2026版大一轮高考数学-第四章　§4.5　三角函数的图象与性质

§4.5三角函数的图象与性质课标要求1.能画出三角函数的图象.2.了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值.3.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上的性质及正切函数在-π2，π1.用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数y＝sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，π2，1，(π，0)，3π(2)在余弦函数y＝cosx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，π2，0，(π，－1)，3π2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RRx值域[－1，1][－1，1]R最小正周期2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数单调递增区间22[2kπ－π，2kπ]k单调递减区间22[2kπ，2kπ＋π]

对称中心(kπ，0)kk对称轴方程x＝kπ＋πx＝kπ

1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y＝sinx，x∈[0，2π]，y＝cosx，x∈[0，2π]的五个关键点是零点和极值点.(×)(2)函数y＝cosx在第一、二象限内单调递减.(×)(3)函数y＝sinx图象的对称轴方程为x＝2kπ＋π2(k∈Z).(×(4)y＝cos(－x)与y＝cos|x|的图象相同.(√)2.(多选)已知函数f(x)＝sinx-π2(x∈R)，下列结论正确的是A.函数f(x)的最小正周期为2πB.函数f(x)在区间0，C.函数f(x)的图象关于直线x＝0对称D.函数f(x)是奇函数答案ABC解析由题意得f(x)＝－cosx，对于A，T＝2π1＝2π，故A对于B，因为y＝cosx在0，π2上单调递减，所以函数f(x)在0，π对于C，f(－x)＝－cos(－x)＝－cosx＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数，所以其图象关于直线x＝0对称，故C正确，D错误.3.函数y＝tan2x-3π4答案π8＋kπ2解析由－π2＋kπ<2x－3π4<π2＋kπ(k∈Z)，得π8＋kπ2<x所以y＝tan2x-3π4的单调区间为π8＋4.函数y＝cosx＋π3，x∈0答案-解析由x∈0，π2得x＋所以y＝cosx＋π31.熟记与三角函数周期性、对称性、奇偶性有关的常用结论(1)正弦型曲线、余弦型曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是12个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14(2)若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝kπ＋π2(k∈Z)；若为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)(3)若y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则φ＝kπ＋π2(k∈Z)2.谨防两个易误点(1)要注意求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时A和ω的符号，尽量化成ω>0的情况，避免出现增减区间的混淆.(2)对于y＝tanx，是在每个区间kπ-π2，kπ＋π2题型一三角函数的定义域和值域例1(1)函数y＝sinx-cosx的定义域为答案2kπ＋π4解析方法一要使函数有意义，必须使sinx－cosx≥0.在同一直角坐标系中画出[0，2π]上y＝sinx和y＝cosx的图象，如图所示.在[0，2π]内，满足sinx＝cosx的x为π4，5π4，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为2k方法二要使函数y＝sinx-cos则sinx－cosx≥0，即2sinx-π4即2kπ≤x－π4≤2kπ＋π(k∈Z)解得2kπ＋π4≤x≤2kπ＋5π4(k∈Z即原函数的定义域为2kπ＋π4，(2)函数f(x)＝sinx＋cosx＋2sinxcosx＋2的值域为.

