统计与概率三角函数的实际应用一次函数与反比例函数解答题-2025年中考数学冲刺抢分押题秘籍（广州专用）

PAGE1猜押05广东广州卷中考数学21-23题（解答题）猜押考点1年广州真题考情分析押题依据难度统计和概率2024年广东广州卷第21题2022年考统计图，2023年考统计量计算，2024年考概率应用，2025年可能考查样本估计总体或概率树状图。统计与概率题注重实际应用，2024年第21题以人工智能为背景，强调数据分析中三角函数的实际应用2024年广东广州卷第22题2024年第22题涉及仰俯角解直角三角形2025年模拟卷第18题可能结合“建筑物高度测量”中一次函数与反比例函数2024年广东广州卷第23题2022年考一次函数，2023年考反比例函数，2024年考函数综合，2025年可能考查函数与几何的结合。函数应用题注重实际情境，2024年第23题以身高与脚长关系建模，强调数学应用中题型一统计和概率1．（2025·广东广州·一模）一袋中装有形状大小都相同的四个小球，每个小球上各标有一个数字，分别是，，，，现规定从袋中任意取一个小球，对应的数字作为一个两位数的个位数，然后将小球放回袋中并搅拌均匀，再任意取一个小球，对应的数字作为这个两位数的十位数．(1)用列表法或树状图列出所有可能的两位数；(2)从这些两位数中任取一个，求其算术平方根大于且小于的概率．【答案】(1)有种等可能的结果，表格见解析；(2)算术平方根大于且小于的概率是．【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率【分析】（1）根据题意列表即可；（2）有表壳可得出所有等可能的结果数以及其算术平方根大于5且小于8的结果数，再利用概率公式可得出答案．【详解】（1）解：列表如下：共有种等可能的结果，结果如上表；（2）解：由（1）知共有种等可能的结果，其算术平方根大于且小于的结果有：，，，，，，，，共种，其算术平方根大于且小于的概率为．【点睛】本题考查的知识点是列表法或树状图法求概率、根据概率公式计算概率，解题关键是熟练掌握列表法或树状图法求概率．2．（2025·广东广州·一模）为进一步加强学生体质，某中学推行“阳光体育活动”计划，要求学生在课后自主完成体育锻炼并记录，经过一段时间后，学校随机抽查了该校30名学生某一天课后体育锻炼时间（单位：分钟），如图是根据抽查结果绘制的统计图的一部分：根据以上信息解决以下问题：(1)这一天课后体育锻炼时间为60分钟的人数为__________人，请补全条形统计图；(2)这一天课后体育锻炼时间的众数是__________；(3)若该校共有600名学生，请估计该校这一天体育锻炼时间不少于60分钟的学生人数．【答案】(1)7，条形图见解析(2)55(3)180人【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、求条形统计图的相关数据、画条形统计图、求众数【分析】本题考查条形统计图，众数，样本估计总体．（1）将抽出学生的人数减去其他各时间的人数，即可解答；（2）根据众数的定义求解即可；（3）将全校学生人数乘以样本中体育锻炼时间不少于60分钟的学生的比例，即可求解．【详解】（1）解：体育锻炼时间为60分钟的人数为（人）；补全条形统计图为故答案为：7（2）解：由条形图可知，体育锻炼时间55分钟的人数最多，故众数为55．故答案为：55（3）解：（人）答：估计该校这一天体育锻炼时间不少于60分钟的学生由180人．3．（2025·广东广州·一模）为响应“非遗进校园”活动，某校开设了四类非遗文化社团：粤剧，粤绣，英歌舞，醒狮，每位同学只能选择其中一个社团参加．学校随机调查了部分参与社团的学生的情况，根据调查结果绘制了不完整的统计图（如图）：

