专题47 一元一次方程章末重难点突破（举一反三）（解析版）

专题4.7一元一次方程章末重难点突破

。次尸史三

【考点1一元一次方程的解】

［例1］（2021春•卧龙区期末）解方程上二9-1时，小刚在去分母的过程中，右

32

边的“・1”漏乘了公分母6,因而求得方程的解为x=2,则方程正确的解是（）

11

A.x=-3B.x=-2C.x=D.x=―^

【分析】根据“在去分母的过程中，右边的“-I”漏乘了公分母6,因而求得方程的解

为尸2”可得x=2是方程2（2「1）=3（x+«）-1的解，进而求出。的值，再根据求

解一元一次方程的步骤进行求解即可.

【解答】解：由题意得，

x=2是方程2（2x7）=3（x+a）-1的解，

所以a=i,

则正确解为：

去分母得，2（2r-1）=3（x+义）-6,

去括号得，4x-2=3x+l-6,

移项合并同类项得，x=-3,

故选：A.

【变式2］（2021春•衡阳县期中）如果关于x的一元一次方程级+6=0的解是x=-2,

则关于y的一元一次方程a（y+\）+8=0的解是（）

A.y=-1B.y=-3C.y=-2D.y=—

【分析】根据题中两个方程的关系，可知），+1=-2,即可求出x的值.

【解答】解：•・•关于x的一元一次方程时”=0的解是x=-2,

:.-2a+b=0,

：.b=2a,

把b=2a代入关于），的一元一次方程。（y+1）+6=0得，

u（y+1）+2ci=0,

整理得，ay=-3。，

•・ZW0,

解得，y=~3.

故选：B.

32

【变式1-2]（2020秋•永嘉县校级期末）已知关于x的方程或.”m=4『2的解为x=-3,

99

32

则关于X的方程一（户5）-m=4（x+5）-2的解为（）

99

A.2B.-5C.-6D.-8

32

【分析】根据题意知，（・3+5）是方程冗；（x+5）-m=4（x+5）・2的解.

99

32

【解答】解：•・•关于x的方程卷■机=4「2的解为x=-3,

99

32

・••方程—（x+5）-w=4（x+5）-2的解是：x+5=-3,即x=-8.

99

故选：D.

【变式1-3]（2021秋•南岗区校级月考）已知，下列关于x的方程4.12〃?=x-5的解与

7X=〃?+2Y的解的比为5：3,求刑的值.

【分析】先解一元一次方程关于x的方程44-2相=.”5的解与7八・=〃计2匕分别求得x,

进而解决此题.

【解答】解：・・・41・2加=x・5,

4x-x=-5+2/〃.

^.3x=2m-5.

.2m—5

・・x;一y-.

\,lx=m+2x,

'•lx-2x=rn.

••5x=m.

・m

..X=~r.

2m-5m

/.--------:-=5：3.

35

.•./〃=5.

经检验：当"7=5时，3m#0.

・•・该方程的解为〃?=5.

【考点2根据一元一次方程解的情况求值】

（7x—19

【例2】（2021•沙坪坝区校级开学）已知关于x的方程=X+的解为偶数，则整数

22

〃的所有可能的取值的和为（）

A.8B.4C.7D.-2

【分析】先用含。的式子表示出原方程的解，再根据解为偶数，可求得。的值，则其和

可求.

ax—19

【解答】解：由]；一二'+；；得：aLl=2r+9,

22

•・”的值是偶数，。是整数，

，。・2的值可能为5,1,・5,-1.

・•・〃的值可能为7,3,-3,1,

・・・符合条件的所有整数。的和是:7+3-3+1=8.

故选：A.

【变式2-1]（2021•九龙坡区校级开学）已知关于x的一元一次方程公+1=竽+3的解为

正整数，则所有满足条件的整数〃有（）个.

A.3B.4C.6D.8

【分析】此题可将原方程化为文关于。的二元一次方程，然后根据x>0,且工为整数来

解出。的值.

【解答】解：2VM=导+3,

6,v+3=av+9»

（6-a）x=6.

6

x~6^af

•・•关于A-的一元一次方程2x+l=^+3的解为正整数,

6-a=1、2、3、6»

••。=5、4、3、0.

