专题249 弧长和扇形的面积【十四大题型】（举一反三）（人教版）（原卷版）

专题24.9弧长和扇形的面积【十四大题型】

【人教版】

♦题型梳理

【题型1求弧长】................................................................................1

【题型2利用弧长及扇形面积公式求半径】........................................................3

【题型3利用弧长及扇形面积公式求圆心角】......................................................4

【题型4求某点的弧形运动路径长度】............................................................4

【题型5直接求扇形面积】.......................................................................5

【题型6求图形旋转后扫过的面枳】..............................................................6

【题型7求弓形面积1.............................................................................................................................8

【题型8求其他不规则图形的面积】...............................................................9

【题型9求圆锥侧面积】........................................................................11

【题型10求圆锥底面半径】......................................................................12

【题型11求圆锥的高】..........................................................................13

【题型12求圆锥侧面展开图的圆心角】...........................................................14

【题型13圆锥的实际问题】.....................................................................15

【题型14圆锥侧面上最短路径问题】.............................................................16

，举一反三

【知识点弧长和扇形的面积】

设。。的半径为R,n。圆心角所对弧长为1,

弧长公式：1=嘿（弧长的长度和圆心角大小和半径的取值有关）

扇形面积公式：S扇形=高汨^=2依

母线的概念：连接圆锥顶点和底面圆周任意一点的线段。

圆锥体表面积公式：S=HR?+nRl（1为母线）

【题型1求弧长】

【例1】（2023•河北石家庄•石家庄市第四十二中学校考模拟预测）如图，四边形A8CD内接于O。，E是DC延

长线上一点，如果。。的半径为6,^BCE=60°,那么电的长为（）

B.127rC.2nD.47r

【变式1-1］（2023・四川成都・校考三模）“斐波那契螺旋线”（也称“黄金螺旋”）是根据斐波那契数列画出来

的螺旋曲线，人类耳朵的形状也符合这种螺旋形状，这种形状的构造帮助人类可以更好地接收声波，从而

增强听觉.现依次取边长为1,1，2,3,5……的正方形按如图所示方式拼接，分别以每个正方形的一个顶

点为圆心，边长为半径作圆弧，连接形成的螺旋曲线即为“斐波那契螺旋线”.那么前五个正方形内形成的曲

线48CDE尸的长度是,

【变式1-2］（2023春.山西长治.九年级统考期末）如图，在平行四边形4BC0中，以为直径的00与40相

交于点E,与8D相交于点F,DF=BF,已知48=2,ZC=40°,则所的长为（）

【变式1-3］（2023•河南濮阳・统考一模）如图，在扇形力。8中，圆心角乙4。8=60°,AO=2,分别以。4OB

的中点E,F为圆心^04的长为半径作半圆，两个半圆相交于点C,则图中阴影部分的周长为.

o

【题型2利用弧长及扇形面积公式求半径】

【例2】（2023春・山西•九年级专题练习）某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2,M是“不倒翁，与水平面的

接触点，%，分别与/MB所在圆相切于点A,B.将“不倒翁”向右作无滑动滚动，使点4与水平面接触,

如图3.若NP=60。，水平面上点M与点B之间的距离为4兀，则4MB所在圆的半径是（）

【变式2-1]（2023春•黑龙江哈尔滨•九年级统考期末）若弧长为4/rcm的扇形的面积为8TTE2,则该扇形的

半径为cm.

【变式2-2]（2023春・湖北黄石・九年级统考期末）如图，△ABC是。O的内接三角形，ZBAC=60°,此的

长是手则。。的半径是.

【变式2-3]（2023•辽宁盘锦・统考一模）如图，在口ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径的圆恰好与CD

相切于点C,交AD于点E,若林的长为2兀，则。A的半径为一.

B

A

ODB

【变式4-1］（2023春・浙江金华・九年级校联考阶段练习）如图，量角器的直径与直角三角板4BC的斜边4B重

合（48=6）,其中量角器0刻度线的端点N与点4重合，射线CP从&4处出发沿顺时针方向以每秒3度的

速度旋转，CP与量角器的半圆弧交于点石，第20秒时点七在量角器上运动路径长是—.