(1)本次共调查了________名学生，其中参与社团的人数是________人；(2)学校计划从，，，四个社团中任选两个社团进行成果展示，请用列表或画树状图的方法，求同时选中和两个社团的概率．【答案】(1)50；5(2)【知识点】条形统计图和扇形统计图信息关联、列表法或树状图法求概率【分析】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、概率公式，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法、概率公式是解答本题的关键．（1）用条形统计图中的人数除以扇形统计图中的百分比可得本次调查的学生人数，用本次调查的学生人数分别减去，，社团的人数可得社团的人数．（2）列表可得出所有等可能的结果数以及同时选中和两个社团的结果数，再利用概率公式可得出答案．【详解】（1）解：本次共调查了（名学生，参与社团的人数是（人．故答案为：50；5．（2）列表如下：共有12种等可能的结果，其中同时选中和两个社团的结果有：，，共2种，同时选中和两个社团的概率为．4．（2025·广东中山·一模）校园安全受到全社会的广泛关注，某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，绘制了如图两幅尚不完整的统计图，请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题．(1)接受问卷调查的学生共有_____人；(2)若该中学共有学生600人，请根据上述调查结果，估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数为______人；(3)若从对校园安全知识达到“了解”程度的3个女生A，B，C和2个男生M，N中分别随机抽取1人参加校园安全知识竞赛，用树状图或列表法求出恰好抽到女生A的概率．【答案】(1)60；(2)200；(3)树状图见解析，恰好抽到女生A的概率为．【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、条形统计图和扇形统计图信息关联、列表法或树状图法求概率【分析】此题考查了树状图法与列表法以及条形统计图和扇形统计图．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．（1）由“了解很少”的人除以所占百分比即可；（2）求得调查结果中“了解”的人数，利用样本估计总体的方法，即可求得答案；（3）画出树状图，共有6种等可能的结果，恰好抽到女生A的结果有2种，再由概率公式即可得出结果．【详解】（1）解：∵“了解很少”的有人，占，∴接受问卷调查的学生共有：（人），故答案为：60；（2）解：调查结果中“了解”的人数为：（人）；估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数为（人），故答案为：200；（3）解：画树状图如图：共有6种等可能的结果，恰好抽到女生A的结果有2种，∴恰好抽到女生A的概率为．5．（2025·广东广州·一模）为了解学生对“应用意识”在数学学习中的重视程度，老师组织兴趣小组对班级学生进行了问卷调查．学生结合自己的实际情况选择一类（A：非常重要；B：重要；C：一般；D：不重要；E：无所谓），并根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）．请根据图中信息，回答下列问题：(1)_______；D类所在扇形圆心角的度数为___；(2)学完概率知识后，小明尝试用纸板设计了一款游戏，小球从入口处掉落后每碰到卡口，可能向左弹跳，也可能向右弹跳，且两种可能性均相同，小球经过3次弹跳后最终落入标号为的6个卡槽．图为小球某次掉落情况：小球第1次向左弹跳，第2次向右弹跳，第3次向右弹跳，即“左→右→右”，最后落入卡槽4，请用树状图法求出小球掉落到5号卡槽的概率．【答案】(1)，(2)【知识点】条形统计图和扇形统计图信息关联、列表法或树状图法求概率【分析】本题考查列表法与树状图法求概率、条形统计图、扇形统计图，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法、概率公式是解答本题的关键．（1）用条形统计图中B的人数除以扇形统计图中B的百分比可得调查的人数，用调查的人数乘以扇形统计图中A的百分比可得m的值，用乘以D的人数所占的百分比，即可得出答案．（2）画树状图可得出所有等可能的结果数以及小球掉落到5号卡槽的结果数，再利用概率公式可得出答案【详解】（1）解：由题意得，调查的人数为(人)，，，类所在扇形圆心角的度数为．故答案为：18，．（2）画树状图如下：共有8种等可能的结果，其中小球掉落到号卡槽的结果有种，小球掉落到号卡槽的概率为．6．（2025·广东茂名·一模）某校为加强书法教学，了解学生现有的书写能力，随机抽取了部分学生进行测试，测试结果分为优秀、良好、及格、不及格四个等级，分别用A，B，C，D表示，并将测试结果绘制成两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答以下问题；(1)本次抽取的学生共有人，扇形统计图中A所对应扇形的圆心角是，并把条形统计图补充完整；(2)依次将优秀、良好、及格、不及格记为90分、80分、70分、50分，则抽取的这部分学生书写成绩的中位数是分，平均数是分；(3)若该校共有学生2800人，请估计一下，书写能力等级达到优秀的学生大约有人；(4)A等级的4名学生中有3名女生和1名男生，现在需要从这4人中随机抽取2人参加电视台举办的“中学生书法比赛”，请用列表或画树状图的方法，求被抽取的2人恰好是1名男生1名女生的概率．【答案】(1)40，，见解析(2)70，66.5(3)280(4)【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、画条形统计图、求扇形统计图的圆心角、列表法或树状图法求概率【分析】本题考查了扇形图与条形统计图的结合、求圆心角，样本估计总体，画树状图求概率，求中位数、平均数，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）先运用等级的人数除以占比得出总人数，然后算出A的占比，再与相乘得出其的圆心角，再运算出B等级的人数，最后补全条形图，即可作答．（2）结合中位数的定义进行作答，再结合平均数的公式列式计算，即可作答．（3）运用样本估计总体的公式进行列式计算即可作答．（4）先画树状图，再得出共有12种等可能情况，满足条件的结果是6种等可能情况，运用概率公式列式计算，即可作答．【详解】（1）解：依题意，（人），则，则（人），补全条形图如下：故答案为：40，，（2）解：∵本次调查的总人数为，故中位数为排在第名的平均数，结合（2）的条形图，，得出第名的书写能力等级在等级，即这部分学生书写成绩的中位数是70分，依题意，（分）故答案为：70，66.5；（3）解：依题意，（人）．故答案为：280；（4）解：画树状图为：则共有12种等可能情况，其中被抽取的2人恰好是1名男生1名女生的有6种情况，∴被抽取的2人恰好是1名男生1名女生的概率为．7．（2025·广东江门·一模）感知数学魅力，探索数学未来，某校为筹备数学文化节活动，计划开设A魔方、B数学华容道、C益智锁扣、D迷叠杯，共四类活动项目．为了解学生报名情况，现随机抽取了九年级部分学生进行调查，并根据统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图．(1)补全条形统计图；(2)在扇形统计图中，m的值为__________；(3)学生小何和小林各自从以上四类活动项目中任选一类参加活动，请利用画树状图或列表的方法，求他们选择相同项目的概率．【答案】(1)图见解析(2)40(3)【知识点】条形统计图和扇形统计图信息关联、列表法或树状图法求概率【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，列表法求概率，从统计图中有效的获取信息，是解题的关键：（1）利用项目的人数除以所占的比例求出总人数，进而求出类人数，补全条形图即可；（2）用项目的人数除以总人数，求出的值即可；（3）列出表格，利用概率公式进行计算即可．【详解】（1）解：（人），（人）；补全条形图如图：（2）；∴；故答案为：40；（3）由题意，列表如下：，，，，，，，，，，，，，，，，共16种等可能得结果，其中他们选择相同项目的情况有4种，∴．8．