所以所有满足条件的整数。有4个.

故选:B.

【变式2-2](2020秋•罗湖区校级期末)关于x的方程at+〃=0的解得情况如下：当

时、方程有唯一解x=-今当4=0,时，方程无解；当4=0,6=0时，，方程有无

数解.若关于X的方程〃?=有无数解，则川+〃的值为()

A.-1B.1

C.2D.以上答案都不对

2

-

【分析】首先把方程化成一般形式，然后根据关于3=4-X有无数解，对

•次项系数进行讨论求得机、〃的值，再相加即可求解.

【解答】解：加x+1=S-x,

(m+1)x=-»

2

-

•・•关于”的方程〃LV+3当一工有无数解,

/•zzz+1=0,n_2=0,

你军得〃7=-1,n=2,

，〃?+〃=-1+2=1.

故选：B.

【变式2・3】(2020秋•高新区期末)己知〃，〃为定值，关于x的方程笥蛆=1-9如，

无论k为何值，它的解总是1,则a+b=.

【分析】把x=l代入方程空工=1一”处，得：色蛆二1一七警，整理可得(2+ZOA+24

3636

-4=0,再根据题意可得2+/?=(),2«-4=0,进而可得。、》的值，从向可得答案.

【解答】解：把x=l代入方程第=1一笠如，得：

k+a,2+bk

-，

---3---=1------76

2a+〃)=6-(2+M),

2k+2a=6-2-bk,

2k+bk+2a-4=0,

(2+b)k+2ci-4=0,

•・•无论攵为何值，它的解总是1,

・・・2+b=0,2。-4=0,

解得：b=-2,a=2.

则a+b=0.

故答案为：0.

【考点3根据等式的性质求值】

【例3】(2021春•瑶海区期末)己知。=：+1，则/■。的值为()

A.0B.-1C.1D.2

【分析】根据等式的性质将等式左右两边同时乘以小然后再变形求解.

【解答】解：将等式左右两边同时乘以。，得：J=l+4,

a2-a=1,

故选：C.

【变式3-1](2021秋•海淀区期中)已知2(3a-b)-3(«-2b)=5,求1-9〃・12b的

值.

【分析】先将2(3a-b)-3(a-2b)=5变形可得3a+4b=5,再把3“+48看作一个整

体并代入代数式进行计算即可得解.

【解答】解：V2C3a-b)-3(a-2b)=5,

/.6a-2b-3〃+6/?=5.

・・・3a+40=5.

/.1-9a-\2h

=1-3(3〃+4〃)

=1-3X5

=-14.

【变式3-2]已知2G-8=4,〃?+〃=1,利用等式的性质求a-权-2〃?-2〃的值.

【分析】等式a—-2〃?-2〃得：~(2a-h)-2(力+〃)，然后把2a-6=4,/〃+/?=1

代入计算即可.

【解答】解：:2。-。=4,〃?+〃=1,

:.a—-2m-2〃

=i(2a-b)-2(/〃+〃)

=1x4-2Xl

=2-1

=0,

即-2m-2〃的值是0.

【变式3-3](2020秋•东西湖区期末)一般情况下/+/=翳不成立，但也有数可以使

得它成立，例如：〃尸〃=0.能使得;+7=符成立的一对数…我们称为“相伴

数对”，记为(加，〃).若(x,3)是“相伴数对”，则x的值为.

【分析】利用新定义“相伴数对”列出算式，计算即可求出x的值.

x3x+3

【解答】解：根据题意得：-+-=

去分母，得：15x+30=6x+18,

移项，得：15x・6x=18・30,

合并同类项，得：9x=-12,

解得：x=-*

故答案为：

【考点4一元一次方程中的新定义问题】

【例4】(2021春•偃师市期末)规定一种新运算：a*b=a?-2b,若2*[l*(-x)]=6,则

x的值为.

【分析】首先根据题意，可得：1*1(-X)=12-2X(7)=l+2x,所以2*[(l+2x)

=6,所以22-2(1+2X)=6；然后根据解一元一次方程的方法，求出x的值为多少即可.

