甘肃省甘南藏族自治州合作市高级中学2025届高三下学期第五次模拟考试数学试题（解析版）

第页，共页合作高级中学2025届高三学生第五次模拟考试高三数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若z，则复数在复平面内对应的点在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】由复数除法运算法则，求出，即可求解.【详解】，在复平面内对应的点在第四象限.故选:D.【点睛】本题考查复数的代数运算及几何意义，属于基础题.2.中，若，，，则向量可用，表示为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据平面向量的线性运算直接求解即可.【详解】在中，，则.又因为，所以.故选：A3.设集合，，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据充分必要条件的定义判断．【详解】，，∵，∴“”是“”的充要条件.故选：C.【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判断，属于基础题．4.已知直线y=x+1与曲线相切，则α的值为A.1 B.2 C.-1 D.-2【答案】B【解析】详解】设切点，则，又，故答案选B．5.已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论中正确的是()A.B.C.D.【答案】C【解析】【详解】A中，n还有可能在平面α内；B中m，n可能相交、平行、异面；由线面平行的性质定理可得C正确.D中m，n可能异面.选C.6.已知函数的部分图象如图所示，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题图知且，结合正弦型函数的性质求参数即可.【详解】由题图，，则，可得，又，故，，所以，，又，则.综上，，.故选：A7.有甲、乙两个袋子，甲袋子中有3个白球，2个黑球；乙袋子中有4个白球，4个黑球．现从甲袋子中任取2个球放入乙袋子，然后再从乙袋子中任取一个球，则此球为白球的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据独立事件与古典概型计算分从甲袋子取出2个白球放入乙袋子、从甲袋子取出2个黑球放入乙袋子和从甲袋子取出1个白球和1个黑球放入乙袋子三种情况讨论，从而可得出答案．【详解】解：若从甲袋子取出2个白球放入乙袋子，然后再从乙袋子中任取一个球，则此球为白球的概率为；若从甲袋子取出2个黑球放入乙袋子，然后再从乙袋子中任取一个球，则此球为白球的概率为；若从甲袋子取出1个白球和1个黑球放入乙袋子，然后再从乙袋子中任取一个球，则此球为白球的概率为．从甲袋子中任取2个球放入乙袋子，然后再从乙袋子中任取一个球，则此球为白球的概率为．故选：B.8.抛物线的焦点为，已知点，为抛物线上的两个动点，且满足．过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为（）A. B.1 C. D.2【答案】A【解析】【分析】设，，连接、．由抛物线定义得，由余弦定理可得，进而根据基本不等式，求得的取值范围，从而得解．【详解】解：设，，连接、，过点、作准线的垂线，垂足分别为、，由抛物线定义得，在梯形中，．由余弦定理得，配方得，，又当且仅当时取等号，得到，当且仅当时取等号，．所以，即的最大值为．故选：A．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分.9.习总书记讲到：“广大人民群众坚持爱国奉献,无怨无悔,让我感到千千万万普通人最伟大,同时让我感到幸福都是奋斗出来的”.某企业年个月的收入与支出数据的折线图如下：已知：利润收入支出,根据该折线图,下列说法正确的是（）A.该企业年月至月的总利润低于年月至月的总利润B.该企业年第一季度的利润约是万元C.该企业年月至月的月利润持续增长D.该企业年月份的月利润最大【答案】AC【解析】【分析】先根据折线图计算每个月的大概利润,再逐项求解即可.【详解】解：设利润为,收入为,支出为.由图像可得,,,,,选项A：根据数据该企业年月至月的总利润低于年月至月的总利润,故A正确.选项B：根据图像数据,故B错误.选项C：由数据知该企业年月至月的月利润持续增长,故C正确.选项D：根据图像数据月的月利润最大,故D错误.故选：AC【点睛】本题考查折线图,由折线图获取数据再运算,看懂折线图是解题关键.10.已知函数，以下四个命题中真命题是（）A.，有B.，且，有C.，，有D.，【答案】ABCD【解析】【分析】求出可判断A；由得在区间上单调递增可判断B；在单调递增可判断C；设得在单调递增，；由奇函数性质可判断D．【详解】，且其定义域为，，，有，故A是真命题；，由，可知在区间上单调递增，即，且，有，故B是真命题；在单调递增，，，有，故C是真命题；设，则当时，，所以在单调递增，所以当时，，即；由奇函数性质可知，，，故D是真命题．故选：ABCD．11.已知函数的图象关于直线对称，则（）A.函数为奇函数B.函数在上单调递增C.若，则的最小值为D.函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象【答案】AC【解析】【分析】利用的图象关于直线对称，即可求出的值，从而得出的解析式，再利用三角函数的性质逐一判断四个选项即可.【详解】因为的图象关于直线对称，所以，得，，因为，所以，所以，对于A：，所以为奇函数成立，故选项A正确；对于B：时，，函数在上不是单调函数；故选项B不正确；对于C：因为，，又因为，所以的最小值为半个周期，即，故选项C正确；对于D：函数的图象向右平移个单位长度得到，故选项D不正确；故选：AC【点睛】本题主要考查了利用三角函数的对称轴求函数解析式，考查了三角函数平移变换、三角函数的周期、单调性、最值，属于中档题三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数满足，且在上的导数满足，则不等式的解集为________．