辽宁省名校联盟2025年高考模拟数学试卷押题数学试卷（三）（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1辽宁省名校联盟2025年高考模拟卷押题卷数学（三）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某同学8次考试的数学成绩分别为94，89，90，92，87，93，96，85，则这组成绩的分位数为（）A.88 B.93 C.94 D.93.5【答案】D【解析】将成绩从小到大重新排列为85，87，89，90，92，93，94，96，又，故这组成绩的分位数为.故选：D.2.已知复数，若集合，则的子集个数是（）A.1 B.2 C.4 D.8【答案】C【解析】方法一：由，复数，，即，，解得，所以，所以集合，含有两个元素，所以A的子集有个；方法二：，所以由求根公式得，所以集合，含有两个元素，所以A的子集有个；方法三：因为，∴有且仅有2个虚数根，所以含有两个元素，所以A的子集有个.故选：C.3.现将一个表面积为的实心铜球熔铸成一个圆锥形状的实心铜锭（熔铸过程中不计损耗），若圆锥形状的实心铜锭的底面半径为8cm，则该铜锭的高为（）A. B. C.3cm D.4cm【答案】D【解析】设实心铜球半径为，体积为，则，解得，，设圆锥形状的实心铜锭的高为，由，得.故选：D.4.若，且，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，得，即①，又②，由①②解得，，所以.故选：A.5.已知是等比数列的前项和，，，则的最大值为（）A.1 B.2 C. D.4【答案】B【解析】设等比数列的公比为，由，又，可得，所以，解得，所以.令，则，所以数列为递减数列，所以当时，取得最大值2.故选：B.6.已知函数为幂函数，若，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由为幂函数，得∴，所以，所以，又，所以，又，所以，由换底公式得，，所以，又，所以，得.又在区间内单调递减，所以.综上，.故选：B7.已知函数在区间内单调递增，则的最大值为（）A. B.2 C. D.【答案】A【解析】由题，因为在区间内单调递增，所以在区间内单调递减，所以，，解得，，又，所以只有当时，不等式有解，解集为，所以的最大值为.故选:A.8.已知函数的导函数为，和的定义域均为，若，，，，则（）A. B. C. D.28【答案】C【解析】由，求导得，又，所以，令得，又，所以，又，所以，又，所以.综上，是以为首项，为公差的等差数列，所以；由，易得，又，所以，即，因为，，所以，，，，，，，即，所以.故选：C.二、选择题；本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知直线，和平面，，且，，则下列四个选项中正确的有（）A.若，则过可作唯一平面与垂直B.若与所成角为60°，则过可作唯一平面与垂直C.若，则过可作唯一平面与垂直D.若，则过可作唯一平面与平行【答案】BC【解析】对于A项，，，当时，因为，所以，则过可以作无数个平面与垂直，故A错误；对于B项，因为m与所成角为60°，，所以与不垂直，所以与不垂直，所以过可作唯一平面与垂直，故B正确；对于C，D项，由，，，得与的关系是或，所以过可作唯一平面与垂直，故C项正确；当时，过的平面与相交或重合，故D项错误.故选：BC.10.下图造型为的曲线C被称为伯努利双纽线，该曲线体现出对称、和谐、简洁的数学美，同时也具有特殊的艺术美.已知C过坐标原点O，且C上的点满足到点的距离与到点的距离之积为4，则（）A. B.当点在上时，C.点在上 D.当点在上时，【答案】ABD【解析】对于A项，由C过坐标原点O，得，所以，由图知在原点左侧，所以，故A项正确.对于B项，设是曲线C上任意一点，则，化简得，由得，解得或，由图可知，故B项正确.对于C项，，故C项错误.对于D项，由，得关于y的方程，所以，设，则，又，所以，则，当时，取得最大值为1，即，故D项正确.故选：ABD11.已知函数，则下列说法正确的是（）A.是不存在极值点的充要条件B.若存在两个极值点，，则C.过坐标原点只能作曲线的一条切线D.若有两个零点，则【答案】ACD【解析】由题意得的定义域为，且，若，则，所以在上单调递增，不存在极值点；当时，由，得，所以当时，，当时，，当时，，所以在区间内单调递增，在区间内单调递减，在区间内单调递增，则为的极大值点，为的极小值点，此时有极值点.故A项正确.不妨设，由上可知，，所以，故B项错误.设为切点，则切线的斜率，切线方程，因为切线过点，所以，化简得，方程有唯一解为，所以过坐标原点只能作曲线的一条切线，故C项正确.当时，单调递增，所以不可能存在两个零点；当时，存在两个极值点，，因为，当时，，所以在区间内存在唯一零点，当时，只有当时，在区间内存在唯一零点，解得，故D项正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量，，则在上的投影向量的坐标为_______.【答案】【解析】由，，得，，则向量在上的投影向量的坐标为.故答案为：.13.