【变式4-2］（2023•河南信阳•校考三模）如图，把一个含30。角的直角三角板ABC在桌面上沿着直线/无滑动

的翔滚一周，若BC=1,44=30。，则点4运动的路径长是.

【变式4-3］（2023春.四川广元•九年级校考阶段练习）如图，ZUBC中，乙4c8=90。，AC=BC=4,点£、

尸是以斜边力8为直径的半圆的三等分点，点P是即上一动点，连接PC,点M为PC的中点.当点P从点E

运动至点/时，点M运动的路径长为.

【题型5直接求扇形面积】

【例5】（2023•云南临沧・统考三模）如图，正五边形A8C0E内接于。。，其半径为1,作OFJ.8C交。。于

点F，则图中阴影部分的面积为（）

「37T

A-B.,CWD.

.3技

【变式5-1]（2U23•吉林•九年级校联考学业考试）如图，矩形4块;。的对角线/K,8"相交于点。，△048是

等边三角形，48=4,分别以点5,。为圆心，40长为半径画弧，与该矩形的边相交，则图中阳影部分的面

积为..（结果保留7T）

【变式5-2]（2023春•江苏连云港•九年级校考阶段练习）如图，已知半径为1的。。上有三点A、8、C,0C与

48交于点。，Z,AD0=85°,^CAB=20°,则阴影部分的扇形04C面积是

C

【变式5-3】（2023春・江苏•九年级专题练习）如图，四边形48CD是长方形，以8c为直径的半员I与AD边只

有一个交点，且力B=x,则阴影部分的面积为

【题型6求图形旋转后扫过的面积】

【例6】（2023春•江苏盐城・九年级校考阶段练习）如图，己知A、。是。。上任意两点，且入。=6,以40为

边作正方形A8CD,若AD边绕点。旋转一周，则BC边扫过的面积为.

B

【变式6-1]（2U23•全国•九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A在.），轴的正半轴上，0A=1,

将。力绕点。顺时针旋转45°到0&,扫过的面积记为Si，4遇2力1交4轴于点42；将。&绕点。顺时针旋

转45°到。&，扫过的面积记为52,力3力4，。人3交y轴于点力4；将。力4绕点。顺时针旋转45°到。力5，扫过的

面积记为S3,45LJ•。力5交X轴于点力6；…；按此规律，则S2022的值为.

【变式6-2]（2023春・山东临沂・九年级统考期中）在平面直角坐标系中，△/18C的位置如图所示.（每个小

方格都是边长为1个单位长度的正方形）

⑴画出△48。关于原点对称的441当。1；

（2）^AABC绕点8逆时针旋转90。，画出旋转后得到的△428c2,并求出此过程中线段8人扫过的区域的面

积.（结果保留7T）

【变式6-3】（2023•江苏南京・统考二模）在平面内，将小棒AB经过适当的运动，使它调转方向（调转前后的

小棒不一定在同一条直线上），那么小棒扫过区域的面积如何尽可能地小呢？

已知小棒长度为4,宽度不计.

方案1：将小棒绕48中点。旋转180。到夕A,设小棒扫过区域的面积为5（即图中灰色区域的面积，下同）;

方案2：将小棒先绕A逆时针旋转60。到力C,再绕。逆时针旋转60。到C8,最后绕8逆时针旋转60。到B'4,

设小棒扫过区域的面积为S2.

方案1方案2方案3（未完成）

（1,S2=；（结果保留7T）

②比较S1与52的大小.（参考数据：71*3.14,V3«1.73.）

（2）方案2可优化为方案3：首次旋转后，将小棒先沿着小棒所在的直线平移再分别进行第2、3次旋转，三

次旋转扫过的面积会重叠更多，最终小棒扫过的区域是一个等边三角形.

①补全方案3的示意图；

②设方案3中小棒扫过区域的面积为S3,求S3.

（3）设计方案4,使小棒扫过区域的面积S,小于S3,画出示意图并说明理由.

