数学（二）-2025年中考考前20天终极冲刺攻略（解析版）

第第页01平面直角坐标系与函数01平面直角坐标系与函数考点考情分析平面上确定物体的位置的方法主要以选择题、填空题为主，也可能在一些综合应用题的某一小问中出现。平面直角坐标系以选择题、填空题为主，也可能在解答题中作为一部分出现，如在函数与几何图形的综合题中，利用平面直角坐标系来求解相关问题。函数基础知识选择题、填空题常考查函数的基本概念、性质、图象等基础知识；解答题则更注重函数的综合应用。考查分值：分值在10-15分之间，具体分值因地区和试卷结构而异。考查形式：选择题、填空和解答题均有。命题趋势：与实际问题结合更紧密；跨学科融合增强；注重考查数形结合思想，要求学生能将函数图象与解析式相互转化，通过图象分析函数性质，利用函数性质解决图象问题；可能会出现条件开放、结论开放或解题方法开放的题目；常与几何图形结合。知识点1：平面直角坐标平面内画两条相互垂直，原点重合的数轴，组成平面直角坐标系．水平的数轴称为横轴或x轴，取向右为正方向；竖直的数轴称为纵轴或y轴，取向上为正方向；两坐标轴的交点称为平面直角坐标系的原点．知识点2：象限x轴y轴将坐标平面分成了四个象限（quadrant），右上方的部分叫做第一象限，其他三个部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限。知识点3：坐标系内点的特征（1）x轴上的点的纵坐标为0；y轴上的点的横坐标为0。（2）在任意的两点中，如果两点的横坐标相同，则两点的连线平行于纵轴（两点的横坐标不为零）；如果两点的纵坐标相同，则两点的连线平行于横轴（两点的纵坐标不为零）。（3）点到轴及原点的距离：点到x轴的距离为|y|；点到y轴的距离为|x|；点到原点的距离为x的平方加y的平方的算术平方根。（4）一三象限角平分线上的点横纵坐标相等。（5）二四象限角平分线上的点横纵坐标互为相反数。知识点4：坐标的平移在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就把原图形向右(左)平移a个单位长度:如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a,相应的新图形就把原图形向上(下)平移a个单位长度点的平移规律：左右平移一纵坐标不变，横坐标左减右加;上下平移-横坐标不变，纵坐标上加下减知识点5：函数的相关概念：变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量.常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量称为常量.函数的定义：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数.函数的取值范围：使函数有意义的自变量的全体取值，叫做自变量的取值范围.确定函数取值范围的方法：1）函数解析式为整式时，字母取值范围为全体实数；2）函数解析式含有分式时，分式的分母不能为零；3）函数解析式含有二次根式时，被开方数大于等于零；4）函数解析式中含有指数为零的式子时，底数不能为零；5）实际问题中函数取值范围要和实际情况相符合，使之有意义.函数值概念：如果在自变量取值范围内给定一个值a，函数对应的值为b，那么b叫做当自变量取值为a时的函数值.函数解析式：用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式.函数图象上点的坐标与解析式之间的关系：1）将点的坐标代入到解析式中，如解析式两边成立，则点在解析式上，反之，不在.2）两个函数图形交点的坐标就是这两个解析式所组成的方程组的解.知识点6：函数的三种表示法及其优缺点解析法：两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法.列表法：把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法.图象法：用图象表示函数关系的方法叫做图象法.优点缺点解析法准确反映整个变化过程中自变量与函数的关系求对应值是要经过比较复杂的计算，而且实际问题中有的函数值不一定能用解析式表示列表法自变量和与它对应的函数值数据一目了然所列对应数值个数有限，不容易看出自变量与函数值的对应关系，有局限性图象法形象的把自变量和函数值的关系表示出来图象中只能得到近似的数量关系真题1（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC各顶点的坐标分别是O0,0，A1,2，B3,3，C5,0，则四边形A．14 B．11 C．10 D．9【答案】D【分析】本题考查了坐标与图形，过A作AM⊥OC于M，过B作BN⊥OC于N，根据A、B、C的坐标可求出OM，AM，MN，BN，CN，然后根据S四边形【详解】解∶过A作AM⊥OC于M，过B作BN⊥OC于N，∵O0,0，A1,2，B3,3∴OM=1，AM=2，ON=BN=3，CO=5，∴MN=ON−OM=2，CN=OC−ON=2，∴四边形OABC的面积为S==9，故选：D．真题2（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，O是坐标原点，菱形ABOC的顶点B在x轴的负半轴上，顶点C的坐标2为3,4，则顶点A的坐标为（

）A．−4,2 B．−3,4 C．−2,4 【答案】C【分析】本题考查平面直角坐标系内两点间的距离公式，菱形的性质，坐标与图形．结合菱形的性质求出AC=OC=5是解题关键．由两点间的距离公式结合菱形的性质可求出AC=OC=5，从而可求出AD=2，即得出顶点A的坐标为−2,4．【详解】解：如图，∵点C的坐标为3,4，∴OC=3∵四边形ABOC为菱形，∴AC=OC=5，∴AD=AC−CD=AC−x∴顶点A的坐标为−2,4．故选C．真题3（2024·贵州·中考真题）为培养青少年的科学态度和科学思维，某校创建了“科技创新”社团．小红将“科”“技”“创”“新”写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使“创”“新”的坐标分别为−2,0，0,0，则“技”所在的象限为（

）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】本题考查坐标与图形，先根据题意确定平面直角坐标系，然后确定点的位置．【详解】解：如图建立直角坐标系，则“技”在第一象限，

故选A．真题4（2024·江苏徐州·中考真题）小明的速度与时间的函数关系如图所示，下列情境与之较为相符的是（

）A．小明坐在门口，然后跑去看邻居家的小狗，随后坐着逗小狗玩B．小明攀岩至高处，然后顺着杆子滑下来，随后躺在沙地上休息C．小明跑去接电话，然后坐下来电话聊天，随后步行至另一个房间D．小明步行去朋友家，敲门发现朋友不在家，随后步行回家【答案】C【分析】本题考查了函数图象，读懂函数图象，从图象中获取必要的信息是解决本题的关键．根据函数图象分析即可．【详解】解：由图象可知速度先随时间的增大而增大，然后直接降为0，过段时间速度增大，然后匀速运动，则小明跑去接电话，然后坐下来电话聊天，随后步行至另一个房间，符合题意．故选：C．真题5（2024·江苏南通·中考真题）甲、乙两人沿相同路线由A地到B地匀速前进，两地之间的路程为20km．两人前进路程s（单位：km）与甲的前进时间t（单位：h）之间的对应关系如图所示．根据图象信息，下列说法正确的是（

A．甲比乙晚出发1h B．乙全程共用2hC．乙比甲早到B地3h D．甲的速度是5【答案】D【分析】本题考查用函数图象表示变量之间的关系，从函数图形获取信息，逐一进行判断即可．【详解】解：A、乙比甲晚出发1h，原说法错误，不符合题意；B、乙全程共用2−1=1hC、乙比甲早到B地4−2=2hD、甲的速度是20÷4=5km/h故选D．真题6（2024·湖北武汉·中考真题）如图，一个圆柱体水槽底部叠放两个底面半径不等的实心圆柱体，向水槽匀速注水．下列图象能大致反映水槽中水的深度h与注水时间t的函数关系的是（