（2025·广东深圳·一模）百度推出了“文心一言”AI聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”AI聊天机器人（以下简称乙款）．有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取20份评分数据，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：A：，B：，C：，D：），下面给出了部分信息：甲款评分数据中“满意”的数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100．乙款评分数据中C组包含的所有数据：84，86，87，87，87，88，90，90．甲、乙款评分统计表：设备平均数中位数众数甲8685.5b乙86a87根据以上信息，解答下列问题：(1)上述图表中______，______，______．(2)在此次测验中，有280人对甲款进行评分、300人对乙款进行评分．请通过计算，估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数．(3)DeepSeek（简称丙款）推出后引发广泛讨论．现有甲、乙、丙三款聊天机器人，小明和小红各自随机选择其中一款进行体验测评．请用列表法或树状图法，求两人都选择同款聊天机器人的概率．【答案】(1)，，(2)(3)【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、求中位数、求众数、列表法或树状图法求概率【分析】本题考查了扇形统计图、中位数、众数以及样本估计总体等知识，正确理解中位数、众数的意义，熟练掌握中位数、众数的计算方法是解题的关键；（1）根据中位数的定义可得的值，根据众数的定义可得的值，用1分别减去其他三个等级所占百分比可得的值；（2）由A、B两款的非常满意的人数之和即可得出答案；（3）用列表法或树状图法求解即可．【详解】（1）解：根据乙款扇形统计图可得，A组B组共有人，第十个和第十一个评分分别为86、87，所以中位数．根据众数的定义可得，，．（2）解：甲款评分数据中“非常满意”的人数占比，对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数．（3）解：列表如下：小红小明甲乙丙甲甲、甲甲、乙甲、丙乙乙、甲乙、乙乙、丙丙丙、甲丙、乙丙、丙两人都选择同款聊天机器人的概率．9．（2025·广东深圳·二模）2025年全国两会期间，“体重管理”被纳入国家健康战略．国家卫生健康委员会宣布持续推进为期三年的“体重管理年”行动．为了帮助学生更好地管理体重，深圳某初中学校开展了一项体重管理计划，随机抽取了100名学生进行体重指数（）调查．的计算公式为：，根据世界卫生组织的标准，分类如下：范围分类体重过轻体重正常超重肥胖调查结果如表所示：分类人数体重过轻10体重正常50超重30肥胖10(1)小明身高为，指数为20，则小明的体重为______；(2)以下是部分统计图表，请根据表格数据补齐空缺部分．(3)根据以上图表，请你给出一条合理的建议．(4)学校计划从体重正常的2个男生和2个女生中，抽取2名学生介绍体重管理经验，求抽取出来的学生恰好是一男一女的概率．【答案】(1)51.2(2)见解析(3)建议中学生加强体育锻炼，控制体重(4)【知识点】由扇形统计图求某项的百分比、频数分布直方图、列表法或树状图法求概率【分析】本题主要考查了扇形统计图，频数分布直方图，树状图法或列表法求解概率，正确读懂统计图是解题的关键．（1）根据计算公式求解即可；（2）先求出超重的人数占比，再补全统计图即可；（3）从控制体重的方面阐述即可；（4）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到抽取出来的学生恰好是一男一女的结果数，最后根据概率计算公式求解即可．【详解】（1）解：，∴小明的体重为；（2）解：超重的人数占比为，补全统计图如下：（3）解：建议中学生加强体育锻炼，控制体重；（4）列表：男1男2女1女2男1——（男1，男2）（男1，女1）（男1，女2）男2（男2，男1）——（男2，女1）（男2，女2）女1（女1，男1）（女1，男2）——（女1，女2）女2（女2，男1）（女2，男2）（女2，女1）——有表格可知，共有12种等可能情况，其中恰好为一男一女的有8种；∴（抽取出来的学生恰好是一男一女）．10．（2025·广东深圳·一模）在实验教育集团“学习总理精神，担当时代责任”主题演讲比赛中，A、B两所学校各有10名学生进入决赛，现对他们的成绩（满分100分）进行整理分析，得到如图表信息：平均数众数中位数A学校85.580nB学校85.5m86根据以上信息，回答下列问题：(1)填空：________，________；(2)A、B两所学校决赛成绩的方差分别记为、，请判断_______（填“”“”或“”）；(3)本次比赛的前4名分别来自A、B两所学校，该区决定从这4位学生（A校3位，B校1位）中随机选取2位学生参加市级竞赛，求选中的两位学生恰好在同一学校的概率．【答案】(1)85；87(2)(3)【知识点】求中位数、求众数、求方差、列表法或树状图法求概率【分析】本题考查列表法与树状图法、中位数、众数、方差，熟练掌握列表法与树状图法、中位数、众数、方差的定义是解答本题的关键．（1）根据众数和中位数的定义可得答案．（2）根据方差的定义可得答案．（3）列表可得出所有等可能的结果数以及选中的两位学生恰好在同一学校的结果数，再利用概率公式可得出答案．【详解】（1）解：（1）由折线统计图可得，，将学校的10名学生的成绩按照从小到大的顺序排列，排在第5名和第6名的成绩为86分，88分，．故答案为：85；87．（2）由折线统计图可知，校学生成绩的波动幅度明显大于校学生成绩的波动幅度，故答案为：．（3）将A校3位学生分别记为甲，乙，丙，将B校1位学生记为丁，列表如下：甲乙丙丁甲（甲，乙）（甲，丙）（甲，丁）乙（乙，甲）（乙，丙）（乙，丁）丙（丙，甲）（丙，乙）（丙，丁）丁（丁，甲）（丁，乙）（丁，丙）共有12种等可能的结果，其中选中的两位学生恰好在同一学校的结果有：（甲，乙），（甲，丙），（乙，甲），（乙，丙），（丙，甲），（丙，乙），共6种，选中的两位学生恰好在同一学校的概率为．故答案为：．题型二三角函数的实际应用11．（2025·广东广州·一模）如图1所示是一种简易手机支架，由底座、支撑板和托架组成，将手机放置在托架上，图2是其简易结构图．现测量托架长长，支撑板长，可绕点转动，可绕点转动．(1)若水平视线与的夹角，，求的度数；(2)当，时，求点到底座的距离．（结果精确到0.1，参考：）【答案】(1)(2)【知识点】根据平行线的性质求角的度数、利用平行线间距离解决问题、含30度角的直角三角形、其他问题（解直角三角形的应用）【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，平行线的性质，三角形内角和定理等知识．解题的关键在于确定线段之间的数量关系．（1）过作，根据平行线的性质可求得，即可求的度数；（2）过点作，过点作于，交于，作于，由，求得，由，求得，在中．根据进而可求．【详解】（1）解：过作，，，，，，；（2）解：过点作，过点作于，交于，作于，，，在中，，，，，，，，在中．，，．答：点到底座的距离为．12．（2025·广东广州·一模）如图1所示是广东醒狮，它是国家级非物质文化遗产之一，其中高桩醒狮更是由现代艺术演出转变而来的体育竞技．如图2，三根梅花桩AM，BP，CN垂直于地面放置，醒狮少年从点A跳跃到点B，随后纵身跃至点C，已知．（参考数据：，，，）(1)直接写出的度数；(2)求醒狮少年从点B纵身跃至点C的路径的长度；（结果保留一位小数）(3)醒狮少年在某次演出时需要从点A直接腾跃至点C进行“采青”，求线段的长度．【答案】(1)(2)(3)【知识点】根据平行线的性质求角的度数、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、其他问题（解直角三角形的应用）【分析】本题主要考查平行线的性质，解直角三角形，勾股定理，（1）延长至H，根据平行线的性质得，即可求解．（2）过点B作于点Q，连接，根据题意得到四边形是矩形，得出，得到，再根据解直角三角形计算即可；（3）过点B作直线，分别交于点E，F，过点A作直线，交于点D，连接，根据题意得到四边形，四边形，四边形，四边形均是矩形，根据矩形的性质得到，再利用解直角三角形得到，最后用勾股定理计算即可．【详解】（1）解：如图：延长至H，

