复数的乘、除运算+高一下学期数学人教A版（2019）必修二

高中数学（人教A版）同步教学课件必修第二册——复数的乘、除运算目录知识点讲解与疑难解答及习题练习题型讲解与方法总结及习题演练知识点讲解知识点疑难解答知识点习题练习题型讲解方法总结习题演练知识点讲解与疑难解答及习题练习

知识点一

复数的乘法1.

复数的乘法法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R），则z1z2＝（a＋

bi）（c＋di）＝

⁠.（ac－bd）＋（ad＋bc）i

知识点讲解2.

复数乘法的运算律对于任意z1，z2，z3∈C，有交换律z1z2＝

⁠结合律（z1z2）z3＝

⁠分配律z1（z2＋z3）＝

⁠z2z1

z1（z2z3）

z1z2＋z1z3

1.

复数的乘法与多项式乘法有何不同？复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所

得结果中把i2换成－1，再把实部、虚部分别合并.2.

多项式乘法的运算律在复数乘法中能否成立？仍然成立，乘法公式也适用.知识点疑难解答

知识点讲解

1.

已知i为虚数单位，复数z＝（3－i）（2＋i），则z的虚部为（

）A.iB.1C.7iD.7解析：

∵z＝（3－i）（2＋i）＝7＋i，∴z的虚部为1.故选B.

知识点习题练习

A.

第一象限B.

第二象限C.

第三象限D.

第四象限

3.

（24·烟台月考）设复数z满足（1＋i）z＝2－2i（i为虚数单

位），则｜z｜＝

⁠.

2题型讲解与方法总结及习题演练题型一复数代数形式的乘法运算【例1】计算下列各题：（1）（1－i）（1＋i）＋（－1＋i）；解：（1－i）（1＋i）＋（－1＋i）＝1－i2－1＋i＝1＋i.（2）（2－i）（－1＋5i）（3－4i）＋2i.解：（2－i）（－1＋5i）（3－4i）＋2i＝（－2＋10i＋i－5i2）（3－4i）＋2i＝（3＋11i）（3－4i）＋2i＝（9－12i＋33i－44i2）＋2i＝53＋21i＋2i＝53＋23i.题型讲解复数的乘法运算法则的应用（1）复数的乘法运算可以把i看作字母，类比多项式的乘法进行，注

意要把i2化为－1，进行最后结果的化简；（2）对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法，用乘法公式更

简便.例如平方差公式、完全平方公式等.方法总结1.

（24·安阳月考）复数z＝（1－i）（1＋i）＋（－1＋i）在复平

面内对应的点位于（

）A.

第一象限B.

第二象限C.

第三象限D.

第四象限解析：

z＝（1－i）（1＋i）＋（－1＋i）＝1－i2－1＋i＝1＋

i，所以复数z在复平面内对应的点位于第一象限.习题演练2.

若复数（1－i）（a＋i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数

a的取值范围是（

）A.

（－∞，1）B.

（－∞，－1）C.

（1，＋∞）D.

（－1，＋∞）

题型二复数代数形式的除法运算【例2】计算：（1）（1－2i）÷（2＋i）；

题型讲解

方法总结

习题演练2.

（22·北京高考2题）若复数z满足i·z＝3－4i，则｜z｜＝（

）A.1B.5C.7D.25

题型三i幂值的周期性及应用【例3】

（1）复数z＝i2

5的模是（

D

）A.iB.

－1C.0D.1解析：因为z＝i2

5＝i4×506＋1＝i，所以复数z的模是1.故选D.

（2）计算：1＋i＋i2＋i3＋…＋i100（i为虚数单位）的结果是

⁠.D解析：由复数的运算法则可知：1＋i＋i2＋i3＋…＋i100＝1＋（i

＋i2＋i3＋i4）＋…＋（i97＋i98＋i99＋i100）＝1＋0＋…＋0＝1.1题型讲解利用i幂值的周期性解题的技巧（1）熟记i的幂值的4个结果，当幂指数除以4所得的余数是0，1，2，

3时，相应的幂值分别为1，i，－1，－i；（2）对于n∈N，有in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0.方法总结

习题演练题型四在复数范围内解方程【例4】在复数范围内解下列方程：（1）x2＋5＝0；

题型讲解（2）x2＋4x＋6＝0.

法二

由x2＋4x＋6＝0知Δ＝42－4×6＝－8＜0，所以方程x2＋4x＋6

＝0无实数根.在复数范围内，设方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝a＋bi（a，b∈R且

b≠0），则（a＋bi）2＋4（a＋bi）＋6＝0，所以a2＋2abi－b2＋4a＋4bi＋6＝0，整理得（a2－b2＋4a＋6）＋（2ab＋4b）i＝0，

方法总结（2）利用复数相等的定义求解：设方程的根为x＝m＋ni（m，

n∈R），代入方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），化简后利用复数

相等的定义求解；

1.

（24·厦门月考）已知2i－3是关于x的方程x2＋6x＋q＝0

（q∈R）的一个根，则该方程的另一个根为（

）A.2i＋3B.

－