【解答】解：・・Z%=J-2b,

Al*(-x)=12-2X(-x)=l+2x,

V2*[l*(-x)]=6,

；・2*(l+2x)=6,

A22-2(l+2x)=6,

去括号，可得：4-2-4.r=6»

移项，可得：-4x=6-4+2,

合并同类项，可得：・4x=4,

系数化为1,可得：x=-1.

故答案为：-I.

【变式4-1](2021春•北培区校级月考)对任意有理数人b,规定一种新运算“⑥”，使

a®b=3a-2b,例如：50(-3)=3X5-2X(-3)=21.若-1)㊈(x-2)=

-3,求x的值.

【分析】这种运算，等于第一个数的3倍减去第二个数的2倍，根据题中条件列出方程

求解即可.

【解答】解：根据题意得：3(2x-1)-2(x-2)=-3,

去括号得：6x-3-2x+4=-3,

移项得：6x-2x=-3+3-4,

合并同类项得：4A-=-4,

系数化为I得：x=-I.

答：x的值为-1.

【变式4-2]（2021秋•沙坪坝区校级月考）形如也。的式子叫做二阶行列式，其运算法

则用公式表示为：:|=ad-be.依此法则计算：

ba1

7（一3）2

（1）计算c1|的值.

—2—

13

（2）若尹一力=1,求x的值.

42-2

【分析】（I）原式利用已知的新定义列式订算即可；

（2）已知等式利用已知的新定义得到关于x的一元一次方程，解方程即可求出x的值.

【解答】解：（1）根据题意得：

原式=7X（―^）—（—2）X（―3）2

7

=-2-（-2）X9

7

=一升18

29

=T;

（2）根据题意得：

13

—2X—42X（—y）=1,

-x+18=h

解得x=17.

【变式4-3]（2021春•朝阳区校级月考）对于两个非零常数〃，b,规定一种新的运算：a

^b-a-2h,例如，3张2—3-2乂2--1.根据新运算法则，解答下列问题；

（1）求（-2）的值；

（2）若2派（x+1）=10,求x的值.

【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可得到结果；

（2）利用题中的新定义得出关于x的一元一次方程，解方程即可.

【解答】解：⑴根据题中的新定义得：（-2）^5=-2-2X5=-2-10=-12；

（2）根据题中的新定义得：

2-2（A+1）=10,

2-2v-2=10,

-2r=10-2+2,

-2T=10,

x=-5.

【考点5一元一次方程中的同解问题】

5x-l78x-l1

【例5】（2020秋•湖滨区校级月考）-----=:与-'—=%+3:+3|m|的解相同，那么

6322

m的值是—.

【分析】先解出第一个方程的解，代入到第二个方程中，得到一个关于〃?的方程，解方

程即可.

5Y—17

【解答】解：^二:，

63

.*.5%-1=14,

把x=3代入到第二个方程中得:

231

万=6尸〃1，

**•\m\=

5

:・m=±-.

3

故答案为：±|.

【变式5-1］（2020秋•青羊区校级月考）已知用，〃为整数，关于x的一元一次方程（2〃+1）

x=机与（〃+1）x=1的解相同，则.

m1

【分析】先分别表示出两方程的解1=蒜，工=系由题意得,-----=-----，m=

2n+ln+1

需="罂二=2一Vl，根据〃?，〃为整数，进行分析即可求解.

【解答】解：:（2〃+1）x=m,

m

.*.x=2^+1*

*.*(〃+1)x=I,

m1

由题意得,

2n+l-n+1

2n+l

n+l

2(7t+l)T

-n+1--

n+T)

•・•〃?，〃为整数,

/.«+1=1或-1,

/.n=0或-2,

2n+l

当时，m=­e

n=0n+1=1,

2n+l

当〃=-2时,

m=n+1

ifi911=0或-6.

故答案为：0或-6.

【变式5-2]（2020秋•朝阳区校级期中）己知关于x的方程（因-3）a-3）x+2〃?+l

=0是一元一次方程.

（1）求女的值；

（2）若已知方程与方程3x=4・5x的解相同,求〃?的值.

【分析】（1）根据一元一次方程的定义进行解答.

（2）先解方程3x=4・5x,再把方程的解代入原方程可得用的值.