由题意可得：，∴，∴，故答案为：；（2）解：如图，过点B作于点Q，连接．依题意，，四边形是矩形，即（3）解：如图，过点B作直线，分别交于点E，F，过点A作直线，交于点D，连接．由题意得，∴四边形，四边形，四边形，四边形均是矩形，，．，，，，，，在中，，．即“采青”路径AC的长度约为．13．（2025·江西·模拟预测）踢正步是解放军战士的一门必修课．图1是一名解放军战士踢正步的场景，图2是它的示意图，已知，这名解放军战士的身高为，他到军帽的长为长的，为他的右臂（不含手掌），、分别为他的左腿和右腿，．（参考数据：，，结果保留到）(1)若点到的垂直距离为，，求他的腿的长度；(2)若（1）中条件不变，手臂的长度为，点到点的竖直距离为，，求军帽的长度．【答案】(1)解放军战士的腿的长度为约为(2)【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）【分析】本题考查了解直角三角形的应用；（1）如图，过点作于点，根据，即可求解；（2）如图，过点作于点，先求得，进而求得，根据军帽的长为长的，即可求解．【详解】（1）解：如图，过点作于点，，解放军战士的腿的长度为.（2）解：如图，过点作于点，，，，又，，．14．（2024·广东广州·三模）广州市民昵称“小蛮腰”的广州塔，是目前中国最高的塔，它主要由塔身主体与天线桅杆两部分组成广州某中学数学兴趣小组几位同学，在五一假期，利用测角仪测量“小蛮腰”的“身高”，他们在离塔底水平距离450米的地点，测得塔身主体的顶端C的仰角为，天线桅杆的顶端的仰角为．