）A．B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了函数图象；根据题意，分3段分析，即可求解．【详解】解：下层圆柱底面半径大，水面上升块，上层圆柱底面半径稍小，水面上升稍慢，再往上则水面上升更慢，所以对应图象是第一段比较陡，第二段比第一段缓，第三段比第二段缓．故选：D．真题7（2024·江苏宿迁·中考真题）点Px2+1,−3【答案】四【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限+,+；第二象限−,+；第三象限−,−；第四象限+,−．根据各象限内点的坐标特征解答即可．【详解】解：点Px2+1,−3的横坐标x∴点Px故答案为：四．真题8（2024·四川·中考真题）如图，在一个平面区域内，一台雷达探测器测得在点A，B，C处有目标出现．按某种规则，点A，B的位置可以分别表示为1,90°,(2,240°)，则点【答案】3,30【分析】本题考查了坐标确定位置，根据题意得到圆圈数表示有序数对的第一个数，度数表示有序数对的第二个数是解题关键．根据题意可得：圆圈数表示有序数对的第一个数，度数表示有序数对的第二个数，可得答案．【详解】解：∵A，B的位置分别表示为1,90°∴目标C的位置表示为3,30°．故答案为：3,30预测1（2025·浙江杭州·一模）如图为冰壶比赛场地示意图，由以P为圆心、半径分别为a，2a，3a，4a的同心圆组成．三只冰壶A,B,C的位置如图所示，∠APB=120°，CP的延长线平分∠APB，冰壶A,B分别表示为4a,0°，2a,120°，则冰壶C可表示为（

）A．3a,120° B．4a,200° C．3a,240° D．3a,300°【答案】C【分析】本题考查了坐标表示位置，理解坐标表示方法是关键．如图所示，延长CP到点D，则∠CPE=∠APD=60°，点C所在的角度为180°+60°=240°，所以C3a,240°【详解】解：如图所示，延长CP到点D，∴∠APD=∠DPB=60°，∴∠CPE=∠APD=60°，∴点C所在的角度为180°+60°=240°，∴C3a,240°故选：C．预测2（2025·辽宁鞍山·一模）在化学课上用PH值表示溶液酸碱性的强弱程度，当PH>7时溶液呈碱性，当PH<7时溶液呈酸性．若将盐酸溶液加水稀释，那么在下列图象中，能大致反映盐酸溶液的PH值与所加水的体积V之间对应关系的是（A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】本题考查了函数的图象，数形结合是解题的关键．根据题意，盐酸溶液呈酸性，随着加入水的体积的增加，溶液的浓度越来越低，pH的值则接近7，据此即可求解．【详解】解：∵盐酸溶液呈酸性，则PH<7，随着加入水的体积的增加，溶液的浓度越来越低，pH故选：C．预测3（2025·河南周口·一模）在物理实验课上，同学们利用如图1所示的装置做了关于冰熔化的实验，他们将实验数据记录后，绘制了如图2所示的图象，则下列说法正确的是（）A．实验开始时，冰块的温度为0℃B．加热8 minC．冰块熔化后，继续加热3 min，温度计读数增加到D．冰块熔化过程持续了8【答案】C【分析】本题考查函数的图象，理解题意，能从图象中获取信息是解答的关键．根据图象中的数据逐项分析求解即可．【详解】解：由图可知，实验开始时，冰块的温度为−4∵冰在熔化过程中，温度不变，∴由图象知，加热2min∵加热8min∴冰的整个熔化过程持续了8−2=6min由图象知，第8min到12min，用时4分钟，温度升高4℃，平均每分钟升高1℃态，那么冰块熔化后，继续加热3 min故选：C．预测4（2025·山东泰安·一模）点Aa−2,a+3在第三象限，则a的取值范围为（

A．a<2 B．a>2C．a<−3 D．−3<a<2【答案】C【分析】本题考查了点所在的象限和解一元一次不等式组，能根据点的位置得出不等式组是解此题的关键．根据点的位置得出不等式组，求出不等式组的解集即可．【详解】解：∵Aa−2,a+3∴a−2<0a+3<0解得a<−3，故选：C．预测5（2025·河南新乡·模拟预测）如图，在△ABC中，∠C=45°，边BC在x轴上，顶点A，B的坐标分别为0,3和−4,0，F为OB的中点，将平行四边形BDEF沿x轴向右平移．当点D落在AC上时，点E的坐标为（）A．1,2 B．4,32 C．2,2 【答案】D【分析】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形变化-平移，熟练掌握以上知识点是关键．利用平行四边形性质，根据中位线定理求出点E坐标，再求出平移距离，继而得到平移后点E的坐标．【详解】解：如图，∵顶点A，B的坐标分别为0,3和−4,0，∴OB=4，OA=3，∵∠ACO=45°，∠AOC=90°，∴∠OAC=45°=∠ACO，∴OC=OA=3，∵F为OB的中点，四边形BDEF是平行四边形，∴DE是△AOB的中位线，∴E0,32由平移的性质可知：DD∴向右平移距离的距离为72∴平移后点E的坐标为：7故选：D预测6（2024·山西太原·一模）2025年第九届亚洲冬季运动会将在哈尔滨举行．如图是本届亚冬会的会徽“超越”，将其放在平面直角坐标系中，若A,C两点的坐标分别为2,1,0,2，则点B【答案】−1,−2【分析】本题主要考查了用坐标确定位置．先根据A，C两点的坐标建立好坐标系，即可确定点B的坐标．【详解】解：∵A，C两点的坐标分别为2,1,∴建立坐标系如图所示：∴点B的坐标为−1,−2．故答案为：−1,−2．预测7（2025·河南周口·一模）如图1，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=4cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿折线A→B→C运动，同时点Q从点B出发，以12cm/s的速度沿线段BC运动．当点P到达点C时，P，Q停止运动，连接PQ，AQ．设点P

(1)直接写出y1关于x的函数表达式，并注明自变量x(2)在图2所示的平面直角坐标系中，画出函数y1的图象，并写出函数y(3)结合函数y2=2x(x>0)【答案】(1)y(2)当0<x<4时，y随x的增大而增大；4<x<8时，y随x的增大而减小(3)2<x<7.7【分析】（1）分当点P在线段AB上时和当点P在线段BC上时两种情况求解即可；（2）用描点法画出图象即可；（3）先画出反比例函数的图象，然后利用数形结合求解即可．【详解】（1）当点P在线段AB上时，0≤x≤4，此时AP=x,BQ=1∴y当点P在线段BC上时，4<x≤8，此时BP=x−4,BQ=1∴PQ=BQ−BP=1∴y综上所述，y（2）函数图象如下：性质：当0<x<4时，y随x的增大而增大；4<x<8时，y随x的增大而减小．（3）当0<x≤4时，由图形可得14x2当4<x≤8时，由图形可得8−x=2x，即x2−8x+2=0,x=4±14由图象可知：2<x<7．【点睛】本题考查了求函数解析式，画函数图象，反比例函数的图象与性质，数形结合是解答本题的关键．押题1在平面直角坐标系中，已知点P−3,a2+1，则点A．一 B．二 C．三 D．四【答案】B【分析】本题考查了点的坐标，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限+,+，第二象限−,+，第三象限−,−，第四象限+,−．根据四个象限的符号特点进行分析判断即可．【详解】解：∵点P−3,a2+1的横坐标小于∴点P位于第二象限．故选：B．押题2如图，若小红的坐标为2,1，小亮的坐标为1,−1，则小华的坐标为（

