2026版大一轮高考数学-第五章　§5.4　平面向量中的综合问题

§5.4平面向量中的综合问题重点解读平面向量中的范围、最值问题是热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知识的交汇组合.其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围等.题型一平面向量在几何中的应用例1(1)设P是△ABC所在平面内一点，若AB·(CB＋CA)＝2AB·CP，且AB2＝AC2－2BC·AP，则点P是A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心答案A解析由AB·(CB＋CA)＝2AB·得AB·(CB＋CA－2CP)＝即AB·[(CB－CP)＋(CA－CP所以AB·(PB＋PA)＝设D为AB的中点，则AB·2PD＝0，故AB·PD＝0.由AB2＝AC2－2得(AB＋AC)·(AB－AC)＝－2即(AB＋AC－2AP)·CB＝设E为BC的中点，则(2AE－2AP)·CB＝0，则2PE·CB＝0，故CB·PE＝0.所以P为AB与BC的垂直平分线的交点，所以P是△ABC的外心.(2)△ABC的外心O满足OA＋OB＋2OC＝0，|AB|＝2，则△A.2＋22 B.1答案B解析设AB的中点为D，则OA＋OB＋2OC＝0可化为即OC＝－2OD∴O，D，C三点共线且CD⊥AB，∴△ABC为等腰三角形，|OA|2＝|OD|2＋|AD|2，设△ABC外接圆的半径为R，则R2＝R2解得R＝1，CD＝1＋22∴S△ABC＝12|AB||CD|＝12×2×思维升华用向量方法解决平面几何问题的步骤平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题.跟踪训练1(1)在△ABC中，若OA·OB＝OB·OC＝OC·OA，则点O是△ABCA.内心 B.外心 C.垂心 D.重心答案C解析∵OA·OB＝OB·∴OB·(OA－OC)＝0，∴OB·CA＝∴OB⊥CA，即OB为△ABC边CA上的高所在的直线.同理OA·BC＝0，OC·AB＝0，∴OA⊥BC，OC⊥AB，故O是△ABC的垂心.(2)如图所示，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝3，BE⊥AC，垂足为E，则ED的长为.答案21解析以A为坐标原点，AD，AB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(0，3)，C(3，3)，D(3，0)，AC＝(3，3)，设AE＝λAC，则E的坐标为(3λ，3λ)，故BE＝(3λ，3λ－3).因为BE⊥AC，所以BE·AC＝0，即9λ＋3λ－3＝0，解得λ＝14所以E34故ED＝94，-34即ED＝212题型二和向量有关的最值问题命题点1与平面向量基本定理有关的最值问题例2已知OA，OB是两个夹角为120°的单位向量，如图所示，点C在以O为圆心的AB上运动.若OC＝xOA＋yOB，其中x，y∈R，则x＋y的最大值是()A.2 B.2 C.3 D.3答案B解析由题意，以O为原点，OA的方向为x轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系，设C(cosθ，sinθ)，0°≤θ≤120°，可得A(1，0)，B-1由OC＝x(1，0)＋y-12，32＝(cosθ，得x－12y＝cosθ，32y＝sinθ，∴32y＝3sin∴x＋y＝x-12y＋32y＝cosθ＋3sinθ＝∵0°≤θ≤120°，∴30°≤θ＋30°≤150°，∴当θ＝60°时，x＋y的最大值为2，此时C为AB的中点，∴x＋y的最大值是2.命题点2与数量积有关的最值问题例3在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°.P为△ABC所在平面内的动点，且PC＝1，则PA·PB的取值范围是()A.[－5，3] B.[－3，5]C.[－6，4] D.[－4，6]答案D解析方法一(坐标法)以C为坐标原点，CA，CB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系(图略)，则A(3，0)，B(0，4).