(1)根据题意，画出几何示意图（塔身及天线与地面垂直）(2)求天线桅杆的高度．（参考数据：）【答案】(1)见详解(2)150米【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，正确理解题意是解题关键．（1）根据题意，画出几何示意图即可；（2）利用三角函数，分别解得、的值，然后根据求解即可．【详解】（1）解：根据题意，画出几何示意图如下；

（2）根据题意，米，，，∴米，米，∴米．答：天线桅杆的高度为150米．15．（2024·广东佛山·二模）综合与实践素材一：某款遮阳棚（图1），图2、图3是它的侧面示意图，点为墙壁上的固定点，摇臂绕点旋转过程中长度保持不变，遮阳棚可自由伸缩，棚面始终保持平整．米．

素材二：该地区某天不同时刻太阳光线与地面的夹角的正切值：时刻（时）12131415角的正切值52.51.251【问题解决】(1)如图2，当时，这天12时在点位置摆放的绿萝刚好不被阳光照射到，求绿萝摆放位置与墙壁的距离；(2)如图3，旋转摇臂，使得点离墙壁距离为1.2米，为使绿萝在这天12时时都不被阳光照射到，则绿萝摆放位置与墙壁的最远距离是多少？【答案】(1)(2)【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、其他问题（解直角三角形的应用）【分析】本题考查了矩形的判定与性质、解直角三角形的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．（1）过作于，则四边形是正方形，得出，解直角三角形得出，再由计算即可得解；（2）过作于，过作于，则四边形为矩形，得出，求出，解直角三角形得出，再由计算即可得解．【详解】（1）解：如图1，过作于，

，则，四边形是矩形，，四边形是正方形，，在中，，即，，，答：绿萝摆放位置与墙壁的距离为．（2）解：过作于，过作于，

，则，四边形为矩形，，，，由表格可知，在12时时，角的正切值逐渐减小，即逐渐较小，当14时，点最靠近墙角，此时DE的长度就是绿萝摆放位置与墙壁的最大距离，在中，，即，，，答：绿萝摆放位置与墙壁的最大距离为．16．（2024·广东韶关·二模）【操作探究】在数学综合与实践活动课上，老师组织同学们开展以“测量小树的高度”为主题的探究活动．【学生】查阅学校资料得知树前的教学楼高度为12米，如图1，某一时刻测得小树、教学楼在同一时刻阳光下的投影长分别是米，米．（1）请根据同学的数据求小树的高度；【学生】借助皮尺和测角仪，如图2，已知测角仪离地面的高度米，在处测得小树顶部的仰角，测角仪到树的水平距离米．（2）请根据同学的数据求小树的高度（结果保留整数，，）．【答案】（1）大树高是4米；（2）米【知识点】相似三角形实际应用、仰角俯角问题(解直角三角形的应用)【分析】此题考查了相似三角形的性质和解直角三角形应用，解此题的关键是利用相似三角形的性质，相似三角形的对应边成比例求解，解题时还要注意认识图形．（1）根据题意可得，根据相似三角形的性质即可求解；（2）在中，根据解直角三角形即可求解；【详解】（1）解：根据题意可知，，，，

，即大树高是4米．（2）如图，在中，∵，∴米．17．（2025·广东清远·二模）某学校因增设了篮球场，现购进一些篮球架．如图是某款篮球架，图是其示意图，已知立柱垂直地面，支架与交于点，支架交于点，支架平行地面，篮筐与支架在同一直线上，，，．