）A．−2,1 B．−1,−1 C．−1,2 D．−1,1【答案】C【分析】此题主要考查了坐标与图形的变化，关键是正确理解题意，建立平面直角坐标系．根据小亮的坐标，建立平面直角坐标系，结合图形直接得到答案．【详解】解：∵小红的坐标为2,1，小亮的坐标为1,−1，∴建立平面坐标系如图：小华东的坐标应该是−1,2．故选：C．押题3下列各图象中，y是x的函数的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】此题考查函数的定义，函数图象，对于自变量x的每一个确定的值y都有唯一的确定值与其对应，则y是x的函数，根据函数的定义解答即可．【详解】解：根据函数的定义，选项A图象表示y是x的函数，B、C、D图象中对于x的一个值y有多个值对应，故选：A．押题4将盛有部分水的小圆柱形水杯放入事先没有水的大圆柱形水杯中，拿去接水时，让水先进入大圆柱形水杯，如图所示，则小水杯水面的高度ℎcm与注水时间tmin的函数图象大致为图中的（A． B．C． D．【答案】B【分析】本题主要考查函数的图象．根据将一盛有部分水的圆柱形小玻璃杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，现用一注水管沿大容器内壁匀速注水，即可求出小水杯内水面的高度ℎcm与注水时间t【详解】解：将一盛有部分水的圆柱形小玻璃杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，小玻璃杯内的水原来的高度一定大于0，则可以判断A、D一定错误，用一注水管沿大容器内壁匀速注水，水开始时不会流入小玻璃杯，因而这段时间h不变，当大杯中的水面与小杯水平时，开始向小杯中流水，h随t的增大而增大，当水注满小杯后，小杯内水面的高度h不再变化．故选：B．押题5在平面直角坐标系中，点P1,2到x轴的距离为【答案】2【分析】本题主要考查点到坐标轴的距离，根据点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值解答即可．【详解】解：在平面直角坐标系中，点P1,2到x轴的距离为2故答案为：2．押题6如图1，在△ABC中，AB=AC．动点P从△ABC的顶点A出发，以2 cm/s的速度沿A→B→C→A匀速运动回到点A．图2是点P运动过程中，线段AP的长度y cm随时间t s变化的图象．其中点Q为曲线部分的最低点．则【答案】8【分析】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．从图（2）看，当t=3时，点P在点B处，即AB=3×2=6=AC，AP的最小值为4，即AH=4；在Rt△AHB中，AB2=AH2【详解】解：过点A作AH⊥BC于点H，∵AB=AC，故BH=CH=12BC从图（2）看，当t=3时，点P在点B处，即AB=3×2=6=AC，从图（2）看，点Q为曲线部分的最低点，即AP的最小值为4，即AH=4，在Rt△AHB中，AB2=AH故BC=45△ABC的面积为12故答案为：85押题7函数y=−2x+3的自变量x的取值范围是【答案】x≥−【分析】本题考查了二次根式有意义条件，熟练掌握条件是解题的关键．根据形如aa≥0【详解】解：y=−2x+3故2x+3≥0，故x≥−3故答案为：x≥−3押题8科学兴趣小组利用不同材料制作了A，B两种太阳能电池板，记录了在一定条件下，当光照强度为x（单位：klx）时，A电池板的输出电压y1（单位：V）和B电池板的输出电压y1（单位：x0102030405060708090100y0m3.05.46.0y05.0通过分析数据发现，可以用函数刻画y1与x，y2与(1)①y1可以看作是关于x的正比例函数，则m②当光照强度越大时，太阳能电池板的输出电压越高．请选出y2(2)结合（1）的研究结果，在给出的平面直角坐标系中画出y1，y(3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题：①当光照强度为55klx时，B电池板的输出电压与A②如果想使两块电池板的输出电压之和不低于6.5V，则光照强度应至少达到______klx【答案】(1)①2.4；②见解析(2)见解析(3)①2.1；②31【分析】本题考查了函数图象和正比例函数的应用，熟练掌握函数图象是解题关键．（1）①设y1=k1x②根据当光照强度越大时，太阳能电池板的输出电压越高即可得；（2）根据表格数据，描点画出函数图象即可得；（3）①根据表格和函数图象求出当x=55时，y1，y②根据表格和函数图象求出当x=31时，y1，y2的值，再根据y1【详解】（1）解：①由题意，设y1将点10,0.6代入得：10k1=0.6则y1当x=40时，m=0.06×40=2.4，故答案为：2.4．②当光照强度越大时，太阳能电池板的输出电压越高．选出y2中不符合这条规律的数据，在表格中划“×x0102030405060708090100y0m3.05.46.0y05.0×（2）解：在给出的平面直角坐标系中画出y1，y．（3）解：①当x=55时，y1由表格和函数图象可知，当x=55时，y2则y2即当光照强度为55klx时，B电池板的输出电压与A电池板的输出电压之差约为2.1故答案为：2.1．②由表格数据可知，当x=30时，y1当x=31时，y1=0.06×31=1.86，∴当x=31时，y1∵y1,y∴如果想使两块电池板的输出电压之和不低于6.5V，则光照强度应至少达到31故答案为：31．02一次函数02一次函数考点考情分析一次函数的性质与图象选择题常考查对一次函数基本性质的理解；填空题可能涉及求函数解析式、与坐标轴交点坐标等；解答题则注重综合应用，常与方程、不等式、几何图形结合。一次函数与方程（组）﹑不等式选择题可能考查一次函数与方程组、不等式关系的基本概念；填空题常涉及根据给定条件求一次函数表达式，进而解决相关方程组或不等式问题；解答题则注重综合应用。用一次函数解决实际问题主要以解答题为主，也可能在选择题或填空题中出现相关的简单应用问题。解答题通常会结合实际情境，要求学生完整地写出解题过程，包括建立函数模型、分析函数性质和得出结论等。考查分值：在中考中所占分值一般保持在8%-10%左右，具体分值因地区和试卷结构而异。考查形式：题型灵活多样，选择题可能会考查一次函数的基本性质、图象特征等基础知识点；填空题常涉及求函数解析式、与坐标轴交点坐标等；解答题则以实际应用和综合应用为主。命题趋势：注重考查学生的数学思维能力，如建模思想、数形结合思想、分类讨论思想等；跨学科融合与创新：可能会出现与物理、地理等学科知识相结合的题目。知识点1：一次函数的图象和性质图象特征正比例函数y=kx（k为常数，k≠0）必过点（0,0）、（1，k）.一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）必过点（0，b）、（-bk增减性k＞0k＜0从左向右看图象呈上升趋势，y随x的增大而增大从左向右看图象呈下降趋势，y随x的增大减小图像b＞0b＝0b＜0b＞0b＝0b＜0经过象限一、二、三一、三一、三、四一、二、四二、四二、三、四与y轴交点位置b＞0，交点在y轴正半轴上；b=0，交点在原点；b＜0，交点在y轴负半轴上图像关系一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可由正比例函数y=kx(k≠0)的图象平移得到：当b>0时，向上平移b个单位长度；当b<0时，向下平移|b|个单位长度平移口诀：左加有减，上加下减高分技巧：若两直线平行，则；若两直线垂直，则知识点2：用待定系数法确定一次函数解析式确定一次函数解析式的方法：1）依据题意中等量关系直接列出解析式；2）待定系数法.用待定系数法求一次函数表达式的一般步骤：1）设出函数的一般形式y=kx(k≠0)或y=kx+b(k≠0)；2）根据已知条件(自变量与函数的对应值)代入表达式得到关于待定系数的方程或方程组；3）解方程或方程组求出k，b的值；4）将所求得的k，b的值代入到函数的一般形式中，从而得到一次函数解析式.知识点3：一次函数与方程（组）﹑一元一次不等式（一）一次函数与一元一次方程思路：由于任何一个一元一次方程可以转化为ax+b=0(a、b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求自变量的值.从“数”上看：方程ax+b=0（a≠0）的解⇔函数y=ax+b（a≠0）中，y=0时对应的x的值从“形”上看：方程ax+b=0(a≠0）的解⇔函数y=ax+b（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标.（二）一次函数与二元一次方程组思路：一般地，二元一次方程mx+ny=p（m、n、p是常数，且m≠0，n≠0）都能写成y=ax+b（a、b为常数，且a≠0）的形式.因此，一个二元一次方程对应一个一次函数，又因为一个一次函数对应一条直线，所以一个二元一次方程也对应一条直线，进一步可知，一个二元一次方程组对应两个一次函数，因而也对应两条直线.从“数”的角度看：解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这两个函数值是何值；从“形”的角度看：解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标，一般地，如果一个二元一次方程组有唯一解，那么这个解就是方程组对应的两条直线的交点坐标.（三）一次函数与一元一次不等式思路：关于x的一元一次不等式kx+b＞0(或＜0)的解集是以直线y=kx+b和x轴的交点为分界点，x轴上(下)方的图象所对应的x的取值范围.从函数的角度看：解一元一次不等式就是寻求使一次函数y=ax+b（a≠0）的值大于（或小于）0的自变量的取值范围；从函数图象的角度看：就是确定直线y=ax+b（a≠0）在x轴上（或下）方部分的横坐标满足的条件.高分技巧：1.求直线与另一直线的交点，就是在求两条直线对应解析式联立所得方程（组）的交点；2、由函数图象直接写出不等式解集的方法归纳：①根据图象找出交点横坐标，②不等式中不等号开口朝向的一方，图象在上方，对应交点的左边或右边符合，则x取对应一边的范围。真题1（2024·山西·中考真题）已知点Ax1,y1,Bx2,y2A．y1>y2 B．y1<【答案】B【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数的图象和性质是解题的关键．根据一次函数的图象和性质即可解决问题．【详解】∵3>0,∴y随x的增大而增大，又∵点Ax1,y∴y故选：B真题2（2024·湖南长沙·中考真题）对于一次函数y=2x−1，下列结论正确的是（