设P(x，y)，则x2＋y2＝1，PA＝(3－x，－y)，PB＝(－x，4－y)，所以PA·PB＝x2－3x＋y2－4y＝x-322＋(y－2)又x-322＋(y－2)2表示圆x2＋y2＝1上一点到点32，2距离的平方，圆心(0，0)到点32，即PA·PB的取值范围是[－4，6].方法二(极化恒等式法)设AB的中点为M，CM与CP的夹角为θ，由题意知AB＝5，CM＝52由极化恒等式得PA·PB＝PM2－14AB2＝(CM－CP)2－254＝CM2＋CP2－2CM因为cosθ∈[－1，1]，所以PA·PB的取值范围是[－4，6].命题点3与模有关的最值问题例4已知a，b是单位向量，a·b＝0，且向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围是()A.[2－1，2＋1] B.[2－1，2]C.[2，2＋1] D.[2－2，2＋2]答案A解析a，b是单位向量，a·b＝0，设a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝(x，y)，|c－a－b|＝|(x－1，y－1)|＝(x-1)2＋(y-1)2＝1，∴(x－1)2＋(y－1)2＝1，∴|c|表示以(1，1)为圆心，1为半径的圆上的点到原点的距离，故12＋12－1≤|c|≤12＋思维升华向量求最值(范围)的常用方法(1)利用三角函数求最值(范围).(2)利用基本不等式求最值(范围).(3)建立坐标系，设变量构造函数求最值(范围).(4)数形结合，应用图形的几何性质求最值.跟踪训练2(1)(2024·铜川模拟)在△ABC中，D是AB边上的点，满足AD＝2DB，E在线段CD上(不含端点)，且AE＝xAB＋yAC(x，y∈R)，则x＋2yxyA.3＋22 B.4＋23C.8＋43 D.8答案B解析∵AE＝xAB＋yAC(x，y∈R)，AD＝2DB，∴AE＝3x2又E在线段CD上(不含端点)，∴3x2＋y＝1，且x>0，y∴x＝4＋3x2y＋2y当且仅当3x2y＝2yx，即x＝3-33，y＝3(2)(2025·韶关模拟)已知平面向量a，b，c均为单位向量，且|a＋b|＝1，则向量a与b的夹角为，(a＋b)·(b－c)的最小值为.

答案2π3－解析由题意知，|a|＝|b|＝|c|＝1，由|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1，得a·b＝－12，所以cos〈a，b〉＝a·b又〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝2π3即a与b的夹角为2π3(a＋b)·(b－c)＝a·b＋b2－(a＋b)·c＝12－|a＋b||c|cos〈a＋b，c＝12－cos〈a＋b，c又cos〈a＋b，c〉∈[－1，1]，所以32≥12－cos〈a＋b，c〉≥－当且仅当a＋b与c同向时，右侧等号成立.所以(a＋b)·(b－c)的最小值为－12(3)(2024·会宁模拟)已知单位向量a，b满足|3a－4b|＝m，则实数m的取值范围是.答案[1，7]解析设a，b的夹角为θ(θ∈[0，π])，因为|3a－4b|2＝9a2－24a·b＋16b2＝9|a|2－24|a||b|cosθ＋16|b|2，又a，b为单位向量，则m2＝9＋16－24cosθ＝25－24cosθ，又cosθ∈[－1，1]，则1≤m2≤49，所以1≤m≤7.四心问题一、引理(“奔驰”定理)如图1，O是△ABC内一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为SA，SB，SC，则SAOA＋SBOB＋SCOC＝0.图1与奔驰汽车的标志(图2)类似，故该引理又称为“奔驰”定理.证明如图，延长AO与BC相交于点D，BDDC记BDDC＝λ，则BD＝λDC，即OD－OB＝λ(所以－(1＋λ)OD＋OB＋λOC＝又OD＝－|OD||所以SASB从而SAOA＋SBOB＋SCOC＝0.推论若O是△ABC内的一点，且xOA＋yOB＋zOC＝0，则SA∶SB∶SC＝x∶y∶z.二、三角形“四心”的定义、几何性质和向量特征1.重心(1)定义：三角形三条中线的交点.(2)几何性质：三角形的重心是中线的三等分点，它到顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍.(3)向量特征：定理1G是△ABC的重心⇔GA＋GB＋证明由引理得G是△ABC的重心⇔SA＝SB＝SC⇔GA＋GB＋推论1P是△ABC所在平面内任意一点，PG＝13(PA＋PB＋证明G是△ABC的重心⇔GA＋GB＋GC＝0⇔PA－PG2.外心(1)定义：三角形三条边的中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心.(2)几何性质：三角形的外心到三个顶点的距离相等.(3)向量特征：定理2O是锐角△ABC的外心⇔OAsin2A＋OBsin2B＋OCsin2C＝0.证明由O是锐角△ABC的外心，得|OA|＝|OB|＝|OC|，则∠AOB＝2∠ACB，∠BOC＝2∠BAC，∠COA＝2∠ABC，于是SA∶SB∶SC＝sin2A∶sin2B∶sin2C，根据引理，得到OAsin2A＋OBsin2B＋OCsin2C＝0.反之亦然(证明略).推论2P是锐角△ABC所在平面内任意一点，PO＝PAsin2A＋PBsin2推论2可仿照推论1进行证明.3.内心(1)定义：三角形三条内角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心.(2)几何性质：三角形的内心到三边的距离相等.(3)向量特征：定理3O是△ABC的内心⇔aOA＋bOB＋cOC＝0.(其中a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边长)证明设△ABC的内切圆半径为r，O是△ABC的内心，则SA∶SB∶SC＝ar2∶br2∶cr2＝a∶b根据引理得，O是△ABC的内心⇔aOA＋bOB＋cOC＝0.推论3P是△ABC所在平面内任意一点，O是△ABC的内心⇔PO＝推论3可仿照推论1进行证明.4.垂心(1)定义：三角形三条高所在直线的交点.(2)几何性质：三角形的垂心分每条高线所得的两条线段长的乘积相等.(3)向量特征：定理4O是△ABC(非直角三角形)的垂心⇔OAtanA＋OBtanB＋OCtanC＝0.证明O是△ABC(非直角三角形)的垂心⇔OA·OB＝OB·OC⇔|OA|·|OB|cos(π－C)＝|OB|·|OC|cos(π－A)＝|OC|·|OA|cos(π－B)⇔|OA|∶|OB|∶|OC|＝cosA∶cosB∶cosC⇔SA∶SB∶SC＝tanA∶tanB∶tanC，由引理得，O是△ABC(非直角三角形)的垂心⇔OAtanA＋OBtanB＋OCtanC＝0.推论4P是△ABC(非直角三角形)所在平面内任意一点，O是△ABC(非直角三角形)的垂心⇔PO＝推论4可仿照推论1进行证明.典例奔驰定理与三角形四心(重心、内心、外心、垂心)有着神秘的关联.它的具体内容是：已知M是△ABC内一点，△BMC，△AMC，△AMB的面积分别为SA，SB，SC，则SA·MA＋SB·MB＋SC·MC＝0.以下命题错误的是()A.若SA∶SB∶SC＝1∶1∶1，则M为△ABC的重心B.若M为△ABC的内心，则BC·MA＋AC·MB＋AB·MC＝0C.若∠BAC＝45°，∠ABC＝60°，M为△ABC的外心，则SA∶SB∶SC＝3∶2∶1D.若M为△ABC的垂心，3MA＋4MB＋5MC＝0，则cos∠AMB＝－6答案C解析对于A，取BC的中点D，连接MD，如图，由SA∶SB∶SC＝1∶1∶1，则MA＋MB＋所以2MD＝MB＋所以A，M，D三点共线，且AM＝设E，F分别为AB，AC的中点，同理可得CM＝23CE，BM＝23BF对于B，由M为△ABC的内心，则可设其内切圆半径为r，则有SA＝12BC·r，SB＝12AC·r，SC＝1所以12r·BC·MA＋12r·AC·MB＋即BC·MA＋AC·MB＋AB·MC＝0，故B正确；对于C，由M为△ABC的外心，则可设△ABC的外接圆半径为R，又∠BAC＝45°，∠ABC＝60°，则有∠BMC＝2∠BAC＝90°，∠AMC＝2∠ABC＝120°，∠AMB＝2∠ACB＝150°，所以SA＝12R2·sin∠BMC＝12R2·sin90°＝12SB＝12R2·sin∠AMC＝12R2·sin120°＝34SC＝12R2·sin∠AMB＝12R2·sin150°＝14所以SA∶SB∶SC＝2∶3∶1，故C错误；对于D，如图，延长AM交BC于点D，延长BM交AC于点F，延长CM交AB于点E，由M为△ABC的垂心，3MA＋4MB＋5MC＝0，则SA∶SB∶SC＝3∶4∶5，又S△ABC＝SA＋SB＋SC，则S△ABCSA＝4，设MD＝x，MF＝y，x，y>0，则AM＝3x，BM＝2y，所以cos∠BMD＝x2y＝cos∠AMF＝即3x2＝2y2，xy所以cos∠BMD＝66，所以cos∠AMB＝cos(π－∠BMD)＝－66，故D课时精练[分值：52分]一、单项选择题(每小题5分，共30分)1.