$和$-1$的距离相等，即$z$位于这两点连线的垂直平分线上，即轨迹为$x^2+y^2=1$。13.答案：$(0,+\infty)$解析：函数$f(x)=\sqrt{x^2+1}$的导数为$f'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$，当$x>0$时，$f'(x)>0$，因此函数在$(0,+\infty)$上单调递增。14.答案：$x^2+y^2=1$解析：根据复数的几何意义，$|z-1|=|z+1|$表示复数$z$到点$1$和$-1$的距离相等，即$z$位于这两点连线的垂直平分线上，即轨迹为$x^2+y^2=1$。15.答案：1解析：由三次函数的性质，若$f(1)=3$，$f(2)=7$，$f(3)=11$，则$f(x)$在$x=1$，$x=2$，$x=3$时取到局部极值，设这三个极值点分别为$x_1$，$x_2$，$x_3$，则有$f(x_1)=3$，$f(x_2)=7$，$f(x_3)=11$，由于三次函数的极值点间隔为1，故$x_1=1$，$x_2=2$，$x_3=3$，因此$f(x)$可以表示为$f(x)=a(x-1)(x-2)(x-3)$，代入$x=0$得$a=1$，所以$f(x)=x(x-1)(x-2)$，展开得$f(x)=x^3-3x^2+2x$，因此$a+b+c=0-3+2=1$。三、解答题16.答案：定义域为$\{x|x\neq1\}$，值域为$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$。解析：函数$f(x)=\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}$的定义域为$x\neq1$，因为分母不能为0。求值域时，可以通分得$f(x)=\frac{2x}{x^2-1}$，当$x>1$时，$f(x)>0$，当$x<-1$时，$f(x)<0$，因此值域为$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$。17.答案：$a_n=2^n-1$解析：由递推关系$a_{n+1}=2a_n+1$，可以得到$a_2=2a_1+1=2\times1+1=3$，$a_3=2a_2+1=2\times3+1=7$，$a_4=2a_3+1=2\times7+1=15$，观察得到$a_n=2^n-1$，可以用数学归纳法证明。18.答案：对称中心为$(1,2)$。解析：对称中心是函数的极值点，对于三次函数$f(x)=x^3-3x^2+4x+6$，求导得$f'(x)=3x^2-6x+4$，令$f'(x)=0$解得$x=1$，代入原函数得$f(1)=3$，因此对称中心为$(1,2)$。19.答案：$a_7=10$解析：等差数列的前$n$项和公式为$S_n=\frac{n}{2}(