）A．它的图象与y轴交于点0,−1 B．y随x的增大而减小C．当x>12时，y<0【答案】A【分析】本题考查一次函数的性质，根据一次函数的性质逐个判断即可得到答案．【详解】解：A.当x=0时，y=−1，即一次函数y=2x−1的图象与y轴交于点0,−1，说法正确；B.一次函数y=2x−1图象y随x的增大而增大，原说法错误；C.当x>12时，D.一次函数y=2x−1的图象经过第一、三、四象限，原说法错误；故选A．真题3（2024·青海·中考真题）如图，一次函数y=2x−3的图象与x轴相交于点A，则点A关于y轴的对称点是（

）A．−32,0 B．32,0 【答案】A【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点坐标，点的对称，属于简单题，求交点坐标是解题关键．先求出点A的坐标，再根据对称性求出对称点的坐标即可．【详解】解：令y=0，则0=2x−3，解得：x=3即A点为(3则点A关于y轴的对称点是−3故选：A．真题4（2024·广东·中考真题）已知不等式kx+b<0的解集是x<2，则一次函数y=kx+b的图象大致是（

）A．B．C． D．【答案】B【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，解不等式的方法：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围．找到当x<2函数图象位于x轴的下方的图象即可．【详解】解∶∵不等式kx+b<0的解集是x<2，∴当x<2时，y<0，观察各个选项，只有选项B符合题意，故选：B．真题5（2024·吉林长春·中考真题）区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点，根据车辆通过两个监控点的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度．小春驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶，其间经过一段长度为20千米的区间测速路段，从该路段起点开始，他先匀速行驶112小时，再立即减速以另一速度匀速行驶（减速时间忽略不计），当他到达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速度为100千米/时．汽车在区间测速路段行驶的路程y（千米）与在此路段行驶的时间x(1)a的值为________；(2)当112≤x≤a时，求y与(3)通过计算说明在此区间测速路段内，该辆汽车减速前是否超速．（此路段要求小型汽车行驶速度不得超过120千米/时）【答案】(1)1(2)y=90x+2(3)没有超速【分析】本题考查了一次函数的应用、一次函数的图象、求函数解析式等知识点，掌握待定系数法求函数关系式是解题的关键．（1）由题意可得：当以平均时速为100千米/时行驶时，a（2）利用待定系数法求解即可；（3）求出先匀速行驶112【详解】（1）解：由题意可得：100a=20，解得：a=1故答案为：15（2）解：设当112≤x≤15时，y与则：16k+b=171∴y=90x+21（3）解：当x=112时，∴先匀速行驶112小时的速度为：9.5÷∵114＜∴辆汽车减速前没有超速．真题6（2024·广东广州·中考真题）一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征．某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高y和脚长x之间近似存在一个函数关系，部分数据如下表：脚长x(…232425262728…身高y(…156163170177184191…(1)在图1中描出表中数据对应的点(x,y)；(2)根据表中数据，从y=ax+b(a≠0)和y=kx(k≠0)(3)如图2，某场所发现了一个人的脚印，脚长约为25.8cm【答案】(1)见解析(2)y=7x−5(3)175.6【分析】本题考查了函数的实际应用，正确理解题意，选择合适的函数模型是解题关键．（1）根据表格数据即可描点；（2）选择函数y=ax+b(a≠0)近似地反映身高和脚长的函数关系，将点23,156,（3）将25.8cm代入y=7x−5【详解】（1）解：如图所示：

（2）解：由图可知：y随着x的增大而增大，因此选择函数y=ax+b(a≠0)近似地反映身高和脚长的函数关系，将点23,156,156=23a+b163=24a+b解得：a=7∴y=7x−5（3）解：将25.8cm代入y=7x−5y=7×25.8−5=175.6∴估计这个人身高175.6预测1（2025·湖南长沙·一模）若一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限，则（

）A．k>0,b>0 B．k>0,b<0 C．k<0,b<0 D．k<0,b>0【答案】D【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“k<0，根据一次函数图象和性质进行判断即可．【详解】解：∵一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限，∴k<0,b>0．故选：D．预测2（23-24八年级下·全国·期末）直线y=−2x+2向下平移1个单位长度得到的直线的解析式是（