【解答】解:（1）由题意得网-3=0,k-3#0,

:・k=-3；

（2）3x=4-5x,

3A+5X=4,

1

x=r

原方程为：6x+2/?z+1—0>

把A—2代入：3+2〃z+1=0,

m=-2.

2x—k

【变式5-3]（2021春•沙坪坝区校级月考）关于x的一元一次方程3x=6-x+4和二一=

%—3/c

--的解相同，求上的值.

【分析】分别解出这两个方程的解，根据方程的解相同列出关于A•的方程，求出A的值.

【解答】解：3X=6RA+4,

3X-x=6A+4,

2x=6-4,

x=3k+2；

2x-kx-3k

32

2⑵-%）=3（x-3D.

4x-2k=3x-9k,

4.v-3x=-9k+2k,

x=-Ik,

・・・3%+2=-Ik.

答：k的值为

【考点6一元一次方程中的数形结合思想】

【例6】我们知道国的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离,即国=仅・0|,也就

是说H表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离；这个结论可以推广为：表示在

数轴上数小），对应点之间的距离；在解题中，我们常常运用绝对值的几何意义.

①解方程国=2,容易看出，在数轴上与原点距离为2的点对应的数为±2,即该方程的

解为x=±2.

②在方程h11=2中，x的值就是数轴上到1的距离为2的点对应的数，显然x=3或x

=-1.

③在方程W-l|+k+2|=5中，显然该方程表示数轴上与1和-2的距离之和为5的点对应

的x值，在数轴上1和-2的距离为3,满足方程的x的对应点在1的右边或-2的左边.若

x的对应点在1的右边，由图示可知，x=2；同理，若x的对应点在-2的左边，可得x

=-3,所以原方程的解是工=2或x=-3.根据上面的阅读材料，解答下列问题：

（1）方程H=5的解是.

（2）方程2|=3的解是.

（3）画出图示,解方程|x-3|+|x+2|=9.

------4----------

—3―rb

IIIIII1I,

-5-4-3-2-101234

【分析】（I）由于凶=5表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离，所以工=±5；

（2）由于-2|=3中，x的值就是数轴上到2的距离为3的点对应的数，显然％=5或-

1：

（3）方程-3|+卜+2|=9表示数轴上与3和-2的距离之和为9的点对应的x值，在数

轴上3和-2的距离为5,满足方程的x的对应点在3的右边或-2的左边，画图即可解

答.

【解答】解：（1）•・•在数轴上与原点距离为5的点对应的数为±5,

・•・方程国=5的解为x=±5；

（2）•・,在方程|x・2|=3中，x的值是数轴上到2的距离为3的点对应的数,

・•・方程b-2|=3的解是工=5或-1；

（3）•・•在数轴上3和-2的距离为5,5<9,

・•・满足方程卜-3|+|x+2|=9的x的对应点在3的右边或-2的左边.

若x的对应点在3的右边，由图示可知，x=5：

若x的对应点在-2的左边，由图示可知，x=-4,

所以原方程的解是x=5或x=-4.

故答案为：x=±5：x=5或・1.

---------------7------------

-5-4-3-2-1012345

------7-----------

—5—p2-、

-4-3-2-10123456>

【变式6-1](2020秋•新邵县期末)数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数

与形进行完美地结合.研究数轴我们发现了很多重要的规律.譬如：数轴上点4、点B

表示的数分别为a、b,贝ijA、〃两点之间的距离线段/W的中点表示的数为

手.如图，数轴上点A表示的数为-4,点B表示的数为2.

AB

•••”

-402

(1)求线段A8的长和线段A8的中点表示的数.

(2)找出所有符合条件的整数x,使得|x+l|+|x・2|=3.

(3)并由此探索猜想，对于任意的有理数x,|x-2|+|x+4|是否有最小值，如果有，写出

最小值；如果没有，请说明理由.

(4)点C在数轴上对应的数为工，且工是方程2A1=费+1的解.数轴上是否存在一点

P,使得小+P8=PC,若存在，写出点P所对应的数；若不存在，请说明理由.

【分析】(I)根据两点间距离公式和中点坐标公式可以直接求解.

(2)运用两点之间距离公式，方程|x+l|+|x・2|=3意味着点x到・1和2的距离之和是3,

这样就可以确定x的范围，进而求出x的整数解了.

