2026版大一轮高考数学-第八章　§8.3　圆的方程

第八章§8.3圆的方程数学

大一轮复习1.理解确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的标准方程与一般方程.2.能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.课标要求课时精练内容索引第一部分落实主干知识第二部分探究核心题型落实主干知识第一部分1.圆的定义和圆的方程定义平面上到定点的距离等于

的点的集合叫做圆方程标准(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)圆心C______半径为___一般x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)圆心C____________半径r＝_________________定长(a，b)r

2.点与圆的位置关系平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：(1)|MC|>r⇔M在

，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔M在圆外；(2)|MC|＝r⇔M在

，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上；(3)|MC|<r⇔M在

，即(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔M在圆内.圆外圆上圆内

×√√√2.已知圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线x－y＋t＝0对称，则实数t等于A.－3 B.1 C.－1 D.3√由x2＋y2＋2x－4y＋1＝0得(x＋1)2＋(y－2)2＝4，则圆心坐标为(－1，2)，又因为圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线x－y＋t＝0对称，故由圆的对称性可知，圆心(－1，2)在直线x－y＋t＝0上，则t＝y－x＝2－(－1)＝3.

√

√4.以点A(0，－1)，B(2，1)为直径端点的圆的方程为

.

(x－1)2＋y2＝2

返回微点提醒探究核心题型第二部分例1

设☉M的圆心M在直线2x＋y－1＝0上，点(3，0)和(0，1)均在☉M上，则☉M的方程为

.

圆的方程题型一(x－1)2＋(y＋1)2＝5

求圆的方程的常用方法(1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程.(2)待定系数法①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值；②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值.思维升华跟踪训练1

(2024·南昌模拟)设圆心在x轴的圆C过点(1，1)，且与直线y＝2x－1相切，则圆C的标准方程为

.

(x－3)2＋y2＝5

与圆有关的轨迹问题题型二√

命题点2定义法例3

已知圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1，点M是圆上的动点，AM与圆相切，且|AM|＝2，则点A的轨迹方程是A.y2＝4x

B.x2＋y2－2x－2y－3＝0C.x2＋y2－2y－3＝0

D.y2＝－4x√

√

求与圆有关的轨迹问题的常用方法(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程.(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程.(3)相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式.思维升华跟踪训练2

已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0).求：(1)直角顶点C的轨迹方程；

(2)直角边BC的中点M的轨迹方程.

阿波罗尼斯圆微拓展

x2＋y2＝3

(2)已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，sinA＝2sinB，acosB＋bcosA＝2，则△ABC面积的最大值为

.

√与圆有关的最值问题题型三√

命题点2利用对称性求最值例6

已知A(0，2)，点P在直线x＋y＋2＝0上，点Q在圆C：x2＋y2－4x－2y＝0上，则|PA|＋|PQ|的最小值是

.

12

思维升华(3)求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：①“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；②“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决.思维升华

√

(2)已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，设点P是圆C上的动点.记d＝|PB|2＋|PA|2，其中A(0，1)，B(0，－1)，则d的最大值为

.

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返回课时精练对一对答案1234567891011121314题号12345678答案DDCCBDADABD题号91013

14答案(x－1)2＋(y－1)2＝2ACD

D答案1234567891011121314

11.答案1234567891011121314

11.答案1234567891011121314

12.答案1234567891011121314

12.答案1234567891011121314

12.

√1234567891011121314知识过关答案

1234567891011121314答案2.圆心在y轴上，半径为2，且过点(2，4)的圆的方程为A.x2＋(y－1)2＝1

B.(x－2)2＋y2＝4C.(x－2)2＋(y－4)2＝4

D.x2＋(y－4)2＝4√依题意设圆心坐标为(0，b)，则圆的方程为x2＋(y－b)2＝4，又22＋(4－b)2＝4，解得b＝4，所以圆的方程为x2＋(y－4)2＝4.3.(2024·西安模拟)若过点P(0，1)可作圆x2＋y2－2x－4y＋a＝0的两条切线，则a的取值范围是A.(3，＋∞) B.(－1，3) C.(3，5) D.(5，＋∞)√1234567891011121314

答案

√1234567891011121314

答案

√1234567891011121314答案1234567891011121314

答案

√1234567891011121314答案1234567891011121314

答案1234567891011121314

答案二、多项选择题7.设圆C：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，则下列命题正确的是A.任意k∈R，圆的面积都是4πB.存在k∈R，使得圆C过点(3，0)C.经过点(2，2)的圆C有且只有一个D.不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上1234567891011121314√答案√

1234567891011121314答案

√1234567891011121314答案√√1234567891011121314答案

1234567891011121314答案

1234567891011121314答案

1234567891011121314答案

10.已知圆C以C(1，1)为圆心，且与直线mx－y－2m＝0(m∈R)相切，则满足以上条件的圆C的半径最大时，圆C的标准方程为

.

1234567891011121314答案(x－1)2＋(y－1)2＝21234567891011121314

答案四、解答题11.已知圆C的圆心在x轴上，并且过A(1，3)，B(3，3)两点.(1)求圆C的方程；1234567891011121314答案

1234567891011121314答案

12.已知圆C1经过点A(1，3)和B(2，4)，圆心在直线2x－y－1＝0上.(1)求圆C1的方程；1234567891011121314答案1234567891011121314答案

(2)若M，N分别是圆C1和圆C2：(x＋3)2＋(y＋4)2＝9上的点，点P是直线x＋y＝0上的点，求|PM|＋|PN|的最小值，以及此时点P的坐标.1234567891011121314答案1234567891011121314答案

1234567891011121314答案