）A．y=−2x+3 B．y=−2x+1 C．y=−3x+2 D．y=−x+1【答案】B【分析】本题考查的是一次函数的图象的平移变换，熟知“上加下减，左加右减”的平移规律是解答本题的关键．【详解】解：直线y=−2x+2向下平移1个单位长度得到的直线的解析式是y=−2x+2−1=−2x+1，故选B．预测3（2024·河北石家庄·一模）某个一次函数的图象与直线y=12x+3平行，与x轴，y轴的交点分别为A，B，并且过点−2,−4，则在线段AB上（包括点A，BA．3个 B．4个 C．5个 D．6个【答案】B【分析】本题考查了平行线的解析式之间的关系．平行线的解析式一次项系数相等，设直线AB为y=12x+b，将点(−2,−4)代入可求直线AB的解析式，可得点A(6,0)，B(0,−3)，再根据x【详解】解：根据题意，设一次函数的解析式为y=1由点(−2,−4)在该函数图象上，得−4=12×(−2)+b所以，y=12x−3．可得点A(6,0)由0≤x≤6，且x为整数，取x=0，2，4，6时，对应的y是整数．因此，在线段AB上（包括点A、B)，横、纵坐标都是整数的点有4个．故选：B．预测4（2025·广西贵港·一模）小林在学习了摩擦力的相关知识后，在斜面上拉动木块进行实验．如图用弹簧测力计拉着重为12N的木块分别沿倾斜程度不同的斜面向上做匀速直线运动．经测算，在弹性范围内，弹簧测力计的读数F（N）是装置高度h（m）的一次函数．当ℎ=0m时，F为2N；当ℎ=0.2m时，F为4N．当弹簧测力计读数达到最大量程10A．45m B．34m C．【答案】A【分析】本题考查了一次函数的应用、求一次函数解析式，利用待定系数法求一次函数解析式是解题的关键．设一次函数为F=kℎ+b，根据题意代入0,2和0.2,4，得出一次函数的解析式，再利用一次函数的性质即可求解．【详解】解：设一次函数为F=kℎ+b，代入0,2和0.2,4得，b=20.2k+b=4解得：k=10b=2∴一次函数为F=10ℎ+2，当F=10N时，10ℎ+2=10解得：ℎ=4故选：A．预测5（24-25八年级下·福建厦门·期中）如图，在平面直角坐标系中，一束光经过A−6,2照射在平面镜(x轴)上的点B−2,0处，其反射光线BC交y轴于点C0,1，再被平面镜y轴反射得光线CD（根据物理知识AB∥CD），则直线【答案】y=−【分析】本题主要考查了直角三角形的两个锐角互余，同旁内角互补两直线平行，求一次函数解析式，解二元一次方程组等知识点，熟练掌握镜面反射中入射光线与镜面所在直线的夹角与反射光线与镜面所在直线的夹角相等以及两直线平行一次项系数相等是解题的关键．可设直线AB的解析式为y=kx+b，把点A、B的坐标代入即可求出k和b的值，于是可得直线AB的解析式，易得AB∥CD，则直线AB和CD一次项的系数相等，进而设出直线CD的解析式，把点C的坐标代入即可求得直线【详解】解：由题意得：∠ABE=∠CBO，∠BCO=∠DCF，∠BOC=90°，∴∠ABC=180°−2∠CBO，∠DCB=180°−2∠BCO，∴∠ABC+∠DCB=180°−2∠CBO+180°−2∠BCO=360°−2=360°−2×90°=180°，∴AB∥设直线AB的解析式为：y=kx+b，把点A、B的坐标代入，得：−6k+b=2−2k+b=0解得：k=−1∴直线AB的解析式为：y=−1∴设直线CD的解析式为：y=−1∵C0,1∴m=1，∴直线CD的解析式为：y=−1故答案为：y=−1预测6（2025·吉林·一模）【问题背景】古法造纸术是中国古代四大发明之一，其核心工艺含有两个环节，一是蒸煮脱胶，二是自然干燥．【实验操作】某文化遗产保护小组在研究古法造纸工艺时，记录关键环节数据，旨在通过数学建模揭示温度与时间、湿度与时间的内在联系．环节一：蒸煮脱胶将树皮等原料在溶液中蒸煮，记录蒸煮过程中温度T℃与时间t时间t01234温度T2030405060环节二：自然干燥纸张成型后需自然干燥，记录干燥过程中湿度H%与时间t时间t02468湿度H8070605040【分析数据】如图1，根据表中T与t的数值，在平面直角坐标系中描出了各点．如图2，根据表中H与t的数值，在平面直角坐标系中描出了各点．【建立模型】观察上述各点的分布规律，从y=kx+bk≠0和y=kxk≠0中选择一个函数模型，使它能近似的反映温度T与时间t及湿度H与时间【问题解决】古法造纸术的核心工艺要求：①蒸煮脱胶温度需在45℃以上（包含45℃）至少持续②自然干燥环节必须在蒸煮脱胶环节完成后开始，蒸煮脱胶和自然干燥总时间为13h．③自然干燥后的纸张湿度需低于45%根据核心工艺要求，求蒸煮脱胶环节的最短时间，并验证自然干燥环节是否满足湿度要求．【答案】建立模型：都是y=kx+bk≠0，T=10t+20，问题解决：蒸煮脱胶环节的最短时间2.5+3=5.5h，自然干燥环节满足湿度要求【分析】本题考查一次函数的实际应用；建立模型：观察上述各点的分布规律，两个图的点都近似在一条直线上，故都是y=kx+bk≠0问题解决：根据古法造纸术的三条核心工艺要求求解即可．【详解】解：建立模型：观察上述各点的分布规律，能近似的反映温度T与时间t及湿度H与时间t的函数关系都是y=kx+bk≠0设T=kt+b，当t=0时，T=20；当t=1时，T=30；∴20=b30=k+b，解得k=10∴温度T与时间t函数关系T=10t+20；设H=mt+n，当t=0时，H=80；当t=2时，H=70；∴80=n70=2m+n，解得m=−5∴温度T与时间t函数关系H=−5t+80；问题解决：当T=10t+20=45时，解得t=2.5，∵蒸煮脱胶温度需在45℃以上（包含45℃）至少持续∴蒸煮脱胶环节的最短时间2.5+3=5.5h；∵自然干燥环节必须在蒸煮脱胶环节完成后开始，蒸煮脱胶和自然干燥总时间为13h，∴自然干燥时间为13−5.5=7.5h，当t=7.5时，H=−5t+80=−5×7.5+80=42.5<45，∴自然干燥环节满足湿度要求．预测7（24-25八年级上·广东茂名·阶段练习）两个透明的圆柱容器和一根装有节流阀（控制水的流速）的软管，制作了类似“漏刻”的简易计时装置（如图2）．在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm．若由于装置的原因，甲容器内的水无法全部流出，当水面高度刚好是1cm时，停止流水，此时停止计时．上午8：00开始放水后，甲容器的水面高度y(cm)和流水时间x(min)的部分数据如表：记录时间8：008：108：258：308：40流水时间x(min)010253040水面高度y(cm)3028252422(1)综合实践小组在平面直角坐标系中描出了以表中各组对应值为坐标的点，并用光滑的曲线（包括直线）把描出的点连接起来（如图3），发现可以用一次函数近似地刻画甲容器的水面高度y(cm)与流水时间x(min)的关系，根据以上信息，求y关于x的函数解析式．(2)当时间正好是9：(3)刚好停止流水时是几时几分？【答案】(1)y=−(2)甲容器中水面的高度是14厘米(3)刚好停止流水时是【分析】本题考查了一次函数的应用，待定系数法．掌握待定系数法，理解、表示的实际意义是解题的关键．（1）设函数解析式是y=kx+b(k≠0)，把0,30、10,28代入解析式，即可求解；（2）从8:00到9：（3）当y=1时，求出时间，即可求解；【详解】（1）设函数解析式是y=kx+b(k≠0)，把0,30、10,28代入，

得b=3010k+b=28∴k=−∴y=−1（2）解：从8：00到9：20共80分钟，∴x=80，y=−1答：甲容器中水面的高度是14厘米．（3）当y=1时，1=−15解得：x=145，即为2小时25分钟，时间为10:25

答：刚好停止流水时是10:25．预测8（23-24八年级下·陕西西安·期末）在测浮力的实验中，将一长方体石块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里的过程中，弹簧测力计的示数F拉力(N)与石块下降的高度(1)求AB所在直线的函数解析式；(2)当石块下降的高度为8cm，求此刻弹簧测力计的示数F【答案】(1)y=−(2)13【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用：（1）利用待定系数法求解即可；（2）根据（1）所求求出当x=8时，y的值即可．【详解】（1）解：设AB所在直线的函数解析式为y=kx+bk≠0把A6，4，B解得k=−3∴AB所在直线的函数解析式为y=−3（2）解：在y=−38x+254∴当石块下降的高度为8cm，求此刻弹簧测力计的示数F拉力为预测9（2025·北京通州·一模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，对于平面内点P和y轴上点Q，给出如下定义：将点P绕着点Q旋转90∘得到的对应点P'恰好在⊙O上，称点P为(1)已知点Q的坐标为0,1．①如图1，在点P12,1,②如图2，若直线y=−x+b上存在点P，使点P为⊙O的“赋能点”，求b的取值范围；(2)如图3，点Q0,t,M−1,2,N2,2．若线段MN上存在点P，使点P【答案】(1)①P1,P(2)1≤t≤2+【分析】（1）①将⊙O绕点Q0,1旋转90°，得到半径为1的⊙O1和⊙O2，其中O1−1,1，O21,1，通过计算判断P1,P2,P3是否在⊙O（2）将⊙O绕点Q0,t旋转90°，得到半径为1的⊙O1和⊙O2，其中O1−t,t，O2t,t，根据“赋能点”的定义可得线段MN与⊙【详解】（1）解：①将⊙O绕点Q0,1旋转90°，得到半径为1的⊙O1和⊙O2∵O2P∴点P1在⊙O2上，点P∴点P1,P∵O1P∴点P2不在⊙O1∴点P2不是⊙O∴综上所述，⊙O的“赋能点”是P1故答案为：P1②∵直线y=−x+b与x轴交于点Eb,0，与y轴交于点G∴OE=OG=b∴∠GEO=45°，∵直线y=−x+b上存在点P，使点P为⊙O的“赋能点”，∴直线y=−x+b与⊙O1或当直线y=−x+b与⊙O1相切于点C，与直线x=−1交于点连接CO1、DO∴∠CO又∵∠GEO+∠CDO∴∠CO∵cos∴O∴D−1,1−∵点D在直线y=−x+b上，∴1−2∴b=−2当直线y=−x+b与⊙O2相切于点C，与直线x=1交于点同理可得，D1,1+∵点D在直线y=−x+b上，∴1+2∴b=2+2∴b的取值范围为−2（2）解：将⊙O绕点Q0,t旋转90°，得到半径为1的⊙O1和⊙O2∵线段MN上存在点P，使点P为⊙O的“赋能点”，∴线段MN与⊙O1或当线段MN与⊙O1只有点M一个交点，此时∴−1+t解得：t1=1，当线段MN与⊙O2只有点N一个交点，此时∴t−2解得：t1=2+2∴结合图象得，t的取值范围为1≤t≤2+2【点睛】本题考查了新定义、旋转的性质、解直角三角形、直线与圆的位置关系、一次函数的性质，理解“赋能点”的定义是解题的关键．本题属于函数与几何综合题，需要较强的数形结合能力，适合有能力解决压轴题的学生．押题1在一次函数y=4−7x中，k的值是（