(2025·昆明模拟)设x>0，向量AB＝(x2，－2x)在向量AC＝(1，2)上的投影向量为λAC(λ∈R)，则实数λ的最小值为()A.－45 B.－455 C.－15答案A解析向量AB在向量AC上的投影向量为AB·AC|则λ＝x2-4x5当且仅当x＝2时，等号成立，所以λ的最小值为－452.已知点P是边长为2的正方形ABCD所在平面内一点，若|AP－AB－AD|＝1，则|AP|A.22－1 B.22C.22＋1 D.22＋2答案C解析由AP－AB－AD＝AP－(AB＋AD)＝得|CP|＝1，即点P在以点C为圆心，1为半径的圆周上运动，所以|AP|的最大值为22＋22＋1＝23.已知非零向量AB与AC满足AB|AB|＋AC|AC|·BC＝0且AB|A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形答案C解析由AB|AB|＋AC|AC|·所以AB＝AC，设AB，CA的夹角为θ，而AB|AB|·CA|AC|＝又θ∈[0，π]，所以θ＝π3，∠A＝π－π3＝2π34.在△ABC中，AC＝9，∠A＝60°，点D满足CD＝2DB，AD＝37，则BC的长为()A.37 B.36 C.33 D.6答案A解析因为CD＝2DB，所以AD＝AB＋13(设AB＝x，x>0，则|AD|2＝23得37＝49x2＋49×x×9cos60°＋19×即2x2＋9x－126＝0，解得x＝6(舍负)，即AB＝6，所以|BC|＝|AC－＝|＝62＋925.在平行四边形ABCD中，点P在对角线AC上(包含端点)，且AC＝2，则(PB＋PD)·PA有(A.最大值为12B.最小值为－12C.最小值为－12，最大值为D.最小值为－4，最大值为1答案C解析设AC与BD的交点为O，则PB＋PD＝2PO，所以(PB＋PD)·PA＝2如图(1)，当点P在AO上，设|PO|＝a∈[0，1]，(PB＋PD)·PA＝2PO·PA＝－2a(1－a)，当a＝12时，有最小值为如图(2)，当点P在CO上，设|PO|＝a∈[0，1]，(PB＋PD)·PA＝2PO·PA＝2a(1＋a)，当a＝1时，有最大值为综上，(PB＋PD)·PA有最小值为－126.(2024·呼和浩特模拟)在△ABC中，D为线段AC的一个三等分点，AD＝2DC.连接BD，在线段BD上任取一点E，连接AE，若AE＝aAC＋bAB(a，b∈R)，则a2＋b2的最小值为()A.134 B.52 C.413答案C解析设BE＝λBD，λ∈[0，1]，因为AD＝2DC，所以AE＝AB＋BE＝AB＋λBD＝AB＋λ(BA＋AD)所以a＝2λ3，b＝1－所以a2＋b2＝49λ2＋(1－λ)2＝139λ2－2λ＋当λ＝－-22×139＝913时，a二、多项选择题(每小题6分，共12分)7.设点D是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的有()A.若AD＝12(AB＋B.若AD＝13AB|ABC.若AD＝2AB－AC，则点D在边D.若AD＝xAB＋yAC，且x＋y＝12，则△BCD是△ABC答案ABD解析对于A，∵AD＝1即12AD－即点D是边BC的中点，故A正确；对于B，AD·BC＝13(－|BC|＋|BC|)＝0，即AD⊥BC故直线AD过△ABC的垂心，故B正确；对于C，∵AD＝2AB－即AD－AB＝即点D在边CB的延长线上，故C错误；对于D，∵AD＝xAB＋yAC，且x＋y＝12设AM＝2AD，则AM＝2AD＝2xAB＋2yAC，且2x＋2y＝1，故M，B，C三点共线，且|AM|＝2|AD|，即△BCD是△ABC面积的一半，故D正确.8.已知△ABC的面积为3，在△ABC所在的平面内有两点P，Q，满足PA＋2PC＝0，QA＝2QB，记△APQ的面积为S，则下列说法正确的是()A.PB∥CQB.BPC.PA·PC<0D.S＝4答案BCD解析由PA＋2PC＝0，Q