答案3解析设sinx＋cosx＝2sinx＋π4＝t，t∈[－2，2]，则2sinxcosx＝则由函数f(x)＝sinx＋cosx＋2sinxcosx＋2，可知y＝t2＋t＋1＝t＋122＋34当t＝－12时，ymin＝34；当t＝2时，ymax＝3＋因此函数的值域为34思维升华(1)三角函数有关定义域的求法：根据函数解析式的特征列出与三角函数有关的不等式，借助三角函数性质及图象求解，与正切函数有关的定义域，要注意正切函数本身的定义域.(2)三角函数值域的不同求法①把所给的三角函数式变换成y＝Asin(ωx＋φ)的形式求值域.②把sinx或cosx看作一个整体，转换成二次函数求值域.③利用sinx±cosx和sinxcosx的关系转换成二次函数求值域.跟踪训练1(1)函数y＝tanπ2-xxA.[－1，1] B.(－∞，－1]∪[1，＋∞)C.(－∞，1] D.[－1，＋∞)答案B解析因为－π4≤x≤π4且x≠所以π4≤π2－x≤3π4且π2所以函数y＝tanπ2-x的值域为(－∞，－1]∪[1，＋(2)若函数f(x)＝4sinx－2cos2x＋m在R上的最大值是3，则实数m等于()A.－6 B.－5 C.－3 D.－2答案C解析因为f(x)＝4sinx－2(1－2sin2x)＋m＝4sin2x＋4sinx＋m－2＝(2sinx＋1)2＋m－3，当sinx＝1时，函数取到最大值，即(2＋1)2＋m－3＝3，解得m＝－3.题型二三角函数的周期性、对称性与奇偶性例2(1)(多选)(2024·淄博模拟)已知函数f(x)＝sin2x-π3＋1，则下列结论中正确的是A.函数f(x)的最小正周期T＝πB.函数f(x)的图象关于点π6C.函数f(x)的图象关于直线x＝5π12D.函数f(x)在区间[0，2π]上有4个零点答案AC解析∵f(x)＝sin2x-π∴f(x)的最小正周期T＝2π2＝π，A∵sin2×π6-π3＝0，∴函数f(x)又sin2×5π12-π3＝1，∴函数f(x)的图象关于直线x令f(x)＝0得sin2x-π∴2x－π3＝－π2＋2kπ，k∈∴x＝－π12＋kπ，k∈Z又x∈[0，2π]，∴x＝11π∴f(x)在[0，2π]内有2个零点，D错误.(2)(2025·西安模拟)已知函数f(x)＝cos(x＋φ)，则“f(0)＝0”是“f(x)为奇函数”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案C解析由题意可知，f(x)的定义域为R，若f(0)＝cosφ＝0，可得φ＝π2＋kπ，k∈Z若k为偶数，则f(x)＝cosx＝cosx＋π2＝－sin若k为奇数，则f(x)＝cosx＝－cosx＋π2＝sin即充分性成立；若f(x)为奇函数，则f(0)＝0，即必要性成立.综上所述，“f(0)＝0”是“f(x)为奇函数”的充要条件.思维升华(1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asinωx或y＝Atanωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acosωx的形式.(2)周期的计算方法：利用函数y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(ω>0)的周期为2πω，函数y＝Atan(ωx＋φ)(ω>0)的周期为π(3)对称轴、对称中心的求法：对于可化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)(或f(x)＝Acos(ωx＋φ))形式的函数，令ωx＋φ＝π2＋kπ或ωx＋φ＝kπ(k∈Z)跟踪训练2(1)(多选)(2024·黄山模拟)已知函数f(x)＝3sinωx－cosωx(ω>0)图象上相邻两条对称轴之间的距离为π2，则(A.ω＝2B.函数f(x)为奇函数C.函数f(x)的图象关于点-5πD.函数f(x)的图象关于直线x＝2π3答案AC解析f(x)＝3sinωx－cosωx＝232sinωx因为函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为π所以12T＝π2，则T所以T＝2πω＝π，解得ω＝2所以f(x)＝2sin2x-π显然，函数f(x)为非奇非偶函数，故B错误；对于C选项，f

-5π12＝＝2sin(－π)＝0，所以函数f(x)的图象关于点-5π12，0对称对于D选项，f