）A．−4 B．4 C．−7 D．7【答案】C【分析】本题主要考查了一次函数的定义，根据y=4−7x即y=−7x+4即可得出答案．【详解】解：y=4−7x即y=−7x+4，∴k=−7，故选：C．押题2一次函数y=kx+b的x与y的部分对应值如下表所示，根据该表提供的信息，下列说法正确的是（

）x．．．−2−1012．．．y．．．−7−3159．．．A．y的值随x值的增大而减小 B．该函数的图象经过第一、三、四象限C．不等式kx+b>1的解集为x>0 D．关于x的方程kx+b=0的解是x=1【答案】C【分析】本题主要考查了一次函数的增减性，一次函数与不等式和一元一次方程之间的关系，一次函数图象与其系数的关系，由表格数据可得增减性，进而可得k>0，由当x=0时，y=1，得到b=1，据此可判断A、B、C；再由当x=1时，函数值为5，不是0可判断D．【详解】解：由表格中的数据可知，y的值随x值的增大而增大，故A说法错误，不符合题意∴k>0，∵当x=0时，y=1，∴b=1，∴该函数图象经过第一、二、三象限，故B说法错误，不符合题意；∵当x=0时，y=1，y的值随x值的增大而增大，∴不等式kx+b>1的解集为x>0，故C说法正确，符合题意；∵当x=1时，函数值为5，不是0，∴关于x的方程kx+b=0的解不是x=1，故D说法错误，不符合题意；故选：C．押题3某吊绳最大承受拉力对应的重物质量不超过8吨．当没有吊起任何重物时，吊绳的自然长度是5米，通过实验测定，每吊起1吨重物，吊绳会伸长0.3米．在吊绳的弹性限度内，吊起重物后吊绳的长度y（单位：米）与所吊重物的质量x（单位：吨）之间的函数关系式为（