(1)求的度数．(2)某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据：）【答案】(1)；(2)该运动员能挂上篮网，理由见解析．【知识点】两直线平行内错角相等、直角三角形的两个锐角互余、其他问题（解直角三角形的应用）【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、平行线的性质、锐角三角函数，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形，利用直角三角形的性质求出的长度，再根据的长度判断能否挂上篮网．根据可知，根据直角三角形两锐角互余可得；延长交于点，根据对顶角相等可知，利用锐角三角函数可求出，从而可得，所以该运动员能挂上篮网．【详解】（1）解：，，，；（2）解：该运动员能挂上篮网，理由如下：如图，延长交于点，，，，又，在中，，，该运动员能挂上篮网．18．（2025·广东韶关·一模）太阳能热水器作为一种高效利用太阳能的设备，是绿色能源的重要组成部分．它通过将太阳能转化为热能，减少了对传统化石燃料的依赖，从而降低了碳排放，对环境保护具有重要意义．1图是太阳能热水器安装示意图，2图是安装热水器的侧面示意图．已知屋面的倾斜角为，长为的真空管与水平线的夹角为，安装热水器的铁架竖直管的长度为．(1)求真空管上端到水平线的距离；(2)求安装热水器的铁架水平横管的长度．（参考数据：，，，，，，结果精确到0.1m）【答案】(1)真空管上端到水平线的距离约为米(2)安装热水器的铁架水平横管的长度约为米【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）【分析】本题考查解直角三角形的应用，（1）过作于，根据正弦的定义计算，得到答案；（2）根据余弦的定义求出，再根据正切的定义求出，计算即可；熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．【详解】（1）解：过作于，根据题意，得：，，在中，，∴（米）．答：真空管上端到水平线的距离约为米；（2）解：在中，，∵，，，∴，∴四边形是矩形，∴，，∵，∴，在中，，∴，∴（米）．答：安装热水器的铁架水平横管的长度约为米．19．（2025·广东·二模）广州地铁经过多年的发展，地铁出入口更加人性化和便民化．如图1是某地铁出入口，有步梯和电梯两种由地下层通往地面层的出入方式．其截面如图2所示，是由地下直通地面的电梯，，，，，是步梯，，，的倾角相同，，与地面平行．已知电梯全长30米，倾角为，米．(1)求地面层与地下层的垂直高度；(2)求步梯的倾角的正切值和步梯通道的全长．参考数据：，，．【答案】(1)18米(2)1，米【知识点】根据平行线判定与性质证明、利用平行四边形的判定与性质求解、其他问题（解直角三角形的应用）【分析】（1）根据，代入解答即可；（2）延长交于点M，延长交于点N，利用平行四边形的判定和性质，解直角三角形，解答即可．【详解】（1）解：根据题意，得（米），答：地面层与地下层的垂直高度约为18米．（2）解：延长交于点M，延长交于点N，∵，，的倾角相同，，与地面平行．∴，∴，∵，∴四边形，四边形都是平行四边形，∴，∵电梯全长30米，倾角为，米．∴（米），（米），（米），∴（米），∴，∴，∴，∴（米），∴步梯通道的全长为（米）．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，解直角三角形，特殊角的三角函数值，倾角相同的意义，熟练掌握判定和性质，解直角三角形是解题的关键．20．（2025·广东云浮·一模）综合与实践主题：日月贝的设计与数学思考【文化背景】坐落于珠海市香洲区的日月贝，不仅是一座具有艺术价值的建筑，也是来珠海市旅游的必去之地，为游客提供了丰富的体验和享受．日月贝的设计灵感源自名画《维纳斯的诞生》，由一大一小两组“贝壳”的形体组成，白天呈现半通透效果，夜晚则像贝壳一样闪闪发光．【素材一】如图和图所示，日贝和月贝外形都可近似处理成与地面相交的圆弧．已知月贝高为米，日贝高为米，和分别是两贝的直径，两圆心到地面的距离均约为各自半径的．【问题一】（1）求和的长度（结果取整数）．【素材二】如图，为了体现错落的艺术感，日贝和月贝各自斜向形成一定的夹角．小队成员在进行地面勘测时，发现了其中隐藏的几何模型．将其转化为以下数学问题．【问题二】（2）如图，在等腰直角中，，．在（1）的条件下，计算的长度（结果取整数）．（参考数据，，，，）【答案】（1）米，米；（2）米【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求解其他问题、其他问题（解直角三角形的应用）【分析】过点作，垂足为点，连接，设月贝半径为，根据月贝的高度是米，可得：，解方程求出月贝的半径，根据勾股定理可求米，设日贝的半径是米，根据日贝的高度是米，可得：，可求米，利用勾股定理可求米；设，根据等腰直角三角形斜边与直角边之间的关系可得：，解方程求出米，过点作，利用锐角三角函数可得：，从而可求米，根据垂径定理可知米．【详解】解：如下图所示，过点作，垂足为点，连接，设月贝半径为，月贝高米，且，，解得：米，在中米，米，设日贝的半径是米，日贝的高度是米，，解得：米，米，答：的长度为米，