(3)当-4VxV2时,式子Q2|+|x+4|有最小值,就是-2到4的距离.

(4)运用两点之间距离公式分别表示出PA.P8和PC的值，在根据%+PB=PC建立方

程，求出工的值.此一问需要对P点所在位置进行分类讨论.

【解答】解:(1)人8=|-4-2|=6,

线段48的中点表示的数为：=-I.

(2)”表示在数轴上，到-1和2两点之和为3的点，

所以符合条件的整数点有：0、-1.1.2.

(3)|x-2|+|x+4|在数轴上一点x到2与-4距离之和，

所以它的最小值是1-2-4|=6.

(4)当P点在A点左侧时，

R\+PB=PC,

(-4-x)+(2-x)=4-x,

x=-6.

当P点在A8之间时，

PA+PB=PC,

|-4-2|=4-x,

x=-2.

当P点在8c之间时，

PA+PB=PC,

(x+4)+(x-2)=(4-x),

(不合题意，舍去).

当尸点在点C右侧时，

*PB=PC,

(x+4)+(x-2)—(x-4),

x=-2(不合题意，舍去).

所以〃点作对应的数为：・6或・2.

【变式6-2](2020秋•南昌期末)阅读下列材料，回答问题：“数形结合”的思想是数学

中一种重要的思想.例如：在我们学习数轴的时候，数轴上任意两点A表示的数为〃，B

表示的数为4则A、B两点的距离可用式子|a-b|表示.例如：5和-2的距离可用|5・

(-2)|或|-2-5|来表示.

【知识应用】我们解方程|x-5|=2时，可用把|x-5|看作一个点x到5的距离，则该方程

可看作在数轴上找一点P(P表示的数为x)与5的距离为2,所以该方程的解为x=7或

x=3.所以，方程以+5|=2的解为.(直接写答案，不需过程)

备用图

【知识拓展】我们在解方程|x-5|+|x+2|=7时，可以设A表示数5,3表示数-2,0表示

数-该方程可以看作在数轴上找一点尸使得办+PB-7,因为A8-7,所以由图可知，

尸在线段AB上都可，所以该方程有无数解，x的取值范围是-2WxW5.类似的，方程

|x+4|+L16|=10的解(填“唯一”或“不唯一”)，x的取值是.("唯

一”填x的值，“不唯一”填X的取值范围);

【拓展应用]解方程|x+4|+|x-6|=14.

【分析】【知识应用】根据数轴上两点间距离理解舟5|所表示的含义，从而列方程求解;

【知识拓展】根据数轴上两点间距离理解年+4|+k-6|所表示的含义，从而列方程求解并

确定X的取值范围；

【拓展应用】根据数轴上两点间距离理解k+41+lx-61所表示的含义，从而列方程求解.

【解答】解：【知识应用】・・・|x+5|=|x-（-5）|,

，|x+5|可以看成是数轴上点A所表示的数x与-5的距离，

.*.x+5=2或x+5=-2,

解得：x=-3或x=-7,

故答案为：x=-3或x=-7；

【知识拓展】设A表示数-4,B表示数6,P表示数x,

，方程伙+4|+|「6|=10可以看作在数轴上找一点尸使得出+P8=10,

:.点P必在线段AB上，

，该方程的解不唯一，x的取值范围是-4WxW6,

故答案为：不唯一，-4WxW6,

【拓展应用]|x+4|+|x-6|=14,

设A表示数-4,3表示数6,P表示数-

①当点尸位于线段AB上时，

|x+4|+|x-6|=x+4+67=10（不合题意,舍去）,

②当点P位于A点左侧时，

|x+4|+|x-6|=-x-4-x+6=-2x+2=14,

解得：x=-6,

③当点P位于B点右侧时，

|A+4|+|X-6|=x+4+x-6=2x-2=14,

解得：x=8,

综上，x=-6或x=8.

【变式6-3]（2020春•重庆期末）阅读下列材料：

我们知道国的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离；B[J|x|=h-0|；这个结论

可以推广为阳-刈表示在数轴上数xi,X2对应点之间的距离.绝对值的几何意义在解题

中有着广泛的应用：

例1：解方程8=4.