2π3＝2sin2×2π3-π所以函数f(x)的图象不关于直线x＝2π3对称，故D错误(2)(2025·广州模拟)若函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ等于()A.kπ(k∈Z) B.2kπ(k∈Z)C.kπ2(k∈Z) D.(2k＋1)π(k∈答案C解析若0在定义域内，由x＝0时，y＝0，得φ＝kπ(k∈Z)；若0不在定义域内，由x＝0时，tanφ无意义，得φ＝kπ＋π2(k∈Z)综上，φ＝kπ2(k∈Z题型三三角函数的单调性命题点1求三角函数的单调区间例3函数f(x)＝sinπ3-2x的单调递减区间为，在[0，π]上的单调递减区间为答案kπ-π12，kπ＋解析f(x)＝sinπ3-2x的单调递减区间是g(x)＝sin由2kπ－π2≤2x－π3≤2kπ＋π2，得kπ－π12≤x≤kπ＋5π12，k故所求函数的单调递减区间为kπ-π12，令A＝kπ-π12，kπ＋5π12，k∈∴A∩B＝0，5π∴f(x)在[0，π]上的单调递减区间为0，5π12命题点2根据单调性求参数例4(2025·广州模拟)若函数f(x)＝sinωx＋3cosωx(ω>0)在区间[a，b]上单调递减，且f(a)＝1，f(b)＝－1，b－a＝π2，则ω等于(A.13 B.1 C.23 D答案C解析由函数f(x)＝sinωx＋3cosωx＝2sinωx因为f(a)＝1，f(b)＝－1，所以sinωa＋π3＝又f(x)在区间[a，b]上单调递减，ω>0，所以ωa＋π3＝5π6＋2kπ，k∈Z，ωb＋π3＝7π6＋两式相减，可得ω(b－a)＝π3，因为b－a所以ω＝23思维升华(1)已知三角函数解析式求单调区间求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解.但如果ω<0，可先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错.(2)已知三角函数的单调区间求参数先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解.跟踪训练3(1)下列区间中，函数f(x)＝－2sinx-π3单调递增的是A.0，π2 C.2π3，3π2答案B解析当x∈0，π2时，x－π3∈-π3，π6，当x∈π，5π3时，x－π3∈2π3，4π3，函数当x∈2π3，3π2时，x－π3∈π3，7π6，函数f当x∈3π2，2π时，x－π3∈7π6，5π3，函数f(x(2)(2025·齐齐哈尔模拟)已知函数f(x)＝sinωx-π3(ω>0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，若f(x)在(－m，m)上单调递增，则正数答案0解析因为函数f(x)＝sinωx-π3(ω>0所以2πω×12＝π2即f(x)＝sin2因为f(x)在(－m，m)上单调递增，且m>0，所以函数f(x)＝sin2x-π令－π2≤2x－π3≤π2，得－π所以(－m，m)⊆-所以m≤5π12，-课时精练[分值：90分]一、单项选择题(每小题5分，共30分)1.函数f(x)＝-2cosx-1的定义域为(A.2π3＋2kπB.5π6＋2kπC.-2π3＋2kD.-5π6＋2k答案A解析由题意，函数f(x)＝-2cosx-1则满足－2cosx－1≥0，即cosx≤－1解得2π3＋2kπ≤x≤4π3＋2kπ，k∈所以函数f(x)的定义域为2π3＋2kπ，2.已知函数f(x)＝cos2x-π6，则f(x)在[－2，0A.单调递增 B.单调递减C.先增后减 D.先减后增答案D解析∵x∈[－2，0]，∴2x－π6∈∵－3π2<－4－π6<－π<－π∴函数f(x)＝cos2x-π6在[－2，3.已知函数f(x)＝2cosx＋π6，设a＝fπ7，b＝fπ6，c＝fπ4，A.a>b>c B.a>c>bC.c>a>b D.b>a>c答案A解析a＝fπ7＝2cosb＝fπ6＝2cosc＝fπ4＝2cos因为y＝cosx在[0，π]上单调递减，又0<13π42<π3<5π所以a>b>c.4.(2025·永州模拟)已知函数f(x)＝sin(3x＋φ)(0<φ<2π)在区间π6，π2上单调递增，则φA.π8 B.π4 C.π2 答案D解析根据题意，函数f(x)＝sin(3x＋φ)，其周期T＝2π又由f(x)在区间π6，而π必有3×π6＋φ＝2kπ－π2且3×π2＋φ＝2kπ＋π2变形可得φ＝2kπ－π，k∈Z，又由0<φ<2π，必有k＝1，此时φ＝π.5.(2024·商丘模拟)已知函数f(x)＝2sin(2x＋φ)0<φ<π2的图象关于直线x＝π12对称，则f(x)在A.－2 B.－3 C.－1 D.－2答案A解析因为函数f(x)＝2sin(2x＋φ)0<φ<π2的图象关于直线x所以2×π12＋φ＝kπ＋π2(k∈Z解得φ＝kπ＋π3(k∈Z)又0<φ<π2，所以当k＝0时，φ所以f(x)＝2sin2因为x∈π所以2x＋π3∈所以当2x＋π3＝3π2，即x＝7π12时，f(x)6.