【答案】【解析】【分析】由已知可令，判断其单调性，将转化为，即可求得答案.【详解】令，则，∴在R上单调递减．由，得，即．又，，∴，∴，解得或，故不等式的解集为，故答案为：13.已知分别为三个内角的对边，，则__．【答案】60°##【解析】【分析】根据余弦定理求，再根据余弦定理求角.【详解】由余弦定理得，由余弦定理得，因为，所以．故答案为：14.如图，在棱长为2正方体中，已知点，分别为直线，上的动点，给出下面四个结论：①异面直线，所成的角为；②点到平面的距离为定值；③若为中点，则点到距离为；④的最小值为则其中所有正确结论的序号是________．【答案】①②④【解析】【分析】连接，，先确定即为异面直线，所成的角，求解可判断选项①；利用线面平行的判定定理证明平面，即可判断选项②；利用等面积法求解点到的距离，即可判断选项③；利用异面直线间的公垂线距离最短，建立合适的空间直角坐标系，利用异面直线间的距离公式求解，即可判断选项④．【详解】解：①连接，，由正方体的几何性质可得，，所以异面直线，所成的角即为与所成的角即，因为为等边三角形，所以，故选项①正确；因为，且平面，平面，所以平面，则直线上的点到平面的距离相等，所以点到平面的距离为定值，故选项②正确；连接，，因为，，，所以，故为直角三角形，设点到距离为，由等面积法可得，，即，解得，所以若为中点，则点到距离为，故选项③错误；以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则，0，，，2，，，0，，，0，，由三垂线定理可得，，，故向量是异面直线与的法向量，又，所以直线，公垂线的长度为，因为异面直线间的公垂线距离最短，所以的最小值为，故选项④正确．故答案为：①②④．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知正方形的边长为，为两条对角线的交点，如图所示，将Rt△BED沿BD所在的直线折起，使得点E移至点C，满足．（1）求四面体的体积；（2）请计算：①直线与所成角的大小；②直线与平面所成的角的大小．【答案】（1）；（2）①；②（或）．【解析】【分析】（1）利用勾股定理证明，结合，证明平面，从而是三棱锥的高，由锥体的体积公式求解即可；（2）建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标．①利用异面直线所成角的计算公式求解即可；②利用待定系数法求出平面的法向量，然后由线面角的计算公式求解即可．【详解】（1）由已知，有，，又由已知，有因为，所以平面，即是三棱锥的高，所以（2）分别以、、为坐标轴建立空间直角坐标系．则有，，，，，，①设与所成角的大小为，则．故，与所成角的大小为．②设为平面的一个法向量，则即令，得．故与平面所成的角为（或）．16.某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动）．该校合唱团共有100名学生，他们参加活动次数统计如图所示．（I）求合唱团学生参加活动人均次数；（II）从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率．（III）从合唱团中任选两名学生，用表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望．【答案】（I）合唱团学生参加活动的人均次数为；（II）；（III）．【解析】【详解】解：由图可知，参加活动1次、2次和3次的学生人数分别为10、50和40．（I）该合唱团学生参加活动的人均次数为．（II）从合唱团中任选两名学生，他们参加活动次数恰好相等的概率为．（III）从合唱团中任选两名学生，记“这两人中一人参加1次活动，另一人参加2次活动”为事件，“这两人中一人参加2次活动，另一人参加3次活动”为事件，“这两人中一人参加1次活动，另一人参加3次活动”为事件．易知；；.的分布列：012的数学期望：．17.已知椭圆的左、右焦点为，，若圆的方程为，且圆心满足．（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线交椭圆于，两点，过与垂直的直线交圆于，两点，为线段中点，若的面积为，求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据给定条件，求出即得椭圆的方程.（2）联立直线与椭圆方程，求出，结合圆的性质将的面积转化为的面积，求出点到的距离，由面积大小求出斜率并验证得解.【小问1详解】依题意，，则，解得，而，则，所以椭圆的方程为．【小问2详解】如图，设，由消去，得，，，，则，由为线段中点，得，由，得，则，又点到的距离，于是，整理得，解得，此时，圆心到的距离成立，故.18.已知函数，当时，恒有．（1）求的表达式及定义域；（2）若方程有解，求实数的取值范围．【答案】（1），定义域为：；（2）．【解析】【分析】（1）由得，由得，联立解得，从而可得的表达式，由真数大于0，解不等式可得定义域；（2）转化为求函数，的值域可解得结果.【详解】（1）由得，所以①，因为当时，恒有，所以时，有，所以，所以，化简得②，联立①②，解得，所以，由得，解得或，所以的定义域为.（2）因为方程有解，所以有解，所以在内有解，因为，因为，所以，所以，所以，所以，即【点睛】本题考查了求函数的解析式、定义域、值域，考查了对数的运算法则，考查了方程有解问题，考查了转化思想，属于基础题.19.已知数列各项均为正数，为其前项的和，且成等差数列.（1）写出、、的值，并猜想数列的通项公式；（2）证明（1）中的猜想；（3）设，为数列的前项和.若对于任意，都有，求实数的值.【答案】（1），，，；（2）详见解析；（3）.【解析】【分析】（1）代入，求出，，，猜想出即可；（2）利用等