容易得出，在数轴上与原点距离为4的点对应的数为±4,即该方程的解x=±4：

例2：解方程-+1I+Q2|=5.

由绝对值的几何意义可知，该方程表示求在数轴上与7和2的距离之和为5的点对应的

x的值.在数轴上，-1和2的距离为3,满足方程的x对应的点在2的右边或在-I的

左边.若x对应的点在2的右边，如图1可以看出x=3；同理，若x对应点在-1的左

边，可得x=-2.所以原方程的解是x=3或x=-2.

例3：解不等式|x-1|>3.

在数轴上找出|x-1|=3的解，即到1的距离为3的点对应的数为-2,4,如图2,在-2

的左边或在4的右边的x值就满足|x-1|>3,所以卜-1|>3的解为x<-2或x>4.

参考阅读材料，解答下列问题：

（1）方程伙+3|=5的解为；

（2）方程卜•-2017|+|x-l|=2020的解为

（3）Mv+4|+k-31^11,求x的取值范围.

图1图2

【分析】（1）根据例1的方法，求出方程的解即可;

（2）根据例2的方法，求出方程的解即可；

（3）根据例3的方法，求出x的范围即可.

【解答】解：（1）方程|.v十3|=5的解为人=2或・8；

故答案为：工=2或工=-8：

（2）方程田-2017I+W-1|=2020的解为x=-2或x=2O18；

故答案为：x=・2或x=2018；

（3）・・・|x+4|+|x-3|表示的几何意义是在数轴上分别与-4和3的点的距离之和,

而-4与3之间的距离为7,当x在-4和3时之间，不存在《使b+4|+卜-3|211成立,

当x在3的右边时，如图所示,易知当x25时，满足W+4I+L”3|211,

当x在-4的左边时，如图所示，易知当xW-6时，满足仅+4|+k-3|211,

所以x的取值范围是x25或xW-6.

7,

二_J±t--

-630

【考点7一元一次方程中的图表问题】

【例7】（2020秋•张店区期末）如图给出的是2021年某月份的口历表，任意圈出一竖列上

相邻的三个数，请你运用方程思想来研究，发现这三个数的和不可能是（)

日一二三四五六

123456

78910111213

14151617181920

21222324252627

28293031

A.27B.41C.42D.69

【分析】可设中间的数为居”应该是正整数，根据竖列上相邻的数相隔7可得其余2个

数，相加等于各选项中数字求解即可.

【解答】解：A、设中间的数为x,则最小的数为4-7,最大的数为x+7.

x+(x-7)+(x+7)=27,

解得：x=9,不符合题意；

B、设中间的数为x,则最小的数为x-7,最大的数为x+7.

x+(A--7)+(x+7)=41,

解得：户争符合题意；

C、设中间的数为x，则最小的数为x-7,最大的数为x+7.

x+(x-7)+(x+7)=42,

解得：x=14,不符合题意；

D、设中间的数为心则最小的数为x-7,最大的数为x+7.

x+(X-7)+(x+7)=69,

解得：x=23,不符合题意.

故选：B.

【变式7-1](2021春•浦东新区校级期中)如图，在2021年4月份日历中按如图所示的方

式任意找7个日期，那么这7个数的和可能是()

2021年04月回到今天人、

—_—四五7\B

293031123休4休

十八十九愚人节廿一廿二清明节

5休67891011

廿四廿五取tbt廿八廿九三十

121314151617518®

三月初二初三初四初五izJZ\初七

19®20®21®22232425班

初八初十1WB十二十三十四

26272829301休2休

/-l-t十八十九劳动节廿一

3休4休5休678班9

廿二青年节立夏廿五ttA廿七母亲节

A.64B.72C.98D.H8

【分析】设7个日期的中间数为x,则另外6个数分别为(x-8),(A-6),(x-1),

(X+1),(x+6),(.v+8),进而可得出7个数之和为7x,结合四个选项中的数，即可

得出关于X的一元一次方程，解之即可得出X的值，再结合X为整数即可确定结论.

【解答】解：设7个E期的中间数为x,则另外6个数分别为（x-8）,（x-6）,（x

-I）>（x+1）»（x+6）»（x+8）»

・・・7个数之和为7x.

