2025年新高二数学（人教A版暑假衔接）新课预习-1.2 空间向量基本定理（学生版）-新高二暑假衔接

1.2空间向量基本定理【划重点】1．掌握空间向量基本定理.2．会用基底法表示空间向量.3．初步体会利用空间向量基本定理求解立体几何问题的思想．【知识梳理】知识点一空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．知识点二空间向量的正交分解1．单位正交基底如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示．2．向量的正交分解由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk.像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．知识点三证明平行、共线、共面问题(1)对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.(2)如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.知识点四求夹角、证明垂直问题(1)θ为a，b的夹角，则cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|).(2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0.知识点五求距离(长度)问题eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝eq\r(a·a)(eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))))＝eq\r(\o(AB,\s\up6(→))·\o(AB,\s\up6(→))))．【例题详解】一、空间的基底例1(1)为空间的一组基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，(2)已知平面ABC，，，，则空间的一个单位正交基底可以为（

）A． B．C． D．跟踪训练1(1)设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，给出下列向量组：①{a，b，x}，②{b，c，z}，③{x，y，a＋b＋c}，其中可以作为空间一个基底的向量组有()A．1个B．2个C．3个D．0个(2)已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m与n共线，则x＋y＝________.二、空间向量基本定理例2(1)在平行六面体中，为的中点，为的中点，，则（

）A． B．C． D．(2)如图，在四面体OABC中，，且，则（

）A． B． C． D．跟踪训练2(1)如图，在四面体中，，，，为的重心，为的中点，则（

）A． B．C． D．(2)已知四棱锥，底面为平行四边形，M，N分别为棱BC，PD上的点，，，设，，，则向量用为基底表示为（

）A． B．C． D．三、证明平行、共面问题例3如图，在四面体ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点.（1）求证：E，F，G，H四点共面；（2）求证：平面EFGH；（3）设M是EG和FH的交点，求证：对空间任意一点O，有.跟踪训练3(1)如图，已知斜三棱柱，在和上分别取点，，使，，其中，求证：平面.(2)如图，在四面体中，点、分别为、的中点，问：与、是否共面？四、求夹角、证明垂直问题例4如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点．设，，.(1)求证EG⊥AB；(2)求异面直线AG和CE所成角的余弦值．跟踪训练4已知平行六面体的底面是边长为1的菱形，且，.（1）证明：；（2）求异面直线与夹角的余弦值.五、求距离(长度)问题例5如图，在平行六面体中，两两夹角为60°，长度分别为2，3，1，点P在线段BC上，且，记.（1）试用表示；（2）求模.跟踪训练5如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB、AD的夹角都等于60°，M是PC的中点，设，，.(1)试用表示向量；(2)求BM的长.【课堂巩固】1．下列说法正确的是（

）A．若向量、共线，则向量、所在的直线平行．B．若、、是空间三个向量，则对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组，使．C．若向量、所在的直线是异面直线，则向量、一定不共线．D．若三个向量、、两两共面，则三个向量、、一定共面．2．是空间的一组基底，则可以与向量构成基底的向量（

）A． B． C． D．3．如图，在正方体，中，点是的中点，点在上，且，则（

）A． B．C． D．4．如图，二面角α－l－β等于eq\f(2π,3)，A，B是棱l上两点，BD,AC分别在平面α，β内，AC⊥l，BD⊥l，且2AB＝AC＝BD＝2，则CD的长等于()A．2eq\r(3)B.eq\r(13)C．4D．55．如图，三棱锥S－ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，AB＝BC＝2，SA＝2eq\r(2)，则SC与AB所成角的大小为()A．90°B．60°C．45°D．30°6．（多选）已知是空间的一个基底，若，则错误的是（

）A．是空间的一组基底 B．是空间的一组基底C．是空间的一组基底 D．与中的任何一个都不能构成空间的一组基底7．如图，已知▱ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠D＝60°，PA⊥平面ABCD，且PA＝6，则PC的长为________．8．已知是空间的一个单位正交基底，向量是空间的另一个基底，用基底表示向量___________.9．如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1.求证：A，E，C1，F四点共面.10．如图，在长方体中，M为的中点，N在AC上，且．求证：与、共面．11．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是DD1的中点，O是底面ABCD的中心．求证：B1O⊥平面PAC.12．如图，空间四边形的各边及对角线长都为2，E是的中点，F在上，且.（1）用表示；（2）求向量与向量所成角的余弦值.【课时作业】1．若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，2．如图，在四面体中，点在棱上，且满足，点，分别是线段，的中点，则用向量，，表示向量应为（

）A． B．C． D．3．如图，平行六面体中，为的中点.若，则（

）A． B． C． D．4．已知是空间的一组基底，其中，，.若A，B，C，D四点共面，则λ=（

）A． B． C． D．5．如图，平行六面体，其中，，，，，，则的长为（

）A． B． C． D．106．点是三棱锥底面的重心，且满足，则为（

）A． B． C． D．7．（多选）设是空间一个基底，则下列选项中正确的是（

）A．若，，则B．，，一定能构成空间的一个基底C．对空间中的任一向量，总存在有序实数组，使D．存在有序实数对，使得8．（多选）如图，在三棱柱中，，分别是，上的点，且，．设，，，若，，，则下列说法中正确的是（

）A． B．C． D．9．如图，、、分别是正方体的棱、、的中点，是上的点，平面.若，则___________.10．在四面体中，是棱的中点，且，则的值为__________.11．如图，两个正方形，的边长都是3，且二面角为，为对角线靠近点的三等分点，为对角线的中点，则线段______.12．设是空间的一个单位正交基底，且向量，若，则用基底表示向量______________．13．如图所示，四面体中，G，H分别是的重心，设，点D，M，N分别为BC，AB，OB的中点．(1)试用向量表示向量；(2)试用空间向量的方法证明MNGH四点共面．14．如图所示，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱AM的长为3，且，N是C