的长度为米；解：设，在等腰中，米，米，，解得：米，过点作，，，解得：米，米，答：的长度为米．

【点睛】本题主要考查了勾股定理、垂径定理、等腰直角三角形的性质、三角函数的应用，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形，解直角三角形求线段的长度．题型三一次函数与反比例函数21．（2025·广东广州·一模）如图，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．(1)求的值和反比例函数的解析式；(2)点是直线上的一点，过点作平行于轴的直线交反比例函数的图象于点，连接，，求的面积．【答案】(1)1；(2)4或14【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、相似三角形的判定与性质综合、一次函数与反比例函数的交点问题【分析】本题考查一次函数与反比例函数交点问题，反比例函数与几何综合，三角形相似的判定与性质：（1）先求出m的值，利用待定系数法即可求解；（2）过点作轴于点，过点作轴于点，证明，分点在线段上，点在线段的延长线上，两种情况讨论即可．【详解】（1）解：∵直线经过点∴∴∴∵反比例函数经过∴∴反比例函数的解析式为；（2）解：过点作轴于点，过点作轴于点，令，解得：，∴，∴，，∴，，∴，∵，∴，∴，即，①点在线段上，∵，∴，∴，∵，∴，∴与重合，如图，∴点N在轴上，即点N为与轴交点重合，将代入，则，∴，在反比例函数中，当时，，∴，∴，②点在线段的延长线上，同理得：，，∴，在反比例函数中，当时，，∴，，综上所述，或14．22．（2025·广东广州·一模）某款三明治机制作三明治的工作原理如下：①预热阶段：开机1分钟空烧预热至，机器温度与时间成一次函数关系；②操作阶段：操作3分钟后机器温度均衡升至最高温度后保持恒温状态；③断电阶段：操作完成后进行断电降温，机器温度与时间成反比例关系．如下图所示为某次制作三明治时机器温度与时间的函数图象，请结合图象回答下列问题：(1)预热阶段机器温度上升的平均速度是_________，开机3分钟时，温度为____；(2)当时，求机器温度与时间的函数关系式；(3)求三明治机工作温度在以上持续时间．【答案】(1)60、140(2)(3)12分钟【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、实际问题与反比例函数【分析】本题考查一次函数与反比例函数的实际应用，从图象获取信息，正确的求出函数解析式是解题的关键：（1）根据图象，列出算式进行计算即可；（2）分和两种情况，待定系数法求出解析式即可；（3）求出反比例函数的解析式，将为，依次代入及中，求出对应的的值，作差即可．【详解】（1）解：，；故答案为：60、140；（2）由图象可知：当时，；当时，设函数解析式为：，把，代入得：，解得：，∴；综上：；（3）当时，设将代入得：当机器温度为，依次代入及中，分别解得、；答：三明治机工作温度在以上持续12分钟．23．（2025·广东汕头·一模）如图1，直线：与反比例函数的图象在第一、三象限交于点A，B，与x轴、y轴分别交于点C，D，过点A作轴于点E，F为x轴上一点，直线与直线关于直线对称．(1)若，，点A的横坐标为3，求反比例函数的解析式．(2)在（1）的条件下，设抛物线的顶点为点Q，在平面直角坐标系中是否存在点Q，使最大？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．(3)如图2，过点F作轴交于点G，过点A作于点P，连接．若k为定值，求证：的面积为定值．【答案】(1)(2)存在，(3)见解析【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式、反比例函数与几何综合、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合【分析】（1）先求出，，得出，证明．得出，根据，点A的横坐标为3，求出，得出，即可得出答案；（2）由（1）得，，，，求出抛物线的顶点Q的坐标为，得出点Q是直线上一点．证明，作点D关于直线的对称点，连接并延长，交直线于点Q，连接，此时最大，求出点的坐标为，待定系数法求出直线的解析式为．联立，求出点Q的坐标为．（3）求出，，得出，，证明四边形是矩形，得出．根据，得出，即，设，则，根据点A在反比例函数的图象上，得出，根据即可证明结论．【详解】（1）解：当时，直线的解析式为，把代入得，把代入得，解得：，∴，，∴，∵轴，∴，又，∴．∴，∵，点A的横坐标为3，∴，∴，将代入，得，解得：，∴反比例函数的解析式为．（2）解：存在点Q，使最大．由（1）得，，，，∵直线与直线关于直线对称，∴，∵，∴抛物线的顶点Q的坐标为，∴点Q是直线上一点．把代入得：，解得：，∴在直线，把代入得：，∴，∴，，，∴，∴为直角三角形，，∴，作点D关于直线的对称点，连接并延长，交直线于点Q，连接，如图所示：根据轴对称可知，，∴，∴此时最大，∵直线，∴点在直线上，且，∴根据中点坐标可知：点的坐标为，设直线的解析式为，将，代入，得，解得，∴直线的解析式为．联立，解得，∴点Q的坐标为．（3）证明：把代入得：，把代入得：，解得：，∴，，∴，，∵轴，，轴，∴四边形是矩形，又直线与直线关于直线对称，∴．根据解析（1）可知：，∴，∴，设，则，∴，∵点A在反比例函数的图象上，∴，∴．即若k为定值，则的面积为定值．【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质，二次函数的性质，一次函数的综合应用，相似三角形的判定和性质，轴对称的性质，勾股定理的逆定理，两点间距离公式，中点坐标公式，解题的关键是数形结合，熟练掌握相关的性质．24．（2025·广东广州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点，点的横坐标为，反比例函数的图像经过点．(1)求的值；(2)过点作的平行线交反比例函数的图象于点，求点的坐标．【答案】(1)(2)【知识点】求反比例函数解析式、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用菱形的性质求线段长、一次函数与反比例函数的交点问题【分析】（1）作于D，通过菱形的性质和勾股定理求出点的坐标和的值，再证明，由全等三角形的性质得出，，即可得出点C的坐标，再利用待定系数法即可求出m的值．（2）利用直线的解析式和的条件求出的解析式，再求一次函数与反比例函数的交点即可．【详解】（1）解：作于D，∵，∴，∵四边形为菱形，∴，，，，∵点A的横坐标为，∴，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，，∴．∵反比例函数的图像经过点，∴，解得：（2）解：设直线解析式为，．∵，，则，解得：，∴直线的解析式为∵，∴直线为，联立直线的解析式与反比例函数，，解得：或（舍去）∴点D的坐标为．【点睛】本题主要利用菱形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、以及反比例函数和一次函数的解析式求其交点，利用数形结合的思想求解．25．（2025·四川绵阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，点、在反比例函数的图象上．(1)如图，若直线的解析式为，点，求点的坐标；(2)如图，以为边作矩形，点、的坐标分别是、，求的值．【答案】(1)(2)【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、相似三角形的判定与性质综合、一次函数与反比例函数的交点问题【分析】（1）将点代入即可求出，得，，联立，求解即可；（2）如图，过点作轴于点，过点作轴于点，设，根据矩形的性质及平移的性质得，，，，，，证明，得，即，推出①，再根据函数图象上点的坐标特征得，推出②，联立方程①、②求解即可．【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上和直线：上，∴，∴，∴，此时反比例函数的解析式为，联立，解得：，，∴，即点的坐标为；（2）如图，过点作轴于点，过点作轴于点，设，∴，，，∵四边形是矩形，、，∴，，，∴线段向左平移个单位，再向上平移个单位得到，∴，∵，∴，∴，∴，即，∴①，又∵、在反比例函数的图象上，∴，∴②，联立方程①、②，得：，解得：，∴，即的值为．【点睛】本题是反比例函数与几何的综合题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，求反比例函数的解析式，矩形的性质，平移的性质，相似三角形的判定和性质，二元一次方程组的应用等知识点，利用方程的思想解决问题、通过作辅助线构造相似三角形是解题的关键．26．（2025·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象分别交于点和点．