当7x=64时,x=竽不合题意；

7?

当7x=72时，x=7,不合题意；

当7x=98时，x=l4,符合题意；

当7x=118时，x=]芋，不合题意.

故选：C.

【变式7-2]（2（）20秋♦中原区校级期中）如图，2021年3月的日历中有一个“M”形框，

框中包含7个数.

2021年03月

123

8910

151617

222324

293031

（1）将形框上下左右平移，但一定要框住2021年3月的日历中的7个数，若设

“M”形框框住的7个数中，从小到大排第4个数为小用含。的代数式表示形框

框住的7个数字之和；

（2）将“M”形框上下左右平移，“M”形框框住的7个数字之和能是133吗？如果能,

请写出此时“M”形框中最小的数，如果不能，请说明理由.

【分析】（I）上下相邻的数：上面的数比下面的数个7,左右相邻的数：左面的数比右

面的数小1，根据特点写出7个数再计算即可；

（2）由（1）中求出的代数式等于（2）中每个数据的和，若是。是整数，就可以，不是

整数，就不可以.

【解答】解：（1）设形框框住的7个数中从小到大排第4个数为小

则其它的数为（a+1）、（。・8）、（4+8）、（4-6）、（"6）,

所以7个数的和为（a-1）十（〃+1）+Ca~8）十（〃+8）十（6/-6）+（a十6）十a=7a.

答：这7个数的和是7m

（2）依题意得：

74=133,

解得a=19.

所以最小的数4-8=I1.

【变式7-3]（2020秋•武昌区期中）如图，是2020年11月的月历，“L”型、“反Z”型

两个阴影图形分别覆盖其中四个方格（可以重叠覆盖），设“L”型阴影覆盖的最小数字

为四个数字之和为Si,“反Z”型阴影覆盖的最小数字为4四个数字之和为S2.

（1）Si=（用含〃的式子表示），52=（用含人的式子表示）；

（2）S1+S2值能否为46?若能，求。的值；若不能，说明理由.

（3）从日历中取出1,3,6,1（）,15,21,28,寻找其规律，并按此规律继续排列下去,

若将第1个数记为京，第2个数记为X2,……，第〃个数记为初，则工+工+工+……+

Xix2x3

]4040

-

X2020-2021—

22232425262728

29|30

【分析】（1）设“L”型阴影覆盖的最小数字为。，其它数字分别为。+7、。+8、。+9,四

个数字之和为Si,相加即可求出值.同理求出S2.

（2）根据（1）可求出〃、。的值.不存在这样的。、b.

（3）根据分式运算隐含地规律可得出结果.

【解答】解：（I）**d+t/+7+a+8+d+9=4f/+24,

・・・S=4a+24.

*/Z?+/ri-1+b+6+b+l=4b+14,

.*.S?=4/?+14.

(2)由(1)得SI+S2=4〃+24+40+14=4(〃+。)+38,

设SI+S2=4(a+b)+38=46,

得a+b=2.

又・・・a,。都为正整数，

.*.«=1,h=1.

•・”=1时，反Z型不存在,

故S1+S2的值不可能为46.

答:S1+S2的值能为46,a=l,b=\.

(3)由题意：——+—+——+...4------

X1x2x3x2020

=1+州+转+…+WU

_,111,1

一［t十取十1+2+3+1+2+3+4+…+1+2+3+4+…+2020

_一222,2

=1+2x3+3x4+4x5+"，+2020x2021

11111111、

1+2--+——-4-—--+•••+----------)

23344520202021

11

=I+2(一一)

22021

=1+2019

1十2021

_4040

=2021,

【考点8一元一次方程中的动点问题】

【例8】（2021秋•铁西区期中）如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动2c机到达

O

A点，再向右移动到达8点，然后再向右移动到达C点，数轴上一个单位长度

表示\cm.

।।।।।।।।।।।।A

-6-54-3-2-1012345

（1）请你在数轴上表示出A,B,C三点的位置；

（2）把点C到点A的距离记为CA,则CA=cm.

（3）若点A沿数轴以每秒匀速向右运动，经过多少秒后点A到点C的距离为3cm?