(2024·铜川模拟)已知函数f(x)＝cos(ωx＋φ)(0<ω<10，0<φ<π)图象的一个对称中心是Aπ8，0，点B0，22在f(xA.f(x)＝cos2B.直线x＝5π8是f(x)C.f(x)在7π8D.fx＋答案B解析因为点B0，22在f(x所以f(0)＝cosφ＝22又0<φ<π，所以φ＝π因为f(x)图象的一个对称中心是Aπ所以ωπ8＋π4＝π2则ω＝2＋8k，k∈Z.又0<ω<10，所以ω＝2，则f(x)＝cos2x＋f5π8＝cos3π2＝则直线x＝5π8不是f(x)图象的一条对称轴，B当x∈7π8，11π8时，2x＋π4∈[2π，3π]，f(xfx＋π8＝cos2x＋π2＝－sin2二、多项选择题(每小题6分，共12分)7.(2024·新课标全国Ⅱ)对于函数f(x)＝sin2x和g(x)＝sin2x-π4A.f(x)与g(x)有相同的零点B.f(x)与g(x)有相同的最大值C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴答案BC解析A选项，令f(x)＝sin2x＝0，解得x＝kπ2，k∈Z，即为f(x令g(x)＝sin2x-π解得x＝kπ2＋π8，k∈Z，即为显然f(x)，g(x)零点不同，A选项错误；B选项，显然f(x)max＝g(x)max＝1，B选项正确；C选项，根据周期公式，f(x)，g(x)的最小正周期均为2π2＝π，CD选项，根据正弦函数的性质，f(x)的对称轴满足2x＝kπ＋π2，k∈解得x＝kπ2＋πg(x)的对称轴满足2x－π4＝kπ＋π2，k解得x＝kπ2＋3π显然f(x)，g(x)图象的对称轴不同，D选项错误.8.(2025·岳阳模拟)若函数f(x)＝sinωx＋π6(ω∈N*，ω≤6)的图象关于直线x＝π6对称，A.f(0)＝1B.f(x)的图象关于点5π12C.f(x)在区间(0，π)上有2个极值点D.f(x)在区间0，答案ABC解析因为函数f(x)＝sinωx＋π6(ω∈N*，ω≤6)的图象关于直线x＝可得ω·π6＋π6＝π2＋解得ω＝2＋6k，k∈Z，又ω∈N*，且ω≤6，所以ω＝2，即f(x)＝sin2xA中，f(0)＝sinπ6＝1B中，因为2×5π12＋π6＝π，所以f(x)的图象关于点5π12C中，因为x∈(0，π)，所以2x＋π6∈令2x＋π6＝π2令2x＋π6＝3π2所以极值点为π6，2πD中，因为x∈0，π3，所以2x＋π6∈π6三、填空题(每小题5分，共10分)9.函数y＝1tanx-1的定义域为答案x解析要使函数有意义，则tan即x故函数的定义域为xx10.函数f(x)＝－2cos2x＋2sinx＋3，x∈π6，5π6答案5解析f(x)＝－2cos2x＋2sinx＋3＝－2(1－sin2x)＋2sinx＋3＝2sin2x＋2sinx＋1＝2sinx因为x∈π6，5π6，所以12≤当sinx＝1时，f(x)max＝5；当sinx＝12时，f(x)min＝5所以函数f(x)的值域为52四、解答题(共27分)11.(13分)已知f(x)＝2sin2x(1)求函数y＝fx＋π22(2)当x∈π4，3π4时，求函数f(x)的最大值和最小值.解(1)因为f(x)＝2sin2所以fx＋π2＝＝2sin2＝－sin2x－cos2x，所以y＝fx＋π22＝(－sin2x－cos2x)2＝1＋所以函数y＝fx＋π22(2)当x∈π4，3π4时，3π4≤所以－1≤sin2x＋所以－2≤f(x)≤1，所以当x∈π4，3π4时，函数f(x)的最大值为1，12.(14分)已知函数f(x)＝asin2x-π6－2cos2x＋π6(a从①f(x)的最大值为1；②f(x)的图象与直线y＝－3的两个相邻交点的距离等于π；③f(x)的图象过点π6，0这三个条件中选择一个，补充在上面(1)求函数f(x)的解析式及最小正周期；(6分)(2)若关于x的方程f(x)＝1在区间[0，m]上有两个不同解，求实数m的取值范围.(8分)注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.解(1)函数f(x)＝asin2x-π6＝asin2x-π6－＝asin2x-π6－＝asin2x-π6＋＝(a＋1)sin2x-π若选择条件①f(x)的最大值为1，则a＋1＝2，解得a＝1，所以f(x)＝2sin2x-π则函数f(x)的最小正周期T＝2π2＝π若选择条件②f(x)的图象与直线y＝－3的两个相邻交点的距离等于π，且f(x)的最小正周期T＝2π2＝π所以－(a＋1)－1＝－3，解得a＝1，所以f(x)＝2sin2x-π若选择条件③f(x)的图象过点π则fπ6＝(a＋1)sinπ