(1)求直线的表达式；(2)如图2，直线经过点与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，点将线段分成，两条线段，且，连接，求的面积；(3)在（2）的条件下，坐标轴上是否存在点，使是以为斜边的直角三角形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)或或或【知识点】求直线围成的图形面积、反比例函数与几何综合、90度的圆周角所对的弦是直径、一次函数与反比例函数的交点问题【分析】（1）先求出的值，再利用待定系数法即可求解；（2）联立方程组得求出点B的坐标，过点C作轴于点M，过点B作轴于点N，利用平行线成比例求出，再求出，求出直线的函数表达式，得到点B，点G的坐标，即可求解；（3）取的中点M，以点M为圆心，为半径作交坐标轴于点E，连接，，分点E在y轴上，设点E的坐标为，点E在x轴上，设点E的坐标为，两种情况讨论即可．【详解】（1）解：将代入，，即，将代入，，直线的表达式为；（2）解：直线与反比例函数交于点A，B，联立方程组得解得，，过点C作轴于点M，过点B作轴于点N，

，，，在中，当时，，，设直线的函数表达式为，直线的函数表达式为，直线与x轴交于点D，，直线与x轴交于点G，，，；（3）解：如图，取的中点M，以点M为圆心，为半径作交坐标轴于点E，连接，，

为的直径，，是的中点，，当点E在y轴上时，设点E的坐标为，，，，，当点E在x轴上时，设点E的坐标为，，，，，综上所述，点E的坐标为或或或．【点睛】本题考查了一次函数与反比例的综合题，待定系数法求函数的解析式，直角三角形的性质，平行线成比例，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．27．（2025·江西·模拟预测）如图1，点是反比例函数图象上任意一点，过点作轴的垂线，垂足为，已知的面积为．(1)求的值．(2)若过点的直线与轴交于点，如图2．①求证：．②与的平方差是不是定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【答案】(1)(2)①证明见解析；②是定值，【知识点】反比例函数与几何综合、根据图形面积求比例系数（解析式）、一次函数与反比例函数的其他综合应用【分析】本题考查了反比例函数系数的几