（4）若点4以每秒\cm的速度匀速向左移动，同时点8、点。分别以每秒4cm、9cm的

速度匀速向右移动.设移动时间为，秒，试探索：BA-C8的值是否会随着,的变化而改

变？若变化，请说明理由，若无变化，请直接写出及的值.

【分析】（1）由题意得：A点对应的数为-2,3点对应的数为1,点。对应的数为费,

将4,B,C三点在数轴上表示即可；

（2）利用数轴计算。4,OC的长度后相加即可;

（3）设经过x秒后点A到点。的距离为30科利用分类讨论的思想分两种情形列出方程

即可得出结论；

（4）用代数式分别表示出移动，秒后线段84,CB的长度，通过计算可得结论.

【解答】解：（1）由题意得：A点对应的数为-2,8点对应的数为1,点。对应的数为

11

3

点A,从C在数轴上表示如下图:

ABC

111iji1.II.11»

-6-5^-3-2-1012345

(2)设原点为。，如图，

AQBC

-6-54-3-2-1012345

：.OA=2,0C=?，

17

：,AC=OA+OC=-y.

17

故答案为：—.

(3)①当点4在点C的左侧时，

设经过x秒后点A到点C的距离为3an,由题意得：

17

——3x=3,

3

解得：户出

②当点A在点C的右侧时，

设经过x秒后点A到点C的距离为3c/〃，由题意得：

017_

3x2"-3,

解得:1=等.

o26

综上，经过一或一秒后点A到点C的距离为3c•〃?.

99

(4)BA-CB的值不会随着/的变化而变化，BA-CB=

o

由题意：AB=3cm,CB=ocm,

88

J\

-一

・・•移动，秒后，A8=3+/+4f=(3+5/)cm,CB=9t33X

o1

：.BA-CB=(3+5，)-(5/+^)=4，

-CB的值不会随着，的变化而变化，BA-CB=

【变式8-1](2021秋•长春期中)如图，在数轴上点八表示数小点8表示数〃，点C表

示数c,♦是最小的正整数,且。、6满足|。+2|+(c-6)2=0.

(1)a=,b=,c=.

(2)若将数轴折叠，使得点A与点C重合，则数轴上折痕所表示的数为，点B

与数表示的点重合，原点与数表示的点重合.

(3)动点P、Q同时从原点出发，点P向负半轴运动，点Q向正半轴运动，点。的速

度是点P速度的3倍，2秒钟后，点P到达点A.

①点尸的速度是每秒个单位，则点Q的速度是每秒个单位.

②点Q到达点。后，改变方向，按原速度向负半轴方向运动，求再经过几秒钟，点夕与

点。能相遇.

③在②的条件下，点。改变方向后，直接写出又经过几秒钟点尸与点Q相距3个单位.

~ABC»

【分析】（I）由。是最小的正整数，确定匕=1,再由非负数的性质求得〃=-2,c=6；

（2）折叠数轴，当两个点重合时，则折痕表示的数为这两个点表示的数的平均数，根据

重合的点到折痕的距离相等，可求出相应的点表示的数；

（3）①先由点P从原点出发向数轴负半轴运动且2秒钟到达点A求出点A的速度为1

单位长度/秒，点求出点。的速度；

②设再经过，秒钟点P与点Q相遇，按追及问题的数量关系列方程求出，的值；

③分两种情况，即点尸在点Q的左侧和点夕在点Q的右侧进行分类讨论，列方程求出/

的值.

【解答】解：（1）因为b是最不的负整数，

所以〃=1；

因为⑶220,（c-6）220,且|。+2|+（c-6）2=0,

所以|a+2|=0,（c-6）2=0»

所以a+2=0,c-6=0,

所以a=-2,c=6,

故答案为：-2,1,6.

（2）将数轴折叠，使得点4与点C重合，则产二2,

所以折痕表示的数是2；

点B到折痕的距离为1单位长度，则2+1=3,

所以点8与数3表示的点重合；

原点到折痕的距离为2单位长度，则2+2=4,

所以原点与数4表示的点重合，

故答案为：2,3,4.

（3）①点P从原点出发向数轴负半轴运动且2秒钟到达点4,则