）A．y=0.3x+5（0≤x≤8） C．y=0.3x−5（0≤x≤8） 【答案】A【分析】本题考查了一次函数的应用，根据题意即可得到函数关系式，熟知相关等量关系是解题的关键．【详解】解：根据题意可得y=0.3x+5（故选：A．押题4图中两直线l1，l2的交点坐标可以看作下列方程组的解的是（A．x−y=12x−y=1 B．x−y=−12x−y=1 C．x−y=32x−y=1【答案】B【分析】本题考查了一次函数图象交点与二元一次方程组的关系，理解一次函数图象交点的横纵坐标即为二元一次方程组的解是解题的关键．由于函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解，因此本题应分别解四个选项中的方程组，然后即可确定正确的选项．【详解】解：由图象可知两直线的交点为2,3，即方程组的解应为x=2y=3A、解方程组x−y=12x−y=1得x=0B、解方程组x−y=−12x−y=1得x=2C、解方程组x−y=32x−y=1得x=−2D、解方程组x−y=−32x−y=−1得x=2故选：B．押题6已知一次函数y=kx+b的图象过点A1,m，B4,n，且A．k<0 B．k>0 C．b<0 D．b>0【答案】A【分析】本题考查一次函数的图象与性质，由题意得出y随x的增大而减小，根据一次函数的增减性可确定k的值的范围．解题的关键是掌握一次函数y=kx+bk≠0的图象与性质：当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x【详解】解：∵一次函数y=kx+b的图象过点A1,m，B4,n，且∴y随x的增大而减小，∴k<0．故选：A．押题7已知直线y=m−1x+m与直线y=2x+3m−1平行，则m=【答案】3【分析】本题考查两条直线平行问题，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．根据两直线平行，可以得到关于m的方程，从而可以求得m的值．【详解】解：∵直线y=m−1x+m与直线∴m−1=2，解得，m=3．故答案为：3．押题8科学家通过实验发现，声音在空气中的传播速度随温度的变化而变化，且满足某种函数关系．某兴趣小组为探究空气的温度x（单位：℃）与声音在空气中传播的速度y（单位：米秒）之间的关系，在标准实验室里进行了多次实验．下表为实验时记录的一些数据．温度x/℃…05101520…声音在空气中传播的速度y/（米/秒）…331334337340343…(1)在如图所示的平面直角坐标系中，描出表中数据所对应的点．(2)根据描点，发现这些点大致位于同一个函数的图象上，则这个函数的类型最有可能是______（填“一次函数”或“二次函数”），求出该函数的解析式．(3)某地春季的室外温度是25℃【答案】(1)见解析(2)y=0.6x+331(3)小明与燃放烟花地的距离为346×2=692（米）．【分析】本题主要考查了一次函数的应用，理解题意、读懂表格、用待定系数法求函数解析式是解题的关键．（1）根据表格所给数据描点即可；（2）根据（1）的图象可得该函数可能是一次函数，再利用待定系数法求解即可；（2）先求出x=25时y的值，再由距离=速度×时间计算即可解答．【详解】（1）解：根据题意描点如图：（2）解：根据（1）的图象得这个函数可能是一次函数，设这个函数的解析式为y=kx+b，将点0,331，5k+b=334b=331，解得：k=0.6∴这个函数的解析式为y=0.6x+331．（3）解：在y=0.6x+331中，当x=25时，y=0.6×25+331=346，∵小明同学看到烟花2秒后才听到声响，∴小明与燃放烟花地的距离为346×2=692（米）．押题9综合与探索【探索发现】如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CB=CA，过点A作AD⊥l交于点D，过点B作BE⊥l交于点E，易得△ADC≌△CEB，我们称这种全等模型为“k型全等”．（不需要证明）【迁移应用】如图2，在直角坐标系中，直线l1：y=2x+4分别与y轴，x轴交于点A、B(1)直接写出OA=______，OB=______；(2)将直线AB绕点A顺时针旋转90°得直线AE，求出直线AE解析式：小明的解题思路是：在第二象限构造等腰直角△ABE，使得∠BAE=90°，AB=AE，根据K型全等和坐标之间的关系，求出点E的坐标为______；通过A，E两点坐标求出直线AE的解析式______；(3)如图3，将直线l1绕点A顺时针旋转45°得到l2，求【答案】(1)4，2；(2)−4,6，y=x+4；(3)l2的函数表达式为y=【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，一次函数的图象与性质，等腰直角三角形等知识点，熟练掌握其性质，正确作出辅助线是解题的关键．（1）由l:y=2x+4即可求出点A的坐标为0,4，点B的坐标为−2,0，从而求解；（2）根据“k型全等”证明△EAM≌△ABOAAS，则有点E的坐标为−4,6，设AE解析式为y=k1（3）过点B作BC⊥l2交l2于点C，过点A作AD⊥y轴，过点C作CN⊥x轴与AD交于点D，与x轴交于点N，证明△ACD≌△CNBAAS，则有CD=NB，设CD=x，则【详解】（1）解：如图2，在直角坐标系中，直线l:y=2x+4分别与y轴，x轴交于点A、令x=0，解得y=4，令y=0，得0=2x+4，解得：x=−2，∴点A的坐标为0,4，点B的坐标为−2,0，∴OA=4，OB=2，故答案为：4，2；（2）解：过点E作EM⊥y轴于M，如图，则∠AEM+∠EAM=90°，∵EA⊥AB，∴∠EAM+∠BAO=90°，∴∠AEM=∠BAO，∵AB=AE，∠EMA=∠AOB=90°，∴△EAM≌∴EM=OA=4，AM=OB=2，∵OM=OA+AM=4+2=6，∴点E的坐标为−4,6，设AE解析式为y=k∴−4k1+∴AE解析式为y=x+4，故答案为：−4,6，y=x+4；（3）解：过点B作BC⊥l2交l2于点C，过点A作AD⊥y轴，过点C作CN⊥x轴与AD交于点D，与x∵∠BCA=90°，∠BAC=45°，∴∠BAC=∠CBA=45°，∴AC=BC，∵∠DCA+∠DAC=90°=∠DCA+∠NCB，∴∠DAC=∠NCB，∵∠ADC=∠BNC=90°，∴△ACD≌∴CD=NB，设CD=x，则BN=x，AD=2+x，∴CN=2+x，∴2+x+x=4，解得x=1，∴C−3,3∴设直线AC解析式为y=3=−3k2+∴l2的函数表达式为y=03反比例函数03反比例函数考点考情分析反比例函数的图象与性质选择题常考查反比例函数的基本性质、图象特征、k的几何意义等基础知识点；填空题可能涉及求函数解析式、根据性质比较大小、利用k的几何意义求面积等；解答题多与一次函数结合，考查交点坐标、函数解析式的确定，以及根据函数图象解不等式等，还可能与几何图形综合，利用反比例函数解决几何图形中的计算问题。用反比例函数解决实际问题多以解答题形式出现，要求学生完整地写出建立模型、求解和作答的过程。考查分值：8-12分左右，具体分值因地区和试卷结构而异。考查形式：选择题、填空题会侧重考查反比例函数的基本概念、性质、k的几何意义等基础知识；解答题则以函数综合应用和实际问题为主。命题趋势：注重考查学生的数形结合、分类讨论、函数与方程等数学思想；跨学科融合与创新：与物理、化学等学科的融合会更加紧密，体现学科间的综合性。知识点1：反比例函数的概念及其图象﹑性质（一）反比例函数的概念（1）定义：形如y＝eq\f(k,x)(k≠0)的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量的取值范围是非零的一切实数．（2）形式：反比例函数有以下三种基本形式：①y＝eq\f(k,x)；②y=kx-1;③xy=k.(其中k为常数，且k≠0)（二）反比例函数的图象k的符号图象经过象限y随x变化的情况k>0图象经过第一、三象限（x、y同号）每个象限内，函数y的值随x的增大而减小.k>0图象经过第二、四象限（x、y异号）每个象限内，函数y的值随x的增大而增大.（三）反比例函数的图象特征（1）由两条曲线组成，叫做双曲线；（2）图象的两个分支都无限接近x轴和y轴，但都不会与x轴和y轴相交；（3）图象是中心对称图形，原点为对称中心；也是轴对称图形，2条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限和二、四象限的角平分线（四）待定系数法求解析式只需要知道双曲线上任意一点坐标，设函数解析式，代入求出反比例函数系数k即可.高分技巧：反比例函数值大小的比较时，首先要判断自变量的取值是否同号，即是否在同一个象限内，若不在则不能运用性质进行比较，可以画出草图，直观地判断.知识点2：反比例系数的几何意义及与一次函数的综合（一）系数k的几何意义（1）意义：从反比例函数y＝eq\f(k,x)(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为1/2|k|.（2）常见的面积类型：高分技巧：已知相关面积，求反比例函数的表达式，注意若函数图象在第二、四象限，则k＜0.（二）与一次函数综合（1）确定交点坐标：【方法一】已知一个交点坐标为（a,b），则根据中心对称性，可得另一个交点坐标为（-a,-b）.【方法二】联立两个函数解析式，利用方程思想求解.（3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法，分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可.也可逐一选项判断、排除.（4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围.知识点3：反比例函数的实际应用一般解题步骤：（1）题意找出自变量与因变量之间的乘积关系；（2设出函数表达式；（3）依题意求解函数表达式；（4）根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题真题1（2024·黑龙江大庆·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数y=kx−kk≠0与y=kxA．B．C．D．【答案】C【分析】本题考查了反比例函数与一次函数图象，根据一次函数与反比例函数的性质，逐项分析判断，即可求解．【详解】解：∵y=kx−k当k<0时，一次函数经过第一、二、三象限，当k>0时，一次函数经过第一、三、四象限A.一次函数中k<0，则当x>0时，函数y=kB.一次函数经过第二、三、四象限，不合题意，一次函数中k>0，则当x>0时，函数y=k故选：C．真题2（2024·江苏苏州·中考真题）如图，点A为反比例函数y=−1xx<0图象上的一点，连接AO，过点O作OA的垂线与反比例y=4xx>0的图象交于点A．12 B．14 C．33【答案】A【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，三角形相似的判定和性质，数形结合是解题的关键．过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于D，证明△AOC∽△OBD，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可．【详解】解：过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于D，∴S△ACO=12×∵OA⊥OB，∴∠AOC=∠OBD=90°−∠BOD，∴△AOC∽△OBD，∴S△ACOS△BDO∴OAOB故选：A．真题3（2024·江苏徐州·中考真题）若点A−3,a、B1,b、C2,c都在反比例函数y=−4x的图象上，则a、b【答案】a>c>b【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，判断反比例函数的增减性，根据解析式得到反比例函数y=−4x的函数图象在二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，再根据三个点的横坐标判断A，B，C三点的位置，从而根据增减性判断a，b，【详解】解：∵在反比例函数y=−4x中，∴反比例函数y=−4x的函数图象在二、四象限，且在每一象限内y随∵A−3,a、B1,b、∴A在第二象限，B，C在第四象限，∴a>0，∵1<2，∴b<c<0，∴a>c>b，故答案为：a>c>b．真题4（2024·山西·中考真题）机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度vm/s是载重后总质量m(kg)的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量m=60kg时，它的最快移动速度v=6m/s；当其载重后总质量m=90【答案】4【分析】本题考查了反比例函数的应用，利用待定系数法求出反比例函数解析式，再将m=90kg【详解】设反比例函数解析式为v=k∵机器狗载重后总质量m=60kg时，它的最快移动速度v=6∴k=60×6=360，∴反比例函数解析式为v=360当m=90kg时，v=∴当其载重后总质量m=90kg时，它的最快移动速度v=故答案为：4．真题5（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为5,0，2,6，过点B作BC∥x轴交y轴于点C，点D为线段AB上的一点，且BD=2AD．反比例函数y=kx(x>0)的图象经过点D交线段BC于点E【答案】12【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数k的几何意义，作BM⊥x轴于M，作DN⊥x轴于N，则DN∥BM，由点A，B的坐标分别为5,0，2,6得BC=OM=2，BM=OC=6，AM=3，然后证明△ADN∽△ABM得DNBM=ANAM=ADAB，求出DN=2，则ON=OA−AN=4，故有D【详解】如图，作BM⊥x轴于M，作DN⊥x轴于N，则DN∥∵点A，B的坐标分别为5,0，2,6，∴BC=OM=2，BM=OC=6，AM=3，∵DN∥∴△ADN∽△ABM，∴DNBM∵BD=2AD，∴DN6∴DN=2，AN=1，∴ON=OA−AN=4，∴D点坐标为4,2，代入y=kx得，∴反比例函数解析式为y=8∵BC∥∴点E与点B纵坐标相等，且E在反比例函数图象上，∴E4∴CE=4∴S四边形故答案为：12．真题6（2024·广东深圳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形AOCB为菱形，tan∠AOC=43，且点A落在反比例函数y=3x上，点B落在反比例函数