【题型7求弓形面积】

【例7】（2023•山东东营•统考中考真题）如图，48为。。的直径，点。为。。上一点，BD工CE于点D,BC平

分

（1）求证：直线CE是O0的切线；

⑵若乙48。=30。,。。的半径为2.求图中阴影部分的面枳.

【变式7-1］（2023春•九年级课时练习）如图，AB是。。的直径，C。为弦，AB1CD,若CD=2灼,CB

=2,则阴影部分的面枳是.

c

B

O

D

【变式7-2]（2023•全国•九年级专题练习）如图，将半径为5cm的扇形O4B沿西北方向平移0cm,得到嗣

形O'A夕，若4/1。8=90。，则阴影部分的面积为cm2.

【变式7-3]（2023•湖北恩施・统考一模）如图，已知。。的半径为1,△4BC内接于。。，^ACB=150°,

则弓形ACB（阴影部分）的面积为.（结果保留7T或根号）

【题型8求其他不规则图形的面积】

【例8】（2023・山西长治・统考模拟预测）如图，在△力BC中，CA=CB,AB=4,点。是4B的中点，分别以

点人B、C为圆心，4。的长为半径画弧，交线段AC、BC于点E、八G、H,若点E、尸是线段AC的三等分

点时，图中阴影部分的面积为（）

c

H

A.8/一2nB.16V2-4nC.872-4TTD.16V2-2n

【变式8-1］（2023春・全国•九年级专题练习）如图，在四边形48CD中,148c=90。,=6,将四边形ABCD

绕点A逆时针旋转30。至4pL。处，则旋转过程中，边8。所扫过的区域（图中阴影部分）的面积为.

【变式8-2］（2023春・全国•九年级专题练习）如图，扇形。4B的半径。4=2cm,/.AOB=120\贝ij以4B为

直径的半圆与初围成的区域（图中阴影部分）的面积是—cm2.

OA

【变式8-3］（2023•山西太原•山西实验中学校考模拟预测）如图，以Rt△力8c的直角边AB为直径的半圆O,

与斜边AC交于点。，E是边BC的中点，连接DE.若AD,4B的长是方程/一6x+8=0的两个根，则图中

阴影部分的面枳为（）

A.8V3-yB.4x/3-yC.473-yD.8百一与

【题型9求圆锥侧面积】

【例9】（2023春・湖北武汉•九年级校考阶段练习）如图等边△ABC内接于。。，若。。的半径为1,以阴影

部分为侧面围成一个圆锥，从剩余部分剪出一个圆作为圆锥底面，则圆锥的全面积为.

【变式9-1]（2023.福建南平•校联考模拟预测）如图，要用-个扇形纸片围成•个无底的圆锥（接缝处忽略

不计），若该圆锥的底面圆周长为lOTicm,扇形的圆心角的度数是120。，则圆锥的侧面积为（结果

保留兀）.

【变式9-2】（2023・河北廊坊・统考一模）如图1,冰激凌的外壳（不计厚度）可近似的看作圆锥，其母线长

为12cm,底面圆直径长为8cm.

图1图2

（I）这个冰激凌外壳的侧面展开图的形状是:

（2）当冰激凌被吃掉•部分后，其外壳仍可近似的看作圆锥，如图2,其母线长为9cm,则此时冰激凌外壳

的侧面积为cm2.（结果保留7T）

【变式9-3]（2023春・江苏•九年级专题练习）如图是一张直角三角形卡片，NAC8=90。，AC=8C,点。、

E分别在边A3、AC上，AD=2cm,08=4cm,DELAB.若将该卡片绕直线QE旋转一周，则形成的几何

体的表面积为_cm?.

【题型10求圆锥底面半径】

【例10】（2023•内蒙古・统考中考真题）如图，正六边形力BCD"的边长为2,以点A为圆心，48为半径画

弧BF,得到扇形8AF（阴影部分）.若扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径

是.

【变式10-1]（2023春•全国•九年级专题练习）如图漏斗,圆锥形内壁的母线0B长为6cm,开口直径为6cm.