已知甲、乙两名同学在限定时间内解答同一道数学难题，甲同学解出的概率为，乙同学解出的概率为，且甲、乙两同学解出该难题与否相互独立，若该难题在限定时间内被解出，则这两名同学都解出了该难题的概率为_______.【答案】【解析】记事件M为“该数学难题被解出”，事件N为“这两名同学都解出了该难题”，则，，若该难题在限定时间内被解出，则这两名同学都解出了该难题的概率.故答案为：.14.已知抛物线：，双曲线：，直线交E于A，B两点，点，且，，分别是的左、右焦点，过的直线与的右支交于M，N两点，，的内切圆半径为，且，则的离心率为_______.【答案】【解析】设，，联立，整理得，所以，因为，所以，即，得，解得或（舍去），所以.如图，设的内切圆圆心为，，，和圆分别切于点P，R，Q，由，得，又切线段长相等，即，，，所以，得，所以与重合，又，，，所以四边形为正方形，所以，故，又，所以，因为，所以，即，解得，又，即，所以，所以.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满.（1）求C；（2）若，求外接圆的半径；（3）已知角C的平分线交于点，且，当取最小值时，求的面积.解：（1）由已知得，在中，由正弦定理得，化简得，即，又，所以，所以，又，所以.（2）由（1）和余弦定理得，所以.设外接圆的半径为，由正弦定理得，所以.（3）由（1）得，因为角的平分线交于点，所以，又，所以，又，所以，即，所以，当且仅当，即时取得最小值，由，解得，，所以.16.已知数列满足，，记，（1）证明：数列是等比数列；（2）求数列的通项公式；（3）求数列的前项和.（1）证明：因为，，，所以，即，又，所以数列是首项为4，公比为2的等比数列.（2）解：由（1）可知，所以.（3）解：由（2）得，设，其前n项和为，则，，两式相减得，所以，所以.17.某公司统计了该公司销售部员工工龄（单位：年）与一年中的月均销售额（单位：万元）的数据，得到下面的散点图及一些统计量的值.15.14.8424.294.9155.582.5表中.（1）由散点图知，可用经验回归方程拟合y与x的关系，试根据提供的有关数据，预测月均销售额超过20万元的工龄最小值；（2）该公司为激励销售部员工，规定每月的销售冠军奖励1万元，其他名次无奖励.甲为该公司销售部的员工，他在第一季度（每年的前3个月）的第一个月成为销售冠军的概率为，从第二个月开始，若上个月不是销售冠军，则这个月为销售冠军的概率为；若上个月为销售冠军，则这个月仍为销售冠军的概率为.求他在第一季度所得奖励金额X的分布列和数学期望.附：对于一组数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，，，，，，.解：（1）设，则，则，，因为，，所以经验回归方程为，因为，，在区间内单调递增，所以预测月均销售额超过20万元的工龄最小值为12.（2）由题意得的可能取值为0，1，2，3，记甲在第一季度的第月成为销售冠军为事件，则，，，的分布列为0123，所以甲在第一季度所得奖励金额的数学期望为0.87万元.18.已知动圆E与x轴相切于点，过点，分别作动圆E的异于x轴的切线，，记，的交点M的轨迹为曲线C.过的直线与C交于A，B两点，直线与C交于另一点D，直线与C交于另一点R.（1）求C的方程；（2）证明：直线过定点；（3）若直线，的斜率，都存在，试判断是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由.（1）解：如图，设两个切点分别为Q，P，则，，，所以，，则，所以点的轨迹是以，为焦点，长轴长为4的椭圆，又圆的半径不能为0和无穷，所以的方程为.（2）证明：设，，，，当直线的斜率存在时，因为A，B，三点共线，所以，化简得，则直线的方程为，直线的方程为.联立，整理得，由根与系数的关系得，所以，，同理，.又直线的方程为，令，则，所以直线过定点.当直线的斜率不存在时，D，R关于x轴对称，不妨设，可求得点D的横坐标为，所以直线过定点.综上，直线过定点.（3）解：是定值，证明如下：由（2）得，又，所以.19.如图①，圆柱的底面直径和母线的长均为2，过，两点与底面所成角为的平面与圆柱的交线为曲线，若沿母线将其侧面剪开并展平，以母线的中点为坐标原点，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图②所示，曲线在平面直角坐标系中为函数图象的一部分.（1）在图①中，为弧的中点，直线与该圆柱体的内切球（与上、下底面和侧面均相切的球）的球面交于，两点，求线段的长；（2）求的解析式；（3）已知，当时，，求的取值范围.解：（1）如图，设，分别为圆柱上、下底面的圆心，连接，，，由题意得的中点为，因为为弧的中点，所以，在中，，，所以与圆柱的底面所成角的正切值为，连接，，，，由，得，取的中点为，连接，则，因为，，所以，由及，得G也是的中点，所以.（2）由题意在图①中与圆柱底面平行的截面圆对应图②中的轴，为的中点，如图，设与该截面圆的交线为，过与平行的直线与的交点为，由，且，得，由题知平面与截面圆所成角为，所以为二面角的平面角，所以，.设为曲线上任意一点，过作截面圆的垂线，交该截面于点，过向引垂线，交于点，连接，，，由题意得，，由上可知，