【答案】8【分析】本题主要考查反比例函数与几何的综合及三角函数；过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为D、E，然后根据特殊三角函数值结合勾股定理求得A32，2，【详解】解：过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为D、E，如图，

∵tan∠AOC=∴ADOD∴设AD=4a，则OD=3a，∴点A3a∵点A在反比例函数y=3∴3a⋅4a=3，∴a=12（负值已舍），则点∴AD=2，OD=3∴OA=O∵四边形AOCB为菱形，∴AB=OA=52，∴点B4∵点B落在反比例函数y=k∴k=4×2=8，故答案为：8．真题7（2024·福建·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=kx的图象与⊙O交于A,B两点，且点A,B都在第一象限．若A1,2，则点B【答案】2,1【分析】本题考查了反比例函数的性质以及勾股定理，完全平方公式的应用，先根据A1,2得出k=2，设Bn，m，则nm=k=2，结合完全平方公式的变形与应用得出m+2【详解】解：如图：连接OA∵反比例函数y=kx的图象与⊙O交于A,B∴2=设Bn，∵OB=OA=∴m则m+n∵点B在第一象限∴m+n=3把nm=k=2代入得m+∴m经检验：m1∵A∴B故答案为：2真题8（2024·重庆·中考真题）如图，在△ABC中，AB=6，BC=8，点P为AB上一点，AP=x，过点P作PQ∥BC交AC于点Q．点P，Q的距离为y1，△ABC的周长与△APQ的周长之比为y(1)请直接写出y1，y2分别关于x的函数表达式，并注明自变量(2)在给定的平面直角坐标系中画出函数y1，y2的图象；请分别写出函数y1(3)结合函数图象，直接写出y1>y2时【答案】(1)y(2)函数图象见解析，y1随x增大而增大，y2随(3)2.2<x≤6【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，相似三角形的性质与判定：（1）证明△APQ∽△ABC，根据相似三角形的性质得到C△APQ（2）根据（1）所求利用描点法画出对应的函数图象并根据函数图象写出对应的函数图象的性质即可；（3）找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可．【详解】（1）解：∵PQ∥BC，∴△APQ∽△ABC，∴C△APQ∴y1∴y1（2）解：如图所示，即为所求；由函数图象可知，y1随x增大而增大，y2随（3）解：由函数图象可知，当y1>y2时真题9（2024·四川凉山·中考真题）如图，正比例函数y1=12x(1)求反比例函数的解析式；(2)把直线y1=12x向上平移3个单位长度与y2=【答案】(1)y(2)6【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，一次函数的平移等知识，熟练掌握函数的平移法则是关键．（1）待定系数法求出反比例函数解析式即可；（2）先得到平移后直线解析式，联立方程组求出点B坐标，根据平行线间的距离可得S△AOB【详解】（1）解：∵点A(m,2)在正比例函数图象上，∴2=12m∴A(4,2)，∵A(4,2)在反比例函数图象上，∴k=8，∴反比例函数解析式为y2（2）解：把直线y1=1令x=0，则y=3，∴记直线与y轴交点坐标为D(0,3)，连接AD，联立方程组y=8解得x=2y=4，x=−8∴B(2,4)，由题意得：BD∥AO，∴△AOB,△AOD同底等高，∴S预测1（2025·贵州遵义·一模）若点Ax1,−5,Bx2,2A．0<x1<C．x2<0<x【答案】D【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键；由反比例函数y=kxk>0【详解】解：∵y=k∴函数图象在第一、三象限，∵点Ax1,−5∴x1故选D．预测2（2025·江苏淮安·一模）如图，已知点A与点B分别在反比例函数y=1xx>0与y=−4xx>0的图象上且A．12 B．14 C．2【答案】A【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定、三角函数及反比例函数的图象与性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定、三角函数及反比例函数的图象与性质是解题的关键；分别过点A、B作y轴的垂线，垂足分别为C、D，由题意易得S△ACO=12,【详解】解：分别过点A、B作y轴的垂线，垂足分别为C、D，如图所示：∵点A与点B分别在反比例函数y=1xx>0∴根据反比例函数k的几何意义可知：S△ACO∵OA⊥OB，∴∠AOB=∠ACO=∠ODB=90°，∴∠AOC+∠CAO=∠AOC+∠DOB=90°，∴∠CAO=∠DOB，∴△ACO∽△ODB，∴OAOB∴OAOB∴tan∠OBA=故选A．预测3（2025·山西阳泉·二模）已知反比例函数y=3x，下列关于它的图象和性质的描述正确的是（A．图象位于第二、四象限 B．图象经过点2C．图象越来越靠近坐标轴，最终相交 D．y随x的增大而减小【答案】B【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质，增减性，根据解析式可得经过的象限和增减性可判断A、B、D；再根据反比例函数自变量不为0，可知函数与坐标轴不会相交可判断C．【详解】解；∵反比例函数解析式为y=3x，∴反比例函数图象位于第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，且图象越来越靠近坐标轴，但不会相交，在y=3x中，当x=2时，y=3∴四个选项中只有B选项正确，符合题意，故选：B．预测4（2025·江西景德镇·一模）在如图所示的电路图中，当开关闭合以后，滑动变阻器从左往右滑动的过程中，电流表的示数IA与RΩ关系用图象可近似表示为（A． B．C． D．【答案】C【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，根据I=UR，即U=IR，当从左往右滑动，即R增大时，结合U一定，则I减小，即可判断出电流表的示数IA【详解】解：根据题意得：I=UR，即当从左往右滑动，即R增大时，因为U一定，则I减小，所以电流表的示数IA与R故选：C．预测5（2025·陕西西安·一模）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y=mx(m<0)与反比例函数y=kx（k为常数，k≠0）的图象相交于A、C两点，过点A作AB⊥x轴于点B，连接BC，若△ABC的面积为4，则k的值为【答案】−4【分析】本题主要考查了反比例函数y=kx中k的几何意义，首先根据反比例函数y=kx中k的几何意义可得：S△OAB【详解】解：∵正比例函数y=mx(m<0)与反比例函数y=kx（k为常数，k≠0）的图象相交于A、∴OA=OC，由反比例函数y=kx中k的几何意义得：∴S△BOC∴S∵k<0，∴k=−4．故答案为：−4．预测6（2025·北京西城·一模）在平面直角坐标系xOy中，若点Mm,−1和Nn,1都在函数y=kxk≠0【答案】0【分析】本题考查了反比例函数的计算，掌握反比例函数求自变量或函数值的计算是关键．根据点在反比例函数图象上，分别求出m,n的值，代入计算即可．【详解】解：点Mm,−1和Nn,1都在函数∴km解得，m=−k,n=k，∴m+n=−k+k=0，故答案为：0．预测7（2025·山东聊城·一模）某同学学习了“函数与变量之间的关系”相关知识后，参考教材设计出了如下数据x…−2−1123…y…−2−442a…(1)根据上表数据，求出其对应函数的解析式及a的值，并在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象；(2)如果点P4, 1是该函数图象在第一象限上的一点，过点P作x轴的平行线PQ，将PQ上方的函数图象沿着直线PQ(3)若经过点M1, 4, N2, 2【答案】(1)y=4x，(2)2,0(3)3【分析】本题主要考查反比例函数，轴对称的性质，一次函数图象的性质，掌握反比例函数，一次函数，轴对称的性质，数形结合分析是关键．（1）根据表格信息计算得到规律，由表格信息绘图即可；（2）根据轴对称的性质作图可得交点与原图之间的距离为2，即y=2，即可求解；（3）运用待定系数法得到直线MN的解析式为y=−2x+6，则即OB=3, 【详解】（1）解：∵−2×∴根据列表数据可知，该函数是反比例函数，其解析式为y=4当x=3时，a=4画出该函数的图象如解图：（2）解：点P的坐标为4,1，如解图，根据对称性可知，当PQ上方的函数图象沿直线PQ翻折，∵点