（1）因直管部分堵塞，漏斗内灌满了水，则水深cm；

（2）若将贴在内壁的滤纸（忽略漏斗管口处）展开，则展开滤纸的圆心角为.

【变式10-2】（2023•内蒙古•统考口考真题）如图，正六边形/8CDE/的边长为2,以点A为圆心，48为半

径画弧8凡得到扇形8力尸（阴影部分）.若扇形8/IF止好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锯的底面圆的

半径是

【变式10-3】（2023•全国•九年级专题练习）如图，在正方形网格图中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网

格点A、B、C,请在网格中进行下列操作:

（1）请在图中确定该圆弧所在圆心D点的位置，。点坐标为；

（2）连接4）、CD,则。。的半径为；扇形D4C的圆心角度数为；

（3）若扇形04c是某一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥的底面半径.

【题型11求圆锥的高】

【例11】（2023春・山东济宁・九年级济宁学院附属中学校考期末）如图，正六边形A8CDEF的边长为12,连

接4C,以点A为圆心，AC为半径画弧CE,得扇形力CE,将扇形4CE围成一个圆锥，则圆锥的高为（）

A.3V5B.6V3C.V105D.2V105

【变式11-1]（2023春•云南•九年级专题练习）如图,矩形纸片中,AD=12cm,把它分割成正方形

纸片/8FE和矩形纸片EFCO后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为同一个圆锥的侧面和底面,

则该圆锥的高为cm.

【变式11-2】（2023春•九年级课前预习）如图，正六边形A8CQEF的边长为6,以顶点A为圆心，A8的长

为半径画圆,用图中阴影部分围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥的高为（）

C.4V2D.25/10

【变式11-31（2023春,贵州贵阳•九年级贵阳市第二实验中学校考阶段练习）如图，正六边形力BCDEF纸片一

中，AB=6,分别以夙E为圆心，以6为半径画小C、游.小欣把扇形B4C与扇形E”"剪下，并把它们粘

贴为一个大扇形（B与石重合，产与4重合），她接着用这个大扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高

为.

【题型12求圆锥侧面展开图的圆心角】

【例12】（2023春・全国•九年级专题练习）圆锥的底面半径为40cm,母线长80cm,则它的侧面展开图的圆

心角度数是（）

A.180°B.150°C.120°D.90°

【变式12-1】（2023春•九年级课时练习）圆锥的底面积是侧面积的g则该圆锥侧面展开图的圆心角度数

是________

【变式12-2】（2023春・云南昆明•九年级校考期中）如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝

处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为20acm,侧面积为240Mm2,则这个扇形的圆心角的度数是（）

度.

A.120°B.135°C.150°D.160°

【变式12-3】（2023•内蒙•占呼和浩特•统考中考真题）圆锥的高为2&,母线长为3,沿一条母线将其侧面展

开，展开图（扇形）的圆心角是度，该圆锥的侧面积是（结果用含兀的式子表示）.

【题型13圆锥的实际问题】

【例13】（2023・安徽•校联考二模：《九章算术》中有如卜.问题：”在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个

圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆高5尺，间米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛

米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3,估算出堆放的米约有斛.

【变式13-1］（2023春.全国.九年级专题练习）图1中的某种冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图2）,制

作这种外包装雷要用如图3所示的等腰三角形材料•，其中4B=AC,AD1BC,将扇形E4尸围成圆锥时，

AE-A/7恰好重合，已知圆锥的底面圆直径ED=6cm,母线长.4。=12cm.

⑴求这种加工材料的顶角的大小.

（2）求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积.（结果保留外

【变式13・2】（2023春•九年级课时练习）如图，锚标浮筒是打捞作业中用来标记锚或沉船位置的，它的I：

下两部分是圆锥，中间是圆柱（单位：mm）,电镀时，如果每平方米用锌0.11kg,电镀100个这样的锚标

浮筒，需要用多少锌?

【变式13-3】（2023春・江西南昌•九年级期末）如图I所示，有一种单层绒布料子的台灯灯罩，灯罩的上下

都是空的把这个灯罩抽象成一个几何体时，我们称之为圆台，它可以理解为把